Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»

Физический факультет

Кафедра оптики

Курсовая работа

Компьютерное моделирование децентрированных оптических 2-D пучков Куммера-Гаусса

студентка группы Ф-44у Радченко К.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических

наук, профессор Гиргель С.С.

Гомель - 2014

Содержание

Реферат

Введение

1. Характеристики параксиальных децентрированных световых пучков

1.1 Параксиальные децентрованные пучки

1.2 Характеристики световых пучков

2. Физическая реализуемость децентрированных пучков Куммера-Гаусса

2.1 Условия физической реализуемости децентрированных пучков Куммера-Гаусса

2.1.1 Пучки Куммера-Гаусса

2.1.2 Децентрированные пучки Куммера-Гаусса

2.2 Условия квадратичной интегрируемости децентрированных пучков Куммера-Гаусса

3. Система компьютерной математики Maple и ее графические возможности

3.1 Компьютерная математика Maple

3.2 Построение двумерных графиков

3.2.1 Функция PLOT

3.2.2 Управляющие параметры

3.2.3 Управление стилем и цветом линий

3.3 Специальные средства построения графиков

3.3.1 Построение на бесконечности

3.3.2 Построение графиков нескольких функций

3.3.3 Полярная система координат

4. Компьютерное моделирование децентрированных оптических 2-D пучков Куммера-Гаусса

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Реферат

Курсовая работа 32 страницы, 1 таблица, 7 рисунков, 10 источников, 1 приложение

Ключевые слова: параксиальные пучки, пучки Куммера-Гаусса, гауссовоподобные пучки.

Предмет исследования: моделирование децентрированных оптических 2-D пучков в среде Maple.

Методы исследования: анализ, синтез, обобщение.

Цель курсовой работы: изучение системы компьютерное математики Maple и возможности моделирования в ней децентрированных оптических 2-D пучков.

Часто оптические световые пучки наклонены и децентрированы относительно оптической оси. Представляется целесообразным рассмотреть физические свойства таких пучков. Изучить графические возможности системы компьютерной математики Maple и ее на этой основе провести компьютерное моделирование децентрированных оптических 2-D пучков Куммера-Гаусса.

Выводы: В данной курсовой работе рассмотрены характеристики световых пучков.

Во второй главе изложены условия физической реализуемости децентрированных пучков Куммера-Гаусса.

В третьей главе рассмотрены и изучены основные возможности двумерной графики компьютерной математики Maple.

В заключительной четвертой главе предоставлены характеристики исследованных пучков при изменении параметров.

Введение

В настоящее время наблюдается всплеск интереса к поиску новых решений для оптических полей. Наибольший интерес представляют узконаправленные (пучковые) решения, реализуемые экспериментально.

Важным семейством световых полей является семейство гауссовых пучков.

Гауссовы световые пучки хорошо описывают реальные узкие пучки света, в частности излучение лазеров, собственные волны открытых резонаторов и оптических лучеводов. С развитием теоретической и экспериментальной базы оптики лазеров существенно расширились требования не только к количественным, но и к качественным, пространственным характеристикам оптического излучения. Возникла потребность в формировании световых пучков с определенными распределениями интенсивности и фазы в пространстве. Интересно, как меняются пучки при изменении тех или иных параметров.

1. Характеристики параксиальных децентрированных световых пучков

1.1 Параксиальные децентрованные пучки

Световой пучок -- оптическое излучение, распространяющееся по направлению от (или по направлению к) некоторой ограниченной области пространства, называемой центром (вершиной, фокусом) светового пучка. Пучок называют расходящимся, когда излучение распространяется от его центра и сходящимся, когда свет идет к центру.

Гауссовым пучком называется пучок электромагнитного излучения, в котором распределение электрического поля и излучения в поперечном сечении хорошо аппроксимируется функцией Гаусса. Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значение в теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод более высокого порядка.

Параксиальный луч (нулевой луч) -- одно из основных понятий так называемой параксиальной оптики (или, как её часто называют, оптики Гаусса).

Нулевыми, или параксиальными, лучами называются лучи, лежащие бесконечно близко к оптической оси центрированной оптической системы, или под весьма малыми углами к ней, и образующие на всех оптических поверхностях бесконечно малые углы падения и преломления. То есть, можно сказать, что параксиальным лучом будет луч, проходящий внутри бесконечно узкого цилиндра, окружающего оптическую ось системы.

Данное понятие геометрической оптики введено для удобства определения положения кардинальных точек центрированной оптической системы и её фокусных расстояний, так как в этом случае синусы и тангенсы углов, образуемых лучами с осью, могут заменять друг друга и, кроме того, могут быть заменены значениями углов в радианах.

