Производственная функция

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ

КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа на тему:

"Производственная функция"

студента группы БИ-о-11/1

специальности "Бизнес-информатика"

Куприянова Николая

Руководитель практики:

К. ф-м. наук, доцент

Лутошкин И.В.

Ульяновск 2013



Содержание

Введение

1. Производственные функции. Определение и назначение.

1.1 Применение производственных функций

1.2 Основные требования, предъявляемые к производственным функция

1.3 Основные формы представления производственных функции

1.4 Методы определения параметров производственных функций.

1.5 Производственная функция Кобба - Дугласа

2. Практическое применение производственной функции

Список литературы



Введение

Данная курсовая работа посвящена теме производственная функция и практическое применение их на производстве, на основе чего можно будет охарактеризовать зависимость показателя совокупного общественного продукта или иного обобщающего показателя от основных факторов производства.

Актуальность этой проблемы заключается в изучение и понимание наиболее известных и полезных производственных функций в данной области способных помочь в решение определённых задач.

Для исследования этой проблемы планируется провести анализ производственной функцию по конкретному предприятию на практике в целях оценить их в плане эффективности рентабельности.

функция кобб дуглас рентабельность



1. Производственные функции. Определение и назначение

Производством называется любая человеческая деятельность по преобразованию ограниченных ресурсов -- материальных, трудовых, природных - в готовую продукцию.

Производственная функция характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов (факторов производства) и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом [6].

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.

2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.

3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период -- период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период -- период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными [11].

В экономическом моделировании наиболее широко представлены макроэкономические производственные функции. Эти функции являются агрегатными производственными функциями, характеризующими зависимость показателя совокупного общественного продукта или иного обобщающего показателя от основных факторов производства. В качестве основных факторов производства обычно рассматриваются объем капитала, рабочей силы, а также земли. В ряде макроэкономических производственных функций в качестве отдельного фактора учитывается также воздействие научно-технического прогресса. Макроэкономические производственные функции исследуются самостоятельно или включаются в сложные эконометрические модели [2].

1.1 Применение производственных функций

Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска и решения прогнозных и плановых задач в следующих случаях:

· Для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент времени (статический вариант, который отражает текущие связи между экономическими показателями);

· Для анализа и прогнозирования соотношения объемов факторов и объемов выпуска в разные моменты времени (динамический вариант, т.е. выявление тенденций экономического развития);

Для отдельного предприятия (фирмы) или отрасли, выпускающей однородный продукт, часто рассматриваются многофакторные производственные функции, связывающие объем валового выпуска (измеренного в натуральных единицах) с затратами:

· рабочего времени по различным видам трудовой деятельности;

· различных видов сырья, энергии, полуфабрикатов, комплектующих изделий (измеренных, как и выпуск, в натуральных единицах).

Другая сфера применения народнохозяйственных, региональных и отраслевых (макроэкономических) производственных функций, отражающих не столько свойства производственных технологий, сколько экономические закономерности. В теоретических работах с помощью этих функций:

· количественно оценивают вклад каждого из рассматриваемых факторов в экономический рост;

· анализируют соотношения между интенсивными и экстенсивными типами развития на различных временных интервалах;

· исследуют экономические закономерности научно-технического прогресса [15].

Для агрегатных экономических единиц производственная функция строится в предположении, что соответствующий объект моделируется как единое предприятие, функционирующее по принципу "затраты ресурсов -- выпуск продукции" или "имеющиеся ресурсы -- результаты деятельности". В первом случае рассматриваются потоки ресурсов, а во втором -- их общие объемы, запасы. Тем самым принимается гипотеза о целостности объекта, моделируемого с помощью производственной функции, о его неделимости. Для большинства производственных функций эта гипотеза существенна и с формальной точки зрения, ибо не удается воспользоваться одной и той же производственной функцией для представления объекта в целом и в виде совокупности образующих его производственных единиц. Другими словами, непосредственное агрегирование для производственной функции, как правило, неосуществимо. Исключение составляют производственные функции, в которые факторы входят в виде линейной комбинации. Поэтому анализ экономической деятельности как агрегата и как совокупности предприятий ведется изолированно, а совмещение полученных результатов и их интерпретация представляют самостоятельные и, главным образом, содержательные задачи. Отраслевые производственные функции могут отображать функционирование отрасли как целого, либо отображают деятельность ее среднего предприятия. В первом случае производственная функция связывает временные ряды отраслевых агрегатов выпуска и ресурсов, а внутренняя структура отрасли обычно не учитывается. Во втором случае производственная функция "пространственно" измеряет показатели для образующих отрасль предприятий. Объединение этих подходов в рамках одного эконометрического исследования технически сложно и требует более жестких предположений о характере эмпирических данных [12].

