Синтез аналитического конструирования регуляторов

Историю развития теории управления можно разделить на три периода:

I период довоенный - основывается на преобразованиях Лапласа, в этот период развиваются методы развития анализа и синтеза, причем используется одна координата объекта. Качество регулирования задается по номограммам либо по некоторым косвенным показателям.

II период 50-е - 60-е годы - основано на использовании интегральных оценок и средне квадратичной ошибки. Используется одна выходная координата, качество оценивается по минимуму среднеквадратичной ошибке. Математические модели в этих двух периодах используются в виде передаточных функций.

III период современный период - характеризуется тем, что математическая модель объекта строится системой дифференциальных уравнений. Для управления необходимо использовать все n-фазовые координаты и цель управления задается аналитической зависимостью, так называемым функционалом от функций состояния, от переменных объекта. Такой подход требует соответствующих аналитических методов синтеза.

К настоящему времени построена математическая теория оптимального управления. На её основе разработаны способы построения оптимальных по быстродействию систем и процедуры аналитического конструирования оптимальных регуляторов. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов вместе с теорией оптимальных наблюдателей образуют совокупность методов, которые широко используются при проектировании современных сложных систем регулирования [1].

Сложность задач теории оптимального управления потребовала более широкой математической базы для её построения. В названной теории используется вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений, теория матриц.

В данном курсовом проекте будут рассмотрены два метода построения оптимальных систем: метод максимума и критерий обобщенной работы (метод А.А. Красовского).

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА

Объект управления представлен передаточной функцией вида:

где Т₁=6; Т₂=8; Т₃=9; k₁=1,05; k₂=1,15; k₃=1,25.

Структурная схема объекта управления представлена на рисунке 1.1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.1 - Структурная схема объекта управления

Для проведения синтеза оптимального регулятора приведем уравнения возмущенного движения объекта. Перейдем от передаточной функции объекта управления к системе дифференциальных уравнений:

(1.1)

где ; ; ; ; ; ;

График переходного процесса объекта управления представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - График переходного процесса объекта управления

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРА КЛАССИЧЕСКИМ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

При аналитическом конструировании регуляторов задаются уравнения возмущенного движения (1.1), выбирается функционал, как критерий оптимальности. Задача сводится к нахождению структуры, обеспечивающей устойчивость системы, минимум функционала и заданное качество регулирования.

В качестве критерия оптимальности выберем квадратичный функционал:

(2.1)

Функционал (2.1) характеризует интегральную квадратичную ошибку за все время переходного процесса, взвешенную по постоянным а₁, а₂, а₃, с.

Значения весовых коэффициентов функционала рассчитаем по следующим формулам :

(2.2)

Принимаем t_р=25с; с=1. Рассчитаем значения весовых коэффициентов функционала.

,

,

.

Рассчитанные весовые коэффициенты должны обеспечить апериодический переходный процесс с заданным временем t_p=25c.

Функционал (2.1) является целью управления, поэтому задача заключается в том, чтобы найти такое управление, то есть закон управления в аналитической форме, чтобы он совместно с уравнениями возмущенного движения обеспечивал устойчивую замкнутую систему, минимум функционала (2.1) и заданное качество регулирования, которое осуществляется соответствующим выбором весовых коэффициентов а₁, а₂, а₃, с.

Функционал представляет собой интегральную квадратичную ошибку регулирования за все время переходного процесса, взвешенную по константам. Следовательно имеем задачу Лагранжа - задачу на условный экстремум, так как функции у₁, у₂, у₃ будут являться решениями замкнутой системы дифференциальных уравнений (1.1) плюс уравнение регулятора.

Составим промежуточную функцию:

Запишем уравнение Эйлера по всем переменным:

(2.3)

Следовательно теперь можно записать уравнение Эйлера по и U.

(2.4)

(2.5)

Из уравнения найдем U:

(2.6)

Для того, чтобы найти управление в явной форме необходимо найти вид неопределенного множителя Лагранжа ₃. Для этой цели подставим (2.6) в (1.1), а систему (2.4) присоединим к системе (1.1), в результате получим систему уравнений вариационной задачи (2.7).

(2.7)

Дальнейшая задача заключается в том, чтобы найти решение уравнений вариационной задачи, для чего найдем ее характеристическое уравнение.

Составим характеристический определитель вариационной задачи:

(2.8)

Следовательно, имеем характеристическое уравнение (p)=0 вариационной задачи в виде:

(2.9)

где н₃ = -0,307, н₂ = 0,031 и н₁ = -0,001074. То есть :

Данное уравнение имеет 6 корней. Три отрицательных устойчивых корня p₁, p₂, p₃ и три положительные неустойчивые корня р₄, р₅, р₆.

Положительные неустойчивые корни образовались из-за использования неопределенных множителей Лагранжа. Следовательно эти корни не имеют ни какого отношения к синтезируемой системе и могут быть отброшены, тогда отрицательные корни p₁, p₂, p₃ будут являться конями характеристического уравнения. Найдём их численные значения с помощью программы Mathcad 2000 :

p₁ = p₂ = -0,291 и р₃ = -0,377

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

(2.10)

где ₃, ₂, ₁ определяются конями р₁, р₂, р₃ по формулам Виета:

(2.11)

Очевидно, что л₃ является функцией всех фазовых координат у₁, y₂, y₃, следовательно, аналитическое уравнение управления будет иметь вид:

(2.12)

Таким образом, если найти неизвестные коэффициенты n₁, n₂, n₃, то задача поиска оптимального управления будет решена. Подставим уравнение регулятора (2.12) в уравнения возмущенного движения (1.1).