Область, в пределах которой можно производить такие замены, принято называть нулевой, или параксиальной областью.Формулы, выведенные для этой области на основе нулевых лучей, имеют простую математическую форму.

В практике оптических расчётов параксиальные и нулевые лучи иногда различают, понимая под параксиальным лучом частный случай реального луча, а под нулевым лучом -- условный (фиктивный) луч, преломляющийся не на преломляющих поверхностях, а на условных плоскостях, и засекающий на оптической оси отрезки луча параксиального.

Световые ручки могут быть смещены в поперечных направлениях относительно оси z. Такие пучки называются децентрированными (decentered). Их ось может быть смещена (displacement) параллельно оси z в поперечном направлении и наклонена (titled) на некоторый угол относительно оси z.

1.2 Характеристики световых пучков

Когерентность. Колебания называются когерентными, если при сложении колебаний разность фаз сохраняется неизменной за время ф, достаточное для наблюдения. Средняя энергия результирующего колебания отличается от суммы средних энергий исходных колебаний и может быть больше или меньше нее в зависимости от разности фаз.

Временная когерентность волны характеризует сохранение взаимной когерентности при временном отставании одного из таких лучей по отношению к другому. Пространственная когерентность -- когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Монохроматичность. Световые пучки обладают монохромностью, т. е. имеют практически одну единственную частоту и соответствующую ей одну-единственную длину волны. Это объясняется тем, что у всех фотонов в лазерном луче одинаковая энергия. Мерой степени монохроматичности может служить полуширина линий испускания. Идеальное монохроматическое излучение - излучение с одной определенной и строго постоянной частотой.

Рисунок 1 - Монохроматичность излучения

Направленность. Направленным является излучение, которое распространяется в пределах небольшого телесного угла. Высокая направленность обеспечивает максимальную плотность энергии.

Параксиальность лучей гарантирует нам, что углы б, в, г будут малыми, т.е. значительно меньшими одного радиана.

Плотность потока --количество величины, которое проходит через единицу площади за единицу времени.

Плотность потока энергии -- физическая величина, численно равная потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока. Часто вводят также вектор плотности потока энергии (так называемый вектор Умова), величина которого равна плотности потока энергии, а направление совпадает с направлением потока.

Поляризация - физическая характеристика излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн, т. е. неэквивалентность различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу. [5,6]

Интенсивность -- скалярная физическая величина, количественно характеризующая мощность, переносимую пучком в направлении распространения.

, (1.1)

Расходимость пучка:

Образующая пучка w(z) представляет собой гиперболу, асимптота которой наклонена к оси под углом

, (1.2)

Этот угол равен углу дифракции основной моды в дальней зоне.

Общая угловая расходимость пучка составит

, (1.3)

2. Физическая реализуемость децентрированных пучков Куммера-Гаусса

2.1 Условия физической реализуемости децентрированных пучков Куммера-Гаусса

Для монохроматических волн вида скалярное параболическое уравнение, решением которого является амплитуда f параксиального светового 2D пучка, имеет вид [1 - 5]:

. (2.1)

Целесообразно далее перейти к безразмерным переменным

, (2.2)

Здесь , - некоторые характерные размеры пучка в направлениях, параллельных осям Ох и Оz соответственно.

Обычно вводится стандартный комплексный параметр пучка ,где z - расстояние от начала координат до точки, лежащей на оси пучка, в которой определяются характеристики волнового поля. Целесообразно нормировать параметр соотношением . В итоге получаем комплексный безразмерный параметр пучка

, (2.3)

где - некоторый комплексный скаляр.

Теперь параболическое уравнение (1.1) можно записать в безразмерном виде:

, (2.4)

Это уравнение имеет фундаментальное решение (гауссиан) [3]

, (2.5)

характеризует [1] двумерный гауссов пучок (основную моду).

2.1.1 Пучки Куммера-Гаусса

Амплитуды таких пучков можно представить в следующей форме

, (2.6)

Здесь введен второй безразмерный комплексный параметр пучка где комплексная константа . Индексы o и e означают соответственно четность (even) и нечетность (odd) функций и относительно аргумента . Функции и входят в амплитуды и , описывающие пучки соответствующей четности.

Решения для четных и нечетных функций пучка, входящих в (6), удобно представить через одну конфлюэнтную гипергеометрическую функцию [6-8] (функцию Куммера ):

; (2.7)

, (2.8)

где масштабный множитель при аргументе в функциях Куммера зависит от двух комплексных параметров пучка и :

. (2.9)

Зависимости функций от поперечной координаты определяются функциями Куммера и Гаусса, поэтому такие пучки, определяемые формулами (2.5-2.8), будем называть 2D пучками Куммера-Гаусса (K-G). Такие пучки зависят от трех произвольных комплексных параметров , и .

