Комп'ютерне моделювання задач вигину, коливань та стійкості елементів тонкостінних конструкцій

Размещено на http://allbest.ru

Національна академія наук України Інститут проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного

Комп'ютерне моделювання задач вигину, коливань

та стійкості елементів тонкостінних конструкцій

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Спеціальність: Математичне моделювання та обчислювальні методи

Комп'ютерне моделювання задач вигину, коливань та стійкості елементів тонкостінних конструкцій

Виконав: Шматко Олександр Віталійович

Харків 2001

Анотація

Шматко О.В. Комп'ютерне моделювання задач вигину, коливань і стійкості елементів тонкостінних конструкцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 01.05.02 - Математичне моделювання і обчислювальні методи - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2001.

Дисертацію присвячено комп'ютерному моделюванню задач теорії пластин і пологих оболонок в лінійній та геометрично нелінійній постановках. У роботі вперше, на базі R-функцій та варіаційно-структурного методу RFM, розроблено ефективний метод для комп'ютерного моделювання процесів коливання пологих оболонок довільної форми в плані. Побудовані та обгрунтовані нові структури розв'язання для оболонок, які мають розрізи (тріщини) на поверхні. Модифіковано та спеціалізовано метод R-функцій щодо геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок, що забезпечило створення ефективних засобів комп'ютерної реалізації цього класу задач. Вперше, для задач теорії оболонок довільної форми в плані, розроблено принципи побудови та алгоритмічну та організаційну структури комп'ютерної системи, яка за інформацією, представленою на професійній мові інженера-механіка, будує та досліджує відповідну комп'ютерну модель. Для реалізації задач обраної предметної області створена база знань, яка містить в собі: варіаційні моделі, структури розв'язання, схеми лінеаризації, методи розв'язання крайових задач. Створено прикладну програмуючу систему POLE-SHELL, її інтерфейс, алгоритми та програмні модулі. Виконано численний експеримент, який в достатній мірі свідчить про ефективність та достовірність розроблених засобів комп'ютерного моделювання для вирішення практично важливих задач. Розв'язано ряд задач теорії пологих оболонок, до яких RFM застосовується вперше, зокрема:

– задача про коливання пологої оболонки довільного плану при різних крайових умовах;

– задача про коливання оболонки при наявності тріщин (розрізів) на її поверхні, при різних крайових умовах.

В рамках системи отримано розв'язок ряда практично значимих задач розрахунку НДС лопаток турбомашин, та бандажних полиць робочих лопаток. Проведено порівняння з експерементальними даними, та результатами отриманними за допомогою інших існуючих методів.

Ключові слова: комп'ютерне моделювання, база знань, математична модель, вигин, коливання, стійкість, пластини, оболонки, геометрично нелінійні задачі, тріщина, крайові умови.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Пластини та оболонки є структурними елементами, що широко використовуються для моделювання багатьох сучасних інженерних конструкцій, наприклад, у машинобудуванні, авіації, космонавтиці, суднобудуванні, атомній енергетиці, промисловому та цивільному будівництві та ін. В зв'язку з цим проблеми визначення міцності, стійкості оболонок та пластин мають велике практичне значення. Як правило, розв'язання цього класу задач виконується за допомогою наближених методів. Метод R-функцій (RFM), запропонований академіком Рвачовим В.Л., зарекомендував себе, як один з ефективних сучасних методів математичного моделювання. Позитивною рисою методу є можливість формалізації та алгоритмізації математичної постановки крайової задачі. У роботах Рвачова В.Л., Учішвілі Л.А., Курпи Л.В. цей метод застосовувався для розв'язання задач теорії пластин. До статичних задач теорії пологих оболонок метод R-функцій застосовувався в роботах Рвачова В.Л., Курпи Л.В., Склепуса С.М., Морачковської І.О. та інших. Але значно менше робіт у яких метод застосовувався до нелінійних задач теорії пологих оболонок і практично відсутні роботи присвячені застосуванню RFM щодо розв'язання динамічних задач теорії пологих оболонок. Приймаючи до уваги можливості RFM, можна зробити висновок, що проблема розвитку та застосування цього метода до динамічних задач теорії пологих оболонок є актуальною.

