Моделі і методи структурної ідентифікації мобільних агрегатів

Актуальність теми. Сучасний етап розвитку обчислювальних методів та математичного моделювання дозволяє проводити всебічне дослідження і створення нових агрегатів, машин, а також здійснити різноманітну перевірку нових конструкцій відповідно до роботи в умовах, наближених до реальних. Основою усіх методів досліджень агрегатів є отримана шляхом вимірювання інформації про стан механізму при різних навантаженнях та умовах експлуатації. В цьому випадку важливого значення набуває дослідження об'єктів за допомогою ЕОМ, використовуючи математичне моделювання, а також на спеціальних стендах, які відтворюють задані умови експлуатації. Однак широке застосування таких методів досліджень обмежене труднощами ідентифікації математичної моделі агрегата.

Вирішенням проблеми структурної ідентифікації математичної моделі об'єктів управління за результатами спостережень сигналів на вході та виході діючого об'єкта займаються відомі вчені та дослідники: М.З. Згуровський, В.М. Кунцевич, В.І. Костюк, В.Ф. Губарєв, О.І. Міхальов, А.М. Сільвестров, В.М. Подладчіков, Н. Райбман, Я.З. Ципкін і ряд інших.

Методи структурної ідентифікації об'єктів керування можна розділити на два напрями:

- створення структурної математичної моделі об'єкта на основі відомих законів та закономірностей його функціонування;

- оцінювання порядку і параметрів математичної моделі об'єкта на основі вимірів входів та виходів, що дозволяє відслідковувати зміни параметрів діючого об'єкта.

Реєстрація та належна обробка вимірів сигналів, які діють на вході і виході об'єкта, дає можливість отримати оператор об'єкта, який перетворює вхідний сигнал у вихідний. Якщо структура об'єкта відома, то використовують методи параметричної ідентифікації, які забезпечують отримання незміщених, консистентних і ефективних оцінок. Аналіз параметричних методів ідентифікації математичної моделі вказує на необхідність їх модифікації та узагальнення з метою більш повного використання можливостей сучасних ЕОМ. Крім того, недостатньо повно використовуються чисельні методи оцінювання диференціальних операторів.

Аналіз існуючих непараметричних методів ідентифікації показав, що вони зводяться до визначення вагової функції шляхом розв'язку інтегрального рівняння, яке використовує відповідні кореляційні функції. В свою чергу методи ідентифікації у просторі станів об'єкта свідчать, що наприклад алгоритми 4SID методу при всій їх ефективності і простоті виявляються чутливими до похибок вхідних даних, а при визначених умовах стають некоректними. Ідентифікація з використанням альбомів типових характеристик не дозволяє автоматизувати процес ідентифікації за допомогою ЕОМ.

Таким чином, актуальність теми дисертаційної роботи обумовлена необхідністю узагальнення і модифікації існуючих обчислювальних методів з метою підвищення їх ефективності, створення і дослідження нових методів і алгоритмів ідентифікації математичних моделей об'єктів, які забезпечують створення програмних засобів комп'ютерної реалізації в умовах обмежених обчислювальних потужностей і цінових факторів, притаманних мобільним агрегатам.

Зв'язок з науковими програмами, планами і темами. Робота виконувалась згідно з державною науково-технічною програмою України по пріоритетному напрямку науково-технічного прогресу 6.1 “Сучасні інформаційні технології в створені інтегрованих виробничих комплексів”. Дослідження проведені відповідно до тематичного плану науково-дослідницьких робіт Кіровоградського національного технічного університету відповідно до держбюджетної науково-дослідної теми “Уніфікована система контролю та управління технологічними процесами для підприємств зернопереробної промисловості” (державна реєстрація № 0102U004617).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є (1) підвищення ефективності функціонування мобільних агрегатів шляхом створення обчислювальних методів структурної і параметричної ідентифікації математичної моделі функціонуючого об'єкта в системі керування за результатами спостережень вхідних і вихідних сигналів; (2) розв'язок задачі непараметричної ідентифікації з визначенням порядку диференціального оператора і подальшим уточненням його параметрів за узагальненим методом параметричної ідентифікації з використанням сучасних ЕОМ.