Функции (1.8) и (1.9) зависят от трех произвольных комплексных параметров , и . Подчеркнем, что, в соответствии с (1.5), для произвольного набора комплексных параметров (,,) всегда существуют два независимых решения и - четное и нечетное относительно изменения знака переменной Х.

Заметим, что трехмерные скалярные решения для пучков Куммера можно построить как произведения 2D решений типа:

. (2.10)

При этом возможна любая комбинация четностей. Поэтому, в общем случае, амплитуда 3D скалярного пучка Куммера зависит от трех координат и шести свободных комплексных параметров. Учитывая вышесказанное, далее снова ограничимся анализом только 2D пучков, фактически без потери общности.

2.1.2 Децентрированные пучки Куммера-Гаусса

Световые ручки могут быть смещены в поперечных направлениях относительно оси z. Такие пучки называются децентрированными (decentered). Их ось может быть смещена (displacement) параллельно оси z в поперечном направлении и наклонена (titled) на некоторый угол относительно оси z. Формально эти искажения ,будем описывать путем добавке к поперечной координате X комплексного скаляра , т. е. перейдем к переменной , где . Параметр характеризует начальное поперечное смещение, а - наклон пучка. Введем снова два комплексных параметра пучка где комплексные константы .

Тогда амплитуды четных и нечетных децентрированных пучков Куммера-Гаусса можно представить в следующей форме

, (2.11)

Здесь индексы o и e означают соответственно четность (even) и нечетность (odd) функций и относительно аргумента .

Децентрированные функции и децентрированный гауссиан соответственно равны

; (2.12)

; (2.13)

(2.14)

Итак, комплексная амплитуда децентрированного 2D пучка Куммера-Гаусса зависит от двух переменных и четырех свободных комплексных параметров .

2.2 Условия квадратичной интегрируемости децентрированных пучков Куммера-Гаусса

Наибольший практический интерес представляют физически реализуемые пучки конечной мощности. Амплитуда такого пучка должна быть ограниченной при всех Х. Более того, при амплитуда f должна стремиться к нулю и быть квадратично интегрируемой (КИ), т.е. интеграл должен сходиться. Чтобы гауссов пучок был физически реализуем, как известно, достаточно одного простого ограничения: .

Проведем анализ условий КИ для пучков Куммера. Для этого исследуем асимптотическое поведение функций f при . Асимптотическое поведение конфлюэнтной гипергеометрической функции при описывается формулой [7, 10]

, (2.15)

где Г - гамма-функция и . Учитывая (4.2) получим условия КИ для пучков, соответствующие различным частным ситуациям, рассмотренным ниже. [7,8,9]

Таблица 1 - Условия КИ для децентрированных пучков

					Предел при	Выполнение условий КИ
1			нет	?0		да да
2.1				?0		КИ только для
2.2				?0		КИ только для
3.1				?0		КИ только для
3.2				?0		КИ только для
4.1				?0		нет КИ
4a.1				?0		да
4.2				?0		нет
4a.2				?0		нет
4.3				?0		нет
4a.3				?0		нет
4.4				?0		нет
4a.4				?0		нет
5.1				?0		нет
5b.1				?0		да
5.2				?0		нет
5b.2				?0		нет
5.3				?0		нет
5b.3				?0		нет
5.4				?0		нет
5b.4				?0		нет
6.1				?0		нет
6.2			или	?0		нет
6a.1				?0		нет
6b.1				?0		нет
6a.2			или	?0		нет
6.3			или	?0		нет
6a.3			или	?0		нет
6b.2			или	?0		нет
6b.3			или	?0		нет

3. Система компьютерной математики Maple и ее графические возможности

3.1 Компьютерная математика Maple

Система компьютерной математики Maple является лидером среди систем символьной математики. Особенно широко она применяется в университетах и крупных научных центрах. Привлекательности системы, особенно новых реализаций Maple, во многом способствуют мощные средства визуализации вычислений и математических понятий.

В ядро системы Maple встроено ограниченное число функций построения графиков. Это, прежде всего, функция для построения двумерных графиков plot и функция для построения трехмерных графиков plot3d. Для построения специальных графиков (например, векторных полей градиентов, решения дифференциальных уравнений, построения фазовых портретов и т. д.) в пакеты системы Maple включено большое число дополнительных графических функций. Для их вызова необходимы соответствующие указания.

