Актуальність теми дослідження. Розвиток методів математичного моделювання хвильових і дифракційних процесів у морській гідроакустиці, геофізиці, волоконній оптиці, фізиці атмосфери та інших областях обумовлений на даному етапі необхідністю розв'язання широкого класу науково-практичних задач, жорсткими вимогами сучасних технологій та необхідністю прогнозування процесів різної фізичної природи. Математичне моделювання породжує цілий комплекс питань, починаючи з аналізу фізичних особливостей досліджуваних об'єктів, постановки математичної задачі, розробки аналітичних або чисельних методів (алгоритмів) її розв'язування і закінчуючи аналізом та інтерпретацією отриманих результатів. Останнім часом не менш важливою являється проблема побудови і дослідження спрощених моделей. Крім безпосереднього використання при проектуванні сучасних інформаційно-вимірювальних систем, результати моделювання хвильових процесів дозволяють розв'язати широке коло взаємозв'язаних задач, таких як формування заданих структур акустичних полів у хвилеводах, синтезу гідроакустичних антен та інших.

З математичної точки зору поширення акустичних полів у підводних хвилеводах описується, як правило, рівнянням Гельмгольця з комплексним несамоспряженим оператором за просторовими змінними або його параболічними апроксимаціями. В необмежених областях для коректної постановки крайових задач потрібно на нескінченності задавати відповідні умови випромінювання, які забезпечують єдність розв'язку, що поширюється в заданому напрямку. Такі умови можуть бути сформульовані у вигляді умов Зоммерфельда, парціальних умов Свєшнікова О.Г., згідно з принципом випромінювання або принципом граничної амплітуди.

Розробці методів математичного моделювання хвильових полів присвячена велика кількість робіт як в Україні, так і за кордоном. Більшість з них пов'язана з використанням аналітичних і асимптотичних методів (метод інтегральних перетворень, метод геометричної акустики, метод нормальних мод тощо). Серед них слід відмітити роботи Бабича В.М., Буслаєва І.С., Бреховських Л.М., Дихта В.В., Ільїнського А.С., Келлера Дж.Б., Колтона Д., Кравцова Ю.О., Креса Р., Мальцева М. Є., Малюжинця Г.Д., Полянського Е.О., Свєшнікова О.Г., Шендерова Є.Л. та багатьох інших. Розширити класи досліджуваних акустичних задач в океанічних хвилеводах дозволяють чисельні методи, насамперед, метод скінченних різниць і метод скінченних елементів, основні результати яких наведені в монографіях Ладиженської О.О., Марчука Г.І., Ріхтмайєра Р.Д., Самарського О.А., Стренга Г. і Фікса Дж., Сільвестера П. і Феррарі Р. та інших. Слід зауважити, що безпосереднє застосування класичних методів теорії різницевих схем для хвильових рівнянь з комплексним несамоспряженим оператором в необмежених областях пов'язане з відомими математичними труднощами. За певних умов методи чисельного розв'язання рівняння Гельмгольця та його еліптичних і параболічних апроксимацій запропоновано і розвинуто в роботах Авілова К.В., Боголюбова А.М., Гладкого А.В., Завадського В.Ю., Підлипенка Ю.К., Сергієнка І.В., Скопецького В.В., Collins M. D., Lee D., McDaniel S. T., Papadakis J. S., Tappert F. D. та інших. Разом з тим особливості складних реальних задач (неоднорідність і нескінченність області означення, комплекснозначність розв'язку диференціальних рівнянь, несамоспряженість диференціального оператора в частинних похідних) вимагають обгрунтування апроксимації, стійкості та збіжності чисельних методів. Тому питання вдосконалення існуючих методів, розробки нових класів математичних моделей і чисельно-аналітичних методів моделювання акустичних полів у нескінченних хвилеводах є актуальними. Розв'язанню цих та пов'язаних з ними деяких питань присвячена запропонована дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі ”Математичних систем моделювання проблем екології і енергетики” Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України. Частина наукових та практичних результатів отримана в рамках виконання

проекту 06.02/01700 "Розробка програмно-алгоритмічних засобів

моделювання задач акустичного моніторингу" Міністерства України у справах науки і технологій (1997 - 1998 рр.);

держбюджетної теми № 0197U005159 НАН України ”Розробка та обґрунтування чисельно-аналітичних методів математичного моделювання хвильових процесів в неоднорідних середовищах" (1996 - 1999 рр.).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка математичних моделей, методів та обчислювальних алгоритмів для моделювання широкого класу задач поширення акустичної енергії в нескінченних хвилеводах, які описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних еліптичного та параболічного типів з комплексним несамоспряженим оператором. Для досягнення цього розв'язувалися наступні задачі:

формулювання нових математичних моделей хвильових процесів в нескінченних однорідних та неоднорідних хвилеводах;

розробка чисельно-аналітичних методів та обчислювальних алгоритмів на базі методу скінченних різниць;

