Размещено на http://www.allbest.ru/

задание

Построить систему автоматического управления, основанную на использовании в качестве математической модели объекта системы дифференциальных уравнений, а также провести синтез оптимального управления по классическому вариационному методу, методу динамического программирования Беллмана и методу Красовского.

Объект задан передаточной функцией вида

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Математическая модель объекта

2. Аналитическое конструирование оптимального регулятора с использованием метода вариационного исчисления

3. Аналитическое конструирование оптимального регулятора с использованием метода Беллмана

4. Аналитическое конструирование оптимального регулятора с использованием метода Красовского

5. Анализ качества

Выводы

ВВЕДЕНИЕ

автоматическое управление система синтез

В настоящее время с развитием науки и техники усложняются производственные процессы и, соответственно, для наилучшего управления ими требуются оптимальные регуляторы. Для решения этой задачи используется аналитическое конструирование, под которым понимают группу методов синтеза автоматических систем управления, которые позволяют по выбранному критерию оптимальности аналитически сконструировать закон управления.

В основе аналитического конструирования лежит концепция возмущенного-невозмущенного движения Ляпунова. В соответствии с ней. при синтезе оптимального управления необходимо, чтобы оно всегда сводило бы возмущенное движение к невозмущенному, а также обеспечивалась минимизация функционала - критерия качества.

1. Математическая модель объекта управления

Математическая модель объекта управления задана в виде передаточной функции:

(1.1)

Структура модели объекта управления приведена на рисунке 1.1.

По данной структуре были получены переходные процессы, приведенные на рисунке 1.2.

По рис. 1.2 определяем длительность переходного процесса, которая составляет t_пп=130 с.

Необходимо перейти к описанию объекта в пространстве состояний, для этого перейдем от передаточной функции к системе дифференциальных уравнений первого порядка в виде

(1.2)

где

При выборе математической модели выполнены требования, предъявляемые к третьей группе методов построения АСР, а именно в качестве математической модели объекта используется система дифференциальных уравнений. Для управления используются все n фазовых координат, цель управления задается в виде функционала.

2 Аналитическое конструирование оптимального регулятора с использованием метода вариационного исчисления

В качестве функционала качества выбран квадратичный критерий вида

. (2.1)

Весовые коэффициенты функционала принимаем равными

Определим управление, которое обеспечивает устойчивость замкнутой системы и минимизирует функционал (2.1).

Решим поставленную задачу классическим вариационным методом. Поскольку данная задача является задачей на условный экстремум, Будем использовать метод неопределенных множителей Лагранжа.

Составим промежуточную функцию Гамильтона:

(2.4)

где л₁ и л₂ - множители Лагранжа.

Далее запишем уравнения Эйлера

(2.5)

где

Уравнения Эйлера (2.5) принимает вид

(2.6)

Из последнего уравнения системы (2.6) определим управление

.

Для нахождения управления в явной форме необходимо найти вид неопределенного множителя Лагранжа. Для этого объединяем системы (1.2) и (2.6)

(2.7)

Составим характеристический определитель системы

. (2.8)

Раскрыв определитель (2.8) получим характеристическое уравнение вариационной задачи Д(р)=0 в виде

(2.9)

Решая уравнение (2.9) получаем корни

Для обеспечения устойчивости и качества переходного процесса для замкнутой системы принимаем два корня с отрицательными вещественными частями.

Уравнение замкнутой системы принимает вид

(2.10)

где г₁=-(р₁+р₂)=0.287, г₂=р₁р₂=0.021. С другой стороны, замкнутую систему образуют уравнения возмущенного движения (1.2) и оптимальное управление вида

(2.11)

Составим характеристический определитель, соответствующий этой замкнутой системе

При раскрытии определителя получаем характеристическое уравнение

(2.12)

где

.

Очевидно, что уравнения (2.10) и (2.12) есть две формы одного и того же характеристического уравнения, а поэтому их соответствующие коэффициенты равны. Исходя из этого могут быть найдены коэффициенты обратных связей n₁ и n₂:

Таким образом, оптимальное управление вида (2.11) определено. Структура замкнутой системы автоматического регулирования с оптимальными обратными связями представлена на рисунке 2.1.

