Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В настоящее время в учебном процессе, как в высших, так и в средних учебных заведениях все больше времени уделяется вопросам моделирования, исследования различных моделей, использования моделей в управлении учебным процессом и т.д. Систематическое применение моделирования на занятиях позволяет максимально приблизить учебную деятельность к научно-исследовательской. Наибольшего внимания заслуживает моделирование, позволяющее наряду с демонстрацией изучаемых процессов проводить и вычислительные эксперименты.

Процесс моделирования состоит из ряда последовательных этапов: выбор объекта, определения цели моделирования, описания модели, выбора метода и алгоритма исследования, составление программы, получение результата, и имеет ряд трудностей, как в решении, так и в составлении уравнений и получении необходимых результатов.

Роль моделирования велика и повышается по мере продвижения обучаемого по ступеням непрерывного обучения. Подготовка к курсовой работе служит основой для углубленного изучения, на котором обучаемые учатся приемам моделирования, постановке целей и задач моделирования, построению самих моделей исследуемых явлений, выделению исходных данных, установлению соотношений между ними и результатом исследований.

Применение компьютеров в научных исследованиях является необходимым условием изучения сложных систем. Традиционная методология взаимосвязи теории и эксперимента должна быть дополнена принципами компьютерного моделирования. Эта новая эффективная процедура дает возможность целостного изучения поведения наиболее сложных систем как естественных, так и создаваемых для проверки теоретических гипотез.

Методами компьютерного моделирования пользуются специалисты практически всех отраслей и областей науки и техники - от истории до космонавтики, поскольку с их помощью можно прогнозировать и даже имитировать явления, события или проектируемые предметы в заранее заданных параметрах.

Большинство теорий очень похожи на математику внутренней логикой своего построения. В основе любой математической теории лежит несколько аксиом, а все частные результаты, называемые теоремами, выводятся из аксиом посредством дедуктивных логических рассуждений. Аксиомы являются идеальными абстрактными образами реальных объектов.

Точно также во всех т.н. точных науках после этапа накопления экспериментальных данных формулируются основные законы, из которых могут быть получены все свойства различных систем и процессов, охватываемых данной теорией. Компактная и точная формулировка законов естествознания делается на языке математики в виде каких-либо уравнений. Таким образом, математической моделью любой реальной системы является некоторое уравнение или система уравнений с определенными значениями параметров и определенными граничными условиями.

Во многих случаях для решения этих уравнений традиционными аналитическими методами требуется использование серьезного, порой, очень громоздкого математического аппарата. Иногда решения в аналитической форме вообще отсутствуют. Попытка ограничиться рассмотрением простейших систем, для которых решение основных уравнений может быть найдено элементарными методами, существенно обедняет наши представления об окружающем мире.

Эффективный путь преодоления этих трудностей - построение компьютерной модели изучаемого явления, под которой понимается совокупность численных методов решения основных уравнений, алгоритмов их реализации и компьютерных программ. Хорошая компьютерная модель превращает компьютер из сверхбыстрого калькулятора в интеллектуальный инструмент, способствующий открытию новых эффектов, явлений и даже созданию новых теорий.

Результативность компьютерной модели в значительной степени определяется качеством используемого программного обеспечения. Основные требования, предъявляемые к программам - это, конечно, простота ввода и корректировки исходных данных, а также визуализация (наглядность) результатов счета. Сегодня имеются и мощные специализированные системы программирования (MathCAD , MAPLE, SolidWorks, AutoCAD и др.) и специальные программы, в которых реализуется удобные графические пользовательские возможности. Использование компьютерных моделей превращает компьютер в универсальную экспериментальную установку. В компьютерном эксперименте обеспечен полный контроль за всеми параметрами системы, компьютерный эксперимент дешев и безопасен, с помощью компьютера удается ставить "принципиально невозможные" эксперименты (геологические процессы, космология, экологические катастрофы и т.д.).

Математические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из-под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы.

Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Здесь рассматриваются возможности и эволюция одной из таких систем - MathCAD.

Фирма MathSoft Inc.(США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В ходе работы с системой пользователь готовит так называемые документы. Они одновременно включают описания алгоритмов вычислений, программы управляющие работой систем, и результат вычислений. По внешнему виду тексты мало напоминают обычной программы.

Mathcad - это популярная система компьютерной математики, предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования. Название системы происходит от двух слов - MATHematica (математика) и CAD (Computer Aided Design - системы автоматического проектирования, или САПР). Так что вполне правомерно считать Mathcad математическими САПР.

Сегодня различные версии Mathcad являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам. С помощью Mathcad можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию Mathcad на любую область науки, техники и образования.

К важным достоинствам новых версий Mathcad относятся настройка под любой известный тип печатающих устройств, богатый набор шрифтов, возможность использования всех инструментов Windows, прекрасная графика и современный многооконный интерфейс. В новые версии Mathcad включены эффективные средства оформления документов в цвете, возможность создания анимированных (движущихся) графиков и звукового сопровождения. Тут же текстовый, формульный и графический редакторы, объединенные с мощным вычислительным потенциалом. Предусмотрена и возможность объединения с другими математическими и графическими системами для решения особо сложных задач. Отсюда и название таких систем -- интегрированные системы.

