Разработка программного обеспечения для построения статистической модели методом наименьших квадратов

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Факультет Информационных технологий и управления

Кафедра Системного анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: Разработка программного обеспечения для построения статистической модели методом наименьших квадратов

по дисциплине: Информатика

Студент Е.В. Царевич

Руководитель А.В. Гайков

Санкт-Петербург 2014

Содержание

• Введение
• 1. Описание метода наименьших квадратов
• 2. Алгоритм расчёта начальной скорости счёта и периода полураспада
• 3. Описание пользовательского интерфейса и результатов
• 4. Листинг программного кода
• Выводы
• Список использованных источников
• Введение
• математический статистика интерфейс программный
• Характерным для современного этапа развития естественных и технических наук является весьма широкое и плодотворное применение статистических методов во всех областях знания. Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике - в планировании, управлении и прогнозировании.
• Математическая статистика - раздел математики, в котором изучаются математические методы сбора, обработки и использования информации, полученной путем наблюдений массовых случайных явлений, - статистических данных - для научных и практических выводов путем выявления существующих закономерностей.
• Статистическими данными называется информация об объектах в какой-либо достаточно обширной совокупности, обладающий теми или иными признаками.
• Считается, что математическая статистика - это теория принятия решений в условиях неопределенности.
• Математическая статистика, возникнув в XVIII веке, получила свое развитие в работах Б. Паскаля, П. Ферма, Я. Бернулли, П. Лапласа. В современном развитии определяющую роль сыграли труды К. Пирсона, К. Крамера, Р. Фишера, Ю. Неймана и др. Значимый вклад в математическую статистику внесли русские ученые П. Л. Чебышёв, A.M. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, Б. В. Гнеденко и другие.
• Информация о работе любой отрасли производственной сферы (добыча нефти и газа, ремонт скважин, нефтехимическое производство, машиностроение и т.д.)ставит перед ее руководством и наукой задачу: как, сведя к минимуму расходы по использованию природных, материальных и людских ресурсов, эффективно анализировать работу отрасли, управлять ею, прогнозировать развитие возможных сценариев поведения отрасли как сложной системы. Это означает, что математическому моделированию подлежит (дискретный, непрерывный, фрактальный) информационный ток - статистическая совокупность - в виде случайных событий и случайных величин. Изучение подобного рода массовых явлений, выявление их статических и динамических закономерностей становится предметом математической статистики. Среди полезной информации о статистической совокупности особый интерес представляют статистические данные, которые можно записать в виде ряда {x(1), x(2), …, x(n)} числовых значений интересующего нас признака (случайной величины Х). Обработку этого ряда производят посредством методов математической статистики; при этом точность статистических методов повышается с ростом n.
• Следует также подчеркнуть, что обработке экспериментальных данных с целью построения моделей «сложных систем» (эмпирических зависимостей) должна предшествовать предварительная обработка, содержание которой, в основном, состоит в отсеивании грубых погрешностей измерений и в проверке соответствия распределения результатов нормальному закону. Следует помнить, что только после выполнения предварительной обработки можно с наибольшей эффективностью, а главное корректно, использовать более сложные экспериментально-статистические методы, позволяющие получать математические модели даже таких процессов, строгое детерминированное описание которых вообще отсутствует.
• 1. Описание метода наименьших квадратов
• Метод наименьших квадратов (МНК) - один из наиболее широко используемых методов при решении многих задач восстановления регрессионных зависимостей. Впервые МНК был использован Лежандром в 1806 г. для решения задач небесной механики на основе экспериментальных данных астрономических наблюдений. В 1809 г. Гаусс изложил статистическую интерпретацию МНК и тем самым дал начало широкого применения статистических методов при решении задач восстановления регрессионных зависимостей. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А.А. Марковым и А.Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.
• Метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки. Применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. В настоящее время широко применяется при обработке количественных результатов естественнонаучных опытов, технических данных, астрономических и геодезических наблюдений и измерений.
• Можно выделить следующие достоинства метода:
• а) расчеты сводятся к механической процедуре нахождения коэффициентов;
• б) доступность полученных математических выводов.
• Основным недостатком МНК является чувствительность оценок к резким выбросам, которые встречаются в исходных данных.
• Пусть имеется установка, работающая по принципу «черного ящика». На входе в данную установку мы можем установить вектор входных параметров , а на выходе из установки измерить вектор выходных параметров , где .
• Число представляет собой число опытов (рисунок 1).
• Рисунок 1 - Изображение исследуемого объекта
• Существование зависимости между двумя наборами величин и , где можно определить с помощью коэффициента парной корреляции , численная величина которого вычисляется по формуле:
• (1)
• Коэффициент парной корреляции находится в пределах , то есть или . Чем ближе коэффициент парной корреляции находится к единице, тем сильнее зависимость . При равенстве коэффициента парной корреляции нулю зависимость отсутствует. По числовому значению коэффициента парной корреляции можно сделать предположение о виде зависимости.
• Если коэффициент парной корреляции по абсолютной величине равен единице, то существует линейная зависимость (рисунок 2).

