Інформаційна технологія візуалізації функцій двох змінних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Інформаційна технологія візуалізації функцій двох змінних

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Одним із напрямків, які найінтенсивніше розвиваються в створенні програмного забезпечення, на сьогодні є розробка нових технологій і методів візуалізації результатів роботи програми, тобто такої їх подачі, в якій вони найбільш адекватно сприймаються людиною. Значний внесок у розвиток теорії і практики побудови автоматизованих інформаційних систем внесли Бабак В.П., Бондаренко М.Ф., Глушков В.М., Згуровський М.З., Міхайленко В.М., Морозов А.О., Павлов О.А., Петров Е.Г., Пожуєв В.І., Руденко О.Г., Скуріхін В.І., Стогній А.О., Ходаков В.Є., Хомченко А.Н., Цвіркун А.Д., Шарко О.В. та ін.

Актуальною є проблема зорового розуміння графічного образу як графічної інформації в ході аналізу користувачем. Її рішення припускає розробку нових принципів, що дозволяють активізувати інформацію, яка цікавить, за рахунок використання різних образотворчих засобів. Серед робіт, присвячених способам графічної побудови образів, можна виділити праці Корчинського В.М., Михайленка В.Є., Найдиша А.В., Толока О.В. і багатьох інших дослідників.

Візуальний аналіз працює з графічною інформацією, що являє собою візуальний образ геометричного об'єкта і зводиться до зорового виділення основних властивостей поводження поверхні, зумовлених засобами диференціювання математичного аналізу. Традиційні зображення поверхні не завжди дозволяють однозначно визначити екстремальні й особливі точки й лінії вигинів форми поверхні. Необхідна додаткова оцінка з застосуванням зорової інтерполяції для визначення елементів подібного роду.

Розв'язанню цієї проблеми присвячена запропонована робота, у якій викладено новий спосіб організації графічної інформації, що дає можливість відображати її диференціальні характеристики і заснований на рекурсивному уточненні розглянутої області для дослідження поверхні геометричного об'єкта.

Побудова алгоритмів, що дозволяють одержувати на основі математичного опису функції графічну інформацію про основні диференціальні характеристики її поверхні, безумовно, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Мета роботи і її основні задачі відповідають державним науково-технічним програмам, що сформульовані в Законі України «Про наукову і науково-технічну діяльність» і в Законі України «Про національну програму інформатизації», а також планам найважливіших науково-технічних робіт Міністерства освіти і науки України:

6. - Інформатика, автоматизація і приладобудування;

6.2.2. - Перспективні інформаційні технології і системи.

Дисертація відповідає напрямкам досліджень кафедр прикладної математики, математичного моделювання та інформаційних технологій Запорізького державного університету, а саме: «Розробка математичних моделей, створення ефективних аналітико-чисельних методів розрахунку складних механічних систем, алгоритмів візуалізації і створення інструментальної системи аналізу задач механіки», номер державної реєстрації 0197U012795. У виконанні науково-дослідницької роботи роль автора полягає у розробці системи формування і візуалізації потоків переробки інформації й управління формоутворенням геометричних об'єктів.

Мета і задачі дослідження. Розробити систему формування й візуалізації інформаційних графічних потоків, що формують основу дослідження геометричних характеристик поверхні функції двох змінних.

Поставлена мета визначає такі завдання:

розробити методи і алгоритми побудови візуального образу основних властивостей інженерно-геометричних об'єктів, заданих функціями двох змінних;

розробити алгоритм розбивки області завдання функції, використовуючи властивості рекурсивності й радіальності з метою підвищення якості візуалізації;

розробити метод візуального відображення результатів аналізу функцій з використанням принципів реконструкції реалістичного образу;

створити автоматизовану інформаційну систему формування графічної інформації поверхні геометричних об'єктів, що представляються за допомогою функції двох змінних.

Об'єктом дослідження є способи організації графічної інформації для візуалізації поверхні інженерно-геометричних об'єктів, заданих аналітично функцією двох змінних.

Предметом дослідження є алгоритми побудови графічних образів поверхні аналітично заданої функції двох змінних.

Методи дослідження. В основу досліджень покладено інформаційно-структурний метод та діалоговий процес спілкування людина - ЕОМ у процесі формування й візуалізації інформаційних графічних потоків, що формують основу дослідження геометричних характеристик поверхні функції двох змінних. Використовувались методи аналітичної і диференціальної геометрії, комп'ютерної графіки. При розробці алгоритмів і програмних модулів використано методи алгоритмізації й програмування.

