Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1 Моделирование на микроуровне

1.1 Выбор уравнения и его идентификация

1.2 Расчет статической характеристики

1.3 Расчет динамической характеристики

1.4 Моделирование струны в среде Elcut

2 Моделирование на макроуровне

2.1 Исходные данные

2.2 Графические формы математической модели гидросистем

2.2.1 Динамическая схема

2.2.2 Орграф

2.2.3 Матрица инциденций

2.3 Узловой метод формирования математической модели

гидросистемы

2.4 Расчет статической модели гидросистемы

2.5 Анализ динамической модели гидросистемы

2.5.1 Выбор шага интегрирования

2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Системой с распределенными параметрами (СРП) называется система, в которой практически все сигналы (в первую очередь - входной и выходной) являются функциями пространственных координат и времени. Таким образом, параметры СРП оказываются как бы распределены в пространстве, отсюда и название. Иногда СРП называются диффузными системами. Одним из примеров СРП могут служить т.н. «длинные линии», изучаемые в курсе электротехники, т.е. проводники, размеры которых сопоставимы с длиной волны, а электрические параметры (сопротивление, емкость и индуктивность) распределены по всей длине.

Математически СРП описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, также для этого вводятся функции Грина, континуальная и интегральная передаточные функции.

Система с сосредоточенными параметрами (ССП) является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом этапе. В большинстве случаев такого упрощения оказывается достаточно для получения адекватных результатов, но в ряде задач распределение параметров в пространстве оказывает существенное воздействие на результаты, в этом случае применяется аппарат теории СРП.

Целью курсовой работы является синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами. В данной работе решается вопрос построения математической модели колебания струны на основе теории распределенных сигналов: по заданному дифференциальному уравнению объекта получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины, выражение для оценочной передаточной функции для наилучших условий управления. Построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее и записать выражение передаточной функции через типовые звенья.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МИКРОУРОВНЕ

1.1 Выбор уравнения и его идентификация

Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.), поэтому они рассматриваются как системы с распределенными параметрами.

Конечной задачей решения уравнения СРП является нахождение выходной распределенной величины Q(x,t) в любой момент времени (t>0) в любой из пространственной точке X.

Рассмотрим одномерную задачу - распределение температуры в стержне, которое может быть описано уравнением параболического типа [1]:

;

где f(x,t) - входная координата по среде, зависящая от трехмерной координаты x и времени t.

-начальные и граничные условия[1]:

;

1 ? x ? L,t >0.

-стандартизирующая функция[1]:

;

-функция Грина[1]:

;

-континуальная передаточная функция [1]:

;

Для решения частной задачи примем следующие условия:

-входное возмущение:

f(x,t) = 10sin(0.2t);

-начальные условия, описывающие температуру стержня в начальный момент времени:

;

-граничные условия, описывающие изменение температуры на концах стержня:

g₁(t) = 10;

g₂ = 25.

Рассчитаем размерность для a:

;

Примем, что а = 0.01, L = 10 [м] - длина стержня.

Тогда с учетом входного воздействия, начальных и граничных условий стандартизирующая функция будет иметь вид:

,

где - импульсная переменная функция.

1.2 Расчет статической характеристики

При известной стандартизирующей функции и функции Грина можно найти выходную функцию вычислением интеграла, представляющим собой основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с входными воздействиями:

(1)

Выходная величина Q(x,t) находится как сумма четырёх составляющих:

Q(x,t)=Q₁(x,t)+Q₂(x,t)+Q₃(x,t)+Q₄(x,t), (2)

где Q₁(x,t), Q₂(x,t), Q₃(x,t), Q₄(x,t) находятся как:

Q₁(x,t) = ; (3)

Q₂(x,t) = ; (4)

Q₃(x,t)=; (5)

Q₄(x,t) = -. (6)

Получим:

Q(x,t)=Q₁(x,t)+Q₂(x,t)+Q₃(x,t)+Q₄(x,t)= + + +-

=

=

Если k=1..2:

₁(x,t) = -

+ (8)

Q₂(x,t)==

=

При k=1..2:

Q₂(x,t)=

(9)

Q₃(x,t)=

Замена :

(10)

Q₃(x,t)=

= (11)

Q₄(x,t) = -

Замена

+

(12)

