Размещено на http://www.allbest.ru/

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

УДК 519.21

МЕТОДИ СТАБІЛІЗАЦІЇ ТА РОЗРАХУНКУ РОЗПОДІЛІВ

НЕОДНОРІДНИХ СИСТЕМ МАРКОВСЬКОГО ТИПУ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Герасін Сергій Миколайович

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор Дікарєв Вадим Анатолійович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри прикладної математики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Михальов Олександр Ілліч, Національна металургійна академія України, завідувач кафедри інформаційних технологій та систем;

доктор технічних наук, професор Раскін Лев Григорович, Національний технічний університет „Харківський політехнічний інститут”, професор кафедри економічної кібернетики та маркетингового менеджменту;

Заслужений діяч науки і техніки України, доктор фізико-математичних наук, професор Яковлев Сергій Всеволодович, Харківський національний університет внутрішніх справ, професор кафедри прикладної математики;

Провідна установа: Національний технічний університет України “КПІ”, кафедра прикладної математики, м. Київ.

Захист відбудеться „23” 05 2006 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14.

Автореферат розіслано „19” 04 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нині спостерігається підвищений інтерес до теорії динамічних систем, зокрема до систем з хаотичною або випадковою поведінкою. Серед стохастичних систем цікавими й важливими з погляду практичних застосувань є системи марковського типу, властивостям яких відповідають найрізноманітніші технічні, фізичні, хімічні, біологічні та економічні процеси. Слід зазначити, що теорія марковських процесів традиційно розвивалась у двох напрямках: по-перше, як абстрактна математична теорія (тут основні результати належать А.М. Колмогорову, В. Феллеру, В.С. Королюку, В.І. Романовському, Т.А. Саримсакову, D.G. Kendall) і, по-друге, як прикладна теорія, зокрема, теорія масового обслуговування. Найбільш цікаві результати близькі цьому напрямку належать: Л.О. Афанасьєвій, Г.П. Башаріну, В.В. Калашникову, І.М. Коваленку, І.О. Коротаєву, Т. Сааті.

Чимало практичних задачах пов'язані з аналізом поведінки неоднорідніх марковських систем, тобто систем, параметри яких змінюються у часі. Такі системи вивчались у роботах В.В. Анісімова, А.Д. Вентцеля, В.А. Дікарєва, Р.Л. Добрушина, Р.Л. Стратановича, J. Hajnal, J.F.C. Kingman, A. Kosuk, Y. Mo-rita, E. Nummelin, E. Seneta, D. Vere-Jones.

Актуальною задачею є дослідження різних граничних властивостей неоднорідних марковських систем, зокрема, становлять інтерес задачі їх стабілізації. Під стабілізацією системи розуміють локалізацію її параметрів поблизу деяких наперед заданих значень. У випадку однорідних систем таку властивість системи називають ергодичністю. Стабільність є однією з найбільш важливих характеристик будь-яких систем незалежно від їх функціонального призначення. Методи стабілізації марковських систем та їх практична реалізація неодмінно пов'язані з проблемою вибору необхідних стабілізуючих впливів. Задачі, які при цьому виникають, обумовили напрямок досліджень даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи та отримані результати відповідають проблематиці держбюджетних та госпдоговірних тем, що виконуються в Харківському національному університеті радіоелектроніки. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетних тем:

- 443-1 “Синтез алгоритмів керування процесами стабілізації в економічних та технічних системах без післядії” (№ДР 0196U011360);

- 511(320) “Розробка теоретичних методів аналізу швидкоплинних електродинамічних процесів з метою ідентифікації їх характеристик” (№ДР 0197U014162);

- 104-1 “Розробка методів дослідження марковських процесів з швидкозмінними характеристиками з метою створення алгоритмів їх стабілізації. Додатки до задач економіки, екології та моделювання нейронних мереж” (№ДР 0100U001344);

- 151-1 “Розробка методів стабілізації та синтезу неоднорідних систем, що мають марковську властивість” (№ДР №0103U001574).

Автор брав участь у цих фундаментальних науково-дослідних темах як відповідальний виконавець, його роль полягала у розвитку теоретичних засад та методів розв'язання задач стабілізації неоднорідних марковських систем і застосуванні цих методів до практичного аналізу процесів та об'єктів різного функціонального призначення. Крім того, частина результатів дисертаційної роботи отримана автором під час виконання спільних робіт Харківського національного університету радіоелектроніки з науково-виробничими та науково-педагогічними установами та підприємствами України.

Мета і завдання досліджень. Мета роботи полягає у розвитку методів стабілізації неоднорідних марковських систем, параметри яких підлягають впливам різного типу; використанні отриманих результатів під час дослідження граничних режимів роботи систем марковського типу та їх застосуванні в задачах хімії, біології та техніки. Для досягнення поставленої мети в дисертації сформульовано та вирішено такі задачі дослідження:

- дослідження граничних властивостей розподілів дискретних марковських систем на базі дослідження спектральних властивостей матриць перехідних ймовірностей;

- розробка методів стабілізації та фокусування розподілів неоднорідних марковських і напівмарковських систем зі зліченною та континуальною кількістю станів, а саме виявлення умов, за реалізації яких має місце наближене фокусування розподілів;

- розробка методів стабілізації розподілів неоднорідних марковських систем зі змінною кількістю станів;

- аналіз і комп'ютерне моделювання процесів стабілізації та фокусування розподілів неоднорідних марковських систем під час впливу на їх параметри збурень різного типу;

- дослідження та числовий аналіз систем марковського типу зі зліченною кількістю станів шляхом редукції до скінченних систем.

Об'єкт дослідження. Процеси та системи фізики, хімії, біології, економіки, техніки і системи масового обслуговування, моделі яких мають марковські властивості.

Предмет дослідження. Математичні моделі систем марковського типу, параметри яких стрибкоподібно змінюються у часі, та методи стабілізації та розрахунку розподілів станів зазначених систем.

