Оптимальні рішення в умовах ризику на основі апарата багатозначних відображень

Norkin V.I., Domrachev V.N., Kirilyuk V.S. About management on balance sheet of commercial bank on analysis of information of financial market // CSIT'2001, Proceedings 2nd Int. Workshop, 2001, V.3. - P. 237-245.

Kirilyuk V.S. On a nonparametric estimation of systems with risk on input-output observations // Intern. Conference Dedicated to the 65-th Anniversary of B.N.Pschenichnyi (Kyiv, June 25-28, 2002), Ukraine, 2002. - P. 22.

Kirilyuk V.S. On the class of polyhedral coherent risk measures // Int. Conf. on Problems of Decision Making under Uncertainties (PDMU-2004), (Ternopil, May 26-30, 2004), Ukraine, 2004. - P. 25.

Анотація

Кирилюк В.С. Оптимальні рішення в умовах ризику на основі апарата багатозначних відображень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

Дисертацію присвячено питанням розробки підходів та відповідного математичного апарата для прийняття оптимальних рішень в умовах ризику. Введено клас поліедральних когерентних мір ризику, а задачі оптимізації портфеля за співвідношенням зиск-ризик зведено до відповідних задач лінійного програмування, що відкриває шлях для ефективних обчислень. Досліджено різноманітні задачі оптимізації портфеля, у тому числі, при невідомих ймовірностях сценаріїв, а також для різних багатокритеріальних постановок. Вивчено проблеми оптимізації паралельно-послідовних систем з відмовами двох типів та їх узагальнення, побудовано ефективні алгоритми пошуку рішень. Розвинуто апарат багатозначних відображень: побудовано новий дотичний конус для графіка відображень та отримано нові результати щодо різних властивостей багатозначних відображень. Підхід ефективної границі для оцінювання систем за спостереженнями вхід-вихід розвинуто для випадку двох типів входів та виходів, що дозволяє досліджувати системи з ризиком.

Ключові слова: багатозначне відображення, поліедральна когерентна міра ризику, оптимізація портфеля, паралельно-послідовні системи, дотичний конус, непараметричне оцінювання систем, індекси ефективності.

Аннотация

Кирилюк В.С. Оптимальные решения в условиях риска на основе аппарата многозначных отображений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой ступени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена разработке подходов и соответствующего математического аппарата для принятия оптимальных решений в условиях риска. В работе введен класс полиэдральных когерентных мер риска (ПКМР) и изучены его свойства: инвариантные операции, согласованность со стохастическим доминированием второго порядка, прочее. В этот класс попадают практические все известные когерентные меры риска. Доказывается, что задачи оптимизации портфеля по соотношению прибыльность-риск при использовании таких мер риска (минимизация меры риска при гарантированной средней прибыльности и максимизация средней прибыльности при ограничениях на меру риска) сводятся к некоторым задачам линейного программирования (ЛП). Это позволяет эффективно решать такие задачи большой размерности стандартными методами. Понятие ПКМР обобщается, причем класс изучаемых мер существенно расширяется с сохранением свойства сведения задач оптимизации портфеля к задачам ЛП.

Изучаются задачи оптимизации портфеля при неопределенности, обусловленной неизвестным вектором вероятностей сценариев p0, оцениваемым включением p0  P. В такой постановке вводятся и изучаются соответствующие функционалы прибыльности g() и риска (), в терминах которых формулируются задачи оптимизации портфеля. При полиэдральности множества P портфельные задачи по соотношению g() и () сводятся к некоторым последовательностям задач ЛП. Рассматриваются также задачи оптимизации для многомерных портфелей, при этом понятия риска и прибыльности описываются в виде многозначных отображений. Изучены различные постановки таких задач: агрегация критериев, оптимизация одного из критериев при ограничениях на значения других, прочие, а также их сведение к последовательностям задач ЛП. Рассмотрены постановки оптимизации портфеля при агрегации риска и прибыльности, оптимизации по соотношению Шарпа и их сведение к задачам ЛП. Описаны необходимые условия экстремума для разнообразных портфельных задач.

Отмечены прикладные аспекты развитого математического аппарата по применению и интерпретации результатов, описана связь с известными моделями принятия решений в условиях неопределенности. Указан подход для переноса соответствующих результатов в пространства Lp.

В задаче оптимизации параллельно-последовательных систем с отказами двух типов исследованы ее качественные свойства, описаны необходимые условия экстремума для исходной целочисленной постановки и ее непрерывного аналога. Причем некоторая симметричность задачи позволяет трактовать решение как соответствующее многозначное отображение. На основе этих результатов и специфики задачи предложен эффективный алгоритм поиска оптимальных решений, пригодный для любой размерности системы. Полученные результаты о свойствах решений развиваются на системы более общего вида, а также на некоторый класс симметрических оптимизационных задач.

В работе также развивается математический аппарат многозначных отображений. Введен новый касательный конус к графику многозначного отображения, который используется для исследования различных свойств отображений: изучены условия дифференцируемости по Булигану, связь конуса с верхними выпуклыми аппроксимациями маргинальных функций, прочие. Сформулированы новые теоремы о неявных функциях для многозначных отображений, усиливающие результаты, основанные на свойствах шатра и конуса Кларка. Изучены вопросы аппроксимаций надграфиком полунепрерывных снизу функций и связанные с этим новые метрики сходимости.

Изучаются вопросы непараметрического оценивания систем по наблюдениям вход-выход. Вводится многозначное отображение системных выходов, которое позволяет развить известный подход для оценки эффективности систем на более широкий класс систем - системы с двумя типами выходов, к которым относятся, в частности, системы с рисками. Вводятся определенные понятия эффективности, индексы эффективности, формулируются соответствующие оптимизационные задачи. Предлагаемый подход описывается на примере оценки эффективности банков по соотношению прибыльность-риск.

Ключевые слова: многозначное отображение, полиэдральная когерентная мера риска, оптимизация портфеля, параллельно-последовательные системы, касательный конус, непараметрическое оценивание систем, индексы эффективности.

Abstract

Kirilyuk V.S. Optimal decisions in risk conditions on the basis of technique of set-valued maps. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree in physical-mathematical sciences by speciality 01.05.01 - theoretical bases of the informatics and cybernetics. - V.M. Glushkov Institute of Cybernetics NAS of Ukraine, Kyiv, 2006.

The thesis is devoted to development of approaches and appropriate mathematical technique for optimal decision making in risk conditions. The class of polyhedral coherent risk measures is introduced, and portfolio optimization problems for revenue-risk ratio were reduced to appropriate linear programming problems that clear a way for effective calculations. Different portfolio optimization problems, in particular, under unknown scenarios probabilities, and different multi-objective statement as well, are studied. Optimization problems for parallel-series systems with failures of both types and their generalizations were researched, effective algorithms for solution searching were designed. Technique of set-valued maps is developed: a new tangent cone of map graph is designed and new results as for various properties of maps are obtained. Effective frontier approach for input-output observations was developed for both types of input and output as well that allow studying systems with risks.

Key words: set-valued maps, polyhedral coherent risk measures, portfolio optimization, parallel-series systems, tangent cone, data envelopment analysis, effectiveness index.

Размещено на Allbest.ru