Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО

"Московский государственный машиностроительный университет"

Чебоксарский политехнический институт (филиал)

Кафедра высшей и прикладной математики

Курсовая работа

по дисциплине: "Математическая логика и теория алгоритмов"

на тему: "Реализация универсальной машины Тьюринга"

Выполнил: студент 2 курса (в/в)

специальности 230100 заочного отделения

Майоров Александр Геннадьевич

Проверила: ст. преподаватель Павлова Н.А.

Чебоксары - 2013

Оглавление

Введение

1. Описание машины Тьюринга

1.1 Свойства машины Тьюринга как алгоритма

2. Сложность алгоритмов

2.1 Сложность проблем

3. Машина Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы

4. Реализация машины Тьюринга

5. Практическая часть

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Машина Тьюринга - это очень простое вычислительное устройство. Она состоит из ленты бесконечной длины, разделенной на ячейки, и головки, которая перемещается вдоль ленты и способна читать и записывать символы. Также у машины Тьюринга есть такая характеристика, как состояние, которое может выражаться целым числом от нуля до некоторой максимальной величины. В зависимости от состояния машина Тьюринга может выполнить одно из трех действий: записать символ в ячейку, передвинуться на одну ячейку вправо или влево и установить внутреннее состояние.

Устройство машины Тьюринга чрезвычайно просто, однако на ней можно выполнить практически любую программу. Для выполнения всех этих действий предусмотрена специальная таблица правил, в которой прописано, что нужно делать при различных комбинациях текущих состояний и символов, прочитанных с ленты.

В 1937 г. Алан Тьюринг расширил определение, описав "универсальную машину Тьюринга". Позже для решения определенных классов задач была введена ее разновидность, которая позволяла выполнять не одну задачу, а несколько.

Целью данной работы было дать описание реализации машины Тьюринга и выполнить соответствующую практическую часть работы.

1. Описание машины Тьюринга

Алан Тьюринг (Turing) в 1936 году опубликовал в трудах Лондонского математического общества статью "О вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения", которая наравне с работами Поста и Черча лежит в основе современной теории алгоритмов.

Предыстория создания этой работы связана с формулировкой Давидом Гильбертом на Международном математическом конгрессе в Париже в 1900 году неразрешенных математических проблем. Одной из них была задача доказательства непротиворечивости системы аксиом обычной арифметики, которую Гильберт в дальнейшем уточнил как "проблему разрешимости" - нахождение общего метода, для определения выполнимости данного высказывания на языке формальной логики.

Статья Тьюринга как раз и давала ответ на эту проблему - вторая проблема Гильберта оказалась неразрешимой. Но значение статьи Тьюринга выходило далеко за рамки той задачи, по поводу которой она была написана.

Приведем характеристику этой работы, принадлежащую Джону Хопкрофту: "Работая над проблемой Гильберта, Тьюрингу пришлось дать четкое определение самого понятия метода. Отталкиваясь от интуитивного представления о методе как о некоем алгоритме, т.е. процедуре, которая может быть выполнена механически, без творческого вмешательства, он показал, как эту идею можно воплотить в виде подробной модели вычислительного процесса. Полученная модель вычислений, в которой каждый алгоритм разбивался на последовательность простых, элементарных шагов, и была логической конструкцией, названной впоследствии машиной Тьюринга".

Машина Тьюринга является расширением модели конечного автомата, расширением, включающим потенциально бесконечную память с возможностью перехода (движения) от обозреваемой в данный момент ячейки к ее левому или правому соседу.

Формально машина Тьюринга может быть описана следующим образом. Пусть заданы:

конечное множество состояний - Q, в которых может находиться машина Тьюринга;

конечное множество символов ленты - Г;

функция д (функция переходов или программа), которая задается отображением пары из декартова произведения Q x Г (машина находится в состоянии qi и обозревает символ i) в тройку декартова произведения Q х Г х {L,R} (машина переходит в состояние qi, заменяет символ i на символ j и передвигается влево или вправо на один символ ленты) - Q x Г-->Q х Г х {L,R}; один символ из Г-->е (пустой); подмножество У є Г - -> определяется как подмножество входных символов ленты, причем е є (Г - У); одно из состояний - q0 є Q является начальным состоянием машины.