Средства для построения графиков в большинстве языков программирования принято считать графическими процедурами или операторами. Однако, в данном случае следует сохранить за ними наименование функций, в силу двух принципиально важных свойств:

*графические средства Maple возвращают некоторые графические объекты, которые размещаются в окне документа -- в строке вывода или в отдельном графическом объекте;

*эти объекты можно использовать в качестве значений переменных, то есть переменным можно присваивать значения графических объектов и выполнять над ними соответствующие операции.

Графические функции заданы таким образом, что обеспечивают построение типовых графиков без какой-либо особой подготовки. Для этого нужно лишь указать функцию, график которой строится, и пределы изменения независимых переменных. Однако, с помощью дополнительных необязательных параметров (опций) можно существенно изменить вид графиков -- например, настроить стиль и цвет линий, вывести титульную надпись, изменить вид координатных осей и т. д. Эти опции имеют значения по умолчанию - они и обеспечивают начальный вид графиков, который получается при использовании функций без задания опций в качестве их параметров. [1,2]

3.2 Построение двумерных графиков

3.2.1 Функция PLOT

В математике широко используются зависимости вида f(x) или у(х). Их графики строятся на плоскости в виде ряда точек, обычно соединяемых отрезками прямых. Таким образом, используется кусочно-линейная интерполяция двумерных графиков. Если число точек графика достаточно велико (десятки или сотни), то приближенность построения не очень заметна.

Для построения двумерных графиков служит функция plot. Она задается в виде:

plot(f,h,v)plot(f,h,v,о), (3.1)

где f -- визуализируемая функция (или функции), h -- переменная с указанием области ее изменения, v -- необязательная переменная с указанием области изменения, о -- параметр или набор параметров, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т. д.).

Самыми простыми формами задания этой функции являются следующие:

*plot( f ,xmin..xmax) --построение графика функции, заданной только своим именем;

*plot(f (x) ,x=xmin..xmax) --построение графика функции f(x). Диапазон изменения независимой переменной х задается как xmin..xmax, где xmin и xmax -- минимальное и максимальное значение х, .. (две точки) -- составной символ, указывающий на изменение независимой переменной. Имя х здесь дано условно -- независимая переменная может иметь любое допустимое имя.

Помимо построения самой кривой у(х) или f(x) необходимо задать ряд других свойств графиков, например вывод координатных осей, тип и цвет линий графика и др. Это достигается применением параметров графика -- специальных указаний для Maple. [3,4]

3.2.2 Управляющие параметры

Графики обычно (хотя и не всегда) строятся сразу в достаточно приемлемом виде. Это достигается тем, что многие параметры задаются по умолчанию и пользователь может о них ничего не знать. Однако язык общения и программирования Maple позволяет задавать управляющие параметры и в явном виде.

Для двумерного графика приведем некоторые возможные параметры:

*adaptive -- включение адаптивного алгоритма построения графиков;

* axes -- вывод различных типов координат (axes=NORMAL -- обычные оси, выводятся по умолчанию, axes=BOXES -- график заключается в рамку с осями-шкалами, axes=FRAME -- оси в виде перекрещенных линий, axes=NONE -- оси не выводятся);

*color -- задает цвет кривых;

*coords -- задание типа координатной системы;

*discont -- задает построение непрерывного графика (значения true или false);

*font -- задание шрифта в виде [семейство, стиль, размер];

*labels -- задание надписей по координатным осям в виде [X,Y], где X и Y -- надписи по осям х и у графика;

*linestyle -- задание стиля линий (1 -- сплошная, 2 -- точками, 3 -- пунктиром и 4 -- штрихпунктиром);

*numpoints -- задает минимальное количество точек на графике (по умолчанию numpoints = 49);

*scaling -- задает масштаб графика: CONSTRAINED (сжатый) или UNCONSTRAINED (несжатый -- по умолчанию);

*size- задает размер шрифта в пунктах;

*style--задает стиль построения графика (POINT -- точечный, LINE -- линиями);

*title -- задает построение заголовка графика (title="string", где string -- строка);

*thickness -- определяет толщину линий графиков (0,1,2,3, значение по умолчанию -- 0);

* view=[A, B] --определяет максимальные и минимальные координаты, в пределах которых график будет отображаться на экране, А =[xmin..хmax], B = [yrnin , .уmax] (по умолчанию отображается вся кривая);

В основном задание параметров особых трудностей не вызывает, за исключением задания титульной надписи с выбором шрифтов по умолчанию -- в этом случае не всегда поддерживается вывод символов кириллицы (русского языка). Подбором подходящего шрифта эту проблему удается решить. параксиальный децентрированный световой пучок

Специальный параметр adaptive задает работу специального адаптивного алгоритма для построения графиков наилучшего вида. При этом Maple автоматически учитывает кривизну изменения графика и увеличивает число отрезков прямых в тех частях графиков, где их ход заметно отличается от интерполирующей прямой. При задании adaptive = false адаптивный алгоритм построения графиков отключается, а при adaptive = true включается (значение по умолчанию). [3]

3.2.3 Управление стилем и цветом линий

Maple позволяет воспроизводить на одном графике множество кривых с разным стилем, который задается параметром style:

*POINT или point -- график выводится по точкам;

*LINE или line -- график выводится линией.