Методи дослідження. Основним інструментом дослідження є методи випадкового аналізу, теорія ергодичних марковських процесів, методи теорії диференціальних рівнянь с виродженими матрицями, що використано для дослідження граничних властивостей систем з неперервним часом, спектральні методи матричного аналізу, що дозволили спрогнозувати еволюцію систем з дискретним часом та обчислювальні методи.

Наукова новизна отриманих результатів. Теоретичні та експериментальні дослідження, проведені в дисертаційній роботі, дали змогу вирішити важливу наукову проблему розвитку теорії стабілізації розподілів неоднорідних систем марковського типу. Нові наукові результати, отримані автором:

- здійснено подальший розвиток теорії стабілізації розподілів неоднорідних систем марковського типу шляхом використання стрибкоподібних змінюваних впливів на параметри цих систем;

- вперше отримано повний опис множини стохастичних та інфінітезимальних матриць із заданими спектральними характеристиками (зокрема, сукупність власних чисел і власних та приєднаних векторів), що дозволяє реалізувати новий метод генерації усіх стохастичних матриць-функцій, подібних (у розумінні лінійного перетворення подібності) до заданої стохастичної матриці-функції та метод формування на комплексній площині множини, яка містить усі власні числа квазістохастичних матриць;

- вперше запропоновані методи стабілізації розподілів неоднорідних марковських систем на заданому інтервалі для випадку неперервного часу і стабілізації розподілів для неоднорідної дискретної марковської системи;

- вперше для марковських систем із змінюваною кількістю станів проведено числовий аналіз збіжності перехідних ймовірностей до їх граничних значень, що дозволило отримати умови збіжності перехідних ймовірностей до граничних значень за скінченний час;

- вперше запропоновано метод редукції марковських систем зі зліченною множиною станів, який дозволив отримати умови збіжності розподілів редукованих систем до розподілу початкової нескінченної системи;

– удосконалено метод апроксимації дифузійного процесу близьким до нього марковським процесом з дискретною множиною станів;

- вперше запропоновано новий метод формування розподілених у часі впливів різної природи (детермінованих, регулярних, випадкових), який забезпечує стабілізацію розподілів і підвищує швидкість збіжності ймовірностей станів до граничних значень.

Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення роботи полягає в тому, що на основі узагальнення відомих результатів і результатів, отриманих автором, створено теоретичну базу для дослідження широкого класу неоднорідних процесів, що мають марковську властивість та зустрічаються у задачах економіки, техніки, фармакології та медицини. Результати роботи можуть бути використані для дослідження ймовірнісних характеристик реальних систем різного типу, що описуються за допомогою скінченних або зліченних неоднорідних марковських процесів. Зокрема, вони становлять інтерес для дослідження та вирішення задач моделювання процесів фізико-хімічної кінетики, теорії масового обслуговування (за умов пікових навантажень системи) та теорії соціально-економічної мобільності. Методи, розвинуті в дисертації, можуть бути застосовані і для інших типів систем, моделі яких мають марковські властивості.

