Апроксимація дискретно представлених кривих у полярній системі координат за критерієм найменших граничних відхилень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство аграрної політики України

Таврійська державна агротехнічна академія

Автореферат

дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Апроксимація дискретно представлених кривих у полярній системі координат за критерієм найменших граничних відхилень

Мацулевич Олександр Євгенович

Мелітополь 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства аграрної політики України.

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор Найдиш Андрій Володимирович, завідувач кафедри прикладної математики й обчислювальної техніки, Таврійська державна агротехнічна академія

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Скидан Іван Андрійович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Донецький національний технічний університет

- кандидат технічних наук, доцент Яхненко Віктор Мефодійович, доцент кафедри графіки і нарисної геометрії, Запорізька державна інженерна академія

Провідна установа: Київський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України м. Київ.

Захист відбудеться “16 ” червня 2003 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою: 72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою: 72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий 12 травня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.М. Малкіна

1. Загальна характеристика роботи

апроксимація спіралеподібний алгоритм газорозподіл

Геометричне моделювання дискретно представлених кривих (ДПК) є в даний час одним із розвинутих і перспективних розділів науки, що спирається на теоретичні і практичні досягнення прикладної геометрії і, одночасно, використовує могутній аналітичний апарат математичної теорії.

Методи дискретного геометричного моделювання (ДГМ) мають переваги в порівнянні з методами неперервного геометричного моделювання:

максимальна швидкодія розрахунків;

економія машинних ресурсів;

мінімальний обсяг пам'яті для збереження інформації.

Методи ДГМ можуть стати основою побудови ефективних універсальних обчислювальних схем, як у відношенні геометричних характеристик вихідних точкових масивів, так і у відношенні напрямку і характеру використання результатів моделювання.

Значні теоретичні досягнення й істотні практичні результати в області моделювання кривих ліній і поверхонь отримані завдяки зусиллям провідних вітчизняних вчених Ю.І.Бадаєва, Г.С.Іванова, С.М.Ковальова, І.І.Котова, Л.М.Куценка, В.Є.Михайленка, А.В.Найдиша В.М.Найдиша, В.О.Надолинного, В.С.Обухової, В.А.Осипова, А.В.Павлова, О.Л.Підгорного, А.М.Підкоритова, М.М.Рижова, І.А.Скидана, П.В.Філіпова і їхніх учнів, а також закордонних учених І.Адамса, Р.Безье, В.Гілоя, С.Кунса, У.Ньюмена, Д.Роджерса, Р.Різенфельда, А.Сазерленда, І.Фергюссона, А.Фореста, Д.Швейкерта та інших.

Актуальність теми.

Велика розмаїтість практичних задач дискретного геометричного моделювання пов'язана з наявністю різного роду похибок, якими обтяжені вихідні дані, при цьому число параметрів кривої, що моделюється, в багато разів менше числа заданих точок дискретної множини.

Для успішного розв'язання зазначених задач доцільно скористатися статистичними методами, що припускають наявність якого-небудь критерію наближення. При цьому у якості вихідних даних можуть виступати однозначні чи неоднозначні, стосовно осі абсцис, ДПК, задані в декартовій чи полярній системах координат. У даній роботі розглядаються неоднозначні (спіралеподібні) ДПК у полярній системі координат, щодо яких багато питань дискретного геометричного моделювання не розглянуто (критерії наближення, запобігання осциляції, ознаки опуклості і т.д.). Зазначимо, що наближення згаданих ДПК у декартовій системі координат вимагає використання локальних методів моделювання. При цьому спостерігається збільшення числа параметрів, що спричиняє ускладнення обчислювального апарата і зниження точності.

Таким чином, виникає необхідність розробки нових методів апроксимації неоднозначних ДПК у полярній системі координат за критеріями, що визначають екстремальні співвідношення між відхиленнями, що й обумовлює актуальність поставленої задачі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами, планами.

Робота виконана в рамках науково-технічної програми “Моделювання явищ і процесів в АПК” Таврійської державної агротехнічної академії (номер держреєстрації 0102 V 000695) відповідно до планів науково-дослідних робіт кафедр нарисної геометрії та інженерної графіки і прикладної математики та обчислювальної техніки. У процесі впровадження розв'язувалися задачі профілювання кулачків механізму газорозподілу в рамках науково-виробничої програми ВО “Південдизельмаш” (м.Токмак) по удосконалюванню експлуатаційних показників дизельних двигунів.

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертаційної роботи є розробка методів неосцилюючої апроксимації спіралеподібних дискретно представлених у полярній системі координат кривих за критерієм найменших граничних відхилень (НГВ).

Об'єктом досліджень є дискретно представлені спіралеподібні криві в полярній системі координат.

Предметом досліджень є сконструйований спеціальним чином простір параметрів, а також співвідношення між кутовими і лінійними параметрами, що визначають спіралеподібні ДПК у процесі апроксимації.

Методи досліджень: методи апроксимації, статистичні методи, методи дискретного геометричного моделювання кривих ліній.