Для досягнення вказаної мети у дисертації поставлені наступні задачі:

- дослідити існуючі методи ідентифікації і на цій основі запропонувати нові методи ідентифікації, придатні для вирішення науково-практичних задач відносно технічних систем, зокрема мобільних агрегатів;

- виконати дослідження перехідної функції діючого об'єкта та на підставі отриманих результатів розробити методи непараметричної ідентифікації з метою визначення порядку диференціального оператора;

- проаналізувати методи параметричної ідентифікації і запропонувати узагальнений метод визначення параметрів диференціального оператора, який враховує можливості чисельних методів та сучасних ЕОМ;

- створити програмні засоби реалізації розроблених методів і експериментально дослідити їх ефективність;

- виконати технічну апробацію наукових результатів та їх техніко- економічну оцінку.

Об'єкт дослідження - математичні моделі технічних систем.

Предмет дослідження - чисельні методи ідентифікації математичної моделі, орієнтовані на ефективну реалізацію комп'ютерними засобами.

Методи досліджень ґрунтуються на застосуванні методів теорії оцінювання і автоматичного регулювання в умовах дії детермінованих і випадкових вхідних сигналів, теорії автоматичного керування, теорії ймовірностей та математичної статистики, теорії похибок і комп'ютерної метрології для знаходження параметрів диференціального оператора, теорії алгоритмів і програмування для створення програмних засобів експериментального дослідження методів ідентифікації за допомогою ЕОМ.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що вперше запропоновані обчислювальні методи ідентифікації математичної моделі об'єкта на підставі чисельних значень інтегральної кривої, що описує поведінку вектора стану об'єкта в часі. Зважаючи на те, що даний вектор однозначно визначається за допомогою вибраного базису, можна розв'язати обернену задачу з метою визначення порядку і параметрів диференціального оператора шляхом порівняння результатів обчислень на всій числовій осі при послідовному розширенні базису апроксимуючих функцій. Розроблено метод структурної ідентифікації на основі генетичного алгоритму, який використовується для формування структури обчислювальних дерев, що відображають структуру моделі об'єкта. Оптимальне оцінювання стану об'єкта в умовах впливу гаусових збурень та шумів вимірів забезпечується адаптивним фільтром Калмана.

Автором отримані наступні результати:

- запропоновано метод визначення перехідної функції за даними результатів вимірювань дискретних сигналів на вході та виході діючого об'єкта, який забезпечує формування перехідної функції для лінійних та нелінійних технічних систем;

- вперше створено метод визначення порядку диференціального оператора за перехідною функцією об'єкта на основі послідовної мінімізації функціонала норми середньоквадратичної похибки між лівою і правою частиною оператора при послідовному розширенні базису апроксимуючих функцій диференціального оператора, а також порівняння розв'язків на різних проміжках часу;

- запропоновано метод структурної ідентифікації на основі генетичного алгоритму, який використано для формування структури нелінійних моделей у вигляді обчислювальних дерев; метод відрізняється від існуючих універсальністю застосування до об'єктів різної природи;

- розроблено алгоритм експериментальних досліджень запропонованих методів ідентифікації на основі спеціального програмно-алгоритмічного забезпечення ПЕОМ.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані в роботі методи ідентифікації досліджуваних об'єктів дозволяють:

- розв'язувати задачі структурної і параметричної ідентифікації об'єктів автоматичного керування в технічних системах і технологічних процесах;

- розпізнавати закономірності та характеристики, притаманні реальним об'єктам, явищам і процесам;

- досліджувати влив конструктивних елементів об'єкта на технологічний процес;

- автоматизувати процес ідентифікації і визначення математичної моделі досліджуваного об'єкта.