Наукова новизна одержаних результатів полягає:

- розроблені методи й алгоритми формування графічної інформації для побудови візуальних образів основних геометричних властивостей інженерно-геометричних об'єктів заданих функціями двох змінних;

запропоновано алгоритм розбивки прямокутної області визначення функції, що підвищує якість візуалізації за рахунок застосування рекурсії та радіального підходу;

запропоновано метод візуального відображення результатів аналізу функцій, з використанням принципів реконструкції графічної інформації реалістичного образу;

розроблена автоматизована інформаційна система формування графічної інформації для візуалізації й обробки геометричних властивостей поверхні об'єктів, заданих аналітично за допомогою функції двох змінних.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблена система побудови графічної інформації, що дозволяє проводити візуальний аналіз поверхні функції двох змінних і яка підвищує ефективність моделювання задач, пов'язаних з аналізом різноманітних поверхонь і розрахункових додатків, заснованих на аналітичному описі. Реалізовано систему у вигляді завершеного пакету програм.

Результати досліджень упроваджені в системі РАНОК (Рекурсивний АНаліз Образних Компонентів), що проходить апробацію в інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України та в навчальному процесі Запорізького державного університету.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційне дослідження є самостійно виконаною науковою працею, в якій розроблена автоматизована система візуалізації. Автором у дисертаційній роботі використані лише ті ідеї, положення і розрахунки, що є результатом власного наукового внеску в публікаціях, виданих у співавторстві (див. уточнення в списку наукових публікацій автора за темою дисертації).

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертаційної роботи доповідалися на: міжнародній конференції «САПР - 95» (Україна, Крим, Ялта-Гурзуф, 1995); міжнародній конференції «Сучасні проблеми алгоритмізації» (Ташкент, 1996); XXII Yugoslay Congress Of Theoretical and Applied Mechanics (1997); XXV Ювілейній міжнародній конференції «Нові інформаційні технології в науці, освіті, телекомунікації і бізнесі» (Україна, Крим, Ялта-Гурзуф, 1998); семінарі відділу прикладної математики й обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгор-ного НАН України (Харків, 2001); VI міжнародної конференції з математичного моделювання (Херсон, 2003); семінарі наукової ради НАН України «Прикладні проблеми інформатики» з проблеми «Кібернетика» (Херсон, 2003); щорічних наукових конференціях Запорізького державного університету (Запоріжжя, 1995-2003).

Публікації. Основні результати виконаної роботи відображені у 6-ти друкованих наукових працях фахових видань, що входять до переліку ВАК України. Крім того, 4 статті в збірниках наукових праць і тезах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, додатків. Дисертація містить 145 сторінки тексту, 138 рисунків, 3 таблиці, 142 найменування літературних джерел. Обсяг додатків - 13 сторінок.

Основний зміст роботи

рекурсивність візуалізація алгоритм

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми дисертації; зазначено її зв'язок з науковими програмами, планами, темами; сформульовано мету і завдання дослідження; подано характеристику наукової новизни, теоретичного та практичного значення одержаних результатів; відзначено особистий внесок здобувача; ступінь апробації результатів.

У першому розділі зроблено огляд сучасного стану досліджуваної проблеми.

Переробка інформації, якої-небудь науково-дослідної роботи, представленої у виді графічних залежностей, підвищує надійність, живучість і вірогідність досліджуваного процесу, дозволяє знайти принципово важливі особливості, закономірності, а також відхилення від нормального ходу процесу. Усе це допомагає інженеру глибше вивчити задачу, вчасно внести відповідні зміни й виправлення в процесі проектування складних інженерних споруд.

Традиційні методи відображення ортогональної проекції у плані якої-небудь поверхні геометричного об'єкта припускають приведення її до дискретного каркасу. При завданні дискретного каркасу не можна говорити про однозначне відображення конкретної поверхні геометричного об'єкта. У цьому випадку, для наочності, дискретний каркас необхідно замінити безупинним каркасом, що давав би візуально доступне уявлення про досліджуваний об'єкт. Для рішення цієї проблеми, як правило, застосовуються два основних підходи:

заповнення за рівнями каркасу відповідним кольором чи тоном;

поточечне сканування образу з прив'язкою відповідного кольору чи тону кожної з розглянутих точок.