Досягнення поставленої мети пов'язано з необхідністю розв'язання наступних задач:

провести аналіз існуючих методів апроксимації ДПК за різними критеріями;

дослідити особливості перенесення спіралеподібних дискретно представлених у полярній системі координат кривих у простір параметрів і на цій основі розробити способи їх лінійної та багатовимірної НГВ-апроксимації;

розглянути дискретні представлення спіралеподібних ДПК і розробити спосіб НГВ-апроксимації на основі дискретних представлень;

запропонувати геометричні параметри, що визначають спіралеподібні ДПК у полярній системі координат, і дослідити співвідношення між ними;

розробити спосіб опорних ДПК у полярній системі координат для розв'язання задачі дискретної НГВ-апроксимації спіралеподібних кривих;

розробити спосіб корекції прямолінійних ділянок НГВ-ДПК;

запропонувати ітераційний спосіб дискретної апроксимації спіралеподібних ДПК;

виконати програмну реалізацію обчислювальних алгоритмів;

здійснити впровадження результатів досліджень у практику.

Наукова новизна отриманих результатів:

Отримав подальший розвиток метод НГВ-апроксимації центрально організованих точкових множин спіралеподібними кривими у полярній системі координат перенесенням у простір параметрів;

Уперше запропоновані:

метод НГВ-апроксимації спіралеподібних ДПК на основі побудови опуклих опорних ДПК, що включає в себе геометричні схеми, розрахункові алгоритми і програми:

ітераційний спосіб побудови НГВ-розв'язку;

спосіб корекції прямолінійних ділянок НГВ-ДПК.

Практичне значення запропонованих методів полягає у можливості, що представляється проектувальнику, оптимізації за критерієм НГВ параметрів і характеристик процесів, представлених дискретними точковими масивами в полярній системі координат, у підвищенні точності моделювання і скороченні термінів проектування.

Пропонована в роботі програмна реалізація методу для розв'язання задач проектування кулачків, дозволяє одержати гладку поверхню, що задовольняє заданим умовам і забезпечує одержання заданої динаміки процесу газорозподілу дизельних двигунів, прийнята до впровадження в ВГК ВО “Південдизельмаш”.

Особистий внесок здобувача. Автором особисто розглянуті особливості і доведена можливість НГВ-апроксимації центрально організованих точкових множин спіралеподібними кривими при формуванні розрахункових алгоритмів у просторі їхніх параметрів. Розвинуто ідею Марченко І.Ф. про розв'язання НГВ-задачі на основі побудови опорних кривих на випадок завдання ДПК у полярній системі координат, досліджені геометричні схеми, складені розрахункові алгоритми і здійснена програмна реалізація. Конкретний внесок здобувача в спільні публікації складається з розробки і викладення основних положень пропонованих методів, складанні розрахункових алгоритмів і проведення тестових розрахунків.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м.Харків, 1998р.), на щорічних науково-технічних конференціях ТДАТА (м. Мелітополь, 2000, 2001, 2002р.), на науково-методичних семінарах кафедри нарисної геометрії й інженерної графіки Донецького технічного університету під керівництвом проф. Скидана І.А. (2000р.) і Одеського технічного університету під керівництвом проф. Підкоритова А.М. (2001р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 8 робіт (7 статей у міжвузівських і вузівських збірниках наукових праць, визнаних ВАК України, і 1 публікація у матеріалах наукових конференцій).

Структура й обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з введення, трьох розділів, висновку, списку використаних джерел з 183 найменувань і додатка. Робота містить 135 сторінок машинописного тексту, 55 рисунків, 14 таблиць.

2. Зміст роботи

Введення містить загальну характеристику роботи. Розкривається зміст, стан і перспективи розв'язання науково-прикладних задач дискретного геометричного моделювання спіралеподібних ДПК, їхня значимість для науки і практики, сформульовані мета і задачі дослідження, показана наукова новизна, практична цінність, рівень апробації і публікації результатів досліджень, а також їхнє впровадження в практику.

У першому розділі розглядається аналіз відомих методів моделювання неоднозначних відносно осі Ох, спіралеподібних і замкнених дискретно представлених кривих, у т.ч. параметричне представлення кривих при моделюванні; кускове моделювання; моделювання спіралеподібними кривими, заданими в декартовій системі координат; моделювання кривих у полярній системі координат.

Параметричне представлення спіралеподібних і замкнених ДПК, як і кускове їх моделювання, засновано на застосуванні класичних, широко відомих методів, що мають ґрунтовно розроблену теоретичну і практичну базу, однак, при цьому спостерігається значне зниження точності через неоднозначність такого роду кривих. Уникнути неоднозначності дозволяє застосування полярної системи координат. При цьому полярний центр слід розташовувати так, щоб на одному радіусі-векторі , нахиленому під кутом до полярної осі розташовувалася тільки одна точка вихідної точкової множини.