Решаемая проблема задается путем записи конечного количества символов из множества У є Г - Si є У на ленту: eS1S2S3S4......... Sne.

после чего машина переводится в начальное состояние и головка устанавливается у самого левого непустого символа (q0,w) -, после чего в соответствии с указанной функцией переходов (qi,Si) - ->(qj,Sk, L или R) машина начинает заменять обозреваемые символы, передвигать головку вправо или влево и переходить в другие состояния, предписанные функций переходов.

Остановка машины происходит в том случае, если для пары (qi,Si) функция перехода не определена.

Алан Тьюринг высказал предположение, что любой алгоритм в интуитивном смысле этого слова может быть представлен эквивалентной машиной Тьюринга. Это предположение известно, как тезис Черча-Тьюринга. Каждый компьютер может моделировать машину Тьюринга (операции перезаписи ячеек, сравнения и перехода к другой соседней ячейке с учетом изменения состояния машины). Следовательно, он может моделировать алгоритмы в любом формализме, и из этого тезиса следует, что все компьютеры (независимо от мощности, архитектуры и т.д.) эквивалентны с точки зрения принципиальной возможности решения алгоритмических задач.

1.1 Свойства машины Тьюринга как алгоритма

На примере машины Тьюринга хорошо прослеживаются свойства алгоритмов. Попросите учащихся показать, что машина Тьюринга обладает всеми свойствами алгоритма.

Дискретность. Машина Тьюринга может перейти к (к + 1) - му шагу только после выполнения каждого шага, т.к. именно каждый шаг определяет, каким будет (к + 1) - й шаг.

Понятность. На каждом шаге в ячейку пишется символ из алфавита, автомат делает одно движение (Л, П, Н), и машина Тьюринга переходит в одно из описанных состояний.

Детерминированность. В каждой клетке таблицы машины Тьюринга записан лишь один вариант действия. На каждом шаге результат определен однозначно, следовательно, последовательность шагов решения задачи определена однозначно, т.е. если машине Тьюринга на вход подают одно и то же входное слово, то выходное слово каждый раз будет одним и тем же.

Результативность. Содержательно результаты каждого шага и всей последовательности шагов определены однозначно, следовательно, правильно написанная машина Тьюринга за конечное число шагов перейдет в состояние q0, т.е. за конечное число шагов будет получен ответ на вопрос задачи.

Массовость. Каждая машина Тьюринга определена над всеми допустимыми словами из алфавита, в этом и состоит свойство массовости. Каждая машина Тьюринга предназначена для решения одного класса задач, т.е. для каждой задачи пишется своя (новая) машина Тьюринга.

2. Сложность алгоритмов

Сложность алгоритма определяется вычислительными мощностями, необходимыми для его выполнения. Вычислительная сложность алгоритма часто измеряется двумя параметрами: Т (временная сложность) и S (пространственная сложность, или требования к памяти). И Т, и S обычно представляются в виде функций от n, где n - это размер входных данных. (Существую и другие способы измерения сложности: количество случайных бит, ширина канала связи, объем данных и т.п.).

Обычно вычислительная сложность алгоритма выражается с помощью нотации "О большого", т. е описывается порядком величины вычислительной сложности. Это просто член разложения функции сложности, быстрее всего растущий с ростом n, все члены низшего порядка игнорируются. Например, если временная сложность данного алгоритма равна 4n2+7n+12, то вычислительная сложность порядка n2, записываемая как О(n2).

Временная сложность измеренная таким образом не зависит от реализации. Не нужно знать ни точное время выполнения различных инструкций, ни число битов, используемых для представления различных переменных, ни даже скорость процессора. Один компьютер может быть на 50 процентов быстрее другого, а у третьего шина данных может быть в два раза шире, но сложность алгоритма, оцененная по прядку величины, не изменится. Это не жульничество, при работе с алгоритмами настолько сложными, как описанные в этой книге, всем прочим можно пренебречь (с точностью до постоянного множителя) в сравнении со сложностью по порядку величины.