Перший випадок досягається досить простими засобами на базі отриманого каркасного уявлення, покладаючи подальшу інтерполяцію на асоціативні властивості сприйняття інженера. Тому цей підхід одержав найбільше поширення в системах візуального аналізу результатів розрахунку.

Реалізація другого підходу зв'язана з деякими труднощами, хоча цілком покладає на себе «інтерполяцію образу» досліджуваної поверхні геометричного об'єкта, оскільки ґрунтується на аналітичному виді опису без використання каркасу. Відсутність характерних вигинів ліній рівня призводить до ускладнення сприйняття окремих фрагментів, змушуючи оцінювати образ цілком. Це виявилося причиною, через яку даний підхід не одержав гідного розвитку.

У роботі пропонується реалізація даного підходу на основі реконструкції реалістичного образу на підобрази, що активізують сприйняття тих чи інших диференціальних властивостей досліджуваної поверхні геометричного об'єкта.

Пропонований підхід відроджує проблему реалізації алгоритмів поточечного сканування образів із прив'язкою відповідного кольору чи тону кожної з розглянутих точок.

Реалізація подібних алгоритмів зводиться, як правило, до двох основних етапів:

визначення максимальної й мінімальної величин на області зміни функції двох змінних ;

установка відповідності значенню функції елемента , (де кількість градацій кольору чи тону) на всій області визначення функції від двох змінних .

Перший етап не містить особливого інтересу, оскільки реалізується за допомогою послідовного перебору й порівняння величин, що надходять, з існуючими максимумами і мінімумами. Коли справа стосується відображення нормованих величин, зведених до інтервалу , необхідність першого етапу відпадає цілком.

Особливістю другого етапу є вибір способу сканування області визначення функції від двох аргументів . Тут можна виділити два принципи, на основі яких можна варіювати безліччю методів:

принцип растрового сканування (поелементний прохід по рядках матриці області визначення функції від двох аргументів);

принцип рекурсивного уточнення області визначення функції від двох змінних шляхом послідовної розбивки на підобласті.

Обидва принципи мають при цьому свої достоїнства й недоліки. Перший припускає одержання кінцевого результату відразу, виключивши різного роду втручання в процес, наприклад, попередній перегляд. Час сканування лінійний і залежить від кількості точок растра. У результаті робота ведеться зі статичним зображенням.

Другий підхід зв'язаний з динамічним процесом, де вибір методу рекурсивного уточнення області відіграє чималу роль при постановці задачі, він одержав розвиток у даній дисертації. Цей підхід припускає можливість оперативного втручання в процес на кожнім рівні вкладеності рекурсії, що в свою чергу допускає варіювання методами дослідження на локальних ділянках розглянутої області. Перевагою другого підходу є також можливість одержання графічної інформації, що відображає диференціальні властивості поверхні об'єкта й підвищення надійності й вірогідності інформаційного забезпечення при проектуванні.

У другому розділі розроблена автоматизована система формування і візуалізації потоків переробки інформації й управління формоутворенням геометричних об'єктів, заданих функцією двох змінних. При цьому використовується рекурсивний алгоритм, який заснований на радіальному принципі розбивки досліджуваної області геометричного об'єкта на підобласті, що дозволяє одержати уточнене подання графічного образу.

На відміну від традиційних алгоритмів розбивки області (Азертона, Варнока, Вейлера, Кетмула), в даній роботі запропонований алгоритм, де задана користувачем прямокутна область, на якій досліджується функція, розбивається на ділянки у вигляді правильних n-кутників. Правильність форми ділянки зумовлена використанням радіального принципу розбивки області на підобласті.

Однією з проблем, що виникають при роботі подібного алгоритму, є визначення розташування n-кутника щодо заданої області дослідження функції.

У даній роботі ця проблема вирішується рекурсивним способом та представлена у виді алгоритму 1.

Алгоритм 1.

Крок 1. Визначається радіус R і координати , центру кола, що охоплює прямокутну область дослідження функції з вписаним у неї правильним n-кутником, як зображено на рис. 1:

Крок 2. Ділянка у вигляді правильного n-кутника розбивається на n однакових секторів (рис. 2). Використовуючи лінійне перетворення

,

одержуємо нову ділянку з радіусом, рівним половині радіуса ділянки на попередній рекурсії, і повернену щодо точки на кут (рис. 2). При цьому розглядаються похилі площини, утворені ділянками підобластей усередині області, як наближені дотичні площини в околі точки P (рис. 2). Сама точка P при подібному розгляді наближеної дотичної площини не має, це вимагає удосконалити алгоритм, додавши в роботу алгоритму додаткову підобласть тієї ж конфігурації, що й інші, але розташованої в центрі підобласті (рис. 3).