Результати роботи впроваджені на ВАТ “Червона зірка”, м. Кіровоград, в УкрЦВТ, с. Дослідницьке Васильківського району Київської області, на фірмі “ТОДАК”, з виготовлення технологічного обладнання для агропромислового комплексу, м. Київ.

Результати роботи використовуються у Кіровоградському національному технічному університеті в навчальному процесі на кафедрах автоматизації виробничих процесів і програмного забезпечення при викладанні навчальних дисциплін “Моделювання”, “Теорія автоматичного управління”, “Чисельні методи”, “Дискретна математика”.

Особистий внесок здобувача. В наукових працях здобувачеві належать матеріали, які отримані самостійно: в роботі [1] - запропоновано узагальнений алгоритм параметричної ідентифікації з використанням чисельних методів; в роботі [2] - наведена методика ідентифікації систем із змінними у часі параметрами; в роботі [5] - запропоновані алгоритми непараметричної ідентифікації мобільних агрегатів агропромислового комплексу.

У публікаціях, написаних в співавторстві, здобувачеві належать: в роботі [3] - змістовна суть задачі параметричної ідентифікації та алгоритм визначення параметрів в системі управління зернозбиральним комбайном; в роботі [4] - розроблено алгоритм визначення параметрів в системі управління норіями; в роботах [6-8] - алгоритм розв'язування задач непараметричної ідентифікації, а також алгоритми для їх реалізації на ЕОМ; в роботі [11] - метод і алгоритм визначення перехідної функції технічної системи; в роботах [9, 10] - методи непараметричної ідентифікації на основі аналізу вихідного сигналу технічної системи у просторі стану і часу; в роботі [12] - запропоновано алгоритм ідентифікації на основі генетичного підходу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались: на Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми транспорту в гірничому виробництві” (Дніпропетровськ, 2002 р.); Міжнародній науково-технічній конференції ”Автоматика та комп'ютерні технології промисловості та АПК” (Кіровоград, 2002р.); VII Міжнародній науково-технічній конференції „Системний аналіз та інформаційні технології” (Київ, 2005р.); V Міжнародній конференції „Идентификация систем и задачи управления” (Москва, 2006 р.); на науково-технічних конференціях викладачів, аспірантів та співробітників Кіровоградського національного технічного університету в 2000-2005 роках.

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 12 друкованих праць, з них 9 статей у наукових фахових виданнях ВАК України і 3 тез доповідей на міжнародних конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку літератури, що містить 144 найменувань, та 4 додатків. Робота містить 147 сторінок основного тексту, 120 рисунків, 8 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, сформульовано наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, наведені відомості про апробацію, публікації та використання результатів дослідження.

У першому розділі пропонується методика систематизації систем ідентифікації математичних моделей. Завдяки упорядкованості множини систем ідентифікації, яка розділяється на підмножини моделей та параметрів моделей, підмножини функціоналів, визначаючих якість рішення, підмножини методів та часу, проведена класифікація систем ідентифікації табл.1, використання якої дозволяє скоротити число методів розв'язку практичних задач.

Таблиця 1 Класифікація систем ідентифікації

Тут {? , в} - підмножина моделей та параметрів моделі; {Opt , б} - підмножина методів оцінки вектора параметрів моделей {? , в}, б - вектор регулярізації параметрів метода Opt; {J} - підмножина функціоналів від E (в,t), що оптимізуються по в методами {Opt , б}, де E (в,t) - різниця координат, що вимірюються, реального об'єкта ?_? і моделі, {I} - підмножина основних функціоналів, що визначають якість розв'язку основної задачі на ?_? за допомогою {? , в}, {T} - підмножина моментів t_k часу, на якому реальна система ?_? представлена набором даних {u(t_k), y(t_k)} у вигляді системи з точки зору її зовнішньої поведінки, {?₀ }- моделі, які описуються диференціальним рівнянням, {в_0k} вектори параметрів моделі {?₀ }. За допомогою табл.1 встановлюється клас системи ідентифікації та визначаються можливі методи ідентифікації математичної моделі об'єкта для вирішення інженерних задач, що дозволяє значно скоротити терміни дослідження мобільних агрегатів.