Q₄(x,t)=

(13)

Тогда выходная величина с учетом (8), (9), (11), (13) имеет решение:

Q(x,t)= -

+

(14)

Выражение (14) является статической характеристикой нагрева стержня. Построим графики выходной распределенной величины в при t=0,1 (с) и t=1 (с):

Рисунок 1 - Температура стержня при t=0,1c

Рисунок 2 - Температура стержня при t=1 c

1.3 Расчет динамической характеристики

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции , которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции на преобразованную по Лапласу стандартизирующую функцию с выделенным из нее входным воздействием. Так как стандартизирующая функция содержит входное воздействие f(x,t):

;(15)

; (16)

.

(17)

Интегральную передаточную функцию представим в виде:

. (18)

Слагаемые , и найдем как:

; (19)

Замена :

; (20)

Замена :

. (21)

Из уравнений (19), (20), (21) получим:

(22)

Для выбранной выходной переменной построим ЛАЧХ. При этом необходимо получить частотную форму записи передаточной функции (22), для чего произведем замену р=j

(23)

Найдем ЛАЧХ по выражению:

. (24)

Для построения характеристики используем программу MathCad:

Рисунок 3 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Аппроксимируя полученную ЛАЧХ ее стандартными типовыми наклонами получаем 0 дб/дек и +20 дб/дек, что соответствует форсирующему звену. Тогда передаточная функция будет иметь вид:

;(25)

найдем Т, при условии:T=1/ щ,

где Т - период, с.

щ - частота аппроксимированной ЛАЧХ, Гц.

T=1/ щ= 1/0.4=2.5 (с).

График ЛАЧХ пересекает ось Y в точке 18, тогда усиление равно:

20lgk =-4.08, откуда k=10^-4.08/20=0.625 (26)

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

(27)

1.4 Моделирование стержня в среде Elcut

Смоделируем нагрев стержня при граничных условиях g₁=10, g₂=25. Построим двумерную модель стержня в виде прямоугольника длиной L=9м и высотой h=0.5 м, зададим значения граничных условий на ребрах модели и выберем свойства материала стержня (сталь 20). Решение задачи получим в виде цветовой шкалы, а также графика температуры:

Стержень нагревается от 283 до 298 К.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МАКРОУРОВНЕ

2.1 Исходные данные

Дана схема гидравлической системы, представленная на рисунке 4. В системе используется в качестве рабочей жидкости вверенное масло АУ. Материал трубопровода - сталь. Основные параметры системы и жидкости приведены в таблице 1. Параметры трубопроводов приведены в таблице 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4 - Схема гидравлической системы: 1, 2, - магистрали потребителей; P_B1, P_B2, - давление потребителей; Q_H - насос

Таблица 1 - Параметры системы и жидкости

Обозначение	Основные параметры	Значение
	Плотность рабочей жидкости	860 кг/м3
	Вязкость	0,15·10-4 м2/с
ЕС	Модуль упругости системы	1,7·108 Па
Етр	Модуль упругости трубопровода	2.1·1011 Па
	Коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке	0,03
	Толщина стенки трубопровода	2 мм

Таблица 2 - Параметры трубопроводов

Обозначение	Параметр	Номер трубопровода
		1	2	3
dтр, мм	Диаметр трубопровода	20	25	25
l,мм	Длина трубопровода	1.5	2.5	0.9
о	Коэффициент местных сопротивлений спртивлений	4	5.5	3
P, МПа	Давление потребителей и насосов	0.2/-	0.25/-	-

Q_n1 = 200*10^-6 м³/с;

Q_n2 = 400*10^-6 м³/с.

2.2 Графические формы математической модели гидросистемы

2.2.1 Динамическая схема

На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы (рисунок 4) строится динамическая модель. Участки магистралей представляются как последовательное соединение инерционного и диссипативного элемента, причем для инерционного элемента указывается направление движения рабочей жидкости. В точки ветвления магистралей устанавливают упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 5 представлена полученная динамическая модель.

2.2.2 Орграф

На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы. Узлы орграфа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви - компонентам математической модели.

Рисунок 5 - Динамическая модель гидравлической системы

Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей - наоборот. Во всех ветвях инерционных и диссипативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 6 представлен полученный орграф.