Проблеми комп'ютерного моделювання, лінійних та нелінійних процесів деформування елементів тонкостінних конструкцій, розрахунковими схемами яких є пластини й оболонки, належать до одного з сучасних наукових напрямів - комп'ютерної механіки. Існуючі автоматизовані системи для інженерного проектування (PLASHTRAN, NASTRAN, ANSYS, AMEKS, системи сімейства POLE, СУМРАК і т. ін.) вже зараз дозволяють одержувати розв'язки, які не поступаються за якістю розв'язкам експертів, що спеціалізуються в конкретних предметних областях. Але використання цих систем вимагає від користувача спеціальних знань. Головним недоліком таких систем є відсутність засобів взаємодії з прикладними програмами на природній мові. Що стосується задач теорії пластин та оболонок, які являють собою одну з найбільш складних в математичному плані проблем обчислювальної механіки, то питання комп'ютерного моделювання цієї галузі знаходиться на початковій стадії. Таким чином розробка нових систем, які відповідають сучасному рівню розвитку комп'ютерної техніки і техніки програмування, спроможних виконувати комп'ютерне моделювання, розрахунок та дослідження лінійних та нелінійних статичних і динамічних процесів деформування пластин і оболонок, котрі базуються на ефективних математичних методах, є актуальною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності до держбюджетної теми №185 НАН України «Високоінтелектуальні системи програмування, орієнтовані на використання алгебраїзованих структурних формул розв'язання крайових задач» та грантом 1.4/162 Міністерства у справах науки та технології «Розробка нових методів математичного моделювання задач механіки суцільних середовищ на основі теорії R-функцій та неархімедових числень».

Мета і задачі дослідження. Метою цієї роботи є подальший розвиток та ефективне використання методу R-функцій для комп'ютерного моделювання задач коливання та вигину пологих оболонок, удосконалення та розробка нових засобів комп'ютерного моделювання цього класу задач, створення нових програмних засобів реалізації цього класу задач.

Реалізація цієї мети полягає в вирішенні таких задач:

– створення ефективного методу розв'язання задач про коливання пологих оболонок довільної форми в плані на базі RFM;

– розвиток, удосконалення та спеціалізація методу R-функцій, що забезпечує створення ефективних програмних засобів для комп'ютерного моделювання і розв'язання задач обраної предметної області;

– розробка математичної бази (математичних моделей і методів розв'язання задач розглянутої предметної області);

– створення бази знань проблемно-орієнтованої системи POLE-SHELL; комп'ютерний моделювання математичний оболонка

– розробка системи POLE-SHELL її інтерфейсу, алгоритмів та програмних модулів;

– розробка інформаційної технології застосування створеного засобу комп'ютерного моделювання;

– розв'язання нових практичних задач теорії пологих оболонок за допомогою створеної системи.

Об'єкт дослідження. Основним об'єктом дослідження роботи є задачі теорії пластин та пологих оболонок.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є лінійні і геометрично нелінійні задачі про вигин і коливання пологих оболонок та комп'ютерне моделювання цього класу задач.

Методи дослідження. Комп'ютерне моделювання лінійних задач теорії пологих оболонок здійснювалося на основі спільного використання реляційних баз даних та баз правил у форматі IF-THEN-ELSE, які моделюють алгоритми розв'язків, що ґрунтуються на теорії R-функцій, варіаційних методів, методів послідовного навантаження, Ньютона-Канторовича.

Наукова новизна отриманих результатів. Виконані у роботі дослідження дозволили одержати нові наукові результати:

– вперше на базі теорії R-функцій створено новий ефективний метод для розв'язання динамічних задач теорії пологих оболонок довільної форми в плані;

– дістав подальший розвиток варіаційно-структурний метод RFM у побудові і обґрунтовані нової структури розв'язання для пластин та оболонок, які мають розрізи (тріщини) на поверхні;

– модифіковано та спеціалізовано метод R-функцій щодо геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок, що забезпечило створення ефективних засобів комп'ютерної реалізації цього класу задач;

– вперше для реалізації задач обраної предметної області створена база знань, яка містить в собі: варіаційні моделі, структури розв'язання, схеми лінеаризації, методи розв'язання крайових задач;

– створена проблемно-орієнтована комп'ютерна система, яка за інформацією, поданою на професійній мові інженера-механіка, будує та досліджує відповідну комп'ютерну модель. Можливості запропонованої комп'ютерної системи, а також методику її вивчення та застосування проілюстровано на численних прикладах розв'язання крайових задач теорії пластин та оболонок складної форми в плані.

