Синтез оптимального регулятора

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Математическая модель объекта

2. Расчет весовых коэффициентов квадратичного функционала

3. Синтез оптимального управления классическим вариационным методом

4. Синтез оптимального управления методом Калмана

5. Реализация оптимального управления

6. Анализ качества регулирования

Выводы

Введение

В настоящее время с развитием науки и техники усложняются производственные процессы и, соответственно, для наилучшего управления ими требуются оптимальные регуляторы. Промышленные регуляторы, реализующие типовые законы регулирования, зачастую не обеспечивают желаемого качества управления. Всё это приводит к необходимости создавать оптимальные регуляторы. Для решения этой задачи используют аналитическое конструирование, под которым понимают группу методов синтеза автоматических систем управления, которые позволяют по выбранному в качестве критерия оптимальности аналитически сконструировать закон управления.

В основу аналитического конструирования положена концепция возмущённого - невозмущённого движения Ляпунова. В соответствии с ней при синтезе оптимального управления необходимо, чтобы оно всегда сводило бы возмущенное движение к невозмущенному, а также обеспечивалась минимизация функционала - критерия качества.

В данном курсовом проекте будет рассматриваться синтез оптимального регулятора двумя методами: классическим вариационным, и методом Калмана.

1. Математическая модель объекта

Задана модель объекта управления 3-го порядка вида:

со следующими коэффициентами:

b1 = 2,46;

b2 = 14,82;

b3 = 3.93;

K=1.

Структурная схема объекта управления представлена на рисунке 1.1

Уравнения возмущенного движения имеют вид:

y₁=y₂;

y₂=y₃; (1.1)

y₃=-b₃y₃-b₂y₂-b₁y₁-mU

Рисунок 1.1 Структурная схема объекта управления

Кривая разгона объекта приведена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 Кривая разгона объекта управления

2. Расчет весовых коэффициентов квадратичного функционала

При аналитическом конструировании регулятора задают уравнения возмущённого движения, цель управления в виде критерия оптимальности (функционала) и ставится задача нахождения единственной структуры, которая обеспечила бы устойчивость системы, минимум функционала и заданное качество регулирования.

Объект задан системой дифференциальных уравнений возмущённого движения. (1.1)

В качестве критерия оптимальности выберем квадратичный функционал:

(2.1)

Функционал (2.1) характеризует интегральную квадратичную ошибку регулирования, взвешенную по константам a_1,a₂,a₃,с. Значения a_1,a₂,a₃ рассчитываем по формулам, впервые открытым проф. Жиляковым В.И.

Для первого уровня рассчитаем а_1, а_2, а₃ при t_p = 0.7 t_y = 0.717 = 11.9c.

Для второго уровня рассчитаем а_1, а_2, а_3, t_p выбираем на порядок меньше для обеспечения высокого быстродействия регулятора, с целью эффективного подавления возмущения: t_p = 1.19c, где с =1.

Для первого уровня:

Для второго уровня:

3. Синтез оптимального управления классическим вариационным методом

Объект управления задан системой д.у. возмущённого движения (1.2). В качестве критерия оптимальности выбираем квадратичный функционал (2.1) с весовыми коэффициентами a1,a2,a3, рассчитанными в предыдущем пункте.

Решим поставленную задачу классическим вариационным методом. По-скольку данная задача является задачей на условный экстремум, будем использовать метод неопределённых множителей Лагранжа. Составим промежуточную функцию:

(3.1)

Далее запишем уравнение Эйлера по всем переменным:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Отсюда записывается уравнение Эйлера по и U:

Размещено на http://www.allbest.ru/

(3.7)

Для нахождения управления U в явной форме необходимо найти вид неопределённого множителя . Для этого объединяем системы уравнений (1.1) и (3.7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

(3.8)

Далее нужно найти решение уравнений системы (2.4). Для этого составляется характеристический определитель.

Для того чтобы раскрыть данный определитель, произведём переход от коэффициентов b₁, b₂ и b₃ к b₁₁, b₁₂, b₁₃, b₂₁, b₂₂, b₂₃, b₃₁, b₃₂ и b₃₃. Для этого произведём следующие преобразования:

y₁ = y₂;

y₂ = y₃;

y₃ = - b₃y₃ - b₂y₂ - b₁y₁ - mU.

Составим определитель:

b₁₁ b₁₂ b₁₃ 0 1 0

b₂₁ b₂₂ b₂₃ = 0 0 1

b₃₁ b₃₂ b₃₃ 1 1 1

Откуда следует, что b₃₁ = - b₃, b₃₂ = - b₂, b₃₃ = - b₁.

