Граничний аналіз задач векторної оптимізації

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ГРАНИЧНИЙ АНАЛІЗ ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ

01.05.01 -- теоретичні основи інформатики та кібернетики

Рудянова Тетяна Миколаївна

Дніпропетровськ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському державному технічному університеті залізничного транспорту Міністерства транспорту України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, доцент КОГУТ Петро Ілліч, завідувач кафедри прикладної математики Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту

Офіційні опоненти: доцент, доктор фізико-математичних наук, Плотніков Андрій Вікторович, Одеська державна академія будівництва і архітектури, завідувач кафедри прикладної обчислювальної математики і систем автоматизованого проектування робіт;

доцент, кандидат фізико-математичних наук, Бурдюк Володимир Якович - Дніпропетровський національний університет, кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики, доцент.

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова, відділ методів розв'язування складних задач оптимізації, НАН України, м. Київ

Захист відбудеться "1" червня 2001 p. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49044, м. Дніпропетровськ, просп. К.Маркса, 35, корп. 3, ауд.42.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, пров. Науковий,13.

Автореферат розісланий "28" квітня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Турчина В.А.

АНОТАЦІЯ

векторний оптимізація варіаційний математичний

Рудянова Т.М. Граничний аналіз задач векторної оптимізації. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. -- Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2001.

Дисертацію присвячено проблемі усереднення загальних задач векторної оптимізації. Для широкого класу таких задач запропоновано єдиний формалізм процесу їх усереднення, розроблено математичний апарат для побудови усереднених задач, одержано достатні умови їх існування, досліджено їх структуру та основні топологічні властивості. В якості математичної основи вказаного формалізму запропоновано концепцію варіаційної V-збіжності.

Ключові слова: усереднення, задача векторної оптимізації, варіаційна V - збіжність.

SUMMARY

Rudjanova T.N. Limit analysis of optimisation problems with non-scalar criteria -Manuscript.

Thesis for a candidate is degree in Physics and Mathematics in the by speciality 01.05.01 -- Theoretical principles of computer science and cybernetics. - Dnipropetrovsk Nationalstate University, Dnipropetrovsk, 2001.

The thesis is devoted to the homogenization theory of the general non-scalar optimization problems. For a wide class of such problems a unique formalism of the homogenized process is proposed. A mathematical approach for the construction of homogenized problems and also required conditions for their existence are obtained. The structure of the homogenization problems and their topological properties are investigated. The concept of the variational V-convergence is taken as a mathematical basis of such formalism.

For the abstract sets of non-scalar optimization problems, the required conditions of the variational V-compactness are given.

The main topological properties of the V-limit problems are investigated. The relationship between the V-convergence of vector-valued maps and the topological convergence by Kuratowski both their epigraphs and coepigraphs is obtained. It is shown that the V-limit problems are always infimum of some lower somicontinuous maps, each of which is defined some closed subset.

For topological spaces satisfying the first axiom of countability the definition of the V-limit in the terms of convergent sequences is given. The constructive representation of V-limit of non-scalar optimization problems is obtained only for the case in which the vector space is Euclidean. In this case when the V-limit can be presented as a n-dimensional vector each of their components are the S - limit of the corresponding cost functional. It is shown that the concept of variational V-convergence can be taken as the basis for the homogenization theory of optimal control problems with non-scalar criteria.

As a result it has been shown that the concept of the variational V- convergence of non-scalar optimisation problems generalizes the well known concept of functional -convergence and S-convergence of constrained minimization problems.

Key words: homogenisation, non-scalar optimisation problem, variational V- convergence.

АННОТАЦИЯ

Рудянова Т. Н. Предельный анализ задач векторной оптимизации. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 -- теоретические основы информатики и кибернетики.--Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2001.