Матеріали дисертації було використано для дослідження динаміки процесів дифузії лікарських препаратів (ДНЦЛЗ Держкоммедбіопрому і НАН України, акт від 30.04.2002 р.) для аналізу та оптимізації інформації, що надходить під час спостерігання за космічними об'єктами (ДП НДПІ “Союз”, акт від 12.11.2004 р.), під час аналізу лінійної моделі швидкодіючої системи фазового автопідстроювання частоти (Харківський інститут ВПС, НДР №099309, акт від 27.11.2002 р.), для визначення та оптимізації платіжного календаря та резервування необхідних платіжних ресурсів діяльності депозитних і кредитних управлінь банку в період проходження піку платежів (АКБ “Грант”, акт від 12.04.2005 р.). Результати дисертаційної роботи також впроваджено у навчальний процес Харківського національного університету радіоелектроніки.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, отримані здобувачем особисто. При цьому у статтях, опублікованих у співавторстві, здобувачеві належать: у роботі [1] метод редукції нескінченних систем до скінченних і обґрунтована збіжність послідовності розв'язків редукованих систем до розв'язку початкової системи, у роботі [3] досліджені ступені свободи стохастичної матриці і отримані оцінки її вільних параметрів; у роботах [6,24] отримані достатні умови існування граничної ймовірності у неоднорідного марковського ланцюга, у [8] обґрунтована можливість розщеплювання марковського процесу на фрагменти і отримана оцінка швидкості збіжності до граничного розподілу в кожному з фрагментів. У роботах [14, 21] на основі редукційного підходу проведено числове моделювання нескінченних систем рівнянь Колмогорова та їх розв'язків. У [7,10] запропоновані числові методи розв'язання систем диференціальних рівнянь Колмогорова, для випадку процесів з у-фокусуванням. У статтях [22] методи теорії марковських систем поширені на задачі стабілізації лікарських форм і оптимізацію процесу медикаментозної терапії. У [17] метод стабілізації розподілів поширений на випадок процесів з континуальною кількістю станів, запропонований спосіб управління параметрами дифузійного процесу, за яких стабілізується щільність розподілу ймовірності. У [11,19,23] апарат ланцюгів Маркова застосований до аналізу нейронних структур, що мають властивість запам'ятовування. У [15,25] запропонований підхід, на основі якого шляхом локальних збурень параметрів процесу можна стабілізувати його основні характеристики. У [18] проведений аналіз впливу стабілізуючих чинників, розподілених на інтервалі. Показана залежність стабілізації від характеру і форми збурень. У [25] отримані деякі умови стабілізації розподілів процесу при локальних збуреннях його фрагментів, у [26] автором запропонована марковська модель процесу перерозподілу речовини і процедура стабілізації розподілу речовини за скінченний час.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були апробовані на: 3-й Міжнародній конференції “Методы представления и обработки случайных сигналов и полей” (Туапсе, 1993); 4-й Міжнародній конференції ім. акад. М.К. Кравчука (Київ, 1995); 2-й Український конференції з автоматичного керування (Львів, 1995); 5-й Міжнародній конференції ім. акад. М.К. Кравчука (Київ, 1996); 2-й Міжнародній конференції “Теория и техника передачи, приема и обработки информации”, (Туапсе, 1996); 6-й Міжнародній конференції ім. акад. М.К. Кравчука (Київ, 1997); 3-й Всеукраїнській міжнародній конференції “Укробраз-96” (Київ, 1996); 3-й Міжнародній конференції “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” (Харків - Туапсе, 1997); 4-й Міжнародній конференції “Контроль і управління в технічних системах” (Вінниця, 1997); 22-й European Meeting of Statisticians (Vilnius, 1998); VII Міжнародній конференції ім. акад. М.К. Кравчука (Київ, 1998); 4-й Міжнародній конференції “Теория и техника передачи и обработки информации” (Харків-Туапсе, 1998); Міжнародній конференції “Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы, перспективы” (Гомель, 1998); III Ukrainian - Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics (Київ, 1999); 2-й Міжнародній науково-практичній конференції “Системы и средства передачи и обработки информации” (Одеса, 1998); III Сибірському конгресі з прикладної та індустріальної математики (ИНПРИМ - 98) (Новосибірськ, 1998); Fourth Hellenic - European Conference on Computer Mathematics and its Applications (HERCMA - 98) (Athens, 1998); Internatiоnal conference on Systems, Signals, Control, Computers (SSCC - 98) (Durban, 1998); Міжнародній конференції “Вопросы проектирования, эксплуатации технических систем в металлургии, машиностроении, строительстве” (Старый Оскол, 1999); 5-й Міжнародній конференції “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” (Харків - Туапсе, 1999); 6-й Всеросійській конференції “Нейрокомпьютеры и их применение” (Москва, 2000); 8-й Міжнародній конференції ім. акад. М.К. Кравчука (Київ, 2000); 6-й Міжнародній конференції “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” (Харків-Туапсе, 2000); 2-й Croatian congress of mathematics (Zagreb, 2000); Міжнародній конференції “Аналітичні методи аналізу і диференціальних рівнянь” (Мінськ, 2001); Міжнародній конференції MATHTOOL'S2001 (Санкт-Петербург, 2001 г.); 7-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому і обробки інформації” (Харків - Туапсе, 2001 р.); International conference “Mathematical Modeling and Scientific Computing” (Ankara, Konya - TURKEY, 2001); Українському математичному конгресі (Київ, 2001); 10-й Міжнародній конференції “Математика. Економіка. Освіта” (Новоросійськ, 2002 г.); Міжнародній конференції, присвяченій 90-річчю Академика Б.В. Гнеденка (Київ, 2002 р.); 8-th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics (Vilnius, 2002); 24-th European Meeting of Statisticians (Prague, 2002); International congress of mathematicians (China, 2002); Symposium on stochastic and applications (Singapore, 2002); Міжнародній науково-методичній конференції “Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, 2003); Міжнародній конференції “Колмогоров і сучасна математика” (Москва, 2003); 10-й Міжнародній конференції з автоматичного управління “Автоматика - 2003” (Севастополь, 2003); 9-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому і обробки інформації” (Харків-Туапсе, 2003); 10-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому і обробки інформації” (Харків-Туапсе, 2004); 7-у Міжнародному симпозіумі „Математичне моделювання та комп'ютерні технології” (Кисловодськ, 2005).

Публікації. Основні результати дисертаційних досліджень опубліковані у 39 друкованих працях: 27 статей в наукових журналах та збірниках (у тому числі 10 опубліковані одноосібно), що входять до переліків, затверджених ВАК України (з них 23 статті в 6-ти наукових журналах і 4 статті у 3-х збірниках наукових праць), 12 публікацій в працях міжнародних і всеукраїнських конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, списку використаних джерел із 311 найменувань (31 сторінка), одного додатка (5 сторінок). Загальний обсяг роботи 338 сторінок, у тому числі рисунків 48, таблиць 10.

марковський математичний стрибкоподібний стабілізація

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розглянуто стан питання в області моделювання та управління неоднорідними марковськими процесами, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і проблему дослідження, окреслено сукупність наукових результатів, які виносяться на захист, наукову новизну і практичну цінність отриманих результатів, особистий внесок дисертанта в опубліковані у співавторстві праці. Наведено відомості щодо апробації роботи на наукових конференціях.

Перший розділ присвячений аналізу робіт в області ергодичних властивостей стохастичних систем, наведені основні результати дослідження ергодичних властивостей систем марковського типу, які використані в дисертаційній роботі. Визначено необхідність поширення понять та умов існування стаціонарного розподілу для однорідних марковських систем на неоднорідний випадок.

Згідно з аналізом існуючих наукових робіт у цьому напрямку показано, що дослідження ергодичних властивостей ланцюгів Маркова є насамперед пов'язаним з аналізом швидкості збіжності до стаціонарного розподілу (для однорідних ланцюгів). При цьому очевидно, що швидкість збіжності залежить як від характеристик матриці перехідних імовірностей, так і від виду початкового розподілу процесу. Було встановлено, що для деяких однорідних ланцюгів Маркова, при накладанні деяких обмежень на власні числа перехідної матриці та на початковий розподіл імовірності ланцюга дозволяє забезпечити збіжність до стаціонарного розподілу за скінченний час.

Слід відзначити, що припущення ергодичності, що є характерним для більшості існуючих публікацій з питань моделювання систем марковського типу часто не виконується, разом з тим на необхідність вивчення моделей з неоднорідними за часом параметрами як одну з найважливіших проблем теорії масового обслуговування вказував Б.В. Гнеденко. Порівняно невелика чисельність результатів у цьому напрямку пояснюється, передусім, непристосованістю наявних методів для розв'язання подібного типу задач. Спроби вивчення моделей, що враховують часову неоднорідність вхідних потоків, робились неодноразово.