Раскрыв определитель (3.9) получим характеристическое уравнение вариационной задачи (р)=0 в виде:

(3.10)

где:

Свойство характеристического определителя состоит в том, что характеристическое уравнение, соответствующее ему, будет иметь только чётные степени Р. Следствием чего является наличие отрицательных корней (Р₁,Р₂,Р₃) и положительных (Р₄,Р₅,Р₆). Поскольку положительные корни не обеспечивают устойчивость, их отбрасывают.

Р₁ = Р₂ = Р₃ = - 0,71

Отсюда можно записать характеристическое уравнение синтезируемой системы:

(3.11)

Где

Назовём уравнение (3.11) первой формой характеристического уравнения синтезируемой системы.

Можно показать, что - функция всех фазовых координат возмущённого движения объекта. Отсюда уравнение регулятора:

(3.12)

где - неизвестные множители.

Поскольку уравнения возмущённого движения объекта известны, то, присоединив уравнение регулятора (3.12) к системе уравнений возмущённого движения (1.1). Получим уравнения замкнутой системы:

y₁=y₂;

y₂=y₃; (3.13)

y₃=-b₃y₃-b₂y₂-b₁y₁-m()

По системе (2.9) найдём характеристическое уравнение системы:

(3.14)

Раскрыв определитель находим характеристическое уравнение

(3.15)

где:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Назовём уравнение (3.15) второй формой характеристического уравнения синтезируемой системы.

Поскольку уравнения (3.11) и (3.15) - две формы одного и того же уравнения, то следовательно, равны их составные части.

Получим:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Находим численные значения:

Рисунок 3.1 Структурная схема одноуровневой системы управления

4. Синтез оптимального управления методом Калмана

Система задана уравнениями возмущенного движения:

y₁=y₂;

y₂=y₃; (4.1)

y₃=-b₃y₃-b₂y₂-b₁y₁-mU.

Запишем эту систему в матричном виде

Y= B Y+M U (4.2)

В качестве критерия оптимальности выберем квадратичный функционал:

(4.3)

В соответствии с методом Калмана предполагается, что управление U ищется в форме:

U=C^-1 M^T P(t) Y (4.4)

где С ^-1 - обратная матрица С;

P - решение алгебраического уравнения Рикатти, которое имеет вид:

P B+B^TP+A-P M C^-1M^T P=0 (4.5)

В соответствии с системой (1.1) матрица состояния объекта будет иметь вид:

0 1 0

B =0 0 1

-b₁ -b₂ -b₃

Матрица управления имеет вид:

0

М= 0;

m

a₁ 0 0 p₁₁ p₁₂ p₁₃ c₁ 0 0

A= 0 a₂ 0; P= p₂₁ p₂₂ p₂₃; C= 0 c₂;

0 0 a₃ p₃₁ p₃₂ p₃₃ 0 0 c₃

Подставляя уравнение (4.5) и решая это уравнение получим симметричную матрицу Р в которую входят неизвестные коэффициенты р₁₃, р₂₃, р₃₃, которые и являются коэффициентами оптимального управления матрицы:

Система для определения коэффициентов р₁₃, р₂₃, р₃₃ имеет вид:

(4.6)

С помощью программы MathCad решаем систему (4.6), в результате чего получим значения коэффициентов р₁₃,р₂₃,р₃₃ :

р₁₃ = 523,14; р₂₃ = 359,24; р₃₃ = 35,21.

Оптимальное управление найдем путем подстановки коэффициента оптимального управления в уравнение (4.4):

U=-m (р₁₃ x₁+ р₂₃ x₂+р₃₃ x₃) (4.7)

Полученные коэффициенты регулятора равны:

m₁=15170.3; m₂=523.14; m₃=359.24.

5. Реализация оптимального управления

После окончания процедуры синтеза необходимо реализовать найденное управление, т.е построить структуру оптимальной системы.

Существует два качественно различных способа реализации закона управления. Первый заключается в том, что управление может быть реализовано различными способами. Второй подход подразумевает, что поскольку оптимальное управление единственно, то единственна и структура его реализующая.

В данном курсовом проекте для реализации оптимального управления будет применяться второй подход. Структура такой системы оптимального управления была разработана профессором кафедры АУТПТЭК Жиляковым В. И. Данная структура приведена на рисунке 5.1.

Она представляет собой 2-х уровневую иерархическую систему. Первый уровень - задатчик невозмущённого движения, включающий в себя модель объекта и регулятор с коэффициентами, рассчитанными на время регулирования = 11.9с. на этом уровне формируется желаемый вид невозмущённого движения. . Сформированные невозмущённые движения используются на втором уровне системы в качестве задающих воздействий, с которыми сравниваются фактические движения объекта , формируя таким образом возмущённое движение системы. y₁(t), y₂(t), y₃(t). Поскольку управление U^*(t) первого уровня прикладывается и к объекту управления, то при точном моделировании объекта, постоянных его параметрах и отсутствии внешних возмущений невозмущённое и фактическое движение системы полностью совпадут. При этом y₁(t) = y₂(t) = y₃(t) = 0. Регулятор второго уровня формирует U=0. Если математическая модель построена неточно или меняются параметры объекта, или на объект действует внешнее возмущение, то возмущённое движение y₁(t), y₂(t), y₃(t) будет 0, формируя управление возмущённого движения U(t) таким образом, чтобы свести к нулю возмущённое движение. Коэффициенты регулятора второго уровня рассчитываются из расчета быстродействия в 10 раз большего чем задатчика невозмущённого движения.

