Наведено порівняння гарантованих часів різних схем методу розв'язуючих функцій з першим прямим методом в термінах опуклозначних відображень за певної структури термінальної множини. Локальні умови співвідношення гарантованих часів подані у вигляді включень для спеціальних конусів.

Для лінійних диференціальних ігор з імпульсними керуваннями встановлено достатні умови закінчення гри. Послідовно розглянуто три випадки імпульсного керування переслідувача, втікача, а також обох гравців.

Для задачі групового переслідування з імпульсними керуваннями переслідувачів встановлено умови зближення за скінченний гарантований час. Для простих рухів гравців дана умова на початкові положення типу “оточення”, яка забезпечує поїмку втікача хоча б одним із переслідувачів.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати є теоретичною основою для моделювання взаємодії керованих рухомих об'єктів в умовах невизначеності. Вони дозволяють приймати рішення в екстремальних ситуаціях за участю угрупувань керованих об'єктів.

Результати можуть бути використані при створенні тренажерів для якісної оцінки результатів ігрової взаємодії, а в кінцевому рахунку - для розробки ефективних алгоритмів та програмного забезпечення.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, викладені в дисертації, отримані автором самостійно. У публікаціях, виконаних у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в розробці схем переслідування, формулюванні тверджень, проведенні доведень та ілюстрації теоретичних результатів на модельних прикладах. Співавторам належать постановки задач та рекомендації щодо методів їх розв'язання.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова, а також на

_ 11-й міжнародній конференції по автоматичному управлінню “Автоматика-2004” (27-30 вересня 2004 р., Київ);

11-th International Symposium on Dynamic Games and Applications (December 18-21, 2004, Tucson, USA);

_ 12-th International Symposium on Dynamic Games and Applications (July 3-6, 2006, Sophia Antipolis, France).

Публікації. Основні положення дисертаційної роботи висвітлено в 11 наукових роботах, з яких 8 надруковано в наукових фахових виданнях, затверджених ВАК України, а 3 - у матеріалах міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновку та списку використаних джерел. Перелік використаних джерел складається із 120 найменувань. Повний обсяг роботи - 143 сторінки.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність обраної теми, формулюється мета роботи, зазначається наукова новизна отриманих результатів та висвітлюється їх теоретична і практична цінність.

У першому розділі дисертаційної роботи вводяться необхідні для розуміння подальшого матеріалу поняття та пов'язані з ними твердження. Результати підкріплені змістовними поясненнями і стосуються опуклого та нелінійного аналізу, дискриптивної теорії множин, теорії багатозначних відображень та лінійних керованих процесів.

Другий розділ присвячений дослідженню методу розв'язуючих функцій для широкого класу конфліктно-керованих процесів. У підрозділі 2.2 встановлено достатні умови розв'язання ігрових задач зближення в класі стробоскопічних стратегій у формі зірчатості по конусу певних багатозначних відображень або в більш загальному вигляді - опуклозначності відображень, для яких опорна функція в певному напрямку є розв'язуючою. Запропонована окрема схема методу розв'язуючих функцій, орієнтована на використання лише стробоскопічних стратегій, і більш загальна, ніж перший прямий метод (підрозділ 2.3). У підрозділі 2.5 встановлено функціональну форму першого прямого методу, а в підрозділі 2.6 описано метод розв'язуючих функцій для випадку фіксованих точок термінальної множини. Для всіх вищезгаданих схем встановлені співвідношення між гарантованими часами закінчення гри (підрозділи 2.1, 2.4 - 2.6). Підрозділ 2.7 присвячений порівнянню гарантованих часів методу розв'язуючих функцій та першого прямого методу для заданих початкових функцій. Отримані теоретичні результати в підрозділі 2.8 ілюструються на спеціальному прикладі з неповним вимітанням, який показує, що гарантовані часи усіх розглянутих схем можуть відрізнятися.