Моделюванню спіралеподібних кривих, заданих у полярній системі координат, присвятили свої роботи Гірш А.Г., Мірдавідов М.М., Петрова А.Т. та ін. Запропоновані ними методи дозволяють одержати обводи високої гладкості при різних умовах. В основу алгоритмів, за допомогою яких здійснюються розрахунки, покладено розв'язання системи лінійних рівнянь, програмна реалізація якого широко і всебічно розроблена. На жаль, структура розглянутих систем така, що досить часто їхня матриця виявляється погано обумовленою, розрахунки супроводжуються значними похибками, а методи орієнтовані на розв'язання задач інтерполяції і не гарантують відсутність осциляції. Розв'язання ж задач апроксимації з оцінкою відхилень у цих роботах не розглядалося.

У дослідженнях Ковтуна О.Н. розглядається моделювання квазіканалової поверхні перетинами з центрально організованих ДПК, що обмежують задані площі, а також формування плоских обводів із заданих дуг псевдоспіралей. Розроблені схеми також орієнтовані на інтерполяцію замкнених дискретно представлених кривих у декартовій системі координат, а моделювання здійснюється, по суті, на основі параметричного завдання ДПК від номера точки і має всі недоліки такого завдання.

Більш повно розглянуті питання дискретної інтерполяції спіралеподібних і замкнених кривих у дослідженнях Верещаги В.М. і Щербини В.М., де були обґрунтовані основні геометричні параметри ДПК, що моделюється, досліджені властивості кутів суміжності ланок СЛЛ, сформульовано і обґрунтовано критерій опуклості (увігнутості) ДПК на основі кутів суміжності, однак питання дискретної апроксимації ДПК у полярній системі координат не були розглянуті.

Моделювання дискретно представлених кривих у реальних умовах прямо пов'язано з вимірами значень величин, обтяжених похибками, що робить недоцільним застосування методів інтерполяції. У цьому випадку найбільш ефективним при моделюванні різних реальних процесів є попередня підготовка вихідних даних з наступною апроксимацією їх по якому-небудь із критеріїв. Найбільш відомим критерієм, що диференціюється, є критерій методу найменших квадратів (МНК), що відповідає нормальному закону розподілу похибок з нульовим середнім й одиничною дисперсією, до переваг якого можна віднести простоту обчислювальних алгоритмів, наявність глибокої теоретичної бази. Однак при збільшенні числа параметрів різко зростає обсяг обчислень, знижується їхня точність, не завжди дотримується передумова, що нагромадження похибок відбувається з нульовим середнім й одиничною дисперсією.

У роботі Сідлецької Н.І. і Харченко А.І. розглядалася апроксимація ДПК радіусо-дуговим способом у декартовій системі координат за критерієм МНК з оцінкою відхилень уздовж радіусів апроксимуючих кіл, що не завжди є можливим, оптимальним і зручним при практичному моделюванні.

Апроксимації однозначних дискретно представлених кривих у декартовій системі координат за критеріями, що не диференціюються, присвячені дослідження Єпішина Ю.Г., Загайтова І.Б., Успенського А.К. та ін.

Однак, розв'язання задачі пропонувалося робити методом перебору без використання простору параметрів, що спричиняє значне збільшення обсягів обчислень, неможливість одержання ефективних алгоритмів через відсутність конструктивного зв'язку між вихідним простором і простором параметрів.

В основу апроксимації дискретно представлених кривих за критеріями найменшого сумарного відхилення (НСВ) і найменшого граничного відхилення (НГВ) у роботах Найдиша А.В. покладене перенесення вихідних даних у спеціально сконструйований простір параметрів, у якому визначалися параметри апроксимуючої неперервної функції. Пропоновані автором методи НСВ і НГВ теоретично обґрунтовані. Це дало можливість розробки ефективних обчислювальних алгоритмів, що володіють високою швидкодією і дозволяють одержати розв'язок з досить високою точністю. Однак, через застосування неперервної функції при апроксимації ДПК за критеріями НСВ і НГВ, звужуються можливості ефективного запобігання осциляції розв'язку в процесі моделювання.

Значно підвищити ефективність запобігання осциляції, збільшити швидкість обчислень, підвищити точність моделювання і значно спростити обчислювальні алгоритми дозволяє застосування методів апроксимації на основі дискретного представлення моделюючої функції, що одержали розвиток у дисертаційній роботі Марченко І.Ф., де розглядалася дискретна НГВ-апроксимація однозначних ДПК на основі побудови в декартовій системі координат неосцилюючих опорних ДПК. Однак, при моделюванні спіралеподібних і замкнених кривих, характерних своєю неоднозначністю, пропоновані Марченко І.Ф. методи не гарантують відсутність осциляції. Перенесення ж результатів пропонованого Марченко І.Ф. методу в полярну систему координат, з метою запобігання неоднозначності, не представляється можливим, тому що його реалізація має ряд особливостей.

В другому розділі розглядається неперервна НГВ-апроксимація на підставі перенесення в простір параметрів, число вимірів якого дорівнює числу параметрів моделюючої функції.