Рисунок 5.1 Структурная схема двухуровневой системы оптимального управления

6. Анализ качества регулирования

Для оценки качества работы синтезированных систем оптимального управления необходимо промоделировать их работу при отработке задания, а также при воздействии внешних и параметрических возмущений.

Результаты моделирование работы одноуровневой системы, приведенной на рисунке 3.1 представлены на рисунках: 7.1, 7.2 (переходные процессы по заданию), 7.3, 7.4 (переходные процессы при параметрическом возмущении), 7.5, 7.6 (переходные процессы при внешнем возмущении).

По рисунку 7.1 видно, что переходный процесс апериодический длительностью 17с, что соответствует поставленной цели. Следовательно, коэффициенты n1,n2,n3 рассчитаны правильно. Статическая ошибка составляет менее 5%. По рисункам 7.1, 7.2, 7.5, 7.6 можно заключить, что динамика переходных процессов по заданию и по возмущению одинакова, т.е. система отрабатывает внешнее возмущение. Однако, как видно из рисунков 7.3, 7.4 при параметрическом возмущении одноуровневая система не устанавливается на заданный уровень.

Проведём моделирование работы двухуровневой системы (рис. 5.1) с коэффициентами оптимального регулятора, рассчитанными по методу Калмана. Графики переходных процессов по заданию представлены на рисунках 7.7, 7.8. Графики переходных процессов при отработке внешнего возмущения приведены на рисунках 7.11 и 7.12, а при отработке параметрического возмущения - на рисунках 7.9, 7.10. Графики возмущенных движений при внешнем возмущении - на рисунках 7.13, 7.14.

Как видно из графиков (рис. 7.11, 7.12), двухуровневая система с коэффициентами, рассчитанными по методу Калмана, отрабатывает внешнее возмущение за то время, на которое рассчитаны коэффициенты оптимального регулятора (17 с). Статическая ошибка составляет менее 5%.

При отработке параметрического возмущения (рис. 7.9, 7.10.) система устанавливается на заданное время, статическая ошибка составляет менее 5%.

Как видно из графиков (рис. 7.13, 7.14) возмущенных движений при внешнем возмущении система отрабатывает внешнее возмущение.

Рисунок 7.1 Графики переходных процессов в одноуровневой системе по заданию

Рисунок 7.2 Графики переходных процессов в одноуровневой системе по заданию и возмущению

Рисунок 7.3 Графики переходных процессов в одноуровневой системе при параметрическом возмущении

Рисунок 7.4 Графики переходных процессов в двухуровневой системе при внешнем возмущении (КВМ)

Рисунок 7.5 Графики возмущённых движений в двухуровневой системе при внешнем возмущении (КВМ)

Рисунок 7.6 Графики переходных процессов в двухуровневой системе при параметрическом возмущении (КВМ)

Рисунок 7.7 Графики возмущённых движений в двухуровневой системе при параметрическом возмущении (КВМ)

Рисунок 7.8 Графики переходных процессов в двухуровневой системе при внешнем возмущении (МК)

Рисунок 7.9 Графики возмущённых движений в двухуровневой системе при внешнем возмущении (МК)

Рисунок 7.10 Графики возмущённых движений в двухуровневой системе при параметрическом возмущении (МК)

функционал вариационный калман автоматический

Выводы

В процессе выполнения курсового проекта была рассчитана одноуровневая и двухуровневая автоматическая система регулирования. Расчеты велись с помощью двух методов: классического вариационного и метода Калмана.

Коэффициенты оптимального управления для первого уровня:

Коэффициенты оптимального управления для второго уровня:

m₁ = 15170.3; m₂ = 523.14; m₃ = 359.24.

Исследование показателей качества полученной АСР показывает, что данная АСР обеспечивает заданное качество регулирования, т.е апериодический переходный процесс и время регулирования t_p = 11.9 с.

Анализируя переходные процессы в синтезированной АСР, можно сделать вывод о том, что применение в данной системе оптимального регулирования и принципов теории возмущённого - невозмущённого движения позволяет добиться эффективного подавления внешних и параметрических воздействий, а также обеспечивает наперёд заданный вид переходного процесса.

Размещено на Allbest.ru

...