Если задано построение графика точками, то параметр symbol позволяет представить точки в виде различных символов, например прямоугольников, крестов, окружностей или ромбов. Другой параметр -- color -- позволяет использовать обширный набор цветов линий графиков:

Aquamarine black blue navy coral

Cyan brown gold green gray

Grey khaki magenta maroon orange

Pink plum red sien natan

Turquoise violet wheat white yellow

Различные цветовые оттенки получаются использованием RGB-комбинаций базовых цветов: red -- красный, gray -- зеленый, blue -- синий. Приведем перевод ряда других составных цветов: black -- черный, white -- белый, khaki -- цвет «хаки», gold -- золотистый, orange -- оранжевый, violet -- фиолетовый, yellow -- желтый и т. д.

При построении графика одной функции она записывается в явном виде на месте шаблона f. Примеры построения графика одной функции представлены: на рис. 1. Необходимо обратить внимание на то, что график функции sin(x)/x строится без характерного провала в точке х = 0, который наблюдается при построении графиков этой функции многими программами. Данный результат связан с использованием правила -- функция задается равной нулю, если ее числитель равен нулю. Данная функция в этой точке дает устранимую неопределенность 0/01, что и учитывает графический процессор системы Maple.

Построение простейшего графика функции в декартовой системе координат



Рисунок 2 - Построение графика функции в декартовой системе координат утолщенной линией

Рисунок 3 - Примеры построения графика одной функции

При построении графиков одной функции могут быть введены описание диапазонов и различные параметры, например, для задания цвета кривой, толщины линии, которой строится график функции, и др. К примеру, запись в списке параметров color=black задает вывод кривых черным цветом, а запись thikness=2 задает во втором примере (рис. 2) построение графика линией, удвоенной по сравнению с обычной толщиной. Запись color=red дает красный цвет, color=green -- зеленый цвет, color=blue -- синий цвет и т. д. При черно-белой печати цвета представляются оттенками серого цвета.[4]

3.3 Специальные средства построения графиков

3.3.1 Построение на бесконечности

Изредка встречаются графики функций f(x), которые надо построить при изменении значения х от нуля до бесконечности или даже от минус бесконечности до плюс бесконечности. Бесконечность в таких случаях задается как особая константа infinity. В этом случае переменной х, устремляющейся в бесконечность, откладывается значение arctan(x).

Некоторые функции, например tan(x), имеют при определенных значениях х разрывы, причем случается, что значения функции в этом месте устремляются в бесконечность.

Функция tan(x), к примеру, в точках разрывов устремляется к“+” и“--”. Построение графиков таких функций нередко дает плохо предсказуемые результаты. Графический процессор Maple не всегда в состоянии определить оптимальный диапазон по оси ординат, а график функции выглядит весьма непредставительно, если не сказать безобразно.

Среди аргументов функции plot есть специальный параметр discont. Если задать его значение равным true, то качество графиков существенно улучшается. Улучшение достигается разбиением графика на несколько участков, на которых функция непрерывна, и более тщательным контролем за отображаемым диапазоном. При discont = false данный параметр отключен и строятся обычные графики.

Следует отметить, что вид графика можно улучшить, просто задав диапазон по оси у (например, введя в параметры функции запись у = 10..10). При этом в точках разрыва могут появится вертикальные линии. Впрочем, иногда это бывает полезно. [1]

3.3.2 Построение графиков нескольких функций

Важное значение имеет возможность построения на одном рисунке графиков нескольких функций. В простейшем случае для построения таких графиков достаточно перечислить нужные функции и установить для них общие интервалы изменения.

Обычно графики разных функций автоматически строятся разными цветами. Но это не всегда удовлетворяет пользователя -- например, при распечатке графиков монохромным принтером некоторые кривые могут выглядеть слишком блеклыми или даже не пропечататься вообще. Используя списки параметров color (цвет линий) и style (стиль линий), можно добиться выразительного выделения кривых -- когда линии графиков выделяются стилем. В то же время при задании кривых разным цветом они при черно-белой печати могут перестать различаться.