Эта нотация позволяет увидеть, как объем входных данных влияет на требования к времени и объему памяти. Например, если Т= О(n), то удвоение входных данных удвоит и время выполнения алгоритма. Если Т=О(2n), то добавление одного бита к входным данным удвоит время выполнения алгоритма.

Обычно алгоритмы классифицируются в соответствии с их временной или пространственной сложностью. Алгоритм называют постоянным, если его сложность не зависит от n: 0(1). Алгоритм является линейным, если его временная сложность О(n). Алгоритмы могут быть квадратичными, кубическими и т.д. Все эти алгоритмы - полиноминальны, их сложность - О(m), где m - константа. Алгоритмы с полиномиальной временной сложностью называются алгоритмами с полиномиальным временем

Алгоритмы, сложность которых равна О(tf(n)), где t - константа, большая, чем 1, a f(n) - некоторая полиномиальная функция от n, называются экспоненциальными. Подмножество экспоненциальных алгоритмов, сложность которых равна О(сf(n)), где с - константа, a f(n) возрастает быстрее, чем постоянная, но медленнее, чем линейная функция, называется суперполиноминальным.

В идеале, криптограф хотел бы утверждать, что алгоритм, лучший для взлома спроектированного алгоритма шифрования, обладает экспоненциальной временной сложностью. На практике, самые сильные утверждения, которые могут быть сделаны при текущем состоянии теории вычислительной сложности, имеют форму "все известные алгоритмы вскрытия данной криптосистемы обладают суперполиномиальной временной сложностью". То есть, известные нам алгоритмы вскрытия обладают суперполиномиальной временной сложностью, но пока невозможно доказать, что не может быть открыт алгоритм вскрытия с полиномиальной временной сложностью. Развитие теории вычислительной сложности возможно когда-нибудь позволит создать алгоритмы, для которых существование алгоритмов с полиномиальным временем вскрытия может быть исключено с математической точностью.

С ростом n временная сложность алгоритмов может стать настолько огромной, что это повлияет на практическую реализуемость алгоритма.

При условии, что единицей времени для нашего компьютера является микросекунда, компьютер может выполнить постоянный алгоритм за микросекунду, линейный - за секунду, а квадратичный - за 11.6 дня. Выполнение кубического алгоритма потребует 32 тысяч лет, что в принципе реализуемо, компьютер, конструкция которого позволила бы ему противостоять следующему ледниковому периоду, в конце концов получил бы решение. Выполнение экспоненциального алгоритма тщетно, независимо от экстраполяции роста мощи компьютеров, параллельной обработки или контактов с инопланетным суперразумом.

Взглянем на проблему вскрытия алгоритма шифрования грубой силой. Временная сложность такого вскрытия пропорциональна количеству возможных ключей, которое экспоненциально зависит от длины ключа. Если n - длина ключа, то сложность вскрытия грубой силой равна 0(2n). Сложность вскрытия грубой силой при 56-битовом ключе составляет 256, а при 112-битовом ключе - 2112. В первом случае вскрытие возможно, а во втором - нет.

2.1 Сложность проблем

Теория сложности также классифицирует и сложность самих проблем, а не только сложность конкретных алгоритмов решения проблемы. Теория рассматривает минимальное время и объем памяти, необходимые для решения самого трудного варианта проблемы на теоретическом компьютере, известном как машина Тьюринга. Машина Тьюринга представляет собой конечный автомат с бесконечной лентой памяти для чтения записи и является реалистичной моделью вычислений.

Проблемы, которые можно решить с помощью алгоритмов с полиномиальным временем, называются решаемыми, потому что для разумных входных данных обычно могут быть решены за разумное время. (Точное определение "разумности" зависит от конкретных обстоятельств) Проблемы, которые невозможно решить за полиномиальное время, называются нерешаемыми, потому что вычисление их решений быстро становится невозможным. Нерешаемые проблемы иногда называют трудными. Проблемы, которые могут быть решены только с помощью суперполиномиальных алгоритмов, вычислительно нерешаемы, даже при относительно малых значениях n.