У розділі 3 вивчаються лінійні диференціальні ігри зближення, в яких керування одного або обох гравців мають імпульсний характер. Для вищезгаданого класу ігрових задач послідовно розглядаються ситуації імпульсного керування переслідувача, втікача, а також випадки різної інформованості гравців. Ця особливість, певною мірою, дискретизує конфліктно-керований процес. У кожному випадку отримані достатні умови розв'язку задачі зближення на основі методу розв'язуючих функцій та результатів розділу 2.

У підрозділі 3.1 в рамках методу розв'язуючих функцій вивчається модифікована схема при імпульсному керуванні другого гравця. Встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час.

Задача імпульсного переслідування з дискримінацією супротивника досліджена в підрозділі 3.2. При виконанні аналога умови Понтрягіна і за умови опуклозначності відображень, пов'язаних з конфліктно-керованим процесом, встановлено факт приведення траєкторії процесу на циліндричну термінальну множину в заданий момент часу.

У підрозділі 3.3 розглядаються конфліктно-керовані процеси, в яких обидва гравці використовують імпульсні керування. На основі розробленої техніки даються достатні умови закінчення гри.

Результати розділу 3 ілюструються на модельному прикладі, де охоплені всі розглянуті ситуації і розрахунки доводяться до числа (підрозділ 3.4).

У розділі 4 розглядається задача імпульсного переслідування групою керованих об'єктів одного втікача. Відомо, що характерною особливістю такого типу задач є неопуклість термінальної множини. Це серйозна проблема при побудові розв'язку та встановленні гарантованого часу переслідування за заданих початкових умов. Використання підходів, розвинутих у попередніх розділах, а також основних ідей методу розв'язуючих функцій дозволяє в підрозділах 4.2 і 4.3 отримати достатні умови поїмки. У підрозділі 4.4 детально вивчено випадок простих рухів, для якого сформульовано необхідну та достатню умову, аналогічну відомому правилу “оточення”.

Висновки

1. Для квазілінійних конфліктно-керованих процесів з циліндричною термінальною множиною в рамках методу розв'язуючих функцій встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час в класі стробоскопічних стратегій. Умови виражені в формі зірчатості по конусу або опуклозначності спеціальних багатозначних відображень.

2. Запропонована модифікована схема методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час в класі стробоскопічних стратегій без будь-яких додаткових умов.

3. Встановлена функціональна форма першого прямого методу Понтрягіна і вивчено варіант методу розв'язуючих функцій з фіксованими точками термінальної множини.

4. Наведено порівняння гарантованих часів різних схем методу розв'язуючих функцій з першим прямим методом в термінах опуклозначних відображень за певної структури термінальної множини.

5. Показано ілюстративний приклад з неповним вимітанням, в якому можна точно знайти гарантовані часи за різними схемами та порівняти їх з часом першого прямого методу.

6. Для процесів з імпульсними керуваннями встановлено достатні умови закінчення гри. Послідовно досліджено три випадки імпульсного керування переслідувача, втікача, а також обох гравців, вивчено різні ситуації взаємної інформованості, обгрунтовано дискретний аналог паралельного зближення.

7. Для задачі групового переслідування з імпульсними керуваннями переслідувачів отримано умови зближення за скінченний гарантований час. Для простих рухів гравців встановлена умова на початкові положення типу “оточення”, яка забезпечує поїмку втікача хоча б одним з переслідувачів.

Основні положення дисертації опубліковані в таких працях

1. Чикрий К. А. Об окончании линейной дифференциальной игры за нефиксированное время //Теория оптимальных решений. - 1999. - С. 22 - 27.

2. Коваленко А. С., Чикрий К. А. Об одном методе исследования игровых задач сближения // Проблемы управления и информатики. - 1999. - № 4. - С. 71 - 78.

3. Чикрий К. А., Щур А. В. О линейных дифференциальных играх сближения с интегральным блоком управления // Проблемы управления и информатики. - 2000. - № 2. - С. 40 - 44.

4. Матичин И. И., Чикрий К. А. Дифференциальные игры с импульсным управлением // Теория оптимальных решений. - 2004. - № 3. - С. 102 - 108.