установлення збіжності і оцінки точності наближених розв'язків для хвильових параболічних рівнянь типу Шредінгера з комплексним несамоспряженим оператором;

створення програмного забезпечення для моделювання акустичного поля в підводних хвилеводах.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

запропоновані нові математичні моделі хвильових процесів, отримані аналітичні розв'язки базових просторових хвилеводних задач та встановлена їх збіжність до сингулярних розв'язків;

установлені нові властивості розв'язків задачі Штурма-Ліувілля з комплексним несамоспряженим оператором та запропоновано метод чисельного розв'язання;

узагальнено метод нормальних мод на випадок хвилеводів з імпедансною границею;

уперше проведено аналіз стійкості дискретних моделей акустичних полів з комплексним несамоспряженим оператором і отримано оцінки розв'язків у відповідних нормах.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що запропоновані математичні моделі, чисельно-аналітичні методи, обчислювальні алгоритми можуть бути використані при розробці програмних засобів, для подальших досліджень, пов'язаних з узагальненням на тривимірний простір та інші класи хвилеводних задач, при дослідженні оптимізаційних задач, пов'язаних з формуванням заданих характеристик акустичних полів.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційних досліджень виконані автором особисто і в співпраці з науковим керівником. У публікаціях [1,3,6], написаних у співавторстві з проф. Скопецьким В.В., йому належить постановка задачі та участь в обговоренні результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на шостій міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 1997 р.), міжнародних конференціях ”Питання оптимізації обчислень" (Київ, 1997, 1999 рр.), наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України (1997-1999 рр.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано шість наукових праць, чотири з них у вітчизняних провідних фахових виданнях, дві - у збірниках доповідей міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота містить вступ, п'ять розділів, висновок та список використаних джерел з 106 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 117 сторінок і включає 7 рисунків.

хвильовий процес чисельний моделювання

Основний зміст роботи

причому зовнішнє поле збігається з фундаментальним розв'язком за умовиУстановлено, що густина при прямує до одновимірної -фунції Дірака , а розв'язок при прямує до сингулярного розв'язку в кожній точці у середньому. Таким чином, сингулярний розв'язок можна трактувати як поле, створюване монополем . З фізичної точки зору, розв'язок природно розглядати в як акустичне поле джерел, що суцільно заповнюють площину . Випромінюване поле являє собою розбіжну плоску хвилю, що поширюється від площини в різні боки.

Четвертий розділ присвячено розробці методів моделювання звукового поля точкового джерела з декартовими координатами в неоднорідному хвилеводі з неперервною швидкістю звуку , абсолютно м'якою верхньою та імпедансною нижньою границями. В циліндричній системі координат акустичний тиск задовольняє рівнянню Гельмгольця.

Використання методу нормальних мод потребує дослідження властивостей допоміжної задачі Штурма-Ліувілля, яку за допомогою оператора з областю означення можна записати в операторному вигляді.

В гільбертовому просторі комплексних функцій, інтегрованих з квадратом на із скалярним добутком і нормою розглядаються два випадки:.

Для першого випадку встановлено, що спряжений оператор , тобто є самоспряженим за умови і несамоспряженим, якщо . При цьому, якщо власне значення є власним значенням оператора з відповідною власною функцією , то пара є розв'язком задачі на власні значення для спряженого оператора . Спектральна задача (4) - (5) має лічену множину простих власних значень , з єдиною граничною точкою на нескінченності і відповідних власних значень . При власні значення можуть бути впорядковані, а відповідні їм власні функції дійсні і утворюють повну ортогональну в систему. В загальному випадку (при власні значення комплексні з додатною уявною частиною, а відповідні власні функції утворюють біортогональну систему з власними функціями спряженої задачі, тобто функціями :

Тут , якщо , і стає комплексною величиною у випадку . Для виконання умов значення потрібно брати за формулою

Другий клас спектральних задач з комплексним несамоспряженим оператором породжується при розгляді акустичного поля точкового джерела в осесиметричному неоднорідному хвилеводі з поглинаючою границею розподілу вода-дно. Акустичний тиск також задовольняє рівнянню Гельмгольця (2) з дійсним хвильовим числом і крайовим умовам вигляду (3).

Якщо в умові третього роду (5) параметр є комплексним, то така модель дозволяє описати звукове поле точкового джерела у вигляді дискретних модових представлень і врахувати витрати енергії із водного шару в дно. Проведено дослідження властивостей задачі Штурма-Ліувілля. Доведено, що власні значення спектральної задачі (4) - (5) мають додатну уявну частину у випадку від'ємної уявної частини комплексного числа (). Встановлені властивості спектральної задачі дозволяють сконструювати представлення акустичного поля у вигляді суми нормальних мод.