Что еще хуже, Алан Тьюринг доказал, что некоторые проблемы принципиально неразрешимы. Даже отвлекаясь от временной сложности алгоритма, невозможно создать алгоритм решения этих проблем.

Задачи можно разбить на классы в соответствии со сложностью их решения. Вот важнейшие из них и предполагаемые соотношения между ними: P<=NP<=EXPTIME

Находящийся слева класс P включает все задачи, которые можно решить за полиномиальное время. В класс NP входят все задачи, которые можно решить за полиномиальное время только на недетерминированной машине Тьюринга (это вариант обычной машины Тьюринга, которая может делать предположения). Такая машина предполагает решение задачи - либо "удачно угадывая", либо перебирая все предположения параллельно - и проверяет свое предположение за полиномиальное время.

Класс NP включает в себя класс P, поскольку любую задачу, решаемую за полиномиальное время на детерминированной (обычной) машине Тьюринга, можно решить и на недетерминированной за полиномиальное время, просто этап предположения опускается.

Если все задачи класса NP решаются за полиномиальное время и на детерминированной машине, то P=NP. Тем не менее, никем не доказано, что P<>NP (или P=NP). Однако, большинство специалистов, занимающихся теорией сложности, убеждены, что это классы неравны.

Как ни странно, можно доказать, что некоторые NP-задачи настолько же трудны, что и любая задача этого класса. Такие задачи называются NP-полными. То есть, если такая задача решается за полиномиальное время, то P=NP.

Таким образом, для программиста NP-полнота означает полный перебор, причем сложность этого перебора будет экспоненциальной или факториальной. Но следует понимать, что не всякий полный перебор имеет такую сложность. Например, если решать задачи из предыдущего выпуска полным перебором, то сложность полученных алгоритмов будет полиномиальной - O(n2) для задачи про подпоследовательности и O(n6) для задачи про подматрицы.

Наконец, существует класс задач EXPTIME. Эти задачи решаются за экспоненциальное время. В настоящее время можно доказать, что EXPTIME-полные задачи невозможно решить за детерминированное полиномиальное время. Кроме того, доказано, что P<>EXPTIME.

3. Машина Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы

За время своего существования человечество придумало множество алгоритмов для решения разнообразных практических и научных проблем. Зададимся вопросом - а существуют ли какие-нибудь проблемы, для которых невозможно придумать алгоритмы их решения?

Утверждение о существовании алгоритмически неразрешимых проблем является весьма сильным - мы констатируем, что мы не только сейчас не знаем соответствующего алгоритма, но мы не можем принципиально никогда его найти.

Успехи математики к концу XIX века привели к формированию мнения, которое выразил Д. Гильберт - "в математике не может быть неразрешимых проблем", в связи с этим формулировка проблем Гильбертом на конгрессе 1900 года в Париже была руководством к действию, констатацией отсутствия решений в данный момент.

Первой фундаментальной теоретической работой, связанной с доказательством алгоритмической неразрешимости, была работа Курта Геделя - его известная теорема о неполноте символических логик. Это была строго формулированная математическая проблема, для которой не существует решающего ее алгоритма. Усилиями различных исследователей список алгоритмически неразрешимых проблем был значительно расширен. Сегодня принято при доказательстве алгоритмической неразрешимости некоторой задачи сводить ее к ставшей классической задаче - "задаче останова".

Имеет место быть следующая теорема: не существует алгоритма (машины Тьюринга), позволяющего по описанию произвольного алгоритма и его исходных данных (и алгоритм и данные заданы символами на ленте машины Тьюринга) определить, останавливается ли этот алгоритм на этих данных или работает бесконечно.

Таким образом, фундаментально алгоритмическая неразрешимость связана с бесконечностью выполняемых алгоритмом действий, т.е. невозможностью предсказать, что для любых исходных данных решение будет получено за конечное количество шагов.

Тем не менее, можно попытаться сформулировать причины, ведущие к алгоритмической неразрешимости, эти причины достаточно условны, так как все они сводимы к проблеме останова, однако такой подход позволяет более глубоко понять природу алгоритмической неразрешимости:

а) Отсутствие общего метода решения задачи.

Проблема 1: Распределение девяток в записи числа.

