Расчет основных характеристик СМО в Excel

Одной из важнейших характеристик СМО является поток заявок. Эта характеристика определяет порядок обслуживания заявок, поступающих на вход системы. Наиболее часто используется дисциплина очереди - «первым пришел - первым обслужен». Для определения средней величины интенсивности потока заявок на обслуживание производятся хронометражные замеры потока требований на обслуживание в единицу времени.

Например, рассмотрим ситуацию, когда в течении 10 дней производился подсчет количества покупателей, приходящих в магазин в течении каждого часа.

Для вычисления интенсивности потока покупателей () сгруппируем данные по числу покупателей (k), посетивших магазин в течение часа (определим частоту посещения магазина покупателями). Другими словами, мы должны построить гистограмму частоты посещения магазина покупателями.

Таблица 1 - Фрагмент листа Excel с таблицей частоты посещения магазина покупателями

Для этого на ленте Данные выберите вкладку Пакет Анализа. В открывшемся диалоговом окне выберите Гистограмма и щелкните на кнопке ОК.

Рисунок 1 - Диалоговое окно «Гистограмма»

заявка канал загрузка

В открывшемся диалоговом окне Гистограмма выполните необходимые установки:

§ в окно Входной интервал введите адреса ячеек, содержащие значения посещаемости магазина покупателями (в нашем примере - ячейки B11:I20);

§ в окно Интервал карманов введите диапазон ячеек и набор значений, определяющих отрезки (карманы). Эти значения должны быть введены в возрастающем порядке. В Microsoft Excel вычисляется число попаданий данных между текущим началом отрезка и соседним большим по порядку, если такой есть. При этом включаются значения на нижней границе отрезка и не включаются значения на верхней границе. В нашем примере, в качестве интервала карманов укажем адреса А11:А20, содержащие числа от 1 до 10 , расположенные в возрастающем порядке;

§ в окно Выходной интервал введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. В нашем примере, укажем адрес А22;

§ при желании установите флажки «Паретто (отсортированная диаграмма»- данные будут представлены в порядке убывания частоты. Если флажок снят, то данные в выходном диапазоне будут представлены в порядке возрастания отрезков, а трех самых правых столбцов с отсортированными данными не будет;

§ интегральный процент. Установите флажок для генерации интегральных процентных отношений и включения в гистограмму графика интегральных процентов. Снимите флажок, чтобы не вычислять интегральные процентные соотношения;

§ вывод графика. Установите флажок для автоматического создания встроенной диаграммы на листе, содержащем выходной диапазон;

§ щелкните на кнопке ОК.

В результате выполненных действий Excel поместит таблицу распределения частот посещения магазина покупателями.

Таблица 2

Интенсивность потока покупателей может быть найдена как сумма произведений числа посещений (карман) на наблюдаемую частоту посещений (f) деленное на общее число посещений:

(1)

В нашем примере количество покупателей в единицу времени определиться как:

=СУММПРОИЗВ(A23:A32;B23:B32)/СУММ(B23:B32)=3.48 покупателей/час.,

а среднее время прихода одного покупателя определится как 1/ = 0,286 часа (или 17,2 мин)

Подобным же образом могут быть определены среднее время обслуживания покупателей продавцами (t_обсл) и интенсивность обслуживания () - среднее количество клиентов, обслуживаемых в единицу времени:

(2)

В том случае, когда < , (т.е., частота поступления заявок ниже интенсивности обслуживания времени их обслуживания) очереди не возникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее их поступления.

2. Анализ функционирования системы массового обслуживания

которая показывает степень согласованности входного потока заявок с интенсивностью их обслуживания.

Величину часто называют приведенной плотностью потока требования (заявок) или интенсивностью нагрузки - среднее число требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования.

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласованности входного потока (например, покупателей в магазине) с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при < n. Если же n, то в системе будет возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателей начала обслуживания, и, следовательно, проектируемая СМО будет работать неустойчиво.

Рассмотрим наиболее общий случай СМО, когда n - канальная система работает в режиме с ожиданием обслуживания и с ограничением на длину очереди (в очереди не может быть более m требований). При этом, мы предполагаем, что входящий поток требований на обслуживание описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью , а время обслуживания требований распределено по показательному закону с интенсивностью .

Вероятность того, что в системе отсутствуют требования (Р₀) может быть определена по формуле:

(5)

Вероятность того, что в системе обслуживания находятся k требований на обслуживание (P_k) может быть определена как:

(6)

(7)

Отношение /n часто обозначается через Х и называется уровнем загрузки системы.

Х = /n (8)

Если Х = /n <1, то очередь на обслуживание не образуется и система находится в стационарном состоянии, которое характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течение заданного промежутка времени зависит только от его продолжительности.

Вероятность отказа в обслуживании требования (заявки, клиента…), если в систему поступает n+m Напомним, что n - это количество заявок, которые могут быть обслужены (с учетом очереди на обслуживание), а m - это количество заявок, которые не могут быть обслужены и получат отказ. заявок на обслуживание

(9)

Вероятность обслуживания поступившей заявки (или относительная пропускная способность СМО)

Pобсл=1- Ротк. (10)

Абсолютная пропускная способность системы (число фактически обслуженных требований в единицу времени)

А=*Робсл. (11)

среднее число занятых каналов Под каналами обслуживания всегда понимается количество людей (машин, механизмов) , способных обрабатывать поступившие заявки. Например, количество телефонных аппаратов, установленных для приема заказов товаров по телефону. обслуживания

 (12)

так как А - это интенсивность потока обслуживания заявок, а каждый канал способен в единицу (в среднем) обслуживать заявок.