На рис. 4 наведена схема рекурсивного алгоритму, що дозволяє формувати графічну інформацію про диференціальні властивості поверхні геометричного об'єкта. Такий підхід дозволяє розглядати рекурсивно околиці точки досліджуваної поверхні, що уточнюються. Радіальний обхід області, що розбивається, уточнює одержувану графічну інформації вже на ранніх рівнях рекурсії.

Отже, рекурсія продовжується доти, доки або вичерпається задана кількість ітерацій, або досягається піксельний рівень.

Приклад роботи системи формування й візуалізації потоків переробки інформації й управління формоутворенням геометричних об'єктів наведений на рис. 5.

Отже, у дисертаційній роботі розроблений алгоритм подання графічних образів, що дозволяє підвищити інформативність і якість відображення інформації за рахунок використання рекурсії й радіальної дискретизації, а також розроблена система формування й візуалізації потоків переробки інформації й управління формоутворенням геометричних об'єктів.

У третьому розділі пропонуються нові методи побудови візуального образу трьох геометричних властивостей поверхні.

Під властивостями поверхні розглядаються такі її прояви, як форма, фронт хвилі й глибина.

Відповідність градації тону до напрямку проекції вектора нормалі на площину XOY дозволяє спростити сприйняття напрямку схилів поверхні, активізуючи при цьому точки, у яких цей напрямок відсутній. Такими точками є екстремальні точки, в них дотична площина рівнобіжна горизонту. Цей прийом дозволяє виділити характер зламів поверхні, тому його визначаємо, як «форма». Форма визначається кутом між проекцією градієнта на площину OXY і позитивним напрямком осі OX.

На тестовому прикладі (рис. 8-11) з використанням восьмикутника, як елемента форми на прямокутній області, відображено результат роботи методу візуального виділення напрямку градієнта, ухилу градієнта і глибини як властивостей поверхні.

Таким чином, у роботі формалізований процес побудови бази даних і одержання графічної інформації, що відображає диференціальні властивості об'єкта і підвищує надійність і вірогідність інформаційного забезпечення при проектуванні складних інженерних систем.

Далі розглянутий ще один новий спосіб побудови графічної інформації, що дозволяє досліджувати поверхню геометричного об'єкта з використанням тих же принципів рекурсивної розбивки області

Модель поверхні з позиції форми характеризується властивостями із шістьма основними проявами: вершина, гребінь (хребет), схил, лощина, сідловина, улоговина.

Схематично однозначність характерної форми досягається шляхом дослідження чотирьох напрямків умовного стоку, як показано на рис. 12. Під умовним стоком будемо розуміти напрямок від вищої до нижчої точки. Напрямок умовного стоку на схемі показано стрілкою. Кодування шаблону передбачає такі дії: якщо напрямок виходить із центральної точки, то будемо вважати його нульовим; навпаки, коли напрямок входить у центральну точку, визначаємо його - одиничний. Отже, вершина на зазначеній схемі визначається чотирма нульовими напрямками, а улоговина - чотирма одиничними напрямками. Для визначення залишених схем форм необхідно задати обхід чотирьох напрямків умовного стоку. Умовно визначимо напрямок за годинною стрілкою. Початком обходу буде служити напрямок «вверх». У результаті маємо чотирьохбітовий набір, що визначає в різних своїх комбінаціях десяткові значення від «0» до «15».

Принцип візуального виділення форм полягає в дослідженні напрямку умовного стоку за допомогою визначення десяткового значення прояву форми. Оскільки кожен поворот шаблону збільшує кількість комбінацій прояву форми, то пропонується виділяти лише деякі однозначно окреслені.

Під однозначно окресленими формами будемо розуміти чотири основні види: пагорб, улоговина, хребет і лощина.

Оскільки пагорб і улоговина припускають єдину спрямованість умовного стоку або до центральної точки досліджуваної області чи від неї, то десяткове значення для пагорба визначається як рівне нулю, а для улоговини як рівне , де n - кількість досліджуваних напрямків умовного стоку на розглянутій області.

Хребет і лощина виявляються через існування єдиного напрямку умовного стоку, протилежно спрямованого стосовно інших напрямків умовного стоку досліджуваної області. Отже, десяткове значення для хребта визначається як перевірка на рівність отриманого десяткового значення з комбінацією значень 2ⁱ, де i - кількість напрямків умовного стоку. Аналогічно для лощини десяткове значення форми області порівнюється з комбінацією значень , де i - кількість напрямків умовного стоку.