Диссертация посвящена проблеме усреднения общих задач векторной оптимизации. Для широкого класса таких задач предложен единый формализм процесса их усреднения, разработан математический аппарат для построения усредненных задач, получены достаточные условия их существования, исследованы их структура и основные топологические свойства. В качестве математической основы указанного формализма предложена концепция вариационной V-сходимости.

Ключевые слова: усреднение, задача векторной оптимизации, вариационная V-сходимость.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Як відомо, теорія та методи розв'язання задач багатокритеріальної оптимізації є одним із тих розділів сучасної теорії екстремальних задач, який інтенсивно розвивається в останні десятиріччя. Дослідженню проблем векторної оптимізації та пошуку ефективних методів їх розв'язання присвячено надзвичайно багато літератури. Завдяки багатогранності вимог, які повсякчас висуваються до результатів народногосподарської діяльності, багатокритеріальні задачі є одними з основних в економічних застосуваннях. Вперше проблема багатокритеріальної векторної оптимізації була поставлена італійським економістом В. Парето при математичному дослідженні процесів товарообміну. Не випадково саме в рамках економіко-математичної теорії сформулювалося ключове для проблеми багатокритеріального вибору поняття Парето - оптимальності, яке лежить в основі сучасних уявлень про економічну ефективність. У подальшому інтерес до проблеми векторної оптимізації значно посилився у зв'язку з широким впровадженням обчислювальної техніки. Проте дослідження реальних об'єктів, як правило, базується на використанні ідеалізованих математичних моделей, які, в свою чергу, можуть залежати від деяких "малих" параметрів . Ця залежність може бути обумовлена різними причинами: нечіткість у постановці задачі, наявність неконтрольованих малих збурень, моделювання процесів у суттєво неоднорідних середовищах. Як правило, обчислювальні методи в дослідженні такого класу оптимізаційних задач стають непридатними при "малих" значеннях . Проте, з точки зору практичних застосувань, на етапі оптимального проектування таких систем за багатьма критеріями важливо вміти визначити їх поведінку при і побудувати в певному розумінні граничну задачу оптимального проектування, тобто ввести поняття граничного переходу на такій множині об'єктів, як задачі векторної оптимізації. Зауважимо, що наведена постановка досліджень аналогічна класичній проблематиці теорії усереднення задач умовної мінімізації (див., напр., роботи Н. Attouch, G. Dal Maso, G. Buttazzo, В.В.Жикова, П.І. Когута). Проте наявність в задачі критерію у вигляді відображення із значеннями у векторному топологічному просторі робить неможливим пряме перенесення відомих "однокритеріальних" результатів. Аналіз доступних публікацій дозволяє зробити такий висновок: в галузі теорії задач векторної оптимізації граничний перехід за наведеною нижче постановкою не розглядався. Сказане можна підтвердити і тим, що на сьогоднішній день практично відсутні будь-які результати з аксіоматичних основ теорії усереднення задач оптимального керування з багатьма критеріями та задач векторної оптимізації в цілому.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася згідно з індивідуальним планом підготовки здобувача та загальним планом наукових досліджень кафедри прикладної математики Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту.

Мета і задачі дослідження. Дисертаційна робота ставить за мету ввести для широкого класу загальних задач векторної оптимізації єдиний формалізм процесу їх усереднення (граничного аналізу), запропонувати математичну основу для побудови граничних задач, встановити достатні умови існування таких задач, визначити їх структуру та основні варіаційні і топологічні властивості.

Об'єкт дослідження. Основним об'єктом досліджень даної дисертаційної роботи виступає така оптимізаційна задача

, (1)

де відображення приймають значення у векторному топологічному просторі , який, в свою чергу, напівупорядковано власним конусом . Тут через позначено сукупність усіх точних -нижніх граней множини .

Вважається, що компоненти математичного опису задачі (1) можуть довільним чином залежати від деякого "малого" параметра . Зокрема, залежність від параметра допускається як для векторнозначного відображення , за яким оцінюється якість системи, так і для -- множини допустимих значень параметрів та функцій керувань задач типу (1).

