Исследование математической модели груза на жестком стержне с упругими растяжками с использованием системы "MathCad"

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

ГОМЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.О. СУХОГО

Кафедра: Информационные технологии

Курсовая работа

по дисциплине: Информатика

на тему: Исследование математической модели груза на жестком стержне с упругими растяжками с использованием системы "MathCаd"

Исполнитель:

В.И. Христинич

Руководитель:

Д.В. Прокопенко

Гомель, 2013 год



Содержание

Введение

1. Общая часть

1.1 Математические модели. Свойства, классификация

1.2 Численные методы при решении ДУ в MathCаd

1.3 Основные элементы в MathCаd

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание математической модели

2.3 Анализ исходных данных

2.4 Графическая схема алгоритма решения

3. Описание реализации задачи в MathCаd

3.1 Описание реализации базовой модели

3.2 Описание исследований

Выводы

Список использованных источников



Введение

Компьютерное моделирование является одним из наиболее мощных средств исследования, в частности, сложных динамических систем.

Современные программные пакеты, предназначенные для решения различных математических и технических задач, развиваются в направлении создания максимального удобства для пользователя при работе с достаточно сложными по внутреннему содержанию средствами. В современные пакеты включают наряду с большой библиотекой стандартных функций и методов также средства удобного представления исходных данных и результатов. Считается хорошим тоном иметь большой набор средств отображения результатов в графическом виде.

Это, в конечном счете, позволяет исследователю значительно больше времени уделить основному объекту исследования, упростить или свести к неким стандартным действиям работу по созданию отчета.

Эффективным является использование ЭВМ при выполнении проектных расчетов и при вычерчивании проектной документации. При этом уменьшается количество требуемых документов, упрощается их форма, ускоряется процесс размножения документов. В процессе проектирования снижается возможность появления субъективных ошибок, вызванных невнимательностью или утомлением конструктора.

При необходимости на ЭВМ можно несколько раз повторить расчеты или другие действия с целью проверки полученных результатов. В конечном счете все это должно приводить к уменьшению материальных затрат и снижению трудоемкости проектирования.

Одним из ярких представителей современных интегрированных математических пакетов, ориентированных на “непрограммирующих” пользователей, является пакет MATHCАD фирмы MathSoft. Система MATHCАD предоставляет мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач. Используя MATHCАD, преподаватели и студенты вузов имеют возможность подготовки наглядных решений как простых, так и довольно сложных задач в различных областях.

В данной курсовой работе необходимо исследовать математическую модель груза на жестком стержне с упругими растяжками с использованием системы MathCаd.



1. Общая часть

1.1 Математические модели. Свойства, классификация

Математическая моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Математическая модель - приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ.

Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследовании и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Удобство проведения исследований определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.

Любая модель - идеальная или материальная, используемая в научных целях, на производстве или в быту - несет информацию о свойствах и характеристиках исходного объекта, существенных для решаемой субъектом задачи. Модели - отражение знаний об окружающем мире.

Модель в общем смысле есть создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта - оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.

Свойства математических моделей.

Непосредственно из структуры принятого определения вытекают ряд общих свойств моделей, которые обычно принимаются во внимание в практике моделирования.

1. Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются:

- субъект;

- задача, решаемая субъектом;

- объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели.

Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.

2. Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.

3. Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.

4. Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.

5. Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.

6. Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т. е., по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук.

В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.

Свойства любой модели таковы:

- конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

- упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта;

- приблизительность: действительность отображается моделью грубо или приблизительно;

- адекватность: модель успешно описывает моделируемую систему;

- информативность: модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модели.

Классификация математических моделей. При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей. В этой связи различают математические модели элементов и систем. При переходе к более высокому иерархическому уровню блочного структурирования система низшего уровня становится элементом системы нового уровня, и наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится системой. Следовательно, на низших уровнях используют наиболее сложные математические модели.