2.2.3 Матрица инциденций

Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру связей всех элементов системы. Матрица инциденций формируется на основании ориентированного графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов - числу ветвей.

Рисунок 6 - Ориентированный граф гидравлической системы

Отсутствие связи между узлом и ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел - «1», если выходит - «-1».

Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы получена матрица, представленная в таблице 3:

А=[A_И, А_Д, А_У, А_В] (28)

Таблица 3 - Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Источники потенциалов	Упругие	Диссипативные
	PВ1	PВ2	QH1	C1	м1	м2	м3
1	-1	0	0	1	-1	0	0
2	0	-1	0	1	0	-1	0
3	0	0	1	-1	0	0	-1
	АВ	AУ	АД

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидросистемы

Из матрицы инциденций можно получить систему равнений (29), математически описывающие функционирование гидравлической системы:

(29) где ;

А_Д, А_У, А_В - подматрицы инциденций;

- векторы давлений;

- векторы расходов,

m, с, - диагональные матрицы параметров элементов гидравлической системы.

Для нашего случая система будет иметь вид:

(30)

Так как в исходной системе насос постоянной производительности, то =0 и третье уравнение (30) преобразуется к виду:

P_H = P_Д5 + P_У1 (31)

Комплексные уравнения диссипативных элементов носят более сложный характер, при этом выделяют линейные и нелинейные потери давления в гидромагистралях и уравнения, запишутся в следующем виде:

(32)

где, коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий линейные потери при ламинарном режиме движения жидкости;

коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий нелинейные потери при турбулентном режиме, по длине и местные.

Таким образом, математическая модель рассматриваемой гидросистемы представляется системой трёх дифференциальных уравнений и четырьмя алгебраическими выражениями.

Вычисление параметров трубопровода гидросистемы

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

-площадь сечения трубопровода, м²:

; (33)

-коэффициент линейных потерь, H·с/м⁵;

; (34)

-коэффициент нелинейных потерь, H·с/м⁵.

; (35)

-коэффициент жесткости участка:

; (36)

где - доля объема трубопровода;

-объем трубопровода, м³:

V_тр=S_тр·l . (37)

Доля объема трубопровода рассчитывается как отношение объема отдельного участка к сумме объемов всех n соединенных между собой участков:

(38)

где - объема трубопровода i-ого участка, м³.

Коэффициент жесткости упругого элемента:

. (39)

По исходным данным и полученным результатам получаем жесткость упругого элемента c₁= 8,044·10¹¹ Н/м⁵.

Коэффициент массы:

. (40)

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Параметры трубопровода гидросистемы

Параметр	Номер магистрали
	1	2	3
Площадь сечения трубопровода, Sтр, ·10-4 м2	3,142	4,909	4,909
Объем трубопровода, Vтр,·10-4 м3	4,712	12,27	4,418
Доля объема трубопровода,	0,047	0,123	0,044
Коэффициент массы, mг,·106 кг/м4	4,106	4,38	1,577
Коэффициент линейных потерь,,·106 H·с/м5	4,941	3,373	1,214
Коэффициент нелинейных потерь,,·1010 H·с/м5	2,723	1,517	1,085
Коэффициент жесткости участка, cг, ·1010 Н/м5	708,2	102,5	791

2.4 Расчет статической модели гидросистемы

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовая координата (давление Р и расход Q) при этом постоянна. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

- давления к потребителю (Р_В1, P_В2),

- подачи насоса Q_H.

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

- расход в гидромагистралях,

- давление в упругом элементе.

Из данного утверждения следует:

(41)

Из (29) и (31) получаем систему для статического режима:

(42)

Учитывая нелинейные свойства диссипативных элементов гидравлической системы, их компонентное уравнение имеет вид:

(43)

Перенесем в правую часть системы внешние воздействия, тогда статическая модель будет иметь вид:

(44)

Для ее решения используются численный метод, для которого предварительно сформируем матрицу Якоби. Элементами матрицы Якоби для сформированной нелинейной системы являются частные производные от нелинейной вектор-функции по фазовым координатам системы (Q₁,Q₂,Q_н,P_У1).