Під час розгляду прикладних моделей марковського типу перед дослідником постає ціла низка проблем. Вибір моделі, що досліджується, як правило, здійснюється евристично, без необхідного обґрунтування коректності, хоча він і визначає хід подальшого дослідження. Для досягнення адекватності моделі процесу, що вивчається, необхідно розв'язати низку задач, що стосуються дослідження динаміки систем та, зокрема, стійкості моделі системи. Згідно з проаналізованими літературними джерелами можна зробити висновок, що під час розгляду стохастичних систем марковського типу, оцінювання параметрів, дослідження стійкості та пов'язані з нею задачі аналізу вихідних характеристик моделі відносно збурення вхідних даних великий інтерес і практичну користь становить дослідження ергодичних властивостей початкової моделі. При цьому під ергодичністю розуміється наближення вихідних характеристик до деяких постійних значень або локалізація у достатньо малих околах. Термін “ергодичність” в теорії марковських процесів застосовується тільки для однорідного випадку, тому під час відповідного дослідження неоднорідних марковських систем ми використовуватимемо термін “стабілізація”.

Отже, у першому розділі подано детальний аналіз літературних джерел за проблематикою роботи і зроблено висновок, що напрямок, пов'язаний із стабілізацією розподілів неоднорідних марковських систем при сильних збуреннях їх параметрів не набув потрібного розвитку, хоча, безсумнівно, є актуальним і важливим як у теоретичному плані, так і під час розв'язання реальних практичних задач. Сформульовані основні завдання дослідження.

У другому розділі досліджуються деякі спектральні властивості стохастичних і квазістохастичних матриць. Необхідність такого дослідження обумовлена тим, що багато умов ергодичності марковських систем можуть бути сформульовані на основі аналізу спектра відповідної матриці, яка визначає динаміку марковської системи. Зокрема, до них належать умови простоти та відокремленості власного числа (1 - для стохастичних матриць і 0 - для квазістохастичних), важливу роль відіграє також область розподілу власних чисел на комплексній площині та властивості відповідних власних і приєднаних векторів.

Твердження 1. Нехай і - стохастичні матриці з наборами власних і приєднаних векторів, що збігаються. Тоді при будь-якому матриця матиме той самий набір власних і приєднаних векторів.

Твердження 2. Нехай і - стохастичні матриці з наборами власних і приєднаних векторів, що збігаються. Нехай також і (, ). Тоді для будь-яких і матриця

матиме той самий, з точністю до скалярного множника, набір власних і приєднаних векторів, що й матриці і . Якщо ж хоча б при одному () виконується , то у цьому випадку ці набори сходитимуться в точності.

Ці твердження дозволяють зробити висновок щодо того, що серед усього многовиду неоднорідних ланцюгів Маркова дійсно можуть існувати такі, які практично за всіма своїми властивостями сходяться з однорідними, відрізняючись від останніх лише тим, що власні і приєднані вектори матриць перехідних ймовірностей за одиницю часу на кожному кроці відповідають різним власним значенням. Ця остання обставина означає, що в таких ланцюгах відбувається уповільнення або прискорення збіжності до фінальних ймовірностей порівняно з відповідним однорідним ланцюгом. Крім того, очевидно, що подібна збіжність може (за деяких додаткових умов) мати місце і у випадку, коли набори власних і приєднаних векторів матриць перехідних ймовірностей сходяться не повністю, а лише частково. У зв'язку з цим являє інтерес детальніший розгляд множини стохастичних матриць, подібних за своїми спектральними характеристиками, тобто таких, у яких повністю чи частково сходяться або жорданові нормальні форми, або набори власних і приєднаних векторів.

Матриці з дорівнюючими одиниці рядковими сумами, без вимоги невід'ємності всіх елементів називатимемо псевдостохастичними.

Твердження 3. Псевдостохастична дійсна матриця розмірності при фіксованій жордановій нормальній формі має ступенів свободи, тобто всі можливі перетворення, що зберігають властивості дійсності та псевдостохастичності, зводяться до зміни параметрів.

Твердження 4. Нехай жорданова нормальна форма псевдостохастичної матриці визначена з точністю до (кратних) власних значень, які можуть змінюватись у кільці . Тоді матриця має ступенів свободи.

Позначимо множину характеристичних коренів усіх квазістохастичних матриць -го порядку з максимальним за модулем елементом через . Отже, для квазістохастичних матриць -го порядку з максимальним за модулем елементом справедливі такі твердження.

являє собою відрізок дійсної осі . являє об'єднання трикутника з вершинами в точках , , з відрізком дійсної осі .

Для фігура міститься у крузі и має з колом спільні точки , де . Границя складається з цих точок і криволінійних дуг, що сполучають їх у круговому порядку.

Відрізки границі множини , що проходять через точку комплексної площини , являють собою відрізки прямих, що сполучають точки і , і відповідно.

Отже, у цьому розділі проведено детальний аналіз спектральних властивостей стохастичних, псевдостохастичних і квазістохастичних матриць та запропоновано методи генерації вказаних сімей матриць із фіксованими наборами власних чисел та власних і приєднаних векторів.

У третьому розділі наводяться умови стабілізації для напівмарковських систем неперервним часом та доводяться відповідні теореми щодо достатності цих умов. Вивчаються умови збіжності до граничного розподілу для випадку неоднорідних ланцюгів з дискретним часом. Показано, що існують такі початкові розподіли, починаючи з яких марковська система за скінченну кількість кроків переходить у стаціонарний стан. Досліджуються марковські процеси з континуальною множиною станів і системи колмогоровського типу для яких визначаються умови стабілізації та фокусування розподілів. Розглянуті системи колмогоровського типу, для яких також сформульовані й доведені умови стабілізації розв'язків.