На высших уровнях могут быть с успехом применены более простые модели. Их можно получить путем аппроксимации моделей низших иерархических уровней.

В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы - в механических системах. Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами).

Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью.

Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Классификация математических моделей, используемых при проектировании технических систем, приведена на рисунке.

Рисунок 1. - Классификация математических моделей:

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма последовательности вычислений.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров).

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п.

Среди алгоритмических, моделей выделяют имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих и объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей называются морфологическими переменными.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства и объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза.

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический черный ящик. Эксперименты при о том могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.

Если при моделировании учитываются инерционные свойства технического объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической. В противном случае модель статическая.

Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатыми, импульсными, гармоническими, кусочно-линейными, экспоненциальными и др.

Их называют тестовыми воздействиями.



1.2 Численные методы при решении ДУ в MathCаd

Все численные методы решения ДУ основаны на аппроксимации дифференциальных уравнений разностными аналогами. В зависимости от конкретной формы аппроксимации получаются алгоритмы различной точности и быстродействия.

В MathCаd использован наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ДУ за исключением жестких систем.

Поэтому в большинстве случаев стоит применять функцию «rkfixed». Если по различным причинам время расчетов становится критичным или точность неудовлетворительна, стоит попробовать вместо «rkfixed» другие функции, тем более, что сделать это очень просто благодаря одинаковому набору параметров. Для этого нужно только поменять имя функции в программе. Функция «Rkadapt» может быть полезна в случае, когда известно, что решение на рассматриваемом интервале меняется слабо либо существуют участки медленных и быстрых его изменений.

Метод Рунге-Кутты с переменным шагом разбивает интервал не на равномерные шаги, а более оптимальным способом. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений - частыми.

В результате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для «rkfixed». Метод Булирша-Штера Buistoer часто оказывается более эффективным для поиска гладких решений.

Для дальнейшего раскрытия данного вопроса необходимо более тщательно рассмотреть данные функции:

- «rkfixed» (y0, t0, t1, M, D) - метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом;

- «Rkadapt» (y0, t0, t1, M, D) - метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

- buistoer (y0, t0, t0, M, D) - метод Булирша-Штера.

Когда:

0 - вектор начальных значений в точке t0;

t0 - начальная точка расчета;

t1 - конечная точка расчета;

M - число шагов, на которых численный метод находит решение;

D - векторная функция двух аргументов - скалярного t и векторного у.

Рисунок 2. - Решение системы двух ДУ:

При этом у - искомая векторная функция аргумента t того же размера. Каждая из приведенных функций выдает решение в виде матрицы размера:

(M + 1) Ч (N + 1)

В ее левом столбце находятся значения аргумента t, делящие интервал на равномерные шаги, а в остальных N столбцах - значения искомых функций y0(t), y1(t), ..., yNi(t), рассчитанные для этих значений аргумента. Поскольку всего точек (помимо начальной) M, то строк в матрице решения будет всего М + 1. На рисунке приведен пример решения системы ДУ при помощи первой из функций «rkfixed». Результат расчетов представлен на рис. как содержимое матрицы. Чтобы использовать другой численный алгоритм, достаточно поменять имя функции «rkfixed» в последней строке рисунка на другое (на практике как раз более эффективны функции «Rkadapt» и Bulstoer).

Рисунок 3. - Результат, выдаваемый встроенной функцией в качестве решения системы ДУ:

Первая строка рисунка представляет задание параметров модели, вторая - начального условия задачи Коши, а в третьей строке рисунка определено число шагов, на которых рассчитывается решение. Самая важная - это предпоследняя строка, в которой, собственно, определяется система ДУ. Последняя строка присваивает матричной переменной и результат действия функции «rkfixed». Решение системы ДУ будет осуществлено на промежутке (0,40). Матрица, представляющая решение, показана на рис. Размер полученной матрицы будет равен:

(M + i) Ч (N + l) = 51 Ч 3

Просмотреть все компоненты матрицы и, которые не помещаются на экране, можно с помощью вертикальной полосы прокрутки. Для решения единственного уравнения (любого порядка) необходимо использовать вычислительный блок Given/Odesolve. Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ДУ:

- Radau (y0, t0, t1, M, F) - алгоритм RADAUS для жестких систем ДУ;

- stiffb (y0, t0, 1, M, F, J) - алгоритм Булирша-Штера для жестких систем ОДУ;

- stiffr (y0, t0, t1, M, F, J) - алгоритм Розенброка для жестких систем ОДУ, когда:

у0 - вектор начальных значений в точке to;

t0, t1 - начальная и конечная точки расчета;

M - число шагов численного метода;

F - векторная функция F(t, у) размера 1xN, задающая систему ОДУ;

J - матричная функция j(t,y) составленная из вектора производных функции F(t,y) no t (правый столбец) и ее якобиана (N левых столбцов). Пример решения жесткой системы показан на рисунке 4.

Рисунок 4. - Решение жесткого ДУ алгоритмом RADAUS:

Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

1.3 Основные элементы в MathCаd

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов.

Системы MathCаd традиционно занимают особое место среди множества таких систем (Eureka, Mercury, MatLAB, Mathematica 2 и 3, Maple V R3 и R4 и др.) и по праву могут называться самыми современными, универсальными и массовыми математическими системами. Они позволяют выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеют чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики.

Системы класса MathCаd предоставляют уже привычные, мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач.

Преподаватели и студенты вузов получили возможность подготовки с их помощью наглядных и красочных обучающих программ в виде электронных книг с действующими в реальном времени примерами. Новейшая система MathCаd 15 F000 настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работавшему со сложнейшими научными проблемами. Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных (аналитических) вычислений и преобразований.

Исключительно велика роль систем класса MathCаd в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики, делая его интересным и достаточно простым.

Палитры операторов и наборные панели в MathCаd.

Палитры операторов и наборные панели служат для ввода математических знаков, греческих букв, шаблонов матриц и графиков. Значки палитр собраны на единой панели, которая занимает третью строку окна MathCаd. Панель содержит значки палитр: арифметические операторы, операторы отношения, шаблоны графики, матричные операторы и шаблоны, операторы знаков высшей математики, операторы программ и греческие буквы.

В окне редактирования формируется документ. Документ объединяет описание математического алгоритма решения задачи с текстовыми комментариями и результатами вычислений, заданными в форме чисел, таблиц и графиков. Новый документ получает имя Untitled - безымянный и порядковый номер. Одновременно открыто может быть до 8-ми документов. Когда в системе загружено 8 документов, для загрузки очередного предварительно нужно удалить какой-нибудь документ.

Документ состоит из трех видов областей: формульных, текстовых и графических. Области просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз.

Работа с текстовыми областями.

Существует два вида текстовых областей - текстовый комментарий и текстовый параграф. Текстовый комментарий занимает часть документа, текстовый параграф занимает всю строку документа. Для работы с текстовыми областями служит пункт главного меню Text (Текст).

Для ввода текстового комментария нужно выполнить команду Создать текстовый комментарий из пункта меню Текст или нажать клавишу с двойной кавычкой (“), или нажать на кнопку текста на панели инструментов. Текстовый комментарий служит для размещения текста между формулами и графиками.

Для ввода текстового параграфа следует выбрать команду «Создать текстовый параграф» или нажать комбинацию клавиш Ctrl-T, или нажать на кнопку текстового параграфа на панели инструментов. Текстовый параграф занимает всю строку или строки документа и служит для размещения больших массивов текста. Для ввода формулы нужно установить курсор мыши в свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится визир в виде красного крестика. Он указывает место, с которого начинается набор формулы.

Определение переменных. Таблица вывода.

Переменные должны быть предварительно определены пользователем, т. е., им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак: «=», тогда как знак «=» отведен для вывода значения константы или переменной. Попытка использовать неопределенную переменную ведет к выводу сообщения об ошибке. Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора: «=», такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать.