5. Чикрий К. А. Прямые методы Понтрягина во фрактальных игровых задачах // Матеріали 11-ї міжнар. конф. по автоматичному управлінню “Автоматика-2004” (27-30 вересня 2004 р.). - К.: НУХТ, 2004. -Т. 4. - С. 44.

6. Чикрий А. А., Матичин И. И., Чикрий К. А. Конфликтно-управляемые процессы с разрывными траекториями // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - № 6. - С. 15 - 29.

7. Chikrii А. А., Matichin I. I., Chikrii K. A. Differential Games with Impulse Control // Proc. 11-th Intern. Sump. on Dynamic Games and Applications (December 18 - 21, 2004). - Tuscon: USA, 2004. - Vol. 1. - P. 108 - 125.

8. Чикрий А. А., Раппопорт И. С., Чикрий К. А. О достаточных условиях разрешимости игровых задач сближения в классе стробоскопических стратегий // Докл. НАН Украины. - 2005. - № 9. - С. 71 - 76.

9. Кривонос Ю. Г., Матичин И. И., Чикрий К. А. Групповое преследование в дифференциальных играх с импульсным управлением // Теория оптимальных решений. - 2005. - № 4. - С. 25 - 34.

10. Kirill А. Chikrii, Josef S. Rappoport. Solution of Quasilinear Pursuit Problem in the Class of Strobostrophic Strategies // Proc. 12-th Intern. Sump. on Dynamic Games and Applications (July 3 - 6, 2006). - Sophia Antipolis: France, 2006. - P. 59.

11. Чикрий А. А. Раппопорт И. С., Чикрий К. А. К теории преследования в классе стробоскопических стратегий // Докл. НАН Украины. - 2006. - № 6. - С. 72 - 77.

Анотація

Чикрій К.А Гарантований результат для конфліктно-керованих процесів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, Київ, 2007.

У дисертаційній роботі досліджуються квазілінійні динамічні ігри зближення та ігрові задачі з імпульсними керуваннями. Для конфліктно-керованих процесів з циліндричною термінальною множиною в рамках методу розв'язуючих функцій встановлено достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час в класі стробоскопічних стратегій. Умови виражені у формі зірчатості по конусу або опуклозначності спеціальних багатозначних відображень. Запропоновано різні схеми вищезгаданого методу. Зокрема, встановлена функціональна форма першого прямого методу Понтрягіна, що дало можливість порівняти гарантовані часи різних схем методу розв'язуючих функцій між собою, а також з першим прямим методом. Для процесів з імпульсними керуваннями отримано достатні умови закінчення гри. Послідовно досліджено випадки імпульсного керування переслідувача, втікача, а також обох гравців, вивчено різні ситуації взаємної інформованості, обгрунтовано дискретний аналог паралельного зближення. Для задачі групового зближення з імпульсними керуваннями переслідувачів встановлено достатні умови зближення за скінченний гарантований час, завдяки яким у випадку простих рухів гравців отримані геометрично наглядні умови на початкові положення типу “оточення”, що забезпечують поїмку втікача хоча б одним із переслідувачів.

Ключові слова: конфліктно-керований процес, багатозначне відображення, вимірний селектор, стробоскопічна стратегія, гарантований час, метод розв'язуючих функцій, умова Понтрягіна, імпульсне керування, групове зближення.

Аннотация

Чикрий К.А. Гарантированный результат для конфликтно-управляемых процессов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена исследованию квазилинейных динамических игр сближения и игровых задач с импульсными управлениями. Для конфликтно-управляемых процессов с цилиндрическим терминальным множеством в рамках метода разрешающих функций получены достаточные условия окончания игры за некоторое гарантированное время в классе стробоскопических стратегий. Условия выражены в форме звездности по конусу либо выпуклозначности специальных многозначных отображений.