Розглянемо процес, поведінка якого повністю визначається завданням початкового розподілу та послідовності , стохастичних матриць, кожна з яких є матрицею перехідних імовірностей, що відповідає проміжку (). Такий процес можна розглядати як ланцюг Маркова із змінюваною тривалістю “одиничного” кроку . Якщо , то інтервали між двома послідовними переходами будуть спадати до нуля при через збіжність послідовності к . Під час дослідження таких процесів становить інтерес питання щодо існування для розподілу процесу

,

де - кількість станів процесу, границі

, (1)

що не залежить від початкового розподілу. Відповідь на це питання дає таке твердження.

Твердження 5. Нехай виконані умови:

1) усі матриці мають спільний лівий власний вектор , що відповідає їх простому власному значенню 1:

, , (2)

, , ;

2) припустимо:

.

Поставимо умову, щоб

,, . (3)

Тоді при будь-якому початковому розподілі ймовірностей розподіл процесу при збігається до рівномірно за всіма станами.

Розглянемо тепер ситуацію, коли умова 2) не виконується, тобто тепер , а умова 1) лишається чинною. Тоді різниця при до нуля, власне кажучи, не збігається. Однак, якщо сума ряду достатньо велика, то розподіл процесу при потраплятиме в деякий _окіл розподілу , де . Це випадок так званого _фокусування. Така ситуація _фокусування виникає, коли на інтервалі відбувається лише скінченна кількість переходів і сума достатньо велика.

Розглянемо тепер явище “дрейфу” розподілів при . Нехай - система неперетинних інтервалів, де - моменти переходу процесу, монотонно наближається до при . На кожному з інтервалів відбувається скінченна кількість переходів і має місце -фокусування ( - одне й те саме для всіх інтервалів). При цьому для непарних -фокусування проводиться на розподілі , а для парних - на розподілі . Нехай . Вважатимемо, що величина , яка визначає точність _фокусування, задовольняє умові . У цьому випадку при границя не існуватимемо, хоча умова 2) твердження 5 виконується.

У другому розділі було показано, що із усієї множини неоднорідних ланцюгів маркова можна виділити клас ланцюгів, подібних до однорідних у тому відношенні, що матриця перехідних ймовірностей за одиницю часу зберігає деякі свої спектральні характеристики поза залежністю від розміщення відповідного одиничного часового інтервалу на осі часу. Тому природно припустити, що для деяких ланцюгів, що мають таку властивість, матиме сенс поняття “стаціонарного розподілу”, і, більш того, за деяких додаткових умов матиме місце збіжність до такого розподілу. Розглянемо ці умови детальніше.

Твердження 6. Нехай усі матриці перехідних ймовірностей на -му одиничному інтервалі часу () ланцюга Маркова, що розглядається, із скінченною кількістю станів мають незмінну жорданову нормальну форму, спільний лівий власний вектор і спільний, з точністю до скалярних множників, набір лівих власних і приєднаних векторів, що відповідають власному числу 0 парності () означених матриць, які утворюють лівий нульовий інваріантний підпростір . Якщо при цьому початковий розподіл належить до лінійного многовиду , то розподіл процесу на момент часу , збігатиметься із .

Марковським процесом у широкому розумінні називатимемо такий випадковий процес , для якого множина елементарних наслідків , а множина подій складається з усіх борелевських множин , . Передбачається, що на множині задана імовірнісна міра і умовна імовірність задовольняє співвідношенню

Отже, процес, що нами розглядається, є узагальненням неоднорідного марковського процесу на випадок континуальної множини станів. Для марковського процесу у широкому сенсі вдалося звести аналіз процесу із континуальною множиною станів до вивчення марковського процесу із зліченною кількістю станів. Показано, що шляхом впливу на стохастичну матрицю процесу можна досягти того, що розподіл ймовірностей такого процесу сходитиметься до наперед заданого розподілу за як завгодно малий час.

На практиці часто мають місце такі ситуації, коли система функціонує під впливом сильних, швидко змінюваних зовнішніх збурень. Така ситуація виникає, наприклад, у випадку, коли фінансова система підлягає дії сильних збурень, які спричиняють різкі коливання курсу валют, курсу акцій та курсу вторинних фінансових інструментів (опціонів, свопів, ф'ючерських контрактів). Різкі коливання курсів можливо в нашій моделі відобразити додаванням збурень матриці зі швидко змінюваними коефіцієнтами. У цьому випадку коефіцієнти системи диференціальних рівнянь збурюються на заданому інтервалі елементами матриці . Ця матриця має таку властивість: сума елементів кожного її рядка дорівнює нулю, однак, на відміну від матриці , у матриці всі елементи, розміщені на головній діагоналі, мають бути від'ємними. Вплив збурень задається таким способом, що збурена матриця може бути подана у вигляді

. (4)

Матриця зберігатиме властивість рівності нулю суми елементів кожного свого рядка за рахунок виконання цієї властивості у кожної з матриць і . Для таких систем, що мають властивість зберігання сум, поширене поняття стабілізації і отримані умови збіжності до наперед заданої точки простору станів за як завгодно малий час.

Отже, у цьому розділі вирішена проблема стабілізації розподілів станів неоднорідних марковських систем з дискретним і неперервним часом. Запропонований комплекс методів, що дають змогу шляхом впливу на перехідні характеристики марковських систем стабілізувати імовірності станів в околі заданих значень за скінченний час.

У четвертому розділі введені та досліджені марковські системи із змінною кількістю станів. Для таких систем визначене поняття погодженого класу розподілів, який є аналогом граничного розподілу для неоднорідного ланцюга Маркова. Отримані умови існування таких погоджених класів розподілів, тобто розв'язана задача стабілізації. Показано, що існують такі початкові розподіли, починаючи з яких система із змінною кількістю станів перейде до “стаціонарного режиму” за скінченний час. На системи із змінною кількістю станів поширене поняття сильної та слабкої ергодичності. Отримані достатні умови наявності цих типів ергодичності.