В другому розділі здійснено огляд і аналіз методик основних методів ідентифікації математичної моделі об'єкта. Аналіз методик та основних методів параметричної і непараметричної ідентифікації показав, що для випадку, коли структура об'єкта відома апріорно, задача зводиться до визначення параметрів передаточної функції і проблема виникає тільки в узагальнені методів з використанням сучасних ПЕОМ.

Методи непараметричної ідентифікації зводяться до визначення вагової функції з розв'язку інтегрального рівняння, яке використовує відповідні кореляційні функції. Показано, що для нескінченного інтервалу спостережень можна записати імпульсну перехідну функцію об'єкта g(t,ф) у вигляді

(1)

Таким чином, ідентифікація в класі лінійних моделей зводиться до використання значень випадкових процесів x(t) і y(t) для визначення авто- кореляційної функції вхідного сигналу (,s) і взаємної кореляційної функції вхідного і вихідного сигналів ; тоді розв'язок інтегрального рівняння (1) дає імпульсну перехідну функцію об'єкта g(t,).

Дослідження показали, що невеликі зміни у вихідній інформації, яка використовується для визначення відповідних кореляційних функцій, можуть призводити до істотних відхилень у визначенні параметрів диференціального оператора. Крім того, ці методи непридатні для слабокорельованих сигналів.

Похибка у визначенні параметрів моделей пропорційна випадковій складовій процесу , для зменшення якої використовують метод регуляризації Тихонова :

,

де - параметр регуляризації. Даний метод регуляризації не забезпечує стійкість при наявності збурення довільного типу.

Аналіз основних методів ідентифікації свідчить про необхідність розробки нових методів і спеціальних програмних продуктів для оцінювання структури і параметрів моделей мобільних агрегатів.

У третьому розділі виконана теоретична розробка параметричних і непараметричних методів ідентифікації математичних моделей мобільних агрегатів.

Параметрична ідентифікація розв'язує задачу визначення параметрів об'єкта при відомій структурі. Обґрунтовано, що для мобільних агрегатів, які описуються диференціальним рівнянням (2), оцінити параметри можна за допомогою системи різницевих рівнянь.

(2)

де - сигнал на виході об'єкта; - сигнал на вході об'єкта; параметри об'єкта, які підлягають визначенню.

Похідну представимо різницями з точністю :

.

Для подальшого оцінювання параметрів запропоновані способи, які ґрунтуються на мінімізації функціоналу , що приймає на максимально близьких до істинних оцінках параметрів. Запропоновано узагальнений метод параметричної ідентифікації математичної моделі.

Непараметрична ідентифікація розв'язує задачу визначення структури і параметрів об'єкта. Відомі алгоритми розв'язку задачі можна розділити на частотні, кореляційні, оцінювання структури, графоаналітичні. Недоліком цих методів є те, що вони ґрунтуються на тривалих спостереженнях за об'єктом і не дають повної гарантії того, що модель відповідає об'єкту. Крім того, ці методи важко реалізувати в системах керування реального часу.

Внаслідок цього в дисертаційній роботі запропоновані методи розв'язку задачі непараметричної ідентифікації при наступних допущеннях:

- система має один вхід і один вихід;

- система описується диференціальним оператором, порядок і параметри якого підлягають визначенню;

- адитивне збурення стану об'єкта не залежить від вхідного сигналу і представляє собою стаціонарний випадковий гаусів процес.