MathCаd читает рабочий документ слева направо и сверху вниз, поэтому определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде правее и ниже равенства, в котором она определена. Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом операторов.

Любое выражение с ранжированными переменными после знака равенства (=) создает таблицу вывода. Свойства таблиц вывода:

- число строк в них не может быть больше 50 (большие таблицы придется составлять из нескольких малых);

- числа в таблицах можно задавать в требуемом формате с помощью операций задания формата чисел;

- при использовании в таблице единиц размерности все данные таблицы будут содержать единицы размерности.

В таблицы вывода можно и вставлять числовые значения, и корректировать их.

Функция пользователя вначале должна быть определена, а затем к ней может быть произведено обращение. Функция пользователя определяются следующим образом:



Задается имя функции, в скобках указывается список аргументов функции - это перечень используемых в выражении переменных, разделяемых запятыми. Затем записывается знак присваивания, справа от которого записывается выражение.

Выражение - любое выражение, содержащее доступные системе операторы и функции с операндами и аргументами, указанными в списке аргументов.

Аргументы, указанные в списке аргументов функций пользователя, являются локальными, поэтому они могут не определяться до задания функций. Фактически, их указание в списке параметров, и является заданием этих переменных. Определенные с применением знака: «=» функции являются заданными локально.

Поэтому они должны быть заданы в документе до того, как будут использованы. Определенные с применением знака: «=» функции являются заданными локально.

Операторы интеграла и производной.

Производные. Оператор производной предназначен для нахождения значения производной функции в заданной точке. Для этого нужно определить точку, в которой будет найдена производная, затем нажать клавишу «?» - появится знак дифференцирования. Знак дифференцирования высокого порядка вводится комбинацией «Ctrl-?».

В знаменателе набрать переменную, по которой проводится дифференцирование. В поле справа введите выражение, которое нужно дифференцировать.

Интегралы. Оператор интегрирования предназначен для численного нахождения определенного интеграла функции по некоторому интервалу. На свободном месте документа нажмите клавишу & - появится знак интеграла с полями ввода верхнего и нижнего пределов интегрирования, переменной интегрирования и подынтегральной функции. Для изменения точности интегрирования т. е., для увеличения (уменьшения) значащих цифр результата нужно изменить значение предопределенной переменной TOL. Интегрирование итерационный процесс, который прекращается, когда два последних значения итерации отличаются на величину меньшую, чем значение TOL.

Графики.

В MathCаd можно строить двумерные графики в декартовых и полярных координатах, трехмерные графики, картины линий уровня и др. Чтобы создать график, нужно установить визир в свободном месте документа, затем в пункте меню Graphics выбрать необходимый вид графика. Графические возможности рассмотрим на примере построения графика в декартовых координатах.

Выберите Create X-Y Plot из меню Графики или нажмите клавишу @ появится пустой график с шестью полями ввода. Поле в середине по горизонтальной оси предназначено для ввода аргумента. Поле в середине вертикальной оси должно содержать выражение, график которого нужно построить. Другие поля служат для установки границ.

Форматирование графика состоит в:

1) установках для осей координат;

2) установках границ на осях координат;

3) установке свойств графика;

4) оформлении графика и др.

Рассмотрим некоторые установки X-Yосей:

- Логарифмический масштаб. Отмеченная ось имеет логарифмический масштаб;

- Линии сетки. Устанавливается сетка на отмеченной оси;

- Автомасштаб. MathCаd устанавливает границу по предельному значению данных на данной оси. Если отметка снята, то можно установить граничное значение вручную;

- Нумерация. На помеченной оси устанавливается нумерация.

Свойства графиков. В одной области можно разместить до 16-ти различных графиков. Каждому из них можно задать 6 свойств:

- имя кривой;

- маркер которым отмечается каждая точка графика;

- линия, которой рисуется график;

- цвет, которым изображается график;

- тип графика (в виде кривой, столбчатой диаграммы, в виде точек и др.);

- толщина изображения графика.