Як і у випадку класичних ланцюгів Маркова, такий ланцюг задається початковим розподілом ймовірностей та послідовністю матриць із невід'ємними елементами, рядкові суми яких дорівнюють одиниці. Однак, на відміну від традиційної моделі, ці матриці - не квадратні, а їх розмірності відповідають кількості можливих станів у відповідні моменти часу і послідовно погоджені між собою за множенням. Для таких ланцюгів, як і у традиційній моделі, становлять інтерес умови стабілізації (у деякому розумінні) їх довготривалої поведінки. І хоча в цьому випадку стаціонарні розподіли не розглядаються, можливо виділити класи розподілів (визначених на різних множинах станів і погоджених за деякою ознакою), які для описуваних ланцюгів могли б виконувати роль такого розподілу (у тому розумінні, що якщо початковий розподіл ланцюга належить до даного класу, то і в усі наступні моменти часу розподіли ланцюга належатимуть до того ж класу). Найприроднішим принципом погодженості розподілів, визначених на різних множинах станів, є еквівалентність умовних розподілів за умови потрапляння в переріз цих множин, індукованих двома вихідними (“порівнюваними”) розподілами.

Визначення 1. Розподіли і , визначені на множинах станів та відповідно, є погодженими, якщо виконується якась одна з умов:

1) ;

2) - одноелементна множина, причому або і , або ;

- множина, що складається більш ніж з одного елемента, причому для всіх таких, що , виконується , а для всіх таких, що , виконується і навпаки. Крім того, якщо існують такі , , , що , (), то для всіх таких і

.

Визначення 2. Сукупність всіх попарно погоджених між собою розподілів , визначених на множинах станів , називатимемо погодженим класом розподілів.

Перехідна матриця , що визначає перехід із збільшенням кількості станів, може бути подана у вигляді

, (5)

де - квадратна матриця порядку (розмірність ), отримана з викреслюванням останнього стовпця .

Твердження 7. Для того, щоб для ланцюга Маркова, що задається за допомогою послідовності матриць , які можливо надати у вигляді (5), погоджений клас розподілів був стаціонарним, достатньо, щоб

,

де - вектор-стовпець розмірності , - -а (останній) компонент розподілу ;

,

де - квадратна (порядку ) стохастична матриця, для якої єдиним власним вектором, що відповідає власному значенню 1, є вектор розподілу .

Позначимо

, (6)

де - квадратна стохастична матриця порядку , а - рядок з невід'ємними елементами такий, що

(), .

Твердження 8. Для того, щоб даний погоджений клас був стаціонарним для ланцюга з переходами, що супроводжуються зменшенням кількості станів, достатньо, щоб матриці, відповідні таким переходам, можливо було подати у вигляді (6) та щоб вони задовольняли таким вимогам:

1) єдиним лівим власним вектором, що відповідає власному значенню 1 матриці , є вектор розподілу ;

2) , де .

Твердження 9. Для того, щоб даний погоджений клас розподілів був стаціонарним для ланцюга з довільно змінюваною кількістю станів, достатньо, щоб

a) матрицю , що відповідає переходу із збільшенням кількості станів, можна було подати у вигляді (5), і її компоненти задовольняли умовам твердження 7;

б) матрицю , що відповідає переходу зі зменшенням кількості станів, можливо було подати у вигляді (6) та її компоненти задовольняли вимогам твердження 8.

За аналогією з відомими визначеннями слабкої та сильної ергодичності неоднорідних ланцюгів Маркова з фіксованою кількістю станів, уведене поняття слабкої та сильної ергодичності для ланцюгів зі змінною кількістю станів загального вигляду. Отримані різні достатні умови слабкої ергодичності. Уведене поняття перемішуючої матриці для ланцюга Маркова із змінною кількістю станів. Встановлені характеристичні властивості перемішуючих матриць. Сформульовані і доведені умови сильної ергодичності для ланцюгів Маркова зі змінною кількістю станів. Для марковських процесів зі змінною кількістю станів (час є неперервним) зазначені умови існування граничного розподілу за виконання декотрих природних умов, що накладаються на послідовність інфінітезимальних матриць даного процесу.

У п'ятому розділі запропоновані різні методи управління марковською системою з метою приведення її розподілу до наперед заданих значень шляхом використання управляючих впливів. Показано, що час досягнення граничного розподілу скінченний і може бути заданий як завгодно малим.

Припустимо, що ймовірність знаходження процесу в одному із станів у початковий момент часу дорівнює одиниці, в усіх інших станах дорівнює нулю. У момент часу вважаємо, що (), окрім ( - номер стану, в якому початкова імовірність не дорівнює нулю).

Змінюватимемо значення . На кожному кроці методу імовірність знаходження процесу досягає стаціонарного значення в одному або декількох станах. З кожним кроком, згідно з запропонованим методом, кількість станів, ймовірності знаходження процесу в яких досягли стаціонарних значень, збільшується. У момент досягнення стаціонарних значень у нових (на цьому кроці) станах, параметри змінюються таким способом, щоб, починаючи з цього моменту часу, значення ймовірностей знаходження процесу в цих станах не змінювались, тобто у будь-який момент часу після моменту досягнення дорівнювали стаціонарним ймовірностям. Параметри для станів, у яких стаціонарні значення ще не досягнуті, дорівнюють нулю. Параметр залишається незмінним у будь-який момент часу.

Нехай завершився -й крок методу. Перенумеруємо стани згідно з порядком досягнення в них стаціонарних ймовірностей номерами з 1 по ; нульовий номер призначимо стану . Імовірності знаходження процесу у станах з 1-го по -й задовольняють системі диференціальних рівнянь Колмогорова:

, . (7)

За виконання умови збереження стаціонарних значень ймовірностей , (), маємо

, ,

, .

Нехай , де - невідомий коефіцієнт, що підлягає визначенню.

, .

.

Після розв'язання системи рівнянь визначаємо коефіцієнти , () і обчислюємо значення .Отримана така оцінка часу досягнення стаціонарного розподілу:

. (8)

Досліджені марковські системи, що в деякий момент часу розпадаються на невзаємодіючі фрагменти, кожен з яких стабілізується.