У роботах Найдиша А.В. на основі перенесення в простір параметрів розглядалася задача апроксимації точкової множини площини в декартовій системі координат лінією, такою, щоб відхилення

, (1)

задовольняли би критерію найменших граничних відхилень. Тут - параметри, що керують формою і положенням шуканої НГВ-кривої.

При розв'язанні задачі НГВ - апроксимації спіралеподібних ДПК у полярній системі координат також передбачається побудова для деякої множини точок на площині спіралеподібної лінії параметри, що керують положенням і формою спіралі і представлені у функції лінійно), такої, щоб

( - (2)

Оскільки визначення значень параметрів на основі їхньої варіації чи обмеження їхньої кількості не вдається розчленувати на складові частини, послідовне виконання яких привело б до розв'язку, виникла необхідність перенесення розв'язку в простір параметрів. У цьому просторі заданим точкам відповідають деякі, цілком визначені поверхні, шуканій лінії відповідає точка, а задача зводиться до визначення положення цієї точки щодо отриманих багатовимірних поверхонь.

Відомо, що необхідною умовою успішного розв'язання задачі НГВ- апроксимації перенесенням у простір параметрів, представлений у декартовій системі координат, є лінійність моделюючої функції щодо параметрів, які її визначають.

Найбільш простим для параметризації є рівняння спіралі 1-го порядку

Особливості перенесення в простір параметрів у цьому випадку полягають в наступному:

Деякій довільній точці множини в просторі параметрів відповідає деяка пряма

що відтинає на осі простору параметрів відрізок , а на осі - відрізок

Множині точок відповідає множина (пучок) прямих П на площині параметрів ;

Точка на площині параметрів задає спіраль у площині , що описується рівнянням

(6)

Відхилення точки від прямої на площині параметрів дорівнює відхиленню точки від спіралі уздовж радіуса

У найпростішому випадку постановка задачі НГВ-апроксимації полягає в наступному: для заданої на площині множини точок побудувати спіраль

таку, щоб максимальне з відхилень заданих точок від цієї спіралі було б мінімальним на множині вказаних спіралей.

Спираючись на дослідження Найдиша А.В., показано, що в розглянутому перенесенні верхня межа пучка прямих П простору параметрів, відповідного упорядкованій множині точок заданої площини, є опуклою донизу, а нижня межа - опуклою догори ламаною лінією

Множина точок НГВ-розв'язку утворить серединну, неопуклу ламану лінію пучка П (штрихова лінія), кожен вузол якої має однакову абсцису з вузлом чи то верхньої, чи то нижньої межі .

НГВ- розв'язок буде знаходитися в перерізі, що проходить через вузол серединної лінії, ширина пучка П в якому уздовж осі буде мінімальною (горло пучка). Вузол серединної лінії, у якому , визначає на площині шукану НГВ-спіраль.

Поставлена задача НГВ-апроксимації має єдиний розв'язок, якщо графік має глобальний мінімум у вигляді точки, і розв'язків, якщо графік має глобальний мінімум у вигляді прямої рівня (ділянка верхньої межі паралельна ділянці нижньої межі).

Основний алгоритм розрахунку параметрів НГВ-спіралі вигляду

на площині полягає в наступному:

1. Рух здійснюється уздовж серединної лінії з точки при . Значення визначається в цьому перерізі з виразу

2. Рухаючись в напрямку визначається найближчий вузол серединної лінії, тобто найближче до нуля значення з виразу:

при , а шуканий вузол - вузол перетину -тої прямої з -тою.

3. Визначається

4. Розраховується

5. Продовжується рух уздовж серединної лінії в напрямку до наступного вузла і повторюються пункти 3 і 4 алгоритму для нового перетину.

6. Порівнюються значення і . Якщо , то рух здійснюється в напрямку , і повторюються п. 3...5. Якщо , то рух здійснюється в протилежному напрямку (убік ).

7. Рух (повторення пунктів 3...5) здійснюється доти, поки не знайдеться якийсь -тий вузол, для якого і розраховуються відхилення при знайдених значеннях і .

У роботі розглядається спосіб НГВ-апроксимації спіраллю 2-го порядку вигляду

на підставі перенесення в тривимірний простір параметрів .

Спосіб розв'язання представленої НГВ-задачі полягає в наступному:

Будується в просторі параметрів пучок площин , що відтинають на осях , і відрізки , і відповідно.

Прирівнюється і знаходиться розв'язок , у двовимірному просторі за основним алгоритмом.

Далі в тривимірному просторі визначається значення , що задовольняє критерію НГВ.

Отримані значення , та є параметрами шуканої НГВ-спіралі.

В обчислювальному плані розв'язання представленої тривимірної НГВ-задачі зводиться до послідовного розв'язання двох двовимірних задач (першої - у площині (при ), і другої - у площині , паралельній площині координат ) відповідно до основного алгоритму.