Основні проблеми, які розглядаються в роботі, можна сформулювати таким чином:

(і) що потрібно розуміти під наступною границею

(іі) чи буде ця границя являти собою також задачу векторної оптимізації і якою буде її структура?

(ііі) які достатні умови існування границі і чи буде вона єдиною?

Предметом дослідження є асимптотичний аналіз таких задач за умовою, що кожна компонента їх математичного опису залежна від деякого малого параметру .

Як методи дослідження використовувались методи нелінійного функціонального аналізу, опуклого аналізу та теорії задач багатокритеріальної оптимізації. Методикою досліджень виступає топологічний аналіз абстрактних задач векторної оптимізації, зокрема зведення проблеми усереднення таких задач до дослідження топологічної збіжності надграфіків відповідних векторнозначних відображень.

Наукова новизна одержаних результатів та їх наукова цінність. У дисертаційній роботі вперше побудовано аксіоматичні основи теорії усереднення (граничного аналізу) загальних задач векторної оптимізації. В якості нового математичного апарату вперше розроблено концепцію варіаційної V-збіжності таких задач. В основу запропонованого формалізму граничного аналізу покладено поняття V-границі для напрямленості відображень типу , де є узагальненою послідовністю підмножин довільного хаусдорфового топологічного простору .

Суттєвою ознакою наведених об'єктів типу (1) є та обставина, що множини можуть не збігатися як між собою, так і з усім простором , а відображення можуть бути неозначеними поза відповідними множинами . До того ж "критеріальний" простір у загальному випадку є топологічним векторним простором. Тому - збіжність таких відображень є суттєвим узагальненням теорій - збіжності функціоналів та - збіжності задач умовної мінімізації, теоретичні основи яких у достатньо повному обсязі викладено в роботах G. Dal Maso, H.Attouch, П.І. Когута.

Зокрема для абстрактних множин, елементами яких виступають загальні задачі векторної оптимізації, встановлено достатні умови їх компактності відносно варіаційної -збіжності. Досліджено основні топологічні та варіаційні властивості - граничних задач, встановлено зв'язок між наведеною - збіжністю векторнозначних відображень та топологічною збіжністю їх надграфіків і конадграфіків. Для топологічних просторів, які задовольняють першій аксіомі зліченості, дано еквівалентне означення - границь у термінах збіжних послідовностей. Наведено достатні умови, за яких варіаційну - границю сукупності задач векторної оптимізації в евклідовому просторі можна подати в термінах - границь відповідних скалярних задач умовної мінімізації.

Вірогідність основних положень та результатiв дисертації забезпечується точними математичними доведеннями всіх основних положень та висновків, що наведені в дисертації. Крім того, в дисертації показано, що варіаційна S -збіжність задач умовної мінімізації та Г-збіжність направленості функціоналів випливають як частинний випадок із запропонованих автором означень варіаційної - збіжності та що концепція - збіжності узгоджується з теорією - збіжності абстрактних операторів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, одержані в дисертації, дозволяють для загальних задач векторної оптимізації, що залежать від малого параметру та чисельне дослідження яких є неможливим, встановити аналітичний вигляд усередненої, тобто - граничної за параметром задачі. У першу чергу це стосується проблем оптимального проектування конструкцій, які виготовлені з суттєво неоднорідних або композитних матеріалів. У цьому випадку параметр переважно пов'язують з масштабом неоднорідності композиту (зокрема це може бути період мікроструктури таких матеріалів). Проте, математична модель будь-якого динамічного процесу в таких конструкціях включає в себе диференційні рівняння з швидкоосцилюючими коефіцієнтами для дослідження яких, як відомо, обчислювальні методи при "малих" значеннях стають непридатними.