Нехай інфінітезимальна матриці (s) досліджуваного процесу із скінченною кількістю станів n, що є неперервною на деякому півінтервалі =(s₀, t₀) та має в усіх його точках ранг n-1, задовольняє таким умовам:

1. Серед елементів (s) існують елементи, які є при st₀, s нескінченно великими величинами однакового порядку, причому порядок зростання цих елементів найбільший порівняно з іншими елементами (s). Позначимо множину всіх таких елементів через . Припустимо, що для будь-якого (s) виконуються умови

. (9)

Позначимо ₁(s), ₂(s) лівий верхній і правий нижній діагональні блоки матриці (s). Нехай ці блоки мають порядки mm і (n-m)(n-m). Припустимо, що блоки (s) (=1,2) містять стовпці j, елементи яких монотонно зростають при st₀-0 і мають в t₀ особливості, що не інтегруються.

2. Існують границі

, (10)

де - нульові вектори матриць :

на ;

.

Норми зберігають на постійні значення (нормою вектора називатимемо число ). Якщо (s), то для будь-якого елемента _ij(s) матриці

(11)

існує і відмінний від нуля лише у випадку _ij(s). Позначимо через (s) елемент, що задовольняє для будь-якого _ij(s) умові

. (12)

3. Елементи позадіагональних блоків ₁₂(s), ₂₁(s) при st₀ спадають до нуля достатньо швидко - наскільки швидко, буде роз'яснено далі.

Розглянемо

.

Матриця - блоково-діагональна. Позначимо її блоки через ₁, ₂. Їх порядки дорівнюють mm і (n-m)(n-m). Вважаємо, що ранги матриць ₁, ₂ дорівнюють m-1 і n-m-1.

Зазначені припущення дають змогу звести вивчення вихідного процесу до вивчення процесів, описаних матрицями (s) (=1,2).

Твердження 11. Нехай виконані умови 1 - 3. Тоді для довільного початкового розподілу ймовірностей , заданого у будь-якій точці sN, імовірності P_i(s,t) процесу з матрицею мають границі при tt₀

. (13)

Тут , - нульові власні вектори матриці і ; , , де a[0,1] залежить від початкового розподілу і положення точки s.

Вектор , має вигляд

,

де визначені за формулами (10).

Наведені різні модельні приклади, що ілюструють процедуру стабілізації, запропоновані модифікації обчислювальних алгоритмів, необхідних для розрахунку систем диференціальних рівнянь із сингулярними особливостями.

Розв'язання задачі вибору методів числового інтегрування системи диференціальних рівнянь Колмогорова для деякого марковського процесу залежить від розміщення власних значень інфінітезимальної матриці цього процесу.

Інфінітезимальна матриця марковського процесу є квазістохастичною. Задача Коші у цьому випадку

, ,

де - вектор ймовірностей, - початковий розподіл ймовірностей. Матриця Якобі для цієї задачі збігається з матрицею . Як було показано вище, множина характеристичних коренів матриці Якобі міститься у крузі і має з колом спільні точки , де , де - максимальний за модулем елемент інфінітезимальної матриці марковського процесу. Його границя складається з цих точок і поєднуючих їх у круговому порядку криволінійних дуг. Для числового розв'язання рівняння Колмогорова застосовані неявний метод Ейлера та неявний метод трапецій.

Наведені модельні приклади процесів, для яких має місце стабілізація розподілів у деякому заданому околі. Встановлена залежність між точністю стабілізації і величиною впливу. Досліджено питання щодо характеру впливу на стабілізацію початкового моменту часу.

Виявлені особливості стабілізації ймовірностей станів під час впливу на процес розподілених у часі чинників різної природи (регулярних і випадкових). Показано, що у найкращий спосіб на стабілізацію впливають регулярні впливи, щільність яких згущується на момент стабілізації. Обчислення в усіх випадках були проведені для різних початкових розподілів, заданих у точці . Помічено, що вибір початкового розподілу у точці не впливає на значення граничних ймовірностей досліджуваного процесу.

У табл. 1 наведені значення вектора для різних видів збурень.

Таблиця 1. Залежність від типу збурення

Характер збурення	Величина відхилень	Якість стабілізації
Лінійні	0,013439	задовільна
Степеневі	0,005689	добра
Що згущуються до точки t0	0,004135	добра
Що виникають у випадкові моменти часу	0,030110	задовільна

Аналізуючи результати, наведені у таблиці, можна зробити такі висновки. Найменші значення вектора відхилень були отримані для випадку збурень, що згущуються на кінець досліджуваного інтервалу збурень. Цьому ж випадку відповідає найвужча смуга локалізації ймовірностей станів, при цьому імовірності станів змінюються найбільш плавно, однак пізніше, ніж для регулярних збурень, потрапляють в -окіл граничного розподілу. Задовільні результати також дає стабілізація процесу регулярними степеневими збуреннями. Збуренням, що виникають у випадкові моменти часу, відповідає найгірший вектор .

У шостому розділі розглянуті марковські системи з нескінченною кількістю станів. Для систем зі зліченною кількістю станів обґрунтовано застосування методу редукції, при якому нескінченна система замінюється скінченною, “близькою” до вихідної у розумінні близькості її параметрів. Отримані умови збіжності послідовності редукованих розподілів до стаціонарного розподілу вихідної нескінченної системи.

Поряд з матрицею розглядатимемо послідовність редукованих матриць, елементи яких можливо визначити так:

(14)

Звідси видно, що збігаються із зростанням до , причому вихідний нескінченний марковський ланцюг апроксимований послідовністю скінченних марковських ланцюгів (зазначимо, що всі редуковані матриці є стохастичними).

Якщо відомо, що існує стаціонарний розподіл вихідного марковського ланцюга , тобто вектор, що задовольняє матричному рівнянню , то знаходження даного вектора можна здійснювати згідно з таким твердженням.

Твердження 12. Нехай має місце поелементна збіжність послідовності редукованих матриць , і послідовність розв'язків системи збігається до власного імовірнісного розподілу , при всіх і , тоді вихідна послідовність має стаціонарний розподіл .