Інше розмаїття комбінацій не є однозначним і з розгляду вилучається. У результаті заповнення опуклих областей (пагорб, хребет) зеленим кольором, а увігнутих областей (улоговина, лощина) - синім, одержуємо образ, що складається з особливих точок і ліній досліджуваної поверхні.

На тестовому прикладі рис. 13 з використанням восьмикутника як параметра форми на прямокутній області відображено результат роботи методу інформаційного забезпечення умовного стоку для візуального виділення особливих точок і характерних ліній зламів поверхні об'єкта, що дозволяє підвищувати якість графічного подання. Викладена нова інформаційна технологія одержання графічної інтерпретації геометричних властивостей інженерних об'єктів несе в собі ряд позитивних фактів: по-перше, образ результатів розрахунку легко переносимо на тривимірний об'єкт без відчутного зниження відображення наочності; по-друге, ступінь наочності не знижується при зменшенні загальних габаритів зображення, й, по - третє, існує можливість накладення різних образів один на одного.

У четвертому розділі наведені приклади дослідження аналітично заданих функцій двох змінних. Їх аналіз ведеться за допомогою розроблених методів та алгоритмів побудови графічних образів поверхні, що застосовують систему формування й візуалізації потоків переробки інформації й управління формоутворенням геометричних об'єктів. Зокрема, візуалізація функції Гріна для прямокутника, візуалізація динамічного процесу змушених нелінійних коливань прямокутних тонких пластин; візуалізація поверхні геометричних об'єктів представлених за допомогою R - функції; визначення засобів керування формоутворенням поверхні.

Наведено приклад використання інформаційної технології графічної інтерпретації геометричних властивостей об'єктів, заданих функціями двох змінних для функції Гріна на прямокутнику залежно від кількості доданків ряду.

Виконано порівняльний аналіз з традиційними методами візуалізації, які застосовуються у системі Math CAD.

Точка спостереження на прямокутнику (200Х200), де координати розташування цієї точки визначені відповідно, як . Задача полягає у визначенні кількості доданків ряду, s і k, де точка, у якій ряд логарифмічно розходиться, буде збігатися з координатами n і m.

Шляхом послідовного перебору комбінацій s і k одержуємо образи поверхонь для кожного випадку. У результаті отриманий вид поверхонь наближених значень функції Гріна для різної кількості доданків. Показано характер збіжності функції залежно від цього. На рис. 14, 19 при одиничних значеннях s і k зображено центрально-симетричний образ, оскільки взяті тільки перші доданки ряду.

Слід зазначити й той факт, що нерівні значення s і k призводять до відповідного зсуву екстремальної точки уздовж однієї з осей. Причому, значення s контролює зсув точки уздовж осі Oy (рис. 16, 21), а значення k забезпечує рух тієї ж точки поверхні уздовж осі Ox (рис. 15, 20).

При рівномірному зростанні кількості сум s і k, точка, у якій функція розходиться, неухильно прагне до координат m і n. Візуально можна припустити, що при значеннях s і k, рівних трьом, різниця між координатами (n, m) і координатами розглянутої точки поверхні (x, y) набуває мінімального значення (рис. 17, 22).

Подальше зростання s і k уже мало впливає на просторове розташування досліджуваної точки, але при цьому наочні зміни форми коливань уздовж осей Ox та Оy (рис. 18). Традиційний метод створення образу досліджуваної поверхні на кожнім етапі вимагає постійного уточнення побудови каркасу для одержання наочної інформації (рис. 19 - 23).

Результати графічного відображення поведінки динамічного процесу змушених нелінійних коливань прямокутних тонких пластин різної геометрії, модуля пружності й характеру зовнішнього впливу наведені на рис. 24, 25.

Як випливає з наведених даних, можна зробити висновок про те, що:

геометричні характеристики пластин і залежність модуля пружності матеріалу від часу впливають на форму коливань при постійній збурювальній силі;

використовуючи візуальне зображення характеру деформування пластин, можна встановити межі впливу пластинчастого ефекту.

Висновки

Розроблено систему формування й візуалізації потоків переробки інформації й управління формоутворенням геометричних об'єктів.

Розроблено інформаційну технологію графічної інтерпретації геометричних властивостей інженерних об'єктів, заданих функціями двох змінних.