Определим функцию f(n) = i, где n - количество девяток подряд в десятичной записи числа, а i - номер самой левой девятки из n девяток подряд: =3,141592… f(1) = 5.

Задача состоит в вычислении функции f(n) для произвольно заданного n.

Поскольку число является иррациональным и трансцендентным, то мы не знаем никакой информации о распределении девяток (равно как и любых других цифр) в десятичной записи числа. Вычисление f(n) связано с вычислением последующих цифр в разложении, до тех пор, пока мы не обнаружим n девяток подряд, однако у нас нет общего метода вычисления f(n), поэтому для некоторых n вычисления могут продолжаться бесконечно - мы даже не знаем в принципе (по природе числа) существует ли решение для всех n.

Проблема 2: Вычисление совершенных чисел.

Совершенные числа - это числа, которые равны сумме своих делителей, например: 28 = 1+2+4+7+14.

Определим функцию S(n) = n-ое по счёту совершенное число и поставим задачу вычисления S(n) по произвольно заданному n. Нет общего метода вычисления совершенных чисел, мы даже не знаем, множество совершенных чисел конечно или счетно, поэтому наш алгоритм должен перебирать все числа подряд, проверяя их на совершенность. Отсутствие общего метода решения не позволяет ответить на вопрос о останове алгоритма. Если мы проверили М чисел при поиске n-ого совершенного числа - означает ли это, что его вообще не существует?

Проблема 3: Десятая проблема Гильберта.

Пусть задан многочлен n-ой степени с целыми коэффициентами - P, существует ли алгоритм, который определяет, имеет ли уравнение P=0 решение в целых числах?

Ю.В. Матиясевич показал, что такого алгоритма не существует, т.е. отсутствует общий метод определения целых корней уравнения P=0 по его целочисленным коэффициентам.

б) Информационная неопределенность задачи.

Проблема 4: Позиционирование машины Поста на последний помеченный ящик.

Пусть на ленте машины Поста заданы наборы помеченных ящиков (кортежи) произвольной длины с произвольными расстояниями между кортежами и головка находится у самого левого помеченного ящика. Задача состоит установке головки на самый правый помеченный ящик последнего кортежа.

Попытка построения алгоритма, решающего эту задачу приводит к необходимости ответа на вопрос - когда после обнаружения конца кортежа мы сдвинулись вправо по пустым ящикам на М позиций и не обнаружили начало следующего кортежа - больше на ленте кортежей нет или они есть где-то правее? Информационная неопределенность задачи состоит в отсутствии информации либо о количестве кортежей на ленте, либо о максимальном расстоянии между кортежами - при наличии такой информации (при разрешении информационной неопределенности) задача становится алгоритмически разрешимой.

в) Логическая неразрешимость (в смысле теоремы Геделя о неполноте).

Проблема 5: Проблема "останова" (см. теорема).

Проблема 6: Проблема эквивалентности алгоритмов.

По двум произвольным заданным алгоритмам (например, по двум машинам Тьюринга) определить, будут ли они выдавать одинаковые выходные результаты на любых исходных данных.

Проблема 7: Проблема тотальности.

По произвольному заданному алгоритму определить, будет ли он останавливаться на всех возможных наборах исходных данных. Другая формулировка этой задачи - является ли частичный алгоритм Р всюду определённым?

4. Реализация машины Тьюринга

Входные параметры и условия:

Дана строка "11111111", требуется определить количество единиц и если оно четное, то добавить к началу строки "i", в случае если количество нечетное, добавить "l"

Команды для выполнения задачи:

0101r

0@1@l

1121l

2111l

2@fls

1@fis.

Программа считывает данные условия из файла, потом заполняет массив с командами. После чего машина встает на начало ленты и согласно командам выполняет действия над ней.

Условно программа состоит из двух частей: первая часть считывает данные из файла и заносит команды в массив, а вторая часть программы выполняет действия над исходной строкой.

Т.е. сама программа не может выполнять действий с лентой, она это делает на основании команд, хранящихся в файле.