1.2 Основные требования, предъявляемые к производственным функциям

Производственная функция, устанавливающая зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов, называется функцией выпуска. Частными случаями производственной функции являются:

* функция издержек, описывающая связь между объемом выпуска и издержками производства;

* инвестиционная функция, описывающая зависимость необходимых инвестиций от производственной мощности будущего предприятия.

Производственная поверхность -- это геометрическое представление производственной функции. В простейшем двумерном случае (один ресурс -- один продукт) применяется термин "производственная кривая". Эта кривая позволяет оценить объем производства продукта при наличии определенного количества ресурсов [15].

Если факторов и товаров более одного, например n, т, то можно говорить уже не кривой, а о некоторой гиперповерхности, описывающей все возможные комбинации рассматриваемых товаров, которые можно произвести при полном использовании имеющихся факторов производства. Эта гиперповерхность соединяет точки, показывающие, что дальнейшее наращивание выпуска одного товара возможно только за счет сокращения выпуска других. Примером может служить граница области допустимых значений в задаче линейного программирования. Другой термин для обозначения этого понятия: кривая (поверхность) производственных возможностей [12].

Производственная функция может быть также представлена множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема производства.

Общепринятого мнения, каким именно набором свойств, вытекающих из общеэкономических соображений, должна обладать производственная функция, не существует. Однако обычно требуется, чтобы она обладала всеми или хотя бы некоторыми из следующих свойств:

1. т.е. выпуск невозможен при отсутствии ресурсов;

2. т.е. при увеличении затрат всех ресурсов выпуск также растет;

3. т. е. при увеличении затрат любого из ресурсов, при неизменном количестве остальных, выпуск не сокращается;

4. т.е. с увеличением затрат любого из ресурсов, при неизменном количестве остальных, эффективность вовлечения в производство дополнительной его единицы не возрастает (принцип убывающей отдачи последовательных вложений);

5. т.е. эффективность затрат любого из ресурсов при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и неизменном количестве остальных, не снижается;

6. строго квазивогнута;

7. вогнута (выпукла вверх).

Это более жесткая формулировка принципа убывающей отдачи последовательных вложений, из которой, в частности, следует свойство 4;

8. однородна степени.

Однако не все производственные функции и не при всех значениях входящих в них переменных обладают перечисленными свойствами. Иногда, хотя и редко, применяют производственные функции, для которых не выполняются первые три свойства, хотя они наиболее "естественны". Часто требуется, чтобы производственная функция обладала указанными свойствами не при всех, а лишь при "экономически осмысленных" или реально достижимых значениях переменных. Множество таких значений называют экономической областью [2].

Иногда требуется, чтобы производственная функция, помимо указанных выше свойств, обладала и некоторыми другими. Так, довольно часто, например, используется так называемые асимптотические условия. Состоит оно в том, что значение функции равно нулю при нулевом значении любого из аргументов [4].

1.3 Основные формы представления производственной функции.

В настоящее время математиками-аналитиками предложено множество конкретных производственных функций.

Чаще всего используются следующие:

1) линейная ;

2) леонтьевская ;

3) Кобба-Дугласа ;

4) с постоянной эластичностью замещения. В простейшем варианте эта функция имеет вид:

.

Наиболее популярной и в теоретических, и в прикладных исследованиях является функция Кобба-Дугласа: она сочетает простоту математической записи, очевидную экономическую интерпретацию и относительную легкость определения численных значений ее параметров. Особенность этой мультипликативно-степенной формы производственной функции состоит в том, что если один из сомножителей равен нулю, то результат обращается также в нуль.

Это свойство соответствует тому факту, что в большинстве случаев для производства необходимы все факторы и при отсутствии одного из них выпуск продукции невозможен. Например, даже в самом автоматизированном производстве нельзя обойтись без соответствующего персонала. В самой общей форме (форма называется канонической) мультипликативно-степенная функция записывается в следующем виде:

_.

Коэффициент A учитывает размерность, которая, в свою очередь, зависит от выбранной единицы измерений затрат и выпуска. Сомножители от первого до n-го могут иметь различное содержание в зависимости от того, какие факторы оказывают влияние на общий результат (т. е. выпуск продукции) [5].

Например, в производственной функции, которая применяется для изучения экономики в целом, в качестве результативного показателя можно принять объем конечного продукта, а в качестве сомножителей -- основные факторы производства:

* численность занятого населения;

* величину основного и оборотного капитала;

* площадь используемой земли [15].