• Рисунок 2 - Вид линейная зависимости
• Если коэффициент парной корреляции положительный, то с увеличением аргумента, увеличивается значение функции (рисунок 3).
• Рисунок 3 - С увеличением аргумента увеличивается значение функции
• При отрицательном коэффициенте парной корреляции с увеличением аргумента, уменьшается значение функции.
• Рисунок 4 - С увеличением аргумента уменьшается значение функции
• В случае существования зависимости между входными и выходными параметрами объекта исследования ищется уравнение регрессии. Для поиска уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов.
• Суть метода наименьших квадратов заключается в следующем. Предполагается, что зависимость между величинами является линейной: и сумма квадратов отклонений расчетных значений от экспериментальных - должна быть минимальной.
• Расчетное значение запишем в следующем виде:
• (2)
• Сумму квадратов отклонений расчетных значений от экспериментальных запишем в виде:
• (3)
• В выражение (3) подставим уравнение регрессии (2) и получим:
• (4)
• Известно, что экстремум функции достигается тогда, когда первая производная равна нулю. В нашем случае имеются два неизвестных: и .По данным коэффициентам возьмем две частные производные:
• (5)
• Разделим оба уравнение системы (5) на -2. В результате, раскрыв скобки получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными и (6):
•  ;
• (6)
• Данная система может быть решена с помощью метода Крамера. Главный определитель системы равен:
• Коэффициенты при неизвестном и заменяем столбцом свободных членов, получаем определители:
• и
• Вычисляем коэффициенты по правилу Крамера:
• (7)
• Таким образом, получены коэффициенты уравнения регрессии .
• Уравнение регрессии (2) может адекватно описывать процесс только в интервале экспериментальных значений, с помощью которых вычислялись коэффициенты уравнения регрессии:
• .
• Для оценки адекватности модели, на практике могут быть использованы следующие оценки: корреляционное отношение и средняя относительная ошибка:
• , (8)
• где - среднее значение выходного параметра.
• (9)
• В настоящее время существует ряд нелинейных зависимостей, которые могут быть приведены к линейному виду . Операция приведения нелинейной зависимости к линейному виду называется линеаризацией.
• 2. Алгоритм расчёта начальной скорости счёта и периода полураспада
• Зависимость скорости счёта от времени описывается уравнением:
• (10)
• Приведем нелинейное уравнение (10) к линейному виду. Прологарифмируем обе части уравнения:
• .
• Проведем замену переменных:
• .
• В результате получим уравнение или .
• Таким образом, для того, чтобы найти предэкспоненциальный множитель и период полураспада, необходимо проделать следующие действия:
• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• Блок-схема алгоритма вычисления скорости счёта I₀и периода полураспада T_1/2 представлена на рисунке 4.
• Рисунок 4 - Блок-схема алгоритма вычисления начальной скорости счёта I₀и периода полураспада T_1/2
• 3. Описание пользовательского интерфейса и результатов
• Пользовательский интерфейс программного продукта разработан в среде Borland С++Builder 6 и состоит из одного модуля (Unit1), на котором располагаются следующие визуальные компоненты (рисунок 5):
• - панель инструментов с кнопками для выхода из программы и расчёта;
• - таблица с эмпирическими данными и расчётными данными;
• - панель для вывода результатов расчёта (I₀, T_1/2 и S);
• - графики зависимости скорости счёта (экспериментальные данные и расчётные) от времени.
• Рисунок 5 - Пользовательский интерфейс
• Результаты расчёта показывают, что минимальная сумма квадратов разности равна 0,5776, что является хорошим показателем работы реализованного метода наименьших квадратов.
• Установлена зависимость между временем и скоростью счёта:
• 4. Листинг программного кода
• //---------------------------------------------------------------------------
• #include<vcl.h>
• #pragma hdrstop
• #include "Unit1.h"
• #include "math.h"
• //---------------------------------------------------------------------------
• #pragma package(smart_init)
• #pragma resource "*.dfm"
• TForm1 *Form1;
• //---------------------------------------------------------------------------
• __fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)
• : TForm(Owner)
• {
• }
• //---------------------------------------------------------------------------
• void __fastcall TForm1::FormCreate(TObject *Sender)
• {