Це відповідає обґрунтуванню метода редукції стосовно дискретного випадку, тобто коли вивчається нескінченний марковський ланцюг. Припустимо тепер, що вивчається марковський процес з неперервним часом і зліченною множиною станів. Нехай його поведінка описується матрицею інтенсивностей (інфінітезимальною матрицею) , ; за визначенням, ця матриця є виродженою. Покажемо, що застосування методу редукції до матриці можливе, і що в цьому випадку поелементної збіжності, власне кажучи, недостатньо. Відомим є той факт, що якщо , то відповідна система рівнянь Колмогорова

(15)

має єдиний розв'язок, який можливо знайти як границю відповідних редукованих систем. Під час доведення цього факту редукування проводилось простим відкиданням елементів матриці , починаючи з -го рядка і стовпця. Матриця у цьому випадку перестає бути виродженою і не визначає марковський процес.

Визначимо редуковану матрицю у такий спосіб:

.

Послідовність матриць збігається поелементно до матриці , і з невеликими змінами доведення твердження 12 можливо перенести на доведення такого факту.

Твердження 13. Нехай має місце поелементна збіжність послідовності редукованих систем , і послідовність розв'язків системи збігається до власного імовірнісного розподілу , при всіх і , тоді вихідна послідовність має стаціонарний розподіл . Послідовність розв'язків редукованої систем Колмогорова з матрицями збігається до розв'язку системи (15).

Вивчені процеси з континуальною множиною станів (дифузійний процес), для нього знайдені умови стабілізації щільності ймовірності неоднорідного дифузійного марковського процесу за скінченний час. Це означає, що щільність розподілу ймовірностей процесу знаходитиметься у заданих межах, починаючи з деякого наперед заданого моменту часу. Під час дослідження низки фізичних процесів, що протікають у рідинах і газах, використовується модель дифузії, заснована на диференціальних рівняннях Колмогорова. При цьому постає задача про управління процесом з метою наближення його щільності розподілу ймовірностей до заданої функції. У даному пункті поставлена й розв'язана задача про утримання щільності розподілу ймовірностей дифузійного процесу в заданій смузі на часовому проміжку довільної тривалості. Відомо, що для однорідного у часі процесу за виконання деяких умов має місце збіжність до фінального розподілу при . У випадку ж неоднорідного процесу можливі ситуації, коли збіжність до фінальних імовірностей або стабілізація поблизу них відбуватимуться за скінченний проміжок часу.

Нехай є розв'язком рівняння

. (116)

Знайдений розв'язок більш загального рівняння

(217)

з тими самими крайовими та початковими умовами, що й для рівняння (16); - довільна функція часу. Управляючи функцією, можливо досягти збіжності функції щільності розподілу ймовірностей процесу до заданої функції за як завгодно малий проміжок часу. Щільність розподілу ймовірностей процесу знаходитиметься в заданих межах, починаючи з деякого наперед заданого моменту часу.

Сьомий розділ присвячений розв'язанню конкретних практичних задач з галузей економіки, медицини, радіотехніки з використанням отриманих у дисертаційній роботі теоретичних результатів.

Зокрема, к цьому розділі розглянуто застосування методів стабілізації до проблеми моделювання розподілу ліків у організмі людини, запропонована багатокамерна модель марковського типу, яка дозволяє описувати та розв'язувати задачу оптимізації режиму лікування. У термінах фармакокінетики розроблена така процедура стабілізації, яка формує такий режим уведення препарату, при якому його рівень у крові (як у деякій конкретній області організму) коливатиметься у межах заданого діапазону.

Для комп'ютерних досліджень процесу обміну речовин створений програмний модуль, який на основі результатів вимірювань дозволяє оцінити стан пацієнта та побудувати ймовірний діагноз. У разі відхилень від норми модуль виконує розрахунки оптимальної схеми лікування ймовірного захворювання на основі корекції вже існуючих схем з урахуванням експериментально отриманих даних. Отримані в роботі результати добре збігаються з наведеними в медичній літературі даними.

Розглянуто застосування методу напрямлених збурень до задач хімічної технології. Серед найновіших фізико-хімічних методів аналізу речовин широке застосування знаходять методи ультразвукового впливу. При цьому ультразвук виступає як чинник інтенсифікації хімічної реакції або якогось процесу: дифузії, сорбції, кристалізації, коагуляції тощо. Зокрема, він є достатньо ефективним засобом прискорення процесу екстракції. Виділення суми речовин з рослинної та тваринної сировини ускладнюється доволі тривалою екстракцією, яка є обов'язковою під час визначення деяких біологічно активних сполучень. У роботі показано, що вплив на процес дифузії відповідних управляючих чинників, дозволяє стабілізувати розподіл процесу в околі зарані заданого розподілу за скінченний час.

Процес дифундування підлягає двом типам впливів низькочастотних коливань - перемішуванню - та високочастотним коливанням - ультразвуковому впливу. Згідно з результатами пункту 6.4, швидкість дифузії різко підвищується у другому випадку. В роботі показано яким чином слід підбирати інтенсивність ультразвукових впливів для того, щоб підвищити екстракцію інгредієнтів деяких лікарських препаратів. Показано, що коефіцієнт дифузії значно збільшується для тіосульфата натрію під впливом ультразвуку порівняно з коефіцієнтом дифузії в статичних умовах і при перемішуванні.

Результати роботи були також використані для розробки оптимальної діяльності банку в період різкого зростання потоку платежів і для прогнозування середньострокової вартості кредитних ресурсів. Проведені дослідження дозволяють, відповідним способом підбираючи збурення, які впливають на систему, завбачити її поведінку в будь-який момент часу і вивести траєкторію системи на довільний наперед заданий розподіл, зберігши при цьому сумарну кількість ресурсів, задану вектором початкових умов. Зокрема, застосування методу стабілізації дозволило зменшити початкове резервування фінансових ресурсів у середньому на 15-20%.

...