После выполнения каждой команды машина либо сдвигается влево, либо вправо, либо остается в текущем положении и переходит к выполнению следующей команды. И так до тех пор пока не получит выходной сигнал "f". После этого машина прекращает свою работу и выводит результат на экран.

Результат работы машины представлен на рисунке 1.



Рисунок 1. Результат работы машины Тьюринга

5. Практическая часть

1 задание. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний.

Решение: Из первых двух высказываний делаем вывод, что или и или наоборот, по третьему высказыванию становится ясно, что и , значит ответ 1.

2 задание. Существует ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно выполнялись для них следующие условия:

Решение: Из первого условия, по определению дизъюнкции, следует, что и . Из второго условия, по определению дизъюнкции следует, что . По определению импликации , и , что противоречит третьему условию (0 0 1). Значит трех высказываний A, B и С, удовлетворяющих данным условиям не существует.

3 задание. Докажите, что справедливы следующие логические следования, руководствуясь определением этого понятия:

.

P	Q	R
0	0	0	1	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	1	0	0	1	1
1	1	1	1	1	0	0	1	1

Из составленной таблицы истинности делаем вывод, что формула:

является логическим следованием формулы

,

так как вторая формула обращается в истинное высказывание на всех наборах значений переменных, для которых в истинное высказывание обращается первая формула.

4 задание. Приведите равносильными преобразованиями каждую из следующих формул к совершенно дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ) и совершенно конъюнктивной нормальной форме (СКНФ):

Решение:

СДНФ

СКНФ

.

5 задание. Изобразите на координатной плоскости множества истинности следующих двухместных предикатов, заданных на множестве действительных чисел R.

;

Решение: множества истинности данного предиката на множестве R на координатной плоскости будет выглядеть следующим образом.

Рисунок a

6 задание. Изобразите на координатной прямой или на координатной плоскости множества истинности следующих предикатов .

Решение: множества истинности данных предикатов все точки плоскости, кроме точек первой четверти включая полуось Ox+, исключая полуось Oy+. машина тьюринг алгоритм вычислительная

7 задание. Выясните, равносильны ли следующие предикаты, если их рассматривать над множеством действительных чисел R, над множеством рациональных чисел Q, над множеством целых чисел Z и над множеством натуральных чисел N: .

Решение: Данные предикаты равносильны на всех множествах, на множестве натуральных чисел принимают значения [0,2), на всех остальных множествах (-?, 2).

8 задание. Определите, является ли один из следующих предикатов, заданных на множестве действительных чисел, следствием другого:

.

Решение. Первый предикат превращается в истинное высказывание при х=0, второе высказывание тоже превращается в истинное высказывание при х = 0. Следовательно, первый предикат является следствием второго, а второй предикат - следствием первого.

9 задание. Дана машина Тьюринга с внешним алфавитом А={ a_0, 1 }, алфавитом внутренних состояний Q={q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6, q₇} и со следующей(программой) функциональной схемой.

Q A	q1	q2	q3	q4	q5	q6	q7
a0	q4 a0П	q6a0П	q6a0П	q01	q4a0 П	q0a0	q6a0П
1	q21Л	q31Л	q11Л	q5 a0	q5a0	q7a0	q7a0

Изображая на каждом такте работы машины получающуюся конфигурацию, определите, в какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов, исходя из начального стандартного положения:

6) 1111.

Решение:

						q1
			1	1	1	1

					q2
			1	1	1	1

				q3
			1	1	1	1

			q1
			1	1	1	1

		q2
		a0	1	1	1	1

			q6
		a0	1	1	1	1

			q7
		a0	a0	1	1	1

				q6
		a0	a0	1	1	1

				q7
		a0	a0	a0	1	1

					q6
		a0	a0	a0	1	1

					q7
		a0	a0	a0	a0	1

						q6
		a0	a0	a0	a0	1

						q7
		a0	a0	a0	a0	a0

							q6
		a0	a0	a0	a0	a0	a0

10 задание. Машина Тьюринга задается следующей функциональной схемой

Q/ А	q1	q2	q3
a0		q31П	q1a0Л
1	q2a0Л	q21Л	q31П
*	q0a0	q2*Л	q3*П

Определите, в какое слово перерабатывает машина каждое из следующих слов, исходя из начального стандартного положения. После этого постарайтесь усмотреть общую закономерность в работе машины: 1*111.