Враховуючи зазначені допущення, задача зведена до визначення порядку і параметрів диференціального оператора D=, a_i - параметри диференціального оператора, n - порядок. Відомо, що вектор розв'язку диференціального рівняння може бути записаний у вигляді X(t)=ц₁(t)г₁+ +ц₂(t)г₂+…+ц_n(t)г_n, де ц_i(t) - часткові розв'язки, що є лінійно незалежними функціями і утворюються базисом n-вимірного лінійного простору, г_i - сталі, які залежать від початкових умов.

Вектор стану X(t) характеризує поведінку об'єкта керування у часі. Базисні вектори ц_i(t), не змінюючи своєї орієнтації в просторі, можуть з часом змінювати свою довжину. Особливістю цього простору є безперервне вимірювання положення його елементів в часі Y(t)=X(t)+N(t) на виході об'єкта з враховуванням похибок N(t).

Ці принципи покладені в основу запропонованих методів ідентифікації і полягають у тому, що за відомими чисельними значеннями у дискретні моменти часу вектора станів об'єкта X(t) визначають розмірність n цього простору. Критерієм збіжності є min||X|| у множині станів Y(t).

В роботі запропоновано два методи визначення порядку диференціального оператора перетворення вхідного сигналу у вихідний.

Метод визначення порядку оператора здійснюється шляхом мінімізації норми середньоквадратичної похибки між лівою і правою частинами диференціального рівняння. Спочатку доводиться розв'язок задачі при нульових початкових умовах і U(t)=const, на основі якого отримується множина значень у дискретних точках деякої інтегральної кривої . Потрібно відновити функцію інтегральної кривої на підставі експериментальних даних і вирішити зворотну задачу - визначити порядок і параметри диференціального рівняння за чисельними даними перехідної функції.

Відомо, що шукана функція належить базису функцій розв'язку диференціального рівняння

, (3)

де - корені характеристичного рівняння; - сталі інтегрування.

Оскільки в даному випадку відомий клас апроксимуючих функцій, то пропонується послідовне розширення базису, починаючи з і визначення середньоквадратичної похибки як функції від n . Після чого повторюємо алгоритм для n=n+1, до виконання умови

.

Додавання здійснюється по всій числовій вісі, тому що через одну точку може проходити безліч траєкторій вектора . Для встановлення залежності необхідно, на підставі часток похідних по , скласти систему рівнянь (4), з якої можна визначити параметри й обчислити при різних n.

(4)

(5)

Внаслідок того, що отримання аналітичного виразу для часткових похідних - це досить складна задача, запропоновано матричне рівняння (5), яке дозволяє отримати систему лінійних рівнянь для визначення параметрів при різних .

Наступний метод визначення порядку диференціального оператора реалізовано за допомогою співставлення норми рішень на різних ділянках часу. Нехай Y(t) розв'язок диференціального рівняння (3) представлено у вигляді графіка. Розв'язок задачі починається з розбиття часового інтервалу розв'язку на m частин зі сталим значенням .

Якщо лінійне диференціальне рівняння має порядок n, то для визначення його коефіцієнтів потрібно скласти систему n+1 рівнянь. Для цього обираємо n+1 точку розбиття. В цих точках записуємо значення функцій і складаємо систему лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів {a₀, a₁…, a_n}.

Очевидно, що при n, рівному порядку диференціального рівняння, яке адекватно описує об'єкт, система для довільних точок t₁, t₂, …,t_n+1 даватиме розв'язки, близькі до істинних параметрів {a_n, a_n-1,…, a₁ ,a₀}. Розв'язавши цю систему, знайдемо значення коефіцієнтів {a₀, a₁,…, a_n}.

На наступному кроці обираємо нове розбиття точками t₁^*, t₂^*,…, t_n+1^*, таке що , де ? t › 0 - зсув.

Розв'язок цієї системи дає значення коефіцієнтів . Якщо отримані розв'язки систем і досить близькі, то n - істинний порядок диференціального рівняння.