Рисунок 4 - График функции sin(x)/x и ее полиномиальной аппроксимации

На рис. 4 показан еще один пример такого рода. Здесь построен график функции sin(x)/x и график ее полиномиальной аппроксимации. Она выполняется настолько просто, что соответствующие функции записаны прямо в списке параметров функции plot.

В данном случае сама функция построена сплошной линией, а график полинома точками -- ромбами. Хорошо видно, что при малых х аппроксимация дает высокую точность, но затем с ростом х ее погрешность резко возрастает.

Показанный на рис. 2 график полинома, построенный ромбиками, не означает, что полином представлен отдельными точками. В данном случае просто выбран стиль линии в виде точек. Однако часто возникает необходимость построения графиков функций, которые представлены просто совокупностями точек, т. е. по существу таблично. Такая совокупность может быть создана искусственно, либо просто задаваться списком координат х и значений функции.

В данном случае переменная Р имеет вид списка, в котором попарно перечислены координаты точек функции sin(x). В этом нетрудно убедиться, заменив знак «:» после выражения, задающего Р, на знак «;». Далее по списку Р построен график точек в виде кружков, которые отображают отдельные значения функции sin(x).

На рис. 3 показано построение графиков функций по точкам при явном задании функции списком координат ее отдельных точек. В первом примере эти точки соединяются отрезками прямых, так что получается кусочно-линейный график. Видно также, что указание типа точек после указания стиля линии игнорируется. [2]

Во втором примере (рис. 3) показано построение только точек заданной функциональной зависимости. Они представлены маленькими кружками.

Рисунок 5

Рисунок 6 - Построение графика функции, явно заданной отдельными точками

Построение графика по заданным точкам

До сих пор мы рассматривали графики функций. А можно ли задать несколько точек своими координатами и затем последовательно соединить отрезками прямой - другими словами, построить полигон! Используя при этом не специальную функцию, а обычную - plot.

Ответ на этот вопрос положительный. Рисунок 4 показывает вначале задание координат точек -- углов треугольника (аналогично можно было бы рассмотреть и другую фигуру). После этого строится график заданных точек, а затем уже график и самого треугольника.

Способность Maple к упрощению работы пользователя просто поразительна -- жаль только, что многие возможности этого становятся ясными после основательного изучения программы. Применительно к графикам одной из таких возможностей является построение графиков функций, заданных только их функциональными именами -- даже без указания параметров в круглых скобках. Такую возможность наглядно демонстрирует рис. 4.

> (3.2)

> (3.3)

> (3.4)

> (3.5)

> (3.6)

> (3.7)

Рисунок 7 - Построение графиков угловых точек треугольника и самого треугольника

, (3.8)

Рисунок 8 - Построение графиков четырех функций, заданных только их именами

Этот пример показывает, что возможно построение графиков функций даже без указания в команде plot диапазонов. При этом диапазон по горизонтальной оси устанавливается равным по умолчанию -10..10, а по вертикальной оси выбирается автоматически в соответствии с экстремальными значениями функций в указанном диапазоне изменения независимой переменной (условно х). [4]

Часто возникает необходимость построения графика точек, ординаты которых являются элементами некоторого вектора. Обычно при этом предполагается равномерное расположение точек по горизонтальной оси. Пример построения такого графика дан на рис. 6.

> , (3.9)

> , (3.10)

> , (3.11)

Рисунок 9 - Построение графика точек с ординатами, заданными элементами вектора

Из этого примера нетрудно заметить, что данная задача решается составлением списка парных значений координат исходных точек -- к значениям ординат точек, взятых из вектора, добавляются значения абсцисс. Они задаются чисто условно, поскольку никакой информации об абсциссах точек в исходном векторе нет, так что фактически строится график зависимости ординат точек от их порядкового номера n.

3.3.3 Полярная система координат

Графики в полярной системе координат представляют собой линии, которые описывают конец радиус-вектора r(t) при изменении угла t в определенных пределах -- от tmin до tmax. Построение таких графиков также производится функцией plot, которая для этого записывается в следующем виде:

plot([r(t),theta(t),t=tmin..tmax] ,h,v,p,coords=polar), (3.12)

Здесь существенным моментом является задание полярной системы координат параметр coords=polar. Рисунок 11 дает примеры построения графиков функций в полярной системе координат.