В качестве задания на вход подается ступенчатое воздействие

х_ЗАД= 1/к-nv₁-nv₂=1/0.6+3.828+12.323=17.817.

На рисунке 2.2 показаны переходные процессы в системе управления.

3 аналитическое конструирование оптимального регулятора с использованием метода беллмана Суть метода динамического программирования Беллмана следует из принципа оптимальности. Пусть объект задан уравнениями возмущенного движения (1.2) и функционал качества (2.1). Запишем уравнения Беллмана

(3.1)

где V - функция Ляпунова. Из второго уравнения находим оптимальное управление

. (3.2)

Для того, чтобы определить оптимальное управление, необходимо выбрать функцию Ляпунова. Выберем квадратичную форму функции Ляпунова.

.

Найдем частные производные

(3.3)

Преобразуем первое уравнение (3.1) с учетом частных производных (3.3)

(3.4)

Для нахождения коэффициентов функции Ляпунова уравнение (3.4) представим в виде системы

(3.5)

Решая систему (3.5) получаем коэффициенты функции Ляпунова

Исходя из формулы (3.2) оптимальное управление имеет вид

.

Структура оптимальной системы, синтезированной по методу динамического программирования Беллмана такая же, как и на рисунке 2.1.

Переходные процессы в оптимальной системе показаны на рисунке 3.1.



4 Аналитическое конструирование регулятора с использованием метода А.А. Красовского

Процедура определения оптимального управления основана на методе динамического программирования Беллмана, но при критерии качества в виде функционала обобщенной работы, который для системы второго порядка имеет следующий вид

, (4.1)

где V - функция Ляпунова. Составим уравнения Беллмана

(4.2)

Из второго уравнения находим оптимальное управление

. (4.3)

Первое уравнение Беллмана с учетом второго уравнения и частных производных от функции Ляпунова принимает вид

(4.4)

Для нахождения коэффициентов функции Ляпунова уравнение (4.4) представим в виде системы

(4.5)

Решая систему (4.5) получаем коэффициенты функции Ляпунова

Исходя из формулы (4.3) оптимальное управление имеет вид

.

Структура оптимальной системы, синтезированной по методу Красовского такая же, как и на рисунке 2.1.

Переходные процессы в оптимальной системе показаны на рисунке 4.1.



ВЫВОДЫ

В данном курсовом проекте осуществлен синтез оптимальной системы автоматического управления второго порядка различными методами.

При вобранном квадратичном критерии качества время переходного процесса в системе, синтезированной методом вариационного исчисления время переходного процесса составило t_пп=33 с. Перерегулирование отсутствует.

В оптимальной системе, синтезированной методом динамического программирования Беллмана время переходного процесса (при таком же критерии качества) составило t_пп=16 с. Перерегулирование - у=3%.

В оптимальной системе, синтезированной методом Красовского время переходного процесса (при критерии обобщенной работы) составило t_пп=30с. Перерегулирование отсутствует.

Таким образом, показатели качества оптимальных систем несколько отличаются, что поясняется различием в подходах к синтезу.

Наиболее простое решение задачи определения оптимального управления получается при использовании метода Красовского, однако, этот метод требует предварительной корректировки критерия качества. При использовании вариационного метода критерий качества может вообще не использоваться. При этом качество управление должно быть задано с помощью корней характеристического уравнения. Поиск оптимального управления в этом случае наиболее прост.

Наилучшие показатели по времени регулирования получаются при синтезе по методу Беллмана. время уменьшается в девять раз при незначительном перерегулировании.

СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТОМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЕ

Переходные процессы в оптимальной системе управления синтезированной методом вариационного исчисления

Переходные процессы в оптимальной системе управления синтезированной методом Беллмана

Переходные процессы в оптимальной системе управления синтезированной методом КРАСОВСКОГО

Размещено на Allbest.ru

...