Основні теоретичні результати дисертації включено в спецдисципліни "Теорія систем та системний аналіз" і "Методи та алгоритми теорії вибору та прийняття рішень", які читаються на кафедрах прикладної математики та комп'ютерних інформаційних технологій у Дніпропетровському державному технічному університеті залізничного транспорту для студентів IV-V курсів за спеціальностями "Економічна кібернетика" і "Програмне забезпечення обчислювальної техніки та автоматизованих систем".

Особистий внесок автора. Результати дисертаційної роботи отримано автором особисто. В роботах [1-11], які написані у співавторстві дисертантові належить розв'язання задач, а їх постановка -- науковому керівнику.

Особистий внесок здобувача в роботи, що написані у співавторстві:

у статті № 1 автором доведено теореми про секвенційні характеристики -граничних відображень в топологічних просторах, які задовольняють другій аксіомі зліченості;

у статті № 2 автору належить доведення та обґрунтування принципу компактності відносно варіаційної -збіжності в топологічних просторах, які задовольняють другій аксіомі зліченості;

у статті № 3 анонсовано результати автора з проблеми аксіоматичних основ варіаційної -збіжності задач векторної оптимізації та її зв'язок з уже відомими концепціями граничних переходів;

у статті № 4 автору належить концепція побудови усередненої задачі векторної оптимізації для стержневих конструкцій з урахуванням моди початкової недосконалості;

у статті № 5 автором доведено теорему про структуру -усередненої задачі Парето - ефективної оптимізації в евклідових просторах;

у статті № 6 автором введено поняття -напівнеперервності та -конапівнеперервності знизу векторнозначних відображень та встановлено зв'язок зазначених властивостей із замкнутістю - надграфіків та -конадграфіків таких відображень. Тим самим запропоновано нетривіальне узагальнення класичних результатів опуклого аналізу;

у роботі № 7 анонсовано результати автора з проблем існування розв'язків задач векторної оптимізації для -конапівнеперервних знизу векторнозначних відображень;

у роботах № 8-11 розглянуто топологічні та варіаційні властивості -усереднених задач.

Апробацiя дисертацiйної роботи. Результати, які наведені в дисертації, доповідалися на VI Українській конференції з автоматичного керування "Автоматика-99" (Харків, 1999), на V міжнародній науково-технічній конференції "Контроль і управління в складних системах" (Вінниця, 1999), на IV міжнародній конференції "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 1997), на VII міжнародній конференції "Математика, экономика, экология, образование" (Ростов, 1999), на міжнародній конференції "Моделювання та оптимізація складних систем" (Київ, 2001), на I Міжнародній науковій конференції "Проблеми економіки транспорту в умовах реструктуризації" (Дніпропетровськ, 2001). Матеріали дисертації неодноразово обговорювалися на наукових семінарах відділу теорії ігор Інституту кібернетики НАН України, кафедр прикладної математики та комп'ютерних інформаційних технологій Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту, кафедри вищої математики та комп'ютерних технологій Дніпропетровського державного фінансово-економічного інституту, кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики Дніпропетровського національного університету, кафедри прикладної математики Одеського національного університету.

Публікації. За основними результатами дисертації опубліковано 5 статей в наукових журналах, 1 статтю в трудах міжнародних конференцій, 1 статтю в збірнику наукових праць, 6 тез доповідей.

Структура та обсяг роботи. Дисертація, обсягом 153 сторінки друкованого тексту, складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних літературних джерел, який містить 88 найменувань і займає 7 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, що розглядається в дисертації, її актуальність, наведена мета роботи та наукова новизна одержаних результатів.

У першому розділі подається огляд літератури за обраною темою, окреслені основні етапи розвитку наукової думки в галузі методів усереднення оптимізаційних задач. Доведено, що на сьогоднішній день теорія усереднення задач векторної оптимізації знаходиться на етапі свого становлення, багато важливих проблем залишаються відкритими або повністю не дослідженими. Наведено перелік питань, розв'язання яких дозволить побудувати аксіоматичні основи теорії усереднення таких задач.