1.4 Методы определения параметров производственных функций

На практике применяются три основных метода определения параметров макроэкономических производственных функций:

1. на основе обработки рядов динамики (временных рядов);

2. на основе данных о структурных элементах агрегатов;

3. на основе данных о распределении национального дохода - распределительный метод.

При построении производственных функций необходимо избавляться от явлений мультиколлинеарности параметров и автокорреляции - противном случае неизбежны грубые ошибки. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся аналитические представления производственных функций:Линейная производственная функция

,

где - оцениваемые параметры модели: здесь факторы производства замещаемы в любых пропорциях. Функция Кобба-Дугласа может быть выведена из гипотезы о том, что все эластичности выпуска по ресурсам постоянны, или о том, что эластичности замещения между всеми факторами равны единице. В общем виде функция Кобба-Дугласа имеет вид:

,

где - национальный доход;

- коэффициент размерности;

и - соответственно объемы приложенного труда и капитала;

- коэффициенты эластичности производства по труду и капиталу .

Функция - однородная степени , следовательно, увеличение и в одинаковое число раз увеличивает доход в раз. Если сумма равна единице - функция линейно-однородная, а, если больше или меньше единицы, имеет место эффект масштаба (соответственно положительный или отрицательный) [7].Функция Кобба-Дугласа основывается на предположении о понижающейся предельной отдаче ресурсов¹, постоянстве коэффициентов эластичности производств по затратам ресурсов. Предельный эффект затрат связан с дополнительным экономическим эффектом (доход, прибыль), вызываемый дополнительной затратой единицы одного ресурса при неизменной величине остальных, т.е. это предел соотношения прироста результата и затрат, которые его вызвали, т.е. частная производная результирующей функции по данному аргументу:

,

где - предельный эффект использования ресурса ;

- функция полезности (под функцией полезности можно понимать функцию эффективности);

объем использования ресурса .

Эластичность замещения ресурсов в любой точке кривой Куба-Дугласа равна единице. Хотя данную функцию нельзя отнести к линейным, значения параметров можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов. Для этого ее приводят линейному виду, прологарифмировав обе части уравнения (обычно используются натуральные логарифмы):

.

Модификация функции, учитывающей технический прогресс, достигается введением дополнительного сомножителя , где - темп технического прогресса (константа).Из гипотезы о том, что эластичности замещения между всеми факторами постоянны, выводятся -функция



,

в этом случае эластичность замещения ресурсов не зависит ни от , ни от и, следовательно, постоянна. Отсюда и происходит название функции. Функция CES, как и функция Кобба-Дугласа, исходит из допущения о постоянном убывании предельной нормы замещения используемых ресурсов. Между тем эластичность замещения капитала трудом и, наоборот, замены труда капиталом в функции Кобба-Дугласа, равная единице, здесь может принимать различные значения, не равные единице, хотя и является постоянной. Наконец, в отличие от функции Кобба-Дугласа логарифмирование функции CES не приводит ее к линейному виду, что вынуждает использовать для оценки параметров более сложные методы нелинейного регрессионного анализа [15].

1.5 Производственная функция Кобба-Дугласа

Как уже говорилось производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология - новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта [1].

Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:

1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение - не у всех будут места).

2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).

Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы. Еще в 1928 году американские ученые -- экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб - создали макроэкономическую модель, позволяющую оценить вклад различных факторов производства в увеличении объема производства или национального дохода. Эта функция имеет следующий вид:

,

где - объем выпущенной продукции;

- объем основного капитала (основные фонды);

- затраты труда (численность занятых);

- числовые параметры; , [12].

При построении производственной функции Кобба-Дугласа параметры можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба-Дугласа (1) приводят к линейному виду путем логарифмирования

2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ,

(; - количество наблюдений) и соответствующими оценками .

3) Введем векторы

и матрицу

Тогда критерий (3) можно записать в виде

Дифференцируем SSD по вектору Х и приравниваем производную к нулю систему уравнений МНК:

или

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов:



где - элементы главной диагонали матрицы ;

- дисперсия погрешности измерений.

Оценка определяется по формуле:

Рассчитывается значение - параметра

Если полученное значение больше, чем табличное при степеней свободы, тогда существенно отлично от нуля при уровне .

Доверительные границы для определяются по формуле

.

Тогда вероятность того, что величина действительно находится в этих пределах, составит .

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска рассчитывается коэффициент множественной детерминации:



,

где

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент множественной детерминации

Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса [12].



