Асимптотические методы решения интегралов

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Многочисленные задачи математики, математической физики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида:

при больших значениях параметра

Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны, при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ. Единственное, что остается - это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты, что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

интеграл лаплас эрдейи асимптотика

1. Сущность метода Лапласа

Метод Лапласа применяется для получения асимптотического разложения интегралов вида:

где не зависят от положительного параметра , - это некоторая дважды - дифференцируемая функция на отрезке , - может принимать комплексные значения. Возникновение этого метода связано с именем Лапласа. Максимальное значение множителя достигается в точке , в которой имеет максимум. Если велико, то этот пик очень острый, и график подынтегрального выражения подсказывает, что преобладающая часть вклада в интеграл определяется окрестностью точки . Поэтому мы заменяем главными членами их в ряды по возрастающим степеням разности а затем, в зависимости от условий, мы расширяем пределы интегрирования до -? или +?. Получающийся интеграл вычисляется явно и дает искомое приближение.

Реализация идеи.

Сначала вспомним, как решается простейший случай. А именно, когда функция аналитична на отрезке ] и имеет максимум в какой-то внутренней его точке . При этом предположим, что никаких особенностей в точке не имеет и . В силу того, что , функция спадает вблизи максимума очень быстро и хорошо первым неисчезающим членом ряда Тейлора.

· Пусть . Тогда ; пусть для простоты .

Тогда:



где -малое фиксированное число, и:

Следовательно,

Заметим, что . Последний интеграл равен:

Так как:

Итак, мы получили асимптотическую формулу:

· Пусть теперь t₀ совпадает с одним из концов отрезка , например t₀=,

и пусть для простоты Заменяя F() интегралом по отрезку и заменяя приближенно на этом отрезке функции:

получаем, что:

Заметим, что . Вычисляя последний интеграл, получаем:

Формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.

2. Обоснование метода Лапласа. Основные утверждения Лемма Ватсона

Рассмотрим интеграл Лапласа, в котором - степенная функция:

где . Так как в окрестности точки максимума функцию можно приближенно заменить степенной функцией, то вычисление асимптотики интегралов Лапласа сводится к вычислению эталонных интегралов.

Получим асимптотические оценки для при, где сектор в комплексной плоскости .

>0 может быть выбрано сколь угодно малым, не зависящим от .

Нам понадобится формула:

где . Для функции выбрана главная ветвь:

Если >0, то с помощью замены переменной интеграл приводится к Г-функции Лемма (Ватсона): Пусть , Тогда при >?, , справедливо асимптотическое разложение:

разложение можно дифференцировать по любое число раз.

- класс непрерывно дифференциремых на функций.

Если функция непрерывна при и , то при , справедлива асимптотическая формула.

Основная теорема.

Будем считать, что значение "" конечно; полагаем, что максимум функции достигается в точке ; в других случаях область интегрирования можно разбить на части точками минимума и максимума функции и, если это необходимо, изменить знак . Пусть "" конечно или бесконечно действительная, а может быть функцией. Кроме того, пусть выполнены следующие условия:

1. при и для каждого то есть достигает минимума лишь в точке

2. непрерывны в окрестности точки , исключая саму точку.

3. При будет и первое из этих соотношений допускает дифференцирование. Здесь положительные постоянные, а - действительная или комплексная постоянная.

4. Интеграл:

абсолютно сходится во всей области интегрирования при достаточно больших .

Если выполнены условия 1-4 ,то:

Доказательство.

1. Из условий 2 и 3 следует, что найдется такое число достаточно близкое к что в интервале функция непрерывна и положительна, а непрерывна. Так как возрастает в то можно в качестве новой переменной интегрирования на этом интервале взять величину:



Тогда - непрерывные функции и:

где:

Очевидно, что значение конечно и положительно, а непрерывна при

Далее согласно свойству 3 при мы имеем:

следовательно,

Отсюда:

Используя соотношение перепишем интеграл в виде:



Первый член справа уже даёт искомую асимптотику. В самом деле, осуществляя в этом интеграле замену:

,

получим:

Отсюда и получим результат.

Теорема 1.

Пусть:

- конечный отрезок и выполнены условия 1. , 2. достигается только в точке , , 3. при , близких к , и .

Тогда при справедливо асимптотическое разложение:



Главный член асимптотики имеет вид:

Теорема. Пусть все условия теоремы 1 выполнены, за исключением одного:, тогда при ,

Главный член асимптотики имеет вид

3. Приложение метода Лапласа к решению задач

Пример №1.

Найдём асимптотику при интеграла:

приведём интеграл к стандартному виду:

здесь , точкой максимума функции будет точка .

Воспользуемся формулой. Получим:

Пример №2.

Найдём асимптотику при >? интеграла:

Этот интеграл имеет вид, где:

Максимум достигается при , а функция:

обращается в нуль при вместе со всеми производными, и применение формулы не даст нам точной оценки. Чтобы получить более точную оценку, заметим, что функция достигает максимума при:

.

Сделаем замену переменной:

,

Тогда:

Функция:

достигает максимума при , причём . Применяя формулу, получаем:

Пример №3.

Найдём асимптотику при >? интеграла:

приведём интеграл к стандартному виду:

здесь . Функция достигает максимума при , причем и асимптотика вычисляется по формуле. Получим:

Пример №4.

Получим асимптотическое разложение интеграла при >? :

Воспользуемся Теоремой Эрдейи:

Получим:

Пример №5.

Найдём асимптотику при >? интеграла:

Воспользуемся теоремой Эрдейи:

Получим:

Пример №6.

Найдём асимптотику при >? интеграла:

Воспользуемся Теоремой Эрдейи:

Получим:

4. Программа и реализация программы

function f=laplas (lamda);

disp ('введите верхний предел интегрирования - a');

a=input ('a=');

disp ('введите нижний предел интегрирования - b');

b=input ('b=');

disp ('введите параметр lamda');

lamda=input ('lamda=');

syms x;

g=1;

f=log(1-x^2);

f1=diff(f);

extr=solve(f1);

if size(extr)==1

r=diff(diff(f));

q=double(subs(r,extr));

I=sqrt(-2 * pi / (lamda*q)) * double(subs(g,extr)) * exp (lamda * double (subs (f,extr)));

f=I;

end;

if length(extr)>1

for i=1:size(extr)

c(i)=double(subs(f,extr(i)));

end;

[y,l]=max(c(i));

k=l;

r=diff(diff(f));

q=double(subs(r,extr(k)));

I=sqrt(-2 * pi/(lamda*q)) * double(subs(g,extr(k))) * exp (lamda*double (subs (f,extr(k))));

f=I;

end;

end

Вычислим некоторые из примеров по программе одним из вычислительных методов.

Для примера:

при значении параметра ??=100, на промежутке [1,100] был получен результат:

Такой же результат был получен по асимптотической формуле.

При значении параметра =1000 был получен результат:

Такой же результат был получен по асимптотической формуле.

Для примера:



при значении параметра =500 был получен результат:

По асимптотической формуле был получен результат 0.0560.

Заключение

В курсовой работе был рассмотрен вопрос вычисления интегралов методом Лапласа. Приведены теоретические сведения, решены ряд примеров и задач.

Рассмотрена программа вычисления.

Литература

1. Федорюк М.В. «Асимптотика: интегралы и ряды». М.: Наука, 1987.

2. Федорюк М.В. «Метод перевала». М.: Наука, 1977.

3. Копачевский Н.Д, Смолич В.П. «Введение в асимптотические методы». Семферополь, 2009.

Размещено на Allbest.ru

...