У другому розділі міститься якісний аналіз абстрактних задач векторної оптимізації. Зокрема досліджується проблема існування розв'язків таких задач в залежності від топологічних властивостей векторнозначних відображень. Таким чином, основною задачею даного розділу є побудова таких класів векторних відображень, при яких множина розв'язків відповідних задач векторної оптимізації буде не порожньою.

Параграф 2.1 носить аксіоматичний характер. Тут наводяться основні означення та поняття векторнозначного аналізу. Зокрема, нехай - довільний хаусдорфовий простір, -- дійсний векторний топологічний простір, який напівупорядковано власним конусом (тобто елементи знаходяться у бінарному відношенні нестрогого порядку , якщо ). Конус вважається опуклим, замкненим і таким, що .

Основні результати цього параграфу можна підсумувати у двох наступних теоремах.

Теорема 2.2. Нехай відображення є -власним, -напівнеперервним знизу та -конапівкомпактним знизу. Тоді множина розв'язків задачі (3) є не порожньою і -компактною.

Теорема 2.5. Нехай Y - локально опуклий векторний простір і для задачі векторної оптимізації (3) виконуються умови:

(і) відображення -копівнеперервне знизу на ;

(іі) множина є замкненою та обмеженою в , або відображення є - коерцитивним для деякого . Тоді задача (3) має не порожню множину розв'язків. Якщо, окрім цього, множина буде опуклою в , то для будь-якого розв'язку задачі (3) знайдеться вектор такий, що

Основним об'єктом дослідження третього розділу є така напрямленість задач векторної оптимізації

Основне питання, яке досліджується в даному розділі, полягає в наступному: чи можна в напрямленості (4) перейти до границі за параметром , і якщо так, то якою буде структура та топологічні властивості граничної задачі векторної оптимізації? Характерною ознакою наведених задач є та обставина, що множини в загальному випадку можуть не збігатися як між собою, так і з усім простором , а відображення можуть бути не визначеними поза множинами . Надалі, якщо не обумовлено інше, будемо вважати, що для множин , виконується умова . Тут і далі через () позначено нижню (верхню) топологічну границю для за Куратовським.

Теорема 3.3. Нехай конус є інваріантним відносно перетину, для напрямленості підмножин у топологічному хаусдорфовому просторі виконується умова . Тоді нижня топологічна границя - надграфіків являтиме собою -надграфік для верхньої - границі напрямленості відображень , тобто:

Теорема 3.4. Нехай конус є інваріантним відносно перетину, для напрямленості підмножин у топологічному хаусдорфовому просторі виконується умова Тоді верхня топологічна границя - конадграфіків являтиме собою -конадграфік для нижньої - границі напрямленості відображень , тобто:

Зауважимо, що умова інваріантності на конус є суттєвою, оскільки в загальному випадку нижня топологічна границя -надграфіків може не бути - надграфіком для жодного векторнозначного відображення.

У параграфі 3.6 досліджуються питання компактності довільної сукупності задач векторної оптимізації відносно варіаційної - збіжності.

У параграфі 3.8 наводяться приклади застосування наведених вище результатів до проблеми усереднення сингулярно збурених задач оптимального керування з багатьма критеріями. Зокрема показано, що концепція - збіжності узгоджується з теорією - збіжності абстрактних операторів.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі отримано такі результати:

для загальних задач векторної оптимізації запропоновано аксіоматичні основи теорії їх усереднення;

розроблено концепцію варіаційної - збіжності таких задач, яка може служити математичним апаратом для побудови усереднених задач;

встановлено достатні умови існування - граничних задач;

визначено структуру - граничних задач, основні топологічні й варіаційні властивості;

встановлено зв'язок між наведеною - збіжністю векторнозначних відображень та топологічною збіжністю їх надграфіків і конадграфіків;

для топологічних просторів, які задовольняють першій аксіомі зліченості, дано еквівалентне означення - границь у термінах збіжних послідовностей;

наведено достатні умови, за яких варіаційну -границю сукупності задач векторної оптимізації в евклідовому просторі можна подати в термінах -границь відповідних скалярних задач умовної мінімізації;

показано, що варіаційна S-збіжність задач умовної мінімізації та Г-збіжність напрямленості функціоналів випливають як частинний випадок із запропонованих автором означень варіаційної -збіжності;

встановлено, що концепція - збіжності узгоджується з теорією - збіжності абстрактних операторів.