Коэффициент использования (занятости) каналов

Кзан = Х*Робсл = zср/n (13)

Коэффициент простоя каналов обслуживания

Кпрос=т = 1-Кзан = 1-Nср/n = 1-X*Pобсл. (14)

Среднее число требований (заявок) в очереди

L_ср =1*P_n+1+2*P_n+2+…m*P_n+m = (15)

Среднее время обслуживания требований

Тср(обсл) = Робсл/ (16)

Среднее время ожидания в очереди

T_{ср(ож. оч)}= (1/n)P_n+(2/n)P_n+1…+(m/n)P_n+m+1 =

(17)

Так как, если заявка на обслуживание поступит в тот момент, когда все каналы заняты и очереди нет, то время ожидания составит в среднем 1/n, а если заявка поступит в тот момент, когда в очереди находится одно требование на обслуживание, 2/n и т.д.

Среднее время пребывания заявки в СМО

Т ср. СМО = Tср(ож. оч) + tср(обсл (18)

Образование очереди возможно только тогда, когда вновь поступившая заявка застанет на обработке в системе не менее n требований на обслуживание Напомним, что n - это число каналов обслуживания, т.е когда в СМО будет находиться n, n+1, n+2,…n+m-1 требований на обслуживание. Учитывая то, что заявки в СМО поступают независимо друг от друга, вероятность того, что все каналы обслуживания будут заняты равна сумме вероятностей Р_n, P_n+1, P_n+2,…P_n+m-1.

Отсюда вероятность образования очереди:

(19)

Выше были приведены формулы для расчета основных характеристик СМО для случая, в котором допускается возникновение очереди при наличии ограничения на ее длину В том случае, если количество заявок в очереди на обслуживание превышают заданную величину m, то эти заявки исключаются из дальнейшего обслуживания. Под величиной ограничения очереди m может также пониматься и количество мест для стоянки автомобилей, помещений для хранения и обработки товаров и др..

Если m=0, то мы имеем дело с первым частным случаем СМО - системы с отказами. Наиболее типичным примером такой СМО является работа стола заказов (или справочной службы) по телефону - если все телефоны заняты приемом заказов, то звонок нового покупателя получает отказ - сигнал занято.

В том случае, когда m При расчете основных характеристик СМО в таблице Excel величина m может быть взята в 10 -50 раз больше величины (m = (10 50) . , то получаем СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.

Критерии качества функционирования СМО

Значительная часть показателей функционирования СМО, определенные в предыдущем разделе, - противоречивы в том смысле, что улучшение одних показателей неизбежно ведет к ухудшению других. Например, сокращение длины очереди (или времени ожидания начала обслуживания) путем увеличения числа каналов обслуживания (увеличения количества продавцов, телефонов, подсобных помещений и др.) связано с ухудшением таких показателей как увеличение времени простоя каналов, увеличению затрат на их содержание и др. Таким образом, необходимо проектировать СМО таким образом, чтобы достичь разумного компромисса между показателями собственно заявок и использованием возможностей СМО, т.е необходимо иметь критерий, позволяющий оценить качество работы СМО с этих позиций.

В простейшем случае (например, для систем с отказом) таким критерием может быть выбрана вероятность отказа в обслуживании (Р_отк), Можно потребовать, чтобы Р_отк не превышала заранее заданной величины. Например требование Р_отк<0,1 означает, что СМО, при заданной интенсивности потока заявок (), будет справляться с их обслуживание не менее чем в 90% от их общего числа.

Можно потребовать ограничения среднего времени пребывания заявки в очереди (или системе)

В качестве параметра - критерия может выступать либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания заявок , либо интенсивность обслуживания при заданном числе каналов, либо наилучший вариант из n₁, n₂,… n_з, каналов с интенсивностью обслуживания ₁, ₂,… _з.

В качестве обобщенного критерия, учитывающего все противоречивые направленности показателей работы СМО, может быть выбран показатель, характеризующий ее экономическую эффективность. Включающий как издержки обращения (С_{изд. обр}), так и издержки заявок (С_{изд.заявок}), которые будут принимать минимальное значение при минимуме общих затрат (С_затр).

С_затр = С_{изд. обр} + С_{изд.заявок} min

Так как при оценке затрат необходимо учитывать не только потери, связанные с отказами (или возникновением очередей), но потери, вызванные издержками от простоя каналов в ожидании обслуживания, а также с издержками эксплуатации СМО, обобщенный критерий качества работы СМО может быть записан следующим образом:

Сзатр=(Сэкпл*Nср+Спрост*(n-Nср)+Сотк*Ротк*+Ссист*Тср.СМО) min (20)

Где Сэкпл - издержки, связанные с эксплуатацией системы;

Nс - среднее количество каналов, занятых обслуживанием;

Спрост - издержки, связанные с простоем каналов обслуживания;

Сотк - издержки, связанные с отказом в обслуживании (потерей клиентов);

Ссист - издержки, связанные с пребыванием заявки в СМО;

Тср.СМО - среднее. время пребывания заявки в системе.

Следует заметить, что в качестве критерия эффективности работы СМО (целевой функции) может выступать товарооборот предприятия (например, рентабельность) Тогда, очевидно, оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся уже при их максимальном значении и необходимо соответствующим образом произвести преобразования целевой функции.

После построения целевой функции необходимо определеить условия решения задачи, т.е. найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели и построить (или подобрать) совокупность моделей взаимосвязи всех показателей для анализируемого типа СМО, чтобы кв конечном итоге найти оптимальные значения показателей, например количество продавцов, кассиров, подсобных рабочих, фасовщиков, объемы складских помещений и др.

Размещено на Allbest.ru