2. Практическое применение производственной функции

Фирма "ASUS" определяла перспективные уровни выпуска своей продукции -- установок радиолокационного обнаружения -- без специальной подготовки. В настоящее время эта компания планирует открыть свой филиал по всей Европе, и поэтому ей необходимо проанализировать взаимосвязь между вводимыми факторами производства и уровнем выпускаемой продукции.

Год	Выпуск	Капитал	Труд
1993	114043	182113	8310
1994	120410	193749	8529
1995	129187	205192	8738
1996	134705	215130	8952
1997	139960	225021	9171
1998	150511	237026	9569
1999	157897	248897	9527
2000	165286	260661	9662
2001	178491	275466	10334
2002	199457	295378	10981
2003	212323	315715	11746
2004	226977	337642	11521
2005	241194	363599	11540
2006	260881	391847	12066
2007	277498	422382	12297
2008	296530	455049	12955
2009	306712	484677	13338
2010	329030	520553	13738
2011	354057	561531	15924
2012	374977	609825	14154

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим следующие исходные данные:



Анализируем исходные данные с помощью линейного регрессионного анализа Microsoft Excel 2003, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:



Данные показатели определяются следующим образом.

R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

_,

где Q_R - сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;

Q - общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней.

В нашем случае R-квадрат (0,99508) близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:



,

где N - число наблюдений (20);

P - число объясняющих переменных (2).

Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:

для регрессии df=M-1=3-1=2,

для остатка df=N-M=20-3=17,

итоговый df=N-M=20-1=19,

где M - число оцениваемых параметров регрессии;

N - число наблюдений.

Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):

,

где - условная (групповая) средняя переменной y.

Остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS):

.

Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):

.

Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок:

F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:

F=1719,231 больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F_0,05;2;17=3,59, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно, исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).

Стандартная ошибка - это оценка стандартного отклонения распределения коэффициента регрессии вокруг его истинного значения.

t-статистика - оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.

На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для вышеописанной ситуации:

На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа путем экспонирования:

.

Полученная модель может быть использована для прогнозирования будущих значений ВВП на основе известных или ожидаемых уровнях капитала и рабочей силы. Наглядно полученная зависимость прироста ВВП от изменения рабочей силы (L) и капитала (K) изображен на рисунке 2 с помощью MathCAD 2000.

Рисунок 1.



Рисунок 2. Зависимость прироста ВВП от изменения капитала (K) и рабочей силы (L)

В полученной модели наблюдается возрастающий эффект от масштаба, так как сумма a и b превышает 1 (равна 1,185729). Это означает, что если К и L увеличиваются в некоторой пропорции, то y растет в большей пропорции.

Для примера определим объем ВВП в среднем при ожидаемом уровне капитала 50.000 млн. $ и уровне рабочей силы 15.000 тысяч человек.

ВВП прогн. = 47471.12 млн.



Заключение

На основе проведённого анализа производственной функции по предприятию "ASUS" были изучены приёмы, методы обработки информации, а так же получена нужная информацию удовлетворяющая заданным целям. Была проведена оценка рентабельности данного предприятия, а также эффективность дальнейшего развития данной фирмы в Европе.

Был изучен теоретический материал по данной теме, и мы точно определили, что производственная функция - это функция позволяющая определить максимально возможный объём выпуска продукции при различных сочетаниях и количествах ресурсов, а также, что удовлетворительным будет такой вариант, в котором комбинация факторов производства и заданный объём выпуска продукции соответствует критерию наименьших издержек производства.



Список литературы

1. Акофф Рассел Л. Планирование в больших экономических системах. М., 1972.

2. Басакер Р., Саати Г. Конечные графы и сети. М., 1973.

3. Власов М. П. Моделирование деятельности фирмы СПб., 2001.

4. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. Перев. с англ. М., 1976.

5. Володин А. А. Оптимизационные задачи в экономике. Рязань,1999.

6. Введение в эконометрику. М Финансы и статистика, 2001

7. Шелобаев Математические методы и модели в экономике 2000 г.

8. Емельянов А. А. Имитационное моделирование экономических процессов. М., 2002.

9. Исследование операций: в 2 т. / Пер. с англ., Под ред. Дж. Моу- дера, С. Элмаграби. М., 1981. Т.

10. Краковский Ю.М. Имитационное моделирование, Иркутск, 2002.

11. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М., 1987.

12. Зуев Г.М., Самохвалова Ж.В. Экономико-математические методы и модели. Межотраслевой анализ. - Рост Н/Д: "Феникс", 2010. - 345 с.

13. www.ausus.com

14. www.wikipedia.com

15. http://do.gendocs.ru

Размещено на Allbest.ru

...