Зауважимо, що математична основа і геометрична схема запропонованого перенесення в простір параметрів нагадує схему, вперше отриману Найдишем А.В. Відмінність полягає в тому, що в даній роботі вихідні дані наведені в полярній системі координат і моделюючими кривими є спіралі, а відхилення розрахункових точок від заданих визначається уздовж відповідних полярних радіусів. Саме ці особливості вимагають додаткового розгляду виникаючих при цьому задач, оскільки в роботах Найдиша А.В. моделювання велося алгебраїчними поліномами в декартовій системі координат.

У випадку, коли немає необхідності визначення параметрів НГВ-спіралі розглядається НГВ-апроксимація на основі дискретних представлень спіралеподібних ДПК, для одержання яких, для К-параметричної неперервної функції, необхідно скласти систему з () рівнянь для () точок, інцидентних графіку функції, і виключити з них К параметрів. При цьому за розглянутими раніше алгоритмами розглядаються не параметри спіралі, а деякі точки, що визначають її в площині .

Отримано співвідношення значень сусідніх радіусів , представлених на нерівномірній і рівномірній сітках кутів відповідно

Відзначимо, що пропоновані алгоритми мають достатню універсальність і дозволяють здійснювати моделювання вихідних ДПК довільної конфігурації.

Методика одержання дискретних представлень, розглянута в даній роботі, застосовна і для інших функцій, що лінійно залежать від своїх коефіцієнтів. Такі функції шляхом “вирівнювання” приводяться до поліноміального вигляду.

У третьому розділі розглядається дискретна НГВ-апроксимація спіралеподібних ДПК у полярній системі координат без урахування моделюючої функції. Розроблено математичний апарат, що спирається не тільки на традиційне завдання ДПК множиною значень радіусів його точок на довільній сітці кутів , а і на використання спеціальних геометричних параметрів ДПК, що визначають спіралеподібні ДПК, до яких відносяться:

- кут нахилу i;і-1 ланки СЛЛ до горизонтальної осі;

- кут між і i;і-1 ланкою СЛЛ;

- кут між і i;i+1 ланкою СЛЛ;

- кут суміжності сусідніх ланок СЛЛ ДПК;

- площа трикутника, утвореного i+1;i;і-1 точками ДПК;

перевищення i-тої точки над хордою, утвореною i+1;i-1 точками ДПК.

Отримано критерії опуклості на підставі запропонованих геометричних параметрів ДПК.

Розглядається спосіб дискретної НГВ-апроксимації на основі побудови опорних неосцилюючих кривих, що обмежують дискретно задану точкову множину зовні і зсередини.

Побудова НГВ-ДПК здійснюється відповідно до загального алгоритму, що полягає в наступному:

1. Будуються неосцилюючі супровідні ламані лінії (СЛЛ) опорних ДПК;

2. Визначаються відхилення точок зовнішньої ДПК від ланок СЛЛ внутрішньої ДПК і вибирається серед них максимальне.

3. Аналогічно визначаються відхилення точок внутрішньої ДПК від ланок СЛЛ зовнішньої ДПК і вибирається максимальне.

З порівняння максимальних відхилень п.3 і п.4 вибирається менше і визначається, яка з опорних ДПК є основною. Максимальне відхилення точок допоміжної ДПК від ланок основної ДПК є меншим у порівнянні з аналогічним відхиленням точок основної ДПК від ланок допоміжної.

Основна опорна ДПК переміщується в середину смуги, що утворилася між основною і допоміжною ДПК, у напрямку відповідних радіусів на відстань mmax і визначається НГВ-розв'язок (чорні точки). Величина mmax визначається з виразу:

Am2 + Bm +C = 0, (16)

де

Отримана НГВ-ДПК буде опуклою у той же бік, що й основна опорна ДПК. Відсутність осциляції обумовлена однаковістю знаків кутів суміжності ланок СЛЛ основної опорної і НГВ-ДПК.

Розраховуються відхилення

заданих точок від розрахункових за формулою:

де і - радіуси-вектори відповідно попереднього і наступного вузлів основної опорної ДПК,

і - кути нахилу радіусів-векторів відповідно попереднього і наступного вузлів основної опорної ДПК

Дискретна НГВ-апроксимація без урахування моделюючої функції дає мінімально можливе, обумовлене внутрішньою геометрією заданої ДПК, значення НГВ, а підключення будь-якої апроксимуючої функції до процесу моделювання тільки погіршує його результат.

Розглядається дискретне моделювання за критерієм НГВ складених спіралеподібних ДПК, що мають досить виражені окремі ділянки. У цьому випадку здійснюється локальне моделювання кожної з ділянок окремо відповідно до загального алгоритму, з наступним стикуванням ділянок отриманої НГВ-ДПК.

Недоліком пропонованого способу моделювання спіралеподібних кривих у полярній системі координат є наявність прямолінійних ділянок НГВ-ДПК, що може бути не завжди бажаним при розв'язанні деяких практичних задач оптимізації, а отже, виникає необхідність корекції прямолінійних ділянок з метою одержання замість них криволінійних ділянок, опуклих у той же бік, що й основна опорна ДПК вихідної точкової множини.