Практична цінність полягає в створенні і реалізації методики комп'ютерного моделювання процесів коливання пологих оболонок на базі RFM; отриманні нової структури розв'язання для оболонок з розрізами на вільній частині поверхні; удосконаленні методу RFM для побудови комп'ютерних моделей геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок; в розробці та реалізації ефективного програмного засобу - проблемно-орієнтованої системи POLE-SHELL, яка може бути застосована в різних галузях науки і техніки для комп'ютерного моделювання і розрахунку лінійних і нелінійних процесів деформування тонкостінних конструктивних елементів складної форми. Професійно-орієнтована система POLE-SHELL дозволить інженеру-конструктору ще на стадії проектування проводити масовий обчислювальний експеримент, пов'язаний із визначенням раціональних параметрів конструкцій.

Достовірність результатів, отриманих у даній роботі, забезпечується строгістю математичної теорії пластин і оболонок та методу R-функцій, які були використані для побудови комп'ютерних моделей, а також порівнянням результатів із точними аналітичними розв'язками або результатами, отриманими за допомогою інших систем і методів; порівнянням результатів, отриманих при використанні різних структур розв'язання, зміні розмірності апроксимаційних просторів, застосуванні різних апроксимаційних засобів і т. ін.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертації опубліковано в роботах [1-7], список яких наведено наприкінці автореферату. Основні результати за темою дисертації отримані здобувачем самостійно. В роботах, що написані із співавторами, участь здобувача визначається таким чином:

– в роботах [1, 6, 7] здобувачу належать метод та алгоритми розрахунку оболонок та отримані чисельні результати;

– в роботах [2, 3] здобувачу належать отримані чисельні розрахунки результатів.

– в роботі [4] здобувачем сформульовані організаційна структура та принципи побудови проблемно-орієнтованої системи POLE-SHELL;

– в роботі [5] здобувачу належить метод розрахунків, а також його програмна реалізація в рамках системи POLE-SHELL;

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано наукову актуальність та практичну цінність теми дисертації, яка пов'язана з потребою в розробці нових методів та програмних засобів для комп'ютерного моделювання лінійних та геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок. Визначено мету та задачі досліджень, наведено дані з науково-технічних тем, у рамках яких виконана робота, а також кваліфікаційні ознаки дисертації.

У першому розділі проведено огляд робіт, зв'язаних із методами розрахунку пластин і оболонок та системами, розробленими на базі цих методів. Зроблено аналіз наукових досліджень, проведених за кордоном і в Україні у напрямку розробки проблемно-орієнтованих систем комп'ютерної механіки. Суттєвий вклад у розвиток теорії та засобів розрахунку пластин та оболонок внесли такі відомі вчені як Амбарцумян. С.А., Бідерман В.І., Болотін В.В., Бубнов І.Г., Вайнберг Д.В., Варвак П.М., Василенко А.Т., Валішвілі Н.В., Власов В.З., Вольмір А.С., Ворович І.І., Галеркін В.Г., Галімов К.З., Гольденвейзер А.Л., Гріголюк Е.І., Григоренко Я.М., Гузь А.Н., Кармішин А.В., Кантор Б.Я., Корнішин М.С., Космодаміанський А.С., Курпа Л.В., Купрадзе В.Д., Лехницький С.Г., Лур'є А.І., Моссаковський В.І., Муштарі Х.М., Олександров В.М., Панкратова Н.Д, Петров В.В., Рвачов В.Л., Сторожев В.І., Тамуров М.Г., Тимошенко С.П.,. Трошин В.Г, та інші. Основні проблеми та напрямки автоматизації у комп'ютерній механіці розглянуті у роботах W.W. Tworzydlo, J.T. Oden. Виконано порівняльну характеристику існуючих закордонних та вітчизняних систем комп'ютерного моделювання. Визначені недоліки та проблеми виникаючі при використані цих систем. Розробка ефективних методів та засобів комп'ютерного моделювання задач теорії пологих оболонок належить до одної з перспективних галузей сучасної науки - обчислювальної механіки. У даній роботі ці задачі вперше розглянуто на базі теорії R-функцій.

У другому розділі подано опис створеної у роботі бази знань для розробленої системи POLE-SHELL.

У базу знань входять математичні моделі задач теорії пологих оболонок, які одержані за допомогою класичної теорії пологих оболонок. З загального класу виділено клас оболонок із заданим планом, у яких кривини k1 і k2 - постійні і відношення найбільшої стріли підйому f серединної поверхні до найменшого розміру оболонки в плані l не перевищує 1/5, тобто.