(2.13)

Система уравнений (2.13) представляет собой уравнения замкнутой устойчивой системы. Найдем характеристическое уравнение системы (2.13):

(2.14)

Раскрывая определитель, найдем характеристическое уравнение в виде:

(2.15)

Раскрывая определитель (2.14) обнаружим, что коэффициент ₃ зависит от коэффициентов уравнений объекта (1.1) и от коэффициента n₃ оптимального управления (2.12). Коэффициент ₂ зависит от коэффициентов n₃ и n₂. А коэффициент ₁ зависит от коэффициентов n₃, n₂ и n₁. Так как характеристическое уравнение (2.15) тоже является характеристическим уравнением синтезируемой замкнутой системы, как и уравнение (2.10), следовательно, равны их соответствующие коэффициенты:

₃=₃; ₂=₂; ₁=₁.

Таким образом, можно найти неизвестные коэффициенты оптимального управления:

При вычислении получим, что:

n₁ = -0,932, n₂ = -4,441 и n₃ = -4,005.

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРА МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который можно сформулировать следующим образом: оптимальное поведение обладает свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния получившегося в результате первого решения.

Требуется провести синтез оптимальной системы для объекта, описываемого системой дифференциальных уравнений (1.1).

Задаём квадратичный функционал вида (2.1).

Весовые коэффициенты функционала рассчитаны по формулам (2.2).

Составим первое уравнение Беллмана:

(3.1)

Составим второе уравнение Беллмана:

(3.2)

отсюда управление равно:

(3.3)

Запишем функцию Ляпунова:

(3.4)

Найдём частные производные из уравнения (3.4):

(3.5)

Уравнение (3.1) перепишем с учётом (3.5):

(3.6)

Для того чтобы уравнение (3.6) было справедливо, необходимо одновременное равенство коэффициентов при соответствующих переменных. Поэтому сравним коэффициенты при соответствующих переменных. Получим систему нелинейных алгебраических уравнений:

(3.7)

(3.7)

Используя программу Mathcad 2000, были получены следующие коэффициенты, входящие в управление (3.3):

А₁₁ = 98,923

А₁₂ = 43,153

А₁₃ = 7,426

А₂₂ = 172,936

А₂₃ = 32,974

А₃₃ = 28,886

Следовательно, учитывая (3.3) и (3.5), оптимальное управление имеет вид :

Проведём расчёт оптимального управления для двухуровневой АСР ( при t_P = 0,1t_{P ИСХ} ).

Имеем :

А₁₁ = 7,030Ч10 ⁷

А₁₂ = 3,791Ч10 ⁶

А₁₃ = 5,751Ч10 ⁴

А₂₂ = 5,922Ч10 ⁵

А₂₃ = 1,009Ч10 ⁴

А₃₃ = 476,784

Так как рассчитанные коэффициенты велики и не могут быть реализованы физически, уменьшим их в 100 раз, что не скажется на качестве регулирования. Окончательно получаем :

n₁ = 57,51 n₂ = 10,09 n₃ = 4,768

4. АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРА МЕТОДОМ КРАССОВСКОГО А.А.

Процесс определения коэффициентов оптимального управления основан на методе динамического программирования, но при другом квадратичном функционале.

Объект управления задан системой дифференциальных уравнений (1.1).

Задаём цель управления в виде квадратичного функционала :

(4.1)

Задачу синтеза будем решать методом динамического программирования, используя функционал (4.1). Коэффициенты функционала рассчитываем по формулам (2.2).

Составим первое функциональное уравнение Беллмана:

(4.2)

Составим второе уравнение Беллмана:

Следовательно:

(4.3)

Теперь поиск оптимального управления сводится к нахождению . Для этого составим функцию Ляпунова:

(4.4)

По ( 4.4) запишем частные производные :

;

; (4.5)

;

Преобразуем уравнение (4.2), подставив в него (4.3):

(4.6)

конструирование программирование беллман математический

Очевидно, что после взаимного уничтожения некоторых слагаемых уравнения (4.6), оно будет иметь следующий вид:

(4.7)

Подставим выражения производных (4.5) в уравнение (4.7):

Определим коэффициенты при произведении фазовых координат и составим систему линейных алгебраических уравнений:

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: .

Используя программу Mathcad 2000, определим неизвестные коэффициенты управления А₁₃, А₂₃, А₃₃ :

А₁₁ = 102,117

А₁₂ = 61,27

А₁₃ = 31,707

А₂₂ = 282,197

А₂₃ = 195,309

А₃₃ = 311,34

Следовательно, учитывая (4.3) и (4.5), оптимальное управление имеет вид:

Аналогично проведём расчёт оптимального управления для двухуровневой АСР ( при t_P = 0,1t_{P ИСХ} ).

Имеем :

А₁₁ = 2,617Ч10 ⁸

А₁₂ = 1,57Ч10 ⁸

А₁₃ = 8,125Ч10 ⁷

А₂₂ = 2,229Ч10 ⁸

А₂₃ = 1,959Ч10 ⁸

А₃₃ = 2,535Ч10 ⁸

Так как рассчитанные коэффициенты велики и не могут быть реализованы физически, уменьшим их в 10000 раз, что не скажется на качестве регулирования. Окончательно получаем :

n₁ = 113 n₂ = 227,3 n₃ = 352,7

Размещено на Allbest.ru