Тільки в цьому випадку погіршення якісних показників НГВ-наближення буде мінімальним. У першу чергу це стосується ділянки, що визначає значення НГВ.

Корекція прямолінійних ділянок здійснюється шляхом зміни, на величину , значень кутів нахилу ланок супровідної ламаної лінії (СЛЛ) до горизонтальної осі

Величина визначається за формулою

Застосування способу опорних ДПК викликає утруднення, якщо потрібна інцидентність НГВ-ДПК наперед заданим точкам.

Пропонується ітераційний спосіб побудови НГВ-розв'язку, суть якого полягає в тому, що змінивши значення радіусів вузлових точок на величину з відповідним знаком, можна буде для нового масиву точок побудувати нові опорні ДПК. У результаті нова смуга, до якої входять змінені граничні точки і ті точки вихідної ДПК, значення радіусів яких не змінювалися, звузиться. Процес звуження смуги кінцевий, зрештою, опорні ДПК збіжаться з точністю до заданого , які і можна вважати шуканою НГВ-ДПК.

З використанням запропонованого способу дискретної НГВ-апроксимації на основі побудови опорних ДПК розраховано конкретний приклад профілювання кулачка газорозподільного механізму дизеля ВО “Південдизельмаш”.

В основу розрахунків покладений графік переміщення штовхальника дизельного двигуна, що представляє собою симетричну відносно ДПК із кроком основної сітки . Побудовані НГВ-ДПК залежностей швидкостей і прискорень штовхальника, розраховані полярні координати точок профілю кулачка, зроблений порівняльний аналіз профілів кулачків, розрахованих за пропонованою методикою і традиційним способом.

Пропонована методика проектування і розрахунку кулачка газорозподільного механізму ДВС є більш достовірною в порівнянні з традиційною, оскільки відноситься до методів дискретного диференціювання. Метод цілком ув'язаний зі смугою дифпроекцій дискретного графіка значень і в розглянутих вузлах і дозволяє забезпечити відсутність осциляції, одержати гладку поверхню, що задовольняє заданому графіку переміщень штовхальника з дотриманням заданих характеристик процесу газорозподілу.

Висновки

На підставі проведених у дисертаційній роботі досліджень вирішена важлива науково-прикладна задача апроксимації спіралеподібних дискретно представлених у полярній системі координат кривих за критерієм найменших граничних відхилень (НГВ) на основі перенесення в спеціально сконструйований простір параметрів, а також задача дискретної НГВ-апроксимації таких ДПК.

Для цього розроблено новий метод, що спирається на ідею перенесення до простору параметрів для виділення множин з наперед заданими властивостями, і метод дискретної апроксимації, що ґрунтується на побудові неосцилюючих опорних ДПК.

Розроблені методи мають простоту розрахунків і забезпечують запобігання осциляції.

Значення для науки запропонованих методів у тім, що вони розвивають теорію розв'язання задач апроксимації представлених у полярній системі координат спіралеподібних ДПК у напрямку одержання неосцилюючих НГВ-наближень.

Використання отриманих результатів у наукових дослідженнях доцільно при розробці нових методів геометричного моделювання і розв'язанні прикладних задач неосцилюючого моделювання спіралеподібних ДПК за критерієм НГВ.

Значення для практики складається в підвищенні ефективності моделювання й оптимізації за критерієм НГВ різних явищ і процесів, характеристики яких представлені в полярній системі координат, і полягає в підвищенні точності моделювання за рахунок забезпечення відсутності осциляції розв'язку. Отримані моделі є більш досконалими, підкріплені програмним забезпеченням, що дозволяє розширити варіативність і скоротити терміни проектування.

Загальні висновки по роботі:

Застосування відомих методів НГВ-апроксимації однозначних ДПК для моделювання спіралеподібних (центрально організованих) ДПК не завжди задовольняє вимогам теорії і практики дискретного геометричного моделювання:

через неоднозначність таких ДПК у декартовій системі координат, не гарантована відсутність осциляції розв'язку;

неможливо застосувати методи моделювання, що враховують значення 1-й похідної, через наявність ділянок з вертикальними дотичними.

Застосування полярної системи координат для моделювання центрально організованих кривих дозволяє уникнути їхньої неоднозначності.

Одержав подальший розвиток метод НГВ-апроксимації перенесенням у простір параметрів стосовно до формування спіралеподібних кривих у полярній системі координат, що спирається на визначення параметрів НГВ-спіралі і дозволяє визначити множину можливих розв'язків.

Запропоновано спосіб НГВ-апроксимації на основі дискретного представлення спіралеподібних ДПК, що дозволяє одержати апроксимуючу НГВ-спіраль для точкової множини, що має різну конфігурацію.

Розроблено метод НГВ-апроксимації спіралеподібних ДПК на основі побудови опуклих опорних ДПК, що дозволяє одержати шуканий розв'язок переміщенням вузлових точок основної опорної ДПК. Метод містить у собі геометричні схеми, розрахункові алгоритми і програми.