Ідентифікація математичної моделі мобільного агрегату при U(t)?Const зводиться до розв'язку оберненої задачі, тобто за вхідним сигналом X(t) і вихідним сигналом Y(t) визначається перехідна функція V(t) за допомогою рекурентного співвідношення:

.

Цей вираз дозволяє визначити перехідну функцію за результатами спостережень сигналів X(t), Y(t) на вході та виході системи з подальшим застосуванням розроблених методів ідентифікації.

Доведено, що для випадку ненульових початкових умов перехідна функція об'єкта визначається як різниця функцій

,

де - розв'язок рівняння при початкових умовах, відмінних від нуля; - розв'язок рівняння при аналогічних для початкових умовах. Після визначення розмірності n простору базису розв'язуваних функцій, що відповідають порядку диференціального оператора, уточнення його параметрів можна здійснити за допомогою запропонованого узагальненого методу параметричної ідентифікації. Точність оцінок параметрів збільшується за рахунок більш точного обчислення похідних через різниці, використовуючи інтерполяційні поліноми Стирлінга.

Ідентифікація математичної моделі мобільного агрегату в умовах дії адитивної завади вимагає попередньої фільтрації сигналу з подальшим застосуванням запропонованих методів ідентифікації.

В роботі запропоновано оцінювання структури моделей, нелінійних відносно змінних на основі генетичного алгоритму (ГА). Задача оцінювання структури лінійних за параметрами, але нелінійних відносно змінних моделей означає вибір належних нелінійних функцій . Пошук структури грунтується на розв'язку оптимізаційної задачі, який передбачає пошук кращої структури у просторі можливих.

Алгоритм еволюційного типу грунтується на представленні задачі у вигляді дерева рішення, яке є надзвичайно гнучким, оскільки за допомогою дерев можна представляти обчислювальні алгоритми, рівняння та математичні моделі процесів і об'єктів різної природи. Однією з основних форм представлення структур моделей є дерево ієрархічного типу, яке складається з функцій та термінальних символів, що належать допустимим множинам функцій (операторів) та термінальних символів, відповідно. Множина операторів містить основні арифметичні операції , а також інші математичні функції. Множина термінальних символів (терм-множина або множина термів) містить аргументи функцій, наприклад, , де незалежні змінні; вектор параметрів.

Для того щоб уникнути створення моделей, нелінійних за параметрами, параметри видаляються з множини термінальних символів. Тобто, ця множина містить тільки змінні: , де - й регресор. Параметри додаємо до моделі після формування функцій . В процесі функціонування ГА генерує множину моделей-кандидатів з різними деревовидними структурами. Ці дерева можуть мати кращі або гірші члени (субдерева), які дають свій вклад в модель, представлену деревом. Для того щоб оцінити вклад кожного члена, застосується метод на основі ортогонального методу найменших квадратів (ОМНК). Члени, які мають найменше значення відношення зменшення похибки (ВЗП), видаляються з дерева. Корегування здійснюється кожний раз, коли оцінюється функціонал якості.

Приклад структурної ідентифікації за допомогою ГА. Полімеризаційний реактор неперервної дії. Повна структура моделі невідома, а відомий лише її порядок. Дані згенеровані за допомогою моделі полімеризаційного реактора неперервної дії. Безрозмірна змінна стану концентрація мономера; середня молекулярна вага (вихідна змінна ). Вхідною керуючою змінною процесу є безрозмірні об'ємні витрати ініціатора. Нормований вхідний сигнал генерувався в діапазоні 0,009 0,025 з періодом дискретизації 0,2 секунди. Первісна модель має чотири змінних стану, але два стани є слабо спостережуваними, а тому модель може бути представлена у вигляді:

.