Для розв'язку задач про вільні коливання пологих оболонок у базу знань включені рівняння руху в переміщеннях.

Одним із головних класів задач, на який розрахована система, є геометрично нелінійні задачі теорії пластин і пологих оболонок, як ізотропних, так і ортотропних.

Для розв'язання геометрично нелінійних задач теорії ізотропних і ортотропних пологих оболонок використана система рівнянь у змішаній формі, яка отримана в результаті таких припущень: прогини порівняні з товщиною оболонки, при цьому деформації, тобто подовження і зрушення, а також кути повороту елементів оболонки - малі в порівнянні з одиницею. Кривини серединної поверхні оболонки k1, k2, як і в лінійному випадку, - постійні.

Використання методу R-функцій для розглянутих задач вимагає знання їх варіаційних постановок і структур розв'язання, за допомогою яких виконується дискретизація відповідних функціоналів. Тому в базу знань були включені відповідні функціонали і структури розв'язання для різних типів крайових умов. Для задач вигину ізотропної оболонки такий функціонал має вигляд.

,

Для ортотропних оболонок цей функціонал може бути заданий як

Варіаційна постановка задачі на власні коливання тонких пружних пологих оболонок аналогічна випадку вигину оболонок, тільки в усіх формулах вираз 2qw змінюється на .

Алгоритм розв'язання геометрично нелінійних задач теорії пластин і пологих оболонок, включений у базу знань системи, ґрунтується на спільному застосуванні методів послідовного навантаження, методу Ньютона-Канторовича, варіаційних методів і теорії R-функцій. Відповідно до методу послідовних навантажень задане навантаження розбивається на декілька кроків. На кожному кроці навантаження лінеаризована задача вирішується в прирощеннях за допомогою варіаційних методів. Варіаційна постановка лінеаризованої системи диференціальних рівнянь, отриманих на базі методу послідовних навантажень, зводиться до знаходження точки стаціонарності такого функціоналу.

Функціонал для ізотропної, жорстко закріпленої оболонки має вигляд

.

Якщо ж на функції W і F накладаються крайові умови, що відповідають вільному обпиранню або вільному закріпленню, то відповідний функціонал має вигляд (3), з тією лише різницею, що підкреслені в (3) складові - відсутні. При цьому точка стаціонарності побудованих функціоналів може бути отримана на множині функцій, що задовольняють тільки головні (кінематичні) крайові умови.

Для ортотропних оболонок

.

Після визначеного числа кроків (заданого у вхідній інформації) розв'язання уточнюється за допомогою методу Ньютона-Канторовича. Наприклад, для ізотропних оболонок варіаційна постановка задачі, лінеаризованої за методом Ньютона-Канторовича, зводиться до знаходження точки стаціонарності функціонала:

,

де ni - номер ітерації.

Дискретизація поданих функціоналів виконується за допомогою послідовності координатних функцій, отриманих на базі структурних формул. У базу знань системи включені структури розв'язання, що задовольняють головні граничні умови. Нижче подані приклади структур розв'язання:

1. Глухе закріплення

2. Вільне закріплення

3. Ковзне закріплення

4. Шарнірно-нерухоме обпирання

5. Шарнірно-рухоме обпирання

6. Вільний край

7. Структура розв'язку яка враховує розріз на вільній частині серединної поверхні оболонки або пластини. Припустимо, що оболонка на одній ділянці жорстко затиснена, на іншій - вільна. На вільній ділянці границя має розріз (рис.1). Повна структура розв'язання, яка забезпечує стрибок для прогину , має вигляд

,

,

.

Функції q1 і q2 визначені таким чином:

Функція має вигляд

,

де - нормалізоване рівняння розрізу.

Третій розіл присвячено створенню спеціалізованого програмного забезпечення для комп'ютерного моделювання задач розглянутої предметної області. У цьому розділі розроблені основні принципи побудови та структура спеціалізованої програмуючої системи POLE-SHELL. Розроблено інтерфейс системи, створена структура бази знань предметної області, розроблені алгоритми та програми для комп'ютерного моделювання розглянутих задач. Запропоновано методику автоматизованої побудови програм на мові RL, що ґрунтується на використанні баз даних і бази правил у форматі IF-THEN-ELSE. Описано засоби для поповнення бази даних областей новими об'єктами для розрахунку пластин і оболонок будь-якої форми і з будь-якими крайовими умовами.