2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

1. С использованием системы MathCаd рассчитать значение функций перемещения, скорости и ускорения динамической системы груза на жестком стержне. Построить графики этих функций;

2. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на амплитуду перемещения груза, для этого рассчитать функцию перемещения движения груза при различных значениях изменяемого параметра. Построить графики зависимости перемещения груза от времени;

3. Построить сводный график всех полученных функций перемещения на одном поле;

4. Построить график зависимости локального экстремума перемещения в зависимости от варьируемого параметра;

5. Вычислить аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований предыдущего пункта. Построить графически исходные и аппроксимирующие зависимости.

2.2 Описание математической модели

Данная модель представляет собой абсолютно жесткий стержень, на котором подвешен груз массой m.

Длина стержня равна 2l. К середине стержня прикреплены две упругие растяжки-пружины жесткостью с каждая. Груз помещен в сосуд, заполненный вязкой жидкостью.

В процессе малых свободных колебаний груза жидкость оказывает демпирующее влияние на систему.



Рисунок 5. - Динамическая система груза на жестком стержне с упругими растяжками:

Дифференциальное уравнение свободных колебаний груза запишем в виде:

Здесь:

n - коэффициент вязкого сопротивления;

p - частота собственных колебаний системы;

с - жесткость пружины.



2.3 Анализ исходных данных

Исходными данными для курсовой работы являются:

m - масса груза;

2l - длина стержня;

D - диаметр пружины;

d - диаметр проволоки пружины;

G - модуль упругости материала пружины;

i - число витков пружины;

б - коэффициент вязкого сопротивления.

Таблица 1. - Таблица исходных данных:

l (м)	D(мм)	d (мм)	i	m (кг)	Б	ц0	tк (с)	Варьируемый параметр	№варианта
0,18	20	2,2	5	20	73	0,1	1,5	б	3

G = 80 * 109 Па.

Таблица 2. - Таблица значений варьируемых параметров:

б	68	71	74	78	81	84	87	90	92

2.4 Графическая схема алгоритма решения

На данной графической схеме представлено краткое описание решения задачи в системе MathCаd. Графическую схему алгоритма решения задач начинаем с блока 1, где вводим исходные данные.

В блоке 2 записываем дифференциальное уравнение и последующее его решение. В блоке 3 строим графики перемещения, скорости и ускорения, зависящих от времени.

После проводим 9 опытов, в которых изменяем варьируемый параметр (б), для того, чтобы построить графики зависимости перемещения от времени. Строим свободный график всех полученных функций перемещения зависящих от времени. Далее производим построение графика зависимости локального экстремума от варьируемого параметра (б).

В итоге, строим график исходной и аппроксимирующей зависимости.

Графическая схема алгоритма решения приведена ниже.

Рисунок 6. - Общая графическая схема алгоритма решения:



3. Описание реализации задачи в MathCаd

3.1 Описание реализации базовой модели

Проводить исследование будем следующим образом. Для исходной системы с помощью системы MathCаd рассчитаем значения функций перемещения и скорости. Данный этап нужно проводить при произвольном задании начальных значений перемещения и скорости, которых примем равными 0.

Дифференциальное уравнение:

Искомая функция равна (t).

Решать уравнение будем с помощью функции «rkfixed» (0, 1.5, 1000, U). В результате получим матрицу у:

- первый столбец - время;

- второй столбец - перемещение;

- третий столбец - скорость.

Строим график перемещения и скорости.

Ускорение находим по формуле:

Проводим расчёт функции перемещения движения груза при различных значениях изменяемого параметра (б).

Нам задано по условию 9 значений варьируемого параметра, поэтому проводим 9 опытов.

По результатам опытов строим сводный график всех полученных функций перемещения на одном поле.