Одержані результати дозволяють для параметризованих задач векторної оптимізації, чисельне дослідження яких неможливе через неспроможність обчислювальних процедур, встановити аналітичний вигляд усередненої, тобто - граничної за параметром задачі.

СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Когут П.І., Рудянова Т.М. V-граничний аналіз векторнозначних відображень // Український математичний журнал. -2000.- Т. 52. № 12. - С. 1661-1675.

2. Когут П.И., Рудянова Т.Н. Вариационный принцип V-выбора в общих задачах векторной оптимизации // Проблемы управления и информатики. - 2000.- №3.- С.5-16.

3. Когут П.І., Рудянова Т.М. Про варіаційну V-збіжність загальних задач векторної оптимізації // Доп. НАН України. - 2000. - № 5. - С. 92-97.

4. Когут П.И., Рудянова Т.Н., Скалозуб В.В. Предельный анализ задач оптимального проектирования конструкций с учетом моды начальных несовершенств// Придніпровський науковий вісник. Сер.фіз.- мат. науки. - 1998. - № 112 (179). - С. 20-30.

5. Когут П.І., Повідайко П.М., Рудянова Т.М. До усереднення задач векторної оптимізації в евклідових просторах// Вісник ЖІТІ. Сер.техн. науки).- 2000.- № 12.- С. 184-194.

6. Когут П.І., Рудянова Т.М. Теореми існування для задач векторної оптимізації// Математичне моделювання в інженерних та економічних задачах транспорту: 3б.наук.праць.- Дніпропетровськ: Січ, 1999. -- С. 81-93.

7. Когут П.І., Рудянова Т.М. Про існування розв'язків в задачах векторної оптимізації// Книга за матеріалами V міжнародної н.-т. конф. "Контроль і управління в складних системах".- Вінниця: Універсум, 1999. - С. 78-86.

8. Когут П.И., Рудянова Т.Н., Скалозуб В.В. Об S-усреднении задач векторной оптимизации// IV международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 29 янв.-3 февр. 1997 г.), Москва, 1997. - С. 75.

9. Когут П.И., Рудянова Т.Н. Усреднение задач векторной оптимизации// Міжнародна науково-методична конференція “Комп'ютерне моделювання”. Тези доповідей (24-26 червня), м. Дніпродзержинськ, 1998. - N 3.- С. 63.

10. Когут П.І., Рудянова Т.М. Проблеми усереднення задач векторної оптимізації// Матеріали 6-ої української конференції з автоматичного керування "Автоматика-99" (10-13 травня), Харків, 1999. - С. 6

11. Когут П.И., Рудянова Т.Н. Вариационная сходимость задач векторной оптимизации// Тезисы докладов 7-ой Междунар. конф. "Математика, экономика, экология, образование", Ростов- на - Дону, (26 мая - 1 июня), 1999. С. 233-234.

12. Рудянова Т.Н. Предельный анализ задач векторной оптимизации// Моделювання та оптимізація складних систем (25-28 січня), Київ, 2001, С. 61-62.

13. Рудянова Т.Н. Проблемы предельного анализа задач векторной оптимизации// I Міжнародна наукова конференція “Проблеми економіки транспорту в умовах реструктуризації ” (8-9 лютого), Дніпропетровськ, 2001. С. 36.

Размещено на Allbest.ru