Решение:

1*1111*11q₁11*1q₂1a₀1*q₂11a₀1q₂*11a₀q₂1*11a₀q₂a₀1*11a₀1q₃1*11a₀11q₃*11a₀11*q₃11a₀11*1q₃1a₀11*11q₃a₀11*1q₁1a₀11*q₂1a₀a₀11q₂*1a₀a₀1q₂1*1a₀a₀q₂11*1a₀a₀q₂a₀11*1a₀a₀1q₃11*1a₀a₀11q₃1*1a₀a₀111q₃*1a₀a₀111*q₃1a₀a₀111*1q₃a₀a₀111*q₁1a₀a₀111q₂*a₀a₀a₀11q₂1*a₀a₀a₀1q₂11*a₀a₀a₀q₂111*a₀a₀a₀q₂a₀111*a₀a₀a₀1q₃111* a₀a₀a₀11q₃11* a₀a₀a₀111q₃1* a₀a₀a₀ 1111q₃*a₀a₀a₀1111*q₃ a₀a₀a₀1111q₁* a₀a₀a₀1111q₀ a₀a₀a₀a₀1111.

Закономерность работы машины заключается в том, что данное нам слово было переработано в слово, состоящее из такого количества единиц, записанных подряд, сколько их было в исходном слове по обе стороны от звездочки. Таким образом, машина фактически, производит сложение единиц, путем переноса самой правой единицы в левый конец слова.

Заключение

Теория сложности также классифицирует и сложность самих проблем, а не только сложность конкретных алгоритмов решения проблемы. Теория рассматривает минимальное время и объем памяти, необходимые для решения самого трудного варианта проблемы на теоретическом компьютере, известном как машина Тьюринга. Машина Тьюринга представляет собой конечный автомат с бесконечной лентой памяти для чтения записи и является реалистичной моделью вычислений.

Задачи можно разбить на классы в соответствии со сложностью их решения. Вот важнейшие из них и предполагаемые соотношения между ними: P<=NP<=EXPTIME

Находящийся слева класс P включает все задачи, которые можно решить за полиномиальное время. В класс NP входят все задачи, которые можно решить за полиномиальное время только на недетерминированной машине Тьюринга (это вариант обычной машины Тьюринга, которая может делать предположения). Такая машина предполагает решение задачи - либо "удачно угадывая", либо перебирая все предположения параллельно - и проверяет свое предположение за полиномиальное время.

Класс NP включает в себя класс P, поскольку любую задачу, решаемую за полиномиальное время на детерминированной (обычной) машине Тьюринга, можно решить и на недетерминированной за полиномиальное время, просто этап предположения опускается.

Если все задачи класса NP решаются за полиномиальное время и на детерминированной машине, то P=NP. Тем не менее, никем не доказано, что P<>NP (или P=NP). Однако, большинство специалистов, занимающихся теорией сложности, убеждены, что это классы неравны.

Список использованной литературы

1. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов. - Омск: Издательство Наследие. Диалог-Сибирь, 2003. - 108 с.

2. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов / В.И. Игошин. - 3-е изд., стер. - М.: Издательский центр "Академия", 2007. - 304 с.

3. Лавров И.А. Математическая логика: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И.А. Лавров; под ред. Л.Л. Максимовой. - М.: Издательский центр "Академия", 2006. - 240 с.

4. Михайлов А.Б., Рыжова Н.И., Швецкий М.В. Упражнения по основам математической логики. Формальные системы первого порядка. Учебное пособие для студентов математического факультета - Санкт-Петербург: РГПУ. 1997. - 127 с.

5. Рощин А.Г., Половов Р.М. Теория автоматов. Часть I. Тексты лекций - Москва: МГТУ ГА, 2001. - 76 с.

6. Фалина Н.М. Машина Тьюринга // Информатика. - №26. - 2005. - с. 12-15.

7. Фалевич Б.Я. Теория алгоритмов. - М.: ИНФРА-М, 2006. - с. 324.

Размещено на Allbest.ru

...