Составим из всех значений варьируемого параметра матрицу В. Затем находим значение экстремумов перемещения (минимумы), которых запишем в матрице А.

Далее строим график зависимости локального экстремума от б, т. е., график зависимости А от В.

Далее вычисляем аналитические аппроксимирующие функции по результатам исследований предыдущего пункта.

Заключительный этап наших исследований - это построение графика исходной и аппроксимирующей зависимости.

3.2 Описание исследований

Строим график зависимости перемещения от времени (у?2? от у?1?) и график зависимости скорости от времени (у?3? от у?1?).

Далее, опираясь на формулу, строим график зависимости ускорения от времени (а от у?1?).

Переходим к проведению опытов по исследованию. Опыт заключается в том, что используя начальные исходные данные, мы изменяем в каждом последующем опыте коэффициент вязкого сопротивления (б).

Решаем изменённую систему дифференциальных уравнений с помощью функции «rkfixed». После чего строим график зависимости перемещения от времени.

Определяем значение минимальной амплитуды колебания, с помощью функции min. Таким образом, проделываем 9 опытов.

В ходе работы были рассчитаны перемещения при различных значениях варьируемого параметра (б) и построены графики этих перемещений от времени.

Из этих опытов следует, что при увеличении коэффициента вязкого сопротивления (б) уменьшается амплитуда колебаний, что и приводит к затуханию колебаний груза в вязкой жидкости. Строим сводные графики перемещений от времени. Далее нужно построить график зависимости локального экстремума перемещения в зависимости от варьируемого параметра (б). Для этого составляем из всех значений варьируемого параметра матрицу. компьютерный арифметический программирование

Затем находим значение экстремумов перемещения (минимумы), которых запишем в матрице А. Далее строим график зависимости локального экстремума от б, т. е., график зависимости А от В.



Выводы

Были получены результаты, по которым можно судить о зависимости перемещения от времени, скорости от времени, ускорения от времени.

Также были построены графики, которые наглядно представляют зависимость амплитуды перемещения в зависимости от коэффициента вязкого сопротивления.

Чем больше коэффициент вязкого сопротивления, тем меньше амплитуда колебаний и, следовательно, затухание происходит быстрее.

Использование системе MathCаd позволяет снизить возможность появления субъективных ошибок. Так же позволит несколько раз повторить расчеты или другие действия.

С использованием системы MathCаd исследовали математическую модель груза на жестком стержне с упругими растяжками, который помещен в сосуд, заполненный вязкой жидкостью.

Таким образом можно сделать вывод о том, что использование такого способа исследований существенно уменьшает временные затраты на разработку каких-то новшеств для технических систем, а также снижение материальных затрат. Система MathCаd предоставляет мощные, удобные и наглядные средства описания алгоритмов решения математических задач. Программный продукт MathCаd имеет очень удобный интерфейс. Решение задач в данной системе уменьшает временные затраты - это является большим “плюсом” для учебного процесса студентов.

В результате были получены знания по математическим моделям и основам работы в MathCаd.



Список использованных источников

1. Майер Роберт Валерьевич Информатика: Основы компьютерного моделирования: Учебное пособие. - Глазов: ГГПИ, 2005. - 25 с.

2. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. пособие для студ. вуз. / Под ред. Е.К. Хеннер. - М.: Изд. центр Академия, 2001. - 816 c.

3. Дьяконов В.П. MathCаd 2001-М.: Ск Пресс, 2001 г. - 254 с.

4. Трохова Т.А., Основные приемы работы в системе MathCаd, версии 6.0: Практическое пособие. - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 1998. - 42 с.

5. Дьяконов В.П. Справочник по MathCаd PLUS 6.0 PRO. - М.: СК Пресс. 1997. - 336 с.

6. Харитонова В.И. Математические методы решений физических задач, - Мн.: 1991 г. - 336 с.

7. Гостко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991. - 256 с.

8. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. - Мн.:1997. - 354 с.

Размещено на Allbest.ru

...