, (3.13)

(3.14)

Рисунок 10 - Построение графиков функций в полярной системе координат

Графики параметрических функций и функций в полярной системе координат отличаются огромным разнообразием. Снежинки и узоры мороза на стеклах, некоторые виды кристаллов и многие иные физические объекты подчиняются математическим закономерностям, положенным в основу построения таких графиков. [1]

4. Компьютерное моделирование децентрированных оптических 2-D пучков Куммера-Гаусса

Аналитически были получены условия физической реализуемости и квадратичной интегрируемости такие, чтобы энергия была конечной. Далее через компьютерное моделирование в зависимости от параметров, которые мы меняли, получили выводы. Компьютерное моделирование всех условий, согласно Таблице 1, приведено в Приложении А.

Рассмотрим из них самые подходящие случаи.

with(plots); Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I*A, nu = -3/2-I, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

В данном случае при увеличении параметра А растет децентровка, пики растут, причем один значительно быстрее второго, вершина смещается вправо. Пучок становится сильно несимметричным.

with(plots); Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I*A, nu = 3/2-I, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

nu = 3/2-I. При изменении параметра уже вершина смещается влево, пучок также становится сильно несимметричным.

with(plots); Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I*A, nu = -3/2+2*I, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

При увеличении н и изменении параметра А, входящего в х получаем, что вершина смещается вправо, правый пик стремительно растет, а левый - медленно падает. Постепенно пучок выравнивается и образует правильный пучрк со смещенным центром.

with(plots); Fo := subs(Z = 0, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = A*(-I), nu = -3/2+2*I, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

В данном случае наблюдается подобная ситуация, только уже стремительно растет левый пик, но пучок все же постепенно выравнивается со смещением центра влево.

with(plots); Fo := subs(Z = 0, Q0 = .2*I, P0 = .3*I, X0 = I*A, nu = 3/2+2*I, F[2]);animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);



Пучок очень стремительно увеличивает интенсивность, это видно из быстрого роста при изменении параметра.

with(plots); Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -I*1000, X0 = I*A, nu = -2/7, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

На начальном этапе пучок симметричен, но с изменением параметра симметричность теряется, правый пик растет быстрее, чем левый.

with(plots); Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -I*100000, X0 = I*A, nu = -1/2-I, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

Данный пучок также теряет свою симметричность, причем правый пик растет, а левый падает.

with(plots); Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = -1000*I, P0 = I, X0 = I*A, nu = -0.6-I, F[2]); animate(plot, [Fo, X = -4 .. 4, thickness = 1], A = 0 .. .4, frames = 5);

Теряется симметричность за счет резкого роста левого пика.

Заключение

В процессе выполнения данной курсовой работы рассмотрены характеристики параксиальных децентрированных световых пучков, проведен анализ условий физической реализуемости децентрированных пучков Куммера-Гаусса.

Наибольший интерес представляют узконаправленные (пучковые) решения, реализуемые экспериментально.

В третьей главе рассмотрены и изучены основные возможности двумерной графики компьютерной математики Maple, специальные средства построения графиков, такие как построение на бесконечности, построение графиков нескольких функций, построение графика по заданным точкам, а также построение графиков в полярной системе координат. Приведены примеры графиков.

В заключительной четвертой главе предоставлены характеристики исследованных пучков при изменении параметров, проведено моделирование децентрированных пучков Куммера-Гаусса и сделаны выводы о том, как меняется пучок при изменении различных параметров.

В Приложении А размещается само моделирование в системе Maple.

Список использованных источников

1. В.П. Дьяконов "Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании".М.: Солон-Пресс, 2006. - 720 с.

2. А.Н. Васильева "Maple 8. Самоучитель".М.: Диалектика, Вильямс, 2003, 352 c.

3. Говорухин В.Н. Цибулин В.А. Введение в Maple. Математический пакет для всех. - М.: Мир, 1997. - 208 с.

4. Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9. М: НТ Пресс, 2006, 496с.

5. Ананьев, Ю. А. Оптические резонаторы и лазерные пучки / Ю. А. Ананьев.- М.: Наука, 1990. - 264 с.

6. Гончаренко, А. М. Гауссовы пучки света / А. М. Гончаренко. - Мн.: Наука и техника, 1977. - 142 с.

7. Гиргель, С. С. Скалярные параксиальные двумерные гауссовоподобные пучки / С. С. Гиргель // Проблемы, физики, математики и техники. - 2010. - № 1(2). - С. 7 - 11.

8. . Гиргель, С. С. Физические свойства скалярных 2D пучков Куммера-Гаусса. / С. С. Гиргель // Проблемы, физики, математики и техники. - 2011. - № 4(9). - С. 19 - 23.

9. Bandres, M. A. Cartesian beams / M. A. Bandres and J. C. Gutierres-Vega // Optics Letters. - 2007. - Vol. 32, № 23. - P. 3459 - 3461.