• //Загрузка данных варианта №8 в таблицу
• Tbl->Cells[0][0] = "№";
• Tbl->Cells[1][0] = "tau,ч";
• Tbl->Cells[2][0] = "Ii,имп/мин";
• Tbl->Cells[3][0] = "Iiр,имп/мин";
• for(int i=1;i<=7;i++)
• Tbl->Cells[0][i] = IntToStr(i);
• Tbl->Cells[1][1] = "0,5";
• Tbl->Cells[1][2] = "1";
• Tbl->Cells[1][3] = "1,5";
• Tbl->Cells[1][4] = "2";
• Tbl->Cells[1][5] = "2,5";
• Tbl->Cells[1][6] = "3,5";
• Tbl->Cells[1][7] = "4,5";
• Tbl->Cells[2][1] = "2660";
• Tbl->Cells[2][2] = "2090";
• Tbl->Cells[2][3] = "1640";
• Tbl->Cells[2][4] = "1280";
• Tbl->Cells[2][5] = "1000";
• Tbl->Cells[2][6] = "620";
• Tbl->Cells[2][7] = "378";
• }
• //---------------------------------------------------------------------------
• void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
• {
• double x[100],y[100],sx=0,sy=0,sxy=0,sx2=0;
• int n = Tbl->RowCount-1;
• //вычисление всех необходимых сумм
• for(int i=1;i<=n;i++){
• x[i] = StrToFloat(Tbl->Cells[1][i]);
• y[i] = log(StrToFloat(Tbl->Cells[2][i]));
• }
• for(int i=1;i<=n;i++){
• sx = sx + x[i];
• sy = sy + y[i];
• sxy = sxy + x[i]*y[i];
• sx2 = sx2 + pow(x[i],2);
• }
• //вычисление a и b
• double a = (n*sxy-sx*sy)/(n*sx2-pow(sx,2));
• double b = (sx2*sy-sx*sxy)/(n*sx2-pow(sx,2));
• //расчёт I0 и T1/2
• double I0 = exp(b);
• double t12 = 0.693/-a;
• Label1->Caption = "Начальнаяскоростьсчёта I0 = "+FloatToStrF(I0,ffFixed,4,1)+" имп/мин";
• Label3->Caption = "Периодполураспада T1/2 = "+FloatToStrF(t12,ffFixed,4,1)+' мин';
• //построение графиков и запись расчётных данных в таблицу
• Series1->Clear();
• Series2->Clear();
• Series1->Title = "Ii(tau)";
• Series2->Title = "Iiр(tau)";
• for(int i=1;i<=n;i++){
• Series1->AddXY(StrToFloat(Tbl->Cells[1][i]),StrToFloat(Tbl->Cells[2][i]));
• Tbl->Cells[3][i] = FloatToStrF(I0*exp((0.693*StrToFloat(Tbl->Cells[1][i]))/-t12),ffFixed,5,2);
• Series2->AddXY(StrToFloat(Tbl->Cells[1][i]),StrToFloat(Tbl->Cells[3][i]));
• }
• //критерийоптимальности
• double S = 0;
• S = pow((StrToFloat(Tbl->Cells[2][1])-StrToFloat(Tbl->Cells[3][1])),2);
• //расчёт критерия оптимальности
• for(int i=2;i<=n;i++)
• if(S > pow((StrToFloat(Tbl->Cells[2][i])-StrToFloat(Tbl->Cells[3][i])),2))
• S = pow((StrToFloat(Tbl->Cells[2][i])-StrToFloat(Tbl->Cells[3][i])),2);
• Label4->Caption = "Критерийоптимальности S = "+FloatToStrF(S,ffFixed,4,4);
• }
• //---------------------------------------------------------------------------
• void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)
• {
• Close();
• }
• //---------------------------------------------------------------------------
• Выводы
• В результате выполнения курсовой работы был изучен один из методов регрессионного анализа - метод наименьших квадратов, разработана программа для построения статистической модели методом наименьших квадратов по приведённым в задании экспериментальным данным.
• В итоге были расчитаны начальная скорость счёта I₀и период полураспада T_1/2и установлена зависимость между временем и скоростью счёта, расчитан критерий оптимальности Sкак минимальная сумма квадратов разности между экспериментальными и расчетными значениями. Критерий оптимальности показал хорошие результаты (на примере исходных данных ошибка регрессии лежит в пределе допустимой, т.к. взначениях функцииI(ф) значащих цифр ?3, а S<1).
• Программа разработана на языке C++ в среде ООП «BorlandC++ Builder 6»и предназначена для работы на операционных системах семейства Windows 9x,NT,XP,7,8. Блок-схема алгоритма расчёта составлялась в продукте Microsoft Visio 2010.
• Список использованных источников
• 1 Симонович, С.В. Информатика. Базовый курс: Учебник для вузов / С.В. Симонович. - СПб.: Питер, 2011. - 640 с.
• 2 Информатика: учебник под редакцией В.В. Трофимова. Электронные текстовые данные. - М: Юрайт, 2012. - 911 с. (ЭБ)
• 3 Шапорев, С.Д. Информатика. Теоретический курс и практические занятия / С.Д. Шапорев. - СПб.: БХВ, 2008. - 469 с.
• 4 Губин, В.И. Статистические методы обработкиэкспериментальных данных: Учеб. пособие для студентов техническихвузов / В. И. Губин, В. Н. Осташков. - Тюмень: ТюмГНГУ, 2007. - 202 с.
• 5 Культин, Н. Б. C++ Builder / Н. Б. Культин. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб. : БХВ-Петербург, 2008. - 463 с.
• 6Википедия [Электронный ресурс]: сайт компании Wikipedia Foundation Inc. - Электрон. дан. - Wikipedia Foundation Inc, 2013. Режим доступа http://ru.wikipedia.org/ свободный. - Загл. с экрана. - Яз. рус.
• Размещено на Allbest.ru