Теорема 4.1 Для розв'язку крайової задачі (2) - (3) з урахуванням умов випромінювання на нескінченності справедливе представлення

Використання методу нормальних мод для моделювання звукових полів потребує розробки високоточних чисельних методів і алгоритмів знаходження власних чисел і відповідних власних функцій самоспряженої (несамоспряженої) задачі Штурма-Ліувілля вигляду (4) - (5). Поряд з традиційними схемами конструювання різницевих схем значний інтерес представляють схеми, що досить повно враховують сильно осцилюючий розв'язок диференціальної задачі. В дисертаційній роботі запропоновано метод побудови дискретної задачі, який базується на використанні розв'язків, локально ідентичних розв'язку диференціального рівняння.

На одновимірній сітці з кроком в околі вузла розглянемо рівняння (4) з постійними коефіцієнтам и.

Якісна відмінність різницевого рівняння (8) від стандартних сіткових апроксимацій полягає в тому, що запропонована дискретна спектральна задача значно точніше наближає диференціальну задачу.

Для знаходження дійсних власних значень (функцій) дискретних спектральних задач розроблено ефективний алгоритм, який використовує оцінки власних значень диференціальних задач. Зокрема, для крайових умов першого роду

Крім цього, досліджено питання стійкості різницевої спектральної задачі та проведено узагальнення розробленого чисельного методу розв'язання спектральної задачі на випадок комплексних власних значень та власних функцій задачі (4) - (5), в якій - комплексна функція,. В останньому випадку чисельний алгоритм використовує оцінки власних значень, сформульовані в наступній теоремі.

Теорема 4.2 Нехай в спектральній задачі (4) - (5) - комплексна функція,. Тоді для дійсної і уявної частини власних значень справедливі оцінки

У п'ятому розділі розглянуті питання розробки та обгрунтування чисельних методів математичного моделювання дальнього акустичного поля в неоднорідних хвилеводах на основі параболічних апроксимацій хвильового рівняння Гельмгольця. В циліндричному осесиметричному хвилеводі розглядаються початково-крайові задачі для хвильових параболічних рівнянь з комплексним несамоспряженим оператором.

Диференціальні рівняння (9) - (10) є базовими для визначення комплексного акустичного тиску , створюваного джерелом випромінювання в дальній зоні. При цьому модифіковане параболічне рівняння (10) використовується для моделювання акустичних процесів із врахуванням широкого діапазону зміни швидкості звуку за дальністю. Для точкового джерела цей тиск задовольняє рівнянню Гельмгольця (2) і при представляється у вигляді, де - функція Ханкеля першого роду нульового порядку. При розробці та дослідженні дискретних моделей в роботі розглядаються випадки м'якої та жорсткої нижньої границі.

Для чисельного розв'язання диференціальних початково-крайових задач на рівномірній сітці з кроками досліджуються різницеві схеми, які можна записати в операторному вигляді.

Лінійні комплексні несамоспряжені оператори і діють в гільбертовому просторі H комплексних функцій і визначаються для кожної розглянутої задачі відповідними певними співвідношеннями. Залежно від умови на нижній границі будемо розглядати наступні скалярні добутки і норми в H.

На основі отриманих енергетичних тотожностей установлені апріорні оцінки для розв'язків дискретних хвильових моделей з комплексним несамоспряженим оператором, які дозволяють дослідити коректність запропонованих різницевих схем, у тому числі стійкість за початковими даними, за правою частиною, оцінити швидкість збіжності. Зокрема, параболічному хвильовому рівнянню (9) у хвилеводі з жорстким дном відповідає двошарова різницева схема вигляду (11) з операторами.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 5.1 Для розв'язку різницевої схеми (11) - (12) має місце енергетична тотожність.

Тоді з енергетичної тотожності (13) випливає твердження.

Теорема 5.3 Різницева схема (11) - (12) стійка за початковими даними в нормі, і для її розв'язку справедлива апріорна оцінка

Подібні енергетичні тотожності встановлені і для модифікованого параболічного рівняння (10) у хвилеводі з м'якою та жорсткою нижньою границею.

Для розв'язку різницевої схеми (11) - (12), (14) має місце енергетична тотожність, аналогічна (13).

У випадку м'якої нижньої границі хвилевода, крім стійкості за початковими даними, доведена стійкість різницевої схеми за правою частиною, що дозволило в класі достатньо гладких розв'язків диференціальної задачі установити збіжність при в нормі із швидкістю .

Завершується розділ описом принципів та основних аспектів програмної реалізації алгоритмічного забезпечення розрахунку звукових полів з використанням банку гідрологічних даних. Визначено і описано структуру основних модулів програмного забезпечення; структуру модулю банку градієнтів швидкості звуку; принципи районування акваторії Світового океану. Проведено моделювання реальних акустичних задач за допомогою розробленого програмного комплексу. Результати математичного моделювання звукових полів в осесиметричних неоднорідних хвилеводах подано у вигляді графіків.

Висновки