(45)

Нахождение частной производной по расходу от давления в диссипативном элементе (43) имеет вид:

(46)

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

(47)

тогда матрица (47) принимает вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

- выбор начального приближения , где - вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, P_У1), V₀ - нулевой вектор-столбец;

- вычисление матрицы Якоби J_k в точке _K (k=0, 1, 2 …);

- вычисление вектора невязок . Вектор невязок получается из системы уравнений (32) для статического режима:

(48)

- определение вектора поправок:

. (49)

- определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных:

. (50)

- проверка условия окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

Расчет фазовых координат при статическом процессе произведен в математическом пакете MathCad.

При Q_H = 200*10^-6 м³/с решением является матрица:

(51)

При Q_H = 400*10^-6 м³/с решением является матрица:

(52)

Результаты вычислений приведены в таблице 5:

Таблица 5 - Результаты статического анализа

Фазовая координата	при Qн=200*10-6, м3/с	при Qн=400*10-6, м3/с
Q1, м3/с	9.157*10-4	8.304*10-4
Q2, м3/с	-1.116*10-3	-1.23*10-3
Pу1, Па	2.263*106	2.211*106

2.5 Анализ динамической модели гидросистемы

Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, имеет вид:

(53)

где А - матрица Якоби,

- вектор фазовых координат,

- вектор-функции внешних воздействий,

- вектор функции внешних воздействий.

С учетом произведенных ранее расчетов, запишем систему дифференциальных уравнений, представляющую динамическую гидросистему:

(54)

Для динамической модели матрицу Якоби можно записать аналогично статической модели:

(55)

Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (54), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.

Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:

(56)

где u₀ и u_k - начальное и конечное значение функции воздействия u(t), причем u₀ и u_k - const, (u₀ ? u_k):

(57)

Начальные (51) и конечные (52) значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

=>; (58)

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V₀ в состояние V_k. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера. Вектор входных воздействий V_k при имеет вид:

(59)

2.5.1 Выбор шага интегрирования

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

, (60)

где - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

(61)

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

(62)

где А - матрица Якоби динамической модели;

Е - единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (55), подставляя начальные значения фазовых координат:

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

(64)

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

Корни характеристического уравнения имеют отрицательные и нулевые значения, что говорит об устойчивости системы.

Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

При л=0: =1;

При л=-0.760: =1.38

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5 обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.

2.5.2 Решение систем дифференциальных уравнений методом Эйлера

Формула численного интегрирования неявного метода Эйлера имеет вид:

(66)

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:

(67)

где - модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:

Диагональные элементы матрицы Якоби на k-ом шаге пересчитываются по формуле:

(68)

Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 3х3 получаем:

(69)

- модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:

(70)

Решение системы уравнений (66) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1) задание шага интегрирования h;

2) задание начальных значений фазовых переменных при t₀=0;

3) вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k=0,1,2… ;

4) вычисление модифицированных матриц и на k+1 шаге;

5) решение системы уравнений (66) с целью определения в момент времени t_k+1;

6) переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .

Начальные значения вектора определяются на основании входных воздействий системы. В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений .

Рисунок 7 - Графики фазовых координат M(n)₀, M(n)₁, M(n)₂, M(n)₃

Рисунок 8 - Переходный процесс гидросистемы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой части работы была произведена идентификация заданного дифференциального уравнения, по полученному уравнению теплопроводности построили графики изменения температуры в стержне.

Также синтезировали интегральную передаточную функцию, в результате чего получили передаточную функцию, с помощью которой построили ЛАЧХ. Аппроксимируя полученную ЛАЧХ типовыми наклонами получили характеристику форсирующего звена, а так же нашли уравнение передаточной функции W(p).

При заданных граничных условиях g₁ и g₂ было смоделировано нагревание стержня в программе Elcut, получена цветовая шкала и график температуры.

Во второй части работы по схеме гидравлической системы нашли основные параметры трубопровода гидросистемы, произвели расчет статической и динамической модели.

распределённый сигнал интегральная передаточная

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. -224с.

2 Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами // Школа академика Власова: Сб. метод, тр - М.: Буркин, 1998. -128с.

3 Бесекерский В.А., Попов Н.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука. 1966. -992с.

4 Топчеев Ю.И Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. - М : Наука. 1989. -752с.

5 Чемоданов Б.К., Иванов В.А., Медведев B.C., Юшенко А.С. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 - М.: Высшая школа, 1977. -366с.

Размещено на Allbest.ru

...