Запропоновано спосіб корекції прямолінійних ділянок НГВ-ДПК, заснований на зміні значень кутів нахилу ланок СЛЛ до горизонтальної осі.

Досліджено ітераційний спосіб побудови НГВ-розв'язку, заснований на поступовому звуженні смуги, утвореної опорними ДПК, аж до повного їхнього збігу. Спосіб застосовується при необхідності виконати задані диференціально-геометричні умови (інцидентність заданим точкам та ін.) чи уникнути прямолінійних ділянок.

Запропоновані в роботі способи моделювання, підкріплені розробленим математичним апаратом, дозволяють розв'язувати задачі НГВ-апроксимації з оцінкою відхилень і забезпечують запобігання осциляції і підвищення точності розрахунків в полярній системі координат;

Упровадження результатів пропонованої роботи здійснене на ВО “Південдизельмаш” (м. Токмак) при профілюванні кулачків механізму газорозподілу дизельних двигунів, а також у навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь).

Вірогідність отриманих у роботі теоретичних результатів підтверджується тестовими прикладами, графічною ілюстрацією розв'язків, а також розрахунками практичної задачі профілювання в процесі впровадження.

Список основних опублікованих робіт за темою дисертації

Найдиш А.В., Мацулевич О.Е. Моделювання спiралеподiбних ДПК перенесенням до простору парамертiв // Прикл. геом. та iнж.граф.- К.:КДТУБА,1999.- Вип.65.- С.42-44.

Найдиш А.В., Мацулевич О.Є. Завдання спiралеподiбних ДПК у полярнiй системi координат //Прикл. геом. та iнж. графiка. /Працi ТДАТА. - Вип.4. - Т.17- Мелiтополь: ТДАТА, 2002.- С. 18-22.

Найдыш А.В., Мацулевич А.Е. Решение НСО-задачи со спиралеобразными ДПК //Прикл. геом. и инж.графика., /Труды ТГАТА. - Мелитополь, 1998. - Вып.4. - Т.5.- С.69-71.

Найдиш А.В., Мацулевич О.Є. Моделювання спiралеподiбних ДПК у полярнiй системi координат на основi кутiв нахилу ланок СЛЛ //Прикл. геом. та iнж. графiка. /Працi ТДАТА. - Вип.4. - Т.16- Мелiтополь: ТДАТА, 2002.- С. 31-35.

Найдиш А.В., Мацулевич О.Є., Лебедев В.О. Корекція прямолінійних ділянок НГВ-ДПК //Прикл. геом. та iнж. графiка. /Працi ТДАТА. - Вип.4. - Т.18- Мелiтополь: ТДАТА, 2003.- С. 20-23.

Найдиш В.М., Мацулевич О.Є. Дискретна апроксимацiя спiралеподiбних дискретно поданих кривих у полярнiй системi координат на основi побудови опорних кривих //Прикл. геом. та iнж. графiка. /Працi ТДАТА. - Вип.4. - Т.14- Мелiтополь: ТДАТА, 2001.- С. 36-40.

Найдиш В.М., Мацулевич О.Є. Критерiї опуклостi дискретно поданих спiралеподiбних кривих у полярнiй системi координат //Прикл. геом. та iнж. графiка. /Працi ТДАТА. - Вип.4. - Т.15- Мелiтополь: ТДАТА, 2002.- С. 43-47.

Найдиш А.В., Мацулевич О.Є. Дискретне моделювання складених спiралеподiбних дискретно представлених кривих у полярнiй системi координат //Геометричне та комп'ютерне моделювання. /Збірник наукових праць ХДУХТ. - Вип.2. - Харків ХДУХТ, 2002.- С. 15-18.

Анотація

МАЦУЛЕВИЧ О.Є. Апроксимація дискретно представлених кривих у полярній системі координат за критерієм найменших граничних відхилень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Таврійська державна агротехнічна академія. Україна, Мелітополь, 2003.

Захищається дисертація і 8 наукових праць, у яких досліджується апроксимація спіралеподібних дискретно представлених кривих (ДПК) у полярній системі координат за критерієм найменших граничних відхилень (НГВ).

Розглядається неперервна НГВ-апроксимація на підставі перенесення в простір параметрів і досліджуються властивості цього перенесення. Пропонуються методи лінійної і багатовимірної НГВ-апроксимації, складені алгоритми визначення параметрів функції-апроксиманта. Пропонується спосіб апроксимації на основі дискретних представлень спіралеподібних ДПК, який не потребує визначення параметрів НГВ-спіралі.

Розглядається дискретна НГВ-апроксимація спіралеподібних ДПК у полярній системі координат без урахування вигляду моделюючої функції на основі побудови опуклих опорних ДПК. Пропонуються способи дискретного НГВ-моделювання складених спіралеподібних ДПК, корекції прямолінійних ділянок апроксимуючої кривої, а також ітераційний спосіб побудови НГВ-розв'язку.