1. Постановка задачи

В курсовой работе необходимо при помощи пакета MathCAD решить следующие задачи:

1) Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке .

2) Даны векторы: , , .

- Вычислить смешенное произведение 3-ёх векторов: .

- Найти модуль векторного произведения: .

- Вычислить скалярное произведение 2-ух векторов: .

- Проверить, будут ли коллинеарные и ортогональные вектора: .

- Проверить, будут ли компланарные три вектора: .

3) Найти неопределённый интеграл (проверить дифференцированием): .

4) Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой: .

5) Найти частные производные и частные дифференциалы функции: .

6) Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции при с точностью до двух знаков после запятой:

.

2. Алгоритм решения

1) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной.

- Из условия обозначим крайние точки.

- Находится область определения функции.

- Находится производная.

- Определяются критические точки.

- Выбираются из критических точек те точки, которые принадлежат отрезку.

- Считаются значения функции в критических точках принадлежащих отрезку и на концах отрезка.

- Среди полученных значений функции выбираются самое большое и самое маленькое.

2) Последовательность вычислений и проверок:

- Составить заданные вектора , , как одномерные матрицы.

- Вычислить значения векторов .

- Вычислить смешенное произведение полученных векторов.

- Вычислить значения векторов .

- Найти модуль векторного произведения полученных векторов.

- Вычислить значения векторов .

- Вычислить скалярное произведение полученных векторов.

- Если векторы коллинеарные (вектора, лежащие на параллельных прямых, или на одной прямой.),то для них выполняется условие , если это условие не выполняется - то векторы неколлинеарные. Применить эти свойства по отношению к заданным векторам.

- Вычислить скалярное произведение векторов . Если произведение равно 0, то вектора ортогональные.

- Вычислить значения векторов . Пусть .

- Компланарные вектора - вектора, лежащие в параллельных плоскостях, или в одной плоскости. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно 0.

3) При помощи стандартных операций вычисления неопределённых интегралов получим значение интеграла . Проверим полученный результат дифференцированием.

4) При помощи стандартных операций вычисления определённых интегралов получим значение интеграла . Вычислим определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой.

5) При помощи стандартных операций вычисления частных производных получим символьное представление частным производным и частным дифференциалам функции .

6) Решим задачу методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

a) Задаём вектор начальных условий.

b) Задаём вектор производных.

c) Задаём функцию Z=rkfixed.

d) Строим график.

MathCAD не в состоянии решить данное уравнение, поэтому заменим его решение аналитическим.

2. Листинг решения

3. Анализ решения

Задание №1

В системе MathCad для наглядности построили графики функции . Построили график данной функции на отрезке . При помощи стандартных операций вычисления производных получим символьное представление частной производной функции . Вычислили - критическая точка 2, которая является наименьшим значением функции. Она же и является правым концом отрезка для исследования. На левом конце отрезка 1 имеем наибольшее значение функции.

Задание №2

mathcad функция дифференциал график

При помощи стандартных операций над матрицами построили заданные вектора , , и получили значения: . По алгоритму решения проверили вектора на коллинеарность, ортогональность, компланарность: - не коллинеарные и не ортогональные; - не компланарные.

Задание №3

При помощи стандартных операций вычисления неопределённых интегралов для получили: . Проверили правильность полученного результата путём дифференцирования.

Задание №4

При помощи стандартных операций вычисления определённых интегралов для получили: .

Задание №5

Для рассматриваемой функции , получили символьное представление частным производным и дифференциалам.

Задание №6

По заданной производной функции второго порядка, известным значениям производной функции первого порядка, известным значениям функции получили представление самой функции(аналитическим способом) и её значение в заданной точке: .

4. Выводы

При выполнении данной курсовой работы были изучены основы системы MathCAD, а именно, основы математических операций, работы с векторами, построения графиков функции, нахождения частных производных, решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисления интегралов и другие.

Для поставленных задач получены конкретные значения:

Задание №1

Точка 2 - наименьшее значение функции . Точка 1 - наибольшее значение функции.

Задание №2

При помощи стандартных операций над матрицами построили заданные вектора , , и получили значения: a) 2196; б) 356.2303; в) 1288; г) не коллинеарные и не ортогональные; д) не компланарные.

Задание №3

Для получили: .

Задание №4

Для получили: .

Задание №5

Для рассматриваемой функции , получили символьное представление частным производным и дифференциалам.

Задание №6

Для заданной производной функции второго порядка получили представление самой функции и её значение в заданной точке: ,решив аналитически. Пришли к выводу, что MathCAD не может решить данную задачу.

Литература

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.М,Наука,1968,912 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М, Высшая школа, 1967, 655 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М, Наука, 1971, 328 с.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учебник.-М., Гос.Изд.физ-мат.литература,1983

5. Бугров Я.С. , Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. -М . : Наука , 1980 , 1984.

6. Бугров Я.С. , Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. -М. :Наука ,1980.

7. Бугров Я.С. Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. -М.: Наука , 1981.

8. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. -М.: Высшая математика, 1982

9. А.П. Рябушко “ Сборник индивидуальных заданий по высшей математике” , Минск, 1990,1991 гг.

Приложение

Размещено на Allbest.ru