10. Флюгге, З. Задачи по квантовой механике. Т.2 / З. Флюгге. - М.: Мир, 1974. - 418 с.

Приложение

Приложение А

Условия КИ для децентрированных 2D пучков Куммера-Гаусса

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = .8*I, nu = -3/2-I, F); plot(Feo, X = -2 .. 2, numpoints = 3);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I, nu = 3/2-I, F); plot(Feo, X = -3 .. 3, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I, nu = 3/2+I, F); plot(Feo, X = -4 .. 4, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I, nu = 3/2+2*I, F); plot(Feo, X = -4 .. 4, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 0, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = I, nu = -3/2+2*I, F); plot(Feo, X = -4 .. 4, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 0, Q0 = 2*I, P0 = I, X0 = -I, nu = -3/2+2*I, F); plot(Feo, X = -4 .. 4, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 0, Q0 = .2*I, P0 = .3*I, X0 = .6*I, nu = 3/2+2*I, F); plot(Feo, X = -2 .. 2, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 0, Q0 = 2*I, P0 = -I, X0 = I, nu = 2, F); plot(Feo, X = -3 .. 1.8, numpoints = 13);

Fe := subs(Z = 0, Q0 = 2*I, P0 = -I, X0 = I, nu = 2, F[1]); plot(Fe, X = -3 .. 3, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -1.22*I, X0 = .6*I, nu = 2, F); plot(Feo, X = -1 .. 1, numpoints = 13);

Fe := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -1.5*I, X0 = .6*I, nu = 2, F[1]); plot(Fe, X = -4 .. 4, numpoints = 13);

Fe := subs(Z = 2, Q0 = 2*I, P0 = .7*I, X0 = .6*I, nu = 2, F[1]); plot(Fe, X = -4 .. 5, numpoints = 13);

Fe := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -1.23*I, X0 = .6*I, nu = 2, F[1]); plot(Fe, X = -3 .. 3, numpoints = 13);

Fe := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -1.6*I, X0 = .6*I, nu = 4, F[1]); plot(Fe, X = -5 .. 5, numpoints = 13);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -I, X0 = .6*I, nu = 3, F); plot(Feo, X = -3 .. 1.8, numpoints = 13);

Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -I, X0 = .6*I, nu = 3, F[2]); plot(Fo, X = -3.5 .. 5, numpoints = 20);

Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -5*I, X0 = .6*I, nu = 3, F[2]); plot(Fo, X = -5 .. 5, numpoints = 50);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = -2*I, P0 = I, X0 = .2*I, nu = -2, F); plot(Feo, X = -2 .. 2, numpoints = 3);

Fo := subs(Z = 2/5, Q0 = -2*I, P0 = I, X0 = .2*I, nu = -2, F[2]); plot(Fo, X = -2.5 .. 2.5, numpoints = 3);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = -2*I, P0 = I, X0 = .6*I, nu = -3, F); plot(Feo, X = -3 .. 3.5, numpoints = 3);

Fe := subs(Z = 2/5, Q0 = -2*I, P0 = I, X0 = .6*I, nu = -3, F[1]); plot(Fe, X = -3 .. 3, numpoints = 50);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = 2/3, X0 = .5*I, nu = -2/7-I, F); plot(Feo, X = -.5 .. 2, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -I*1000, X0 = .2*I, nu = -2/7, F); plot(Feo, X = -6 .. 6, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2*I, P0 = -I*100000, X0 = .2*I, nu = -1/2-I, F); plot(Feo, X = -20 .. 20, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2/3, P0 = I, X0 = .2*I, nu = -.6, F); plot(Feo, X = -1.2 .. 1.2, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = -1000*I, P0 = I, X0 = .3*I, nu = -.6-1.*I, F); plot(Feo, X = -5 .. 5, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = 2/3, P0 = I, X0 = .3*I, nu = -.25-1.*I, F); plot(Feo, X = -.6 .. 1, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = -1000*I, P0 = I, X0 = .3*I, nu = -.1-1.*I, F); plot(Feo, X = -8 .. 8, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = -2/3, P0 = -3/4, X0 = .2*I, nu = -1/2-.5*I, F); plot(Feo, X = -5 .. 15, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, Q0 = -2/3, P0 = -10000*I, X0 = .5*I, nu = -1/2-.5*I, F); plot(Feo, X = -3 .. 1.5, numpoints = 6);

Feo := subs(Z = 2/5, P0 = -2/3, Q0 = -10000*I, X0 = .5*I, nu = -1/2-.5*I, F); plot(Feo, X = -2 .. 2, numpoints = 6);

Размещено на Allbest.ru

...