Для комп'ютерного моделювання задачі користувачу необхідно за допомогою меню вибрати об'єкт моделювання, зазначити його основні геометричні параметри. Потім користувач визначає аналітичну модель розв'язуваної задачі (тип задачі, лінійність, симетричність, вид анізотропії, крайові умови, фізичні характеристики, вид і форму результатів).

Користувачу досить сформулювати задачу на природній мові, а система, за допомогою вбудованих функцій-процедур, виконає необхідну роботу для генерації RL-програми, розрахунку, опрацювання результатів. Одержану RL-програму користувач може відредагувати засобами системи, якщо в цьому є необхідність. RL-програма може бути збережена для подальшого використання поза системою POLE-SHELL, вона може працювати і з системою POLE-RL. Після аналізу отриманих результатів користувачу надається можливість провести обчислювальний експеримент у рамках системи POLE-SHELL, а саме: змінити число вузлів інтегрування; змінити вид апроксимуючих поліномів; змінити їхній ступінь, що визначає кількість координатних функцій; вибрати різні типи структурних формул; змінити крок по навантаженню, для прискорення збіжності ітераційного процесу; змінити сітку видачі результатів та інше.

У четвертому розділі ілюструються можливості системи і детально описується інформаційна технологія її експлуатації, а також описуються тестові приклади, які були виконані для апробації системи.

Апробація розробленої системи було виконано на серії задач кожного з розглянутих вище класів. Аналіз результатів, отриманих при апробації системи на тестових задачах, свідчить про достовірність і точність розроблених алгоритмів і програм. Комп'ютерне моделювання за допомогою системи проводилось для лінійних і геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок, що мають стандартні плани (квадрат, прямокутник, коло, еліпс та інші) при різних крайових умовах. Для задач теорії пластин як тести вирішувалися задачі зі змішаними крайовими умовами. Діалог із користувачем при роботі із системою здійснюється за допомогою вибору пунктів меню в діалогових вікнах системи.

У п'ятому розділі наводиться розв'язання ряду лінійних і геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок, до яких RFM застосовується вперше. На прикладах цих задач демонструється ефективність системи POLE-SHELL. Зокрема, вирішені такі задачі:

1. Задача про коливання пологої оболонки зі складним планом. Знайдено власні форми і частоти коливань для різних крайових умов, досліджено вплив геометрії, кривини і типу оболонки на власні частоти та форми коливань.

2. Задача про коливання оболонки при наявності тріщин (розрізів) на її поверхні (рис.1). Досліджено залежність частот і форм коливань від глибини розрізу, його місця розташування, типу і кривини оболонки.

3. Геометрично нелінійні задачі для пластин і оболонок, що мають складні плани. Отримано залежність «навантаження/прогин», «навантаження / згинальні моменти» у характерних точках пластин і оболонок.

4. Виконані розрахунки НДС лопаток компресорів авіаційних двигунів, при різних способах їх кріплення. Виконано порівняння з експериментальними даними. Розв'язано ряд задач пружно-пластичного деформування бандажних полиць лопаток авіаційних турбомашин, які мають різні криволінійні границі кріплення з боків «спинки» та «коритця».

Отримані чисельні дані у вигляді графіків і таблиць можуть бути використані як довідкові для розрахунку тонкостінних конструктивних елементів.

Висновок

В даній роботі наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми комп'ютерного моделювання задач стійкості, вигину та коливань елементів тонкостінних конструкцій, що полягає у створенні нових ефективних методів та засобів моделювання та обчислення цього класу задач. Вперше в роботі створено новий метод для розв'язання динамічних задач теорії пологих оболонок на базі RFM. Дістав подальший розвиток варіаційно-структурний метод R-функцій у створені нових структур розв'язання для пластин та оболонок з тріщинами (розрізами). Теоретичні результати, отримані в роботі, дали можливість створити новий засіб комп'ютерного моделювання - програмний комплекс POLE-SHELL, який дозволяє виконувати розв'язання та дослідження практично важливих задач конструювання. По виконаній роботі і поданих результатах можна зробити наступні висновки:

1. Проведено огляд існуючих методів та засобів комп'ютерного моделювання лінійних та геометрично нелінійних задач теорії пластин та пологих оболонок. Серед них особливу увагу приділено задачам коливання та вигину з урахуванням геометричної нелінійності. В існуючих за темою роботи розробках сьогодні практично відсутні прикладні системи комп'ютерного моделювання задач вигину та коливань пологих оболонок складної форми в плані за інформацією поданою на професійній мові інженера, що стримує автоматизацію проектування багатьох сучасних конструкцій.