Подробно изучены многозначные отображения с замкнутыми значениями и их селекторы на предмет -измеримости и суперпозиционной измеримости. Последнее обстоятельство используется при выборе измеримых селекторов в качестве управлений преследователя, заменяя, по существу, известную теорему Филиппова - Кастена. Предложено различные схемы упомянутого выше метода. В частности, установлена функциональная форма первого прямого метода Понтрягина, что дало возможность сравнить гарантированные времена различных схем метода разрешающих функций между собой, а также с первым прямым методом. Это сравнение выполнено как для всех начальных состояний, так и для отдельно взятых. В последнем случае соотношение для гарантированных времен зависит от соответствующих включений для конусов многозначных отображений. Указаны конкретные ситуации, когда время метода разрешающих функций, реализованное в классе контруправлений, меньше времени первого прямого метода.

Приведен пример конфликтно-управляемого процесса с простыми движениями и -окрестностью начала координат в качестве терминального множества. Области управлений игроков подобраны таким образом, что нарушается свойство полного выметания в условии Понтрягина. В этом примере указана начальная позиция, для которой рассматриваемые гарантированные времена различны, а все фазовое пространство разбито на две области и вопрос об окончании игры за конечное время может быть сформулирован в виде необходимых и достаточных условий.

Для процессов с импульсными управлениями установлены достаточные условия окончания игры. Последовательно исследованы случаи импульсного управления преследователя, убегающего, а также обоих игроков, изучены различные ситуации взаимной информированности, обоснован дискретный аналог параллельного сближения.

Подробно рассмотрен пример игровой задачи, где строится в явном виде разрешающая функция, управление преследователя и дается в аналитическом виде выражение для времени преследования в зависимости от начальных состояний и от классов управлений, используемых игроками.

Для задачи группового сближения с импульсными управлениями преследователей получены достаточные условия сближения за конечное гарантированное время. В случае простых движений игроков получены геометрически наглядные условия на начальные положения типа “окружения”, которые обеспечивают поимку убегающего хотя бы одним из преследователей. При этом рассмотрен случай, когда область управления убегающего обратно пропорционально зависит от расстояния между одинаково отдаленными моментами выдачи импульсов и, следовательно, возможна ситуация, когда преследователи якобы уступают убегающему по ресурсам управления. Тем не менее результат оказывается в их пользу.

Ключевые слова: конфликтно-управляемый процесс, многозначное отображение, измеримый селектор, стробоскопическая стратегия, гарантированное время, метод разрешающих функций, условие Понтрягина, импульсное управление, групповое сближение.

Summary

Chikrii K.A. Guaranteed result for conflict-controlled processes. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree in physics and mathematics by speciality 01.05.01 - theoretical foundations of informatics and cybernetics. - V.M.Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

Thesis is devoted to investigation of the quasilinear dynamic games and the game problems with impulse controls. In so doing, conflict-controlled processes with cylindrical terminal set are treated. On the basis of the method of resolving functions, sufficient conditions for the game termination in some quaranteed time are obtained. These conditions are realized in the class of stroboscopic strategies and expressed in the form of star-shapedness in certain cone or convex-valuedness of special set-valued mappings. Various schemes of the above-mentioned method are suggested. In particular, the functional form of Pontryagin's first direct method is derived. This makes feasible to compare the quaranteed times of various schemes of the method of resolving functions as well as each of these times with the time of the first direct method. Also sufficient conditions for the game termination are established for the processes with impulse controls. In succession are studied the cases when impulse controls are employed only by one of the players (the pursuer or the evader) or by both of them. Special attention is paid to various kinds of the players' information availability on the opponent behaviour. Discrete analog of the parallel pursuit rule is established. Also the problem of group pursuit when all the pursuers apply impulse controls is studied in detail. Sufficient conditions for capture of the evader in a finite quaranteed time are deduced. In the case of simple motions these conditions take the form of geometric-descriptive conditions on the initial positions of “encirclement” type and provide capture of the evader at least by one of the pursuers.

Key words: conflict-controlled process, set-valued mapping, measurable selection, stroboscopic strategy, quaranteed time, method of resolving functions, Pontryagin's condition, impulse control, group pursuit.

Размещено на Allbest.ru