Результати досліджень впроваджені у виробництво при профілюванні кулачків механізму газорозподілу дизельних двигунів, а також у навчальному процесі академії.

Ключові слова: спіралеподібна дискретно представлена крива, осциляція, міра опуклості (увігнутості), супроводжуюча ламана лінія.

Аннотация

МАЦУЛЕВИЧ А.Е. Аппроксимация дискретно представленных кривых в полярной системе координат по критерию наименьших предельных отклонений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Таврическая государственная агротехническая академия. Украина, Мелитополь, 2003.

Защищается диссертация и 8 научных работ, в которых исследуется аппроксимация спиралеобразных дискретно представленных кривых (ДПК) в полярной системе координат по критерию наименьших предельных отклонений (НПО).

Рассматривается непрерывная НПО-аппроксимация на основании перенесения в пространство параметров, число измерений которого равно числу параметров моделирующей функции и исследуются свойства этого перенесения. Предлагаются методы линейной и многомерной НПО-аппроксимации, которые базируются на особенностях полученных в пространстве параметров многомерных поверхностей. Составлены алгоритмы определения параметров функции-аппроксиманта, позволяющие получить общее решение, упростить вычислительный аппарат. Предлагается способ аппроксимации на основе дискретных представлений спиралеобразных ДПК не требующий определения параметров НПО-спирали, обладающий достаточной универсальностью и позволяющий осуществлять моделирование исходных ДПК произвольной конфигурации.

Рассматривается дискретная НПО-аппроксимация спиралеобразных ДПК в полярной системе координат. Предлагается использование математического аппарата, опирающегося на использование специальных геометрических параметров при моделировании таких кривых и позволяющего определить полярные координаты точек ДПК-решения. Предлагается способ НПО-аппроксимации без учета вида моделирующей функции на основе построения выпуклых опорных ДПК, позволяющий получить минимально возможное значение НПО. Составлен алгоритм получения НПО-приближений в полярной системе координат, преимущества которого заключаются в снижении объемов вычислений и обеспечении отсутствия осцилляции. Предлагаются способы дискретного НПО-моделирования составных спиралеобразных ДПК значительной протяженности с достаточно выраженными отдельными звеньями, позволяющие осуществлять локальное НПО-приближение с последующей стыковкой участков НПО-ДПК. Составлены алгоритмы коррекции прямолинейных участков аппроксимирующей кривой путем изменения значений углов наклона звеньев сопровождающей ломаной линии к горизонтальной оси, позволяющие получить выпуклые в сторону основной опорной ДПК участки с минимальным ухудшением показателей НПО. Предлагается итерационный способ построения НПО-решения, основанный на постепенном сужении полосы, образованной опорными ДПК, до совпадения их с заданной точностью, позволяющий выполнить заданные дифференциально-геометрические условия или избежать прямолинейности участков НПО-ДПК.

Использование полученных результатов в научных исследованиях целесообразно при разработке новых методов геометрического моделирования и решении прикладных задач моделирования спиралеобразных ДПК по критерию НПО, обеспечивающих отсутствие осцилляции решения. Повышение эффективности моделирования и оптимизации по критерию НПО различных явлений и процессов, характеристики которых представлены в полярной системе координат, с практической точки зрения заключается в повышении точности моделирования, получении более совершенных моделей, подкрепленных программным обеспечением и сокращении сроков проектирования.

Результаты исследований внедрены в производство при профилировании кулачков механизма газораспределения дизельных двигателей, а также в учебном процессе академии.

Ключевые слова: спиралеобразная дискретно представленная кривая, осцилляция, мера выпуклости (вогнутости), сопровождающая ломаная линия.

Summary

Matsulevich А.Е. Approximation of the discretely presented curves in polar system of coordinates by criterion of the least limiting deviations. - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a speciality 05.01.01 - Applied geometry, engineering diagram. - Tavria State Agrotechnical academy. Ukraine, Melitopol, 2003.

The dissertation and 8 scientific works is protected, in which the approximation spiral of the discretely presented curves (DPC) in polar system of coordinates by criterion of the least limiting deviations (lld) is investigated.

The continuous lld-approximation is considered on the basis of transferring to space of parameters and the properties of this transferring are of of investigated. The methods linear and polygonal of lld-approximation are offered, the algorithms of definition of parameters of function - approximated are made. The way of approximation is offered on the basis of discrete representations spiral DPC not requiring definition of parameters of a LLD-spiral.

The discrete LLD-approximation spiral DPC in polar system of coordinates without the account of a kind of simulating function is considered on the basis of construction convex basic DPC, allowing to receive minimally possible meaning LLD. The ways of discrete LLD-modeling compound spiral DPC, correction of rectilinear sites approximated by a curve, and also iterative way of construction of the LLD-decision are offered.

The results of researches are introduced into manufacture at profilated cames of the mechanism gasallocation of diesel engines, and also in educational process of academy.

Key words: spiral the discretely presented curve, oscillation, measure of camber, accompanying broken line.

Размещено на Allbest.ru

...