2. Вперше на базі теорії R-функцій та варіаційно-структурного методу RFM створено новий ефективний метод для розв'язання задач про коливання пологих оболонок шляхом зведення задачі до пошуку точок стаціонарності відповідних варіаційних функціоналів.

3. Побудовані і обґрунтовані нові структури розв'язання для задач теорії пологих оболонок складної форми в плані, які мають розрізи (тріщини) на поверхні.

4. Модифіковано та спеціалізовано метод RFM для комп'ютерного моделювання геометрично нелінійних задач теорії пологих оболонок.

5. Вперше для задач теорії пологих оболонок створено прикладну проблемно-орієнтовану систему POLE-SHELL, для комп'ютерного моделювання задач обраної предметної області. Розроблено основні принципи, структура, інтерфейс системи, який дозволяє інженеру-механіку працювати із системою на професійній мові і запропоновано метод автоматизованої побудови програм на мові RL.

6. Створена база даних розробленої системи, яка містить у собі математичні моделі лінійних і геометрично нелінійних задач вигину і коливань пологих оболонок, отриманих у рамках класичної теорії; варіаційні моделі; методи розв'язання; структури для різних типів крайових умов; набір геометричних форм елементів тонкостінних конструкцій.

7. Виконано широке тестування створеного програмного продукту на ряді задач теорії пластин і оболонок. На конкретних прикладах задач продемонстрована ефективність системи POLE-SHELL, що дозволяє проводити масовий обчислювальний експеримент із метою вибору раціональних параметрів конструкцій. Детально описана методика експлуатації розробленої системи.

8. Вперше за допомогою RFM, у рамках розробленої системи, вирішені задачі про власні коливання пологих оболонок, а також задачі про коливання оболонок довільної форми в плані із розрізом на поверхні. Досліджено НДС елементів тонкостінних конструкцій при їх нелінійній деформації. Розв'язано ряд практично важливих задач з розрахунку лопаток турбин з різними видами кріплення, а також бандажних полиць робочих лопаток авіаційних турбин, які мають різні криволінійні контури кріплення з боку «коритця» та «спинки». Надано рекомендації щодо використання цих даних при проектуванні таких елементів конструкцій. Отримані результати і залежності можуть бути використані, як довідковий матеріал при проектуванні.

Наукові праці, опубліковані за темою дисертації

1. Шматко А.В., Курпа Л.И. Компьютерное моделирование нелинейных процессов деформирования упругих пластин и пологих облочек // Машиностроение: Вестник Харьковского Государственного политехнического университета. - 2000. -Вып.100. - С.127-134.

2. Рвачев В.Л., Курпа Л.В., Шматко А.В. Власні коливання пологих оболонок складної форми в плані // Машинознавство. - 2000. - №2(32). - С.3-6.

3. Рвачев В.Л., Курпа Л.В., Шматко А.В. Собственные колебания пологих оболочек сложной формы в плане при наличии разрезов (трещин) на их поверхности // Доповіді НАН України. - 2001. - №2. - С 65-72.

4. Шматко А.В., Курпа Л.И. Компьютерное моделирование задач теории пластин и пологих оболочек сложной формы в плане // Информационные технологии. (Наука, техника, технология, образование, здоровье) доклады VII международной конференции MicroCad-99. - 1999. - С. 299-303.

5. Курпа Л.В., Курпа С.В., Шматко А.В. Исследование динамического поведения пологих оболочек, имеющих разрезы на поверхности // Вісник інженерної академії України. Спеціальний випуск: Інформація по 2-й міжнародній науково-технічній конференції «Физические и компьютерные технологии в народном хозяйстве». - 2000. - С.498-501.

6. Шматко А.В. Компьютерное моделирование задач теории пологих оболочек сложной формы в плане // Вісник Харківського університету. Серія: Актуальні проблеми сучасної науки в дослідженнях молодих вчених м. Харкова. - 2000. - №456(2). - С.266-269.

7. Шматко А.В., Курпа С.В. Компьютерное моделирование геометрически нелиненйых задач изгиба пологих оболочек сложной формы в плане. // Вісник Харківського униіерситету. Серія: Актуальні проблеми сучасної науки в дослідженнях молодих вчених м. Харкова. - 2001. - №506(2). - С.143-145.

Размещено на Allbest.ru