Розроблено алгоритм представлення графічних образів, що дозволяє підвищити інформативність і якість відображення інформації за рахунок використання рекурсії і радіальної дискретизації.

Формалізовано процес побудови бази даних і одержання графічної інформації, що відображає диференціальні властивості об'єкта і підвищує надійність і вірогідність інформаційного забезпечення при проектуванні складних інженерних споруд.

Розроблено метод інформаційного забезпечення умовного стоку для візуального виділення особливих точок і характерних ліній зламів поверхні об'єкта, що дозволяє підвищувати якість графічного зображення.

Розроблені методи й алгоритми побудови графічних образів поверхні аналітично заданою функцією двох змінних дозволяють встановити межі впливу пластинчастого ефекту для різної залежності модуля пружності від часу й геометричних розмірів пластин, а також динамічних процесів змушених нелінійних коливань тонких прямокутних пластин під впливом зовнішнього впливу.

Розроблено методику управління формоутворенням двовимірних об'єктів на основі організації графічної інформації для візуалізації їхньої поверхні.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Мухін В.В. Візуальний аналіз на основі алгоритмів ітераційного уточнення // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - 2001. - №68. - С. 183-185.

Мухин В.В., Толок А.В. Рекурсивный алгоритм разбиения области с дополнительными параметрами уточнения // Вестник Херсонского государственного технического университета. - 2003. - №3 (19). - С. 312-314.

Автором розроблений рекурсивний алгоритм розбиття прямокутної області завдання функції, що підвищує адекватність та ефективність візуалізації за рахунок рекурсії й радіального підходу.

Кабак В.Н., Мухин В.В., Толок А.В. Визуализация динамического процесса вынужденных нелинейных колебаний прямоугольных тонких пластин // Механика и Машиностроение. -1998. - №1. - С. 63-67.

Автору належить отримання графічних образів і візуальний аналіз поведінки динамічного процесу вимушених нелінійних коливань тонких прямокутних пластин різної геометрії, модуля пружності й характеру зовнішньої дії.

Толок А.В., Мухин В.В. Аппарат визуализации форм поверхности результатов расчета методом конечных элементов // Тези доповідей наукових конференцій викладачів і студентів університету. - Запоріжжя (ЗДУ). - 1995. - С. 74-75.

Автором отримані графічні образи результатів розрахунку, отриманого методом кінцевих елементів.

Толок А.В., Мухин В.В. Модель геометрической поддержки для описания формы поверхности // Сборник научных трудов, посвященных 10-летию университета. Математика. Физика. - Запорожье (ЗГУ). - 1995. - С. 86-91.

Автором проведено дослідження для поверхні, апроксимованої каркасом.

Толок А.В., Мухин В.В. Визуализация некоторых дифференциальных свойств поверхности на основе реконструкции реалистичного образа // XXV Юбилейная междунар. конф. и дискуссионный клуб IT+SE'98 «Новые информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе». - Крым (Украина). - 1998. - С. 162-164.

Автором розроблений метод і алгоритми для візуалізації основних диференціальних властивостей геометричних об'єктів, заданих функціями двох змінних.

S.I. Gomenyuk, V.V. Mukhin, A.V. Tolok, V.A. Tolok. The instrumental system of solution and analysis of mathematical physics problems through method of finite elements (MFE) // XXII International school and conference on computer aided design CAD-95. New information technologies applications in science, educations, medicine and business. - Crimea (Ukraine). - 1995. P. 143-144.

Автором запропонований апарат візуалізації форм поверхні результатів розрахунку, отриманого методом кінцевих елементів.

Толок А.В., Мухин В.В. Алгоритм итерационного уточнения области исследования поверхности // Вiсник Запорiзького державного унiверситету. - 1998. - №2. - С. 90-97.

Автором для формування графічного образу використаний підхід рекурсивного уточнення, де як базовий елемент розглядається піраміда з правильною фігурою в основі.

Толок А.В., Мухин В.В. Исследование функции одной переменной с помощью графических образов // Вісник Запорізького державного університету. - 1999. - №1. - С. 108-112.

Автором отримані графічні образи допоміжних інформаційних графічних шарів, що складаються з сукупності відрізків, які лежать на одній прямій, що відображає диференціальні властивості з використанням градацій колірної зміни.

Мухин В.В. Аппарат визуального анализа свойств поверхности, заданной аналитическим способом // Вiсник Запорiзького державного унiверситету. - 1999. - №2. - С. 73-78.

Размещено на Allbest.ru