В цьому прикладі застосовувались чотири методи: (1) генерувались всі можливі поліноми другого порядку і модель включала всі ці члени; (2) генерувались всі можливі поліноми другого порядку, але модель включала тільки ті члени, які мали ВЗП > 0,01; (3) поліноміальний ГА + ортогональний метод найменших квадратів (ОМНК), множина операцій ; порогове значення для ОМНК вибрано рівним 0,02; (4) неполіноміальний ГА + ОМНК з множиною операцій та пороговим значенням для ОМНК 0,025.

Результати ідентифікації наведені в табл.. 2. Вона містить середньо-квадратичні похибки (СКП) однокрокового прогнозу. Оскільки ГА - стохастичний алгоритм, то для 3-го і 4-го методу виконано по 25 експериментів. Порядок по входу і виходу був обмежений наступними значеннями затримки в часі: .

Таблиця 2 Похибки ідентифікації процесу полімеризації ( )

При застосуванні першого методу модель складалась з 45 поліноміальних членів 2-го порядку (). Ця модель виявилась придатною для однокрокового прогнозу, але вона виявилась нестійкою при тривалому вільному прогоні. При застосуванні другого методу ВЗП розраховане для 45 поліноміальних членів і члени, які мали значення ВЗП менше ніж 0,01, були видалені. Остаточно були залишені три члени:

.

Ця проста лінійна модель виявилась стійкою, але недостатньо точною. Всі моделі, отримані за третім методом, виявились стійкими, а самою точною виявилась модель, яка має коректний порядок:

За цим методом була ідентифікована коректна модель в 6-и випадках з 10. При використанні 4-го методу (ГА-ОМНК) коректний порядок моделі було отримано в 6-и випадках з 15.

На відміну від чисельних оптимізаційних процедур, в яких потенціальні рішення представляються векторами числових значень, допустимі розв'язки задач в генетичному програмуванні представляються символьними деревовидними структурами, зокрема двійковими деревами. Однією з основних форм представлення структур є дерево ієрархічного типу, яке складається з функцій та термінальних символів, які належать допустимим множинам функцій (операторів) та термінальних символів, відповідно. Перевагою такого методу є гарантоване оптимальне рішення щодо визначення структури і оцінок параметрів моделі.

У четвертому розділі наведені експериментальні дослідження по визначенню порядку диференціального оператора за допомогою метода мінімізації норми функціоналу середньоквадратичної похибки між лівою і правою частинами диференціального рівняння, а також методу мінімізації норми рішень на різних проміжках часу, як підтвердили отримані в розділі 3 теоретичні результати.

Розглянемо диференціальне рівняння четвертого порядку:

а₄⁽⁴⁾ + а₃ +а₂+а₁+a₀y=1;

а₄=1; а₃= 6; a₂=11; a₁=5; а₀=6;

(0)=0; (0)=0; (0)=0; y (0) = 0.

Таким чином, за результатами спостережень перехідної функції визначили порядок диференціального оператора:

0,9^*(4) + 5,7^*+ 11^*+5,0^*+6,0^*у=1.

З розглянутого прикладу видно, що за допомогою запропонованих методів визначення порядку диференціального оператора визначається порядок і параметри диференціального оператора.

У п'ятому розділі наведені приклади практичного застосування отриманих методів ідентифікації по встановленню залежності між розрідженням у вакуумних камерах пневматичних висівних апаратів і кількості висівного насіння.

Пневматична система сівалки СУПН-8 призначена для створення розрідження у вакуумних камерах пневмо-механічних висівних апаратів. На величину розрідження у вакуумній камері впливає ряд детермінованих та стохастичних факторів, головним з яких є кількість отворів висівного диска, що не заповнені насінням. Залежність між розрідженням р на вході до вакуумної камери та кількістю пустих отворів z вивчено експериментально і утворені масиви даних {р(t_i); z(t_i); i=0,1,2,…,10}, а також їх залежності від t у вигляді графіків.

Застосовуючи до перехідної функції метод визначення порядку диференційного оператора мінімізацією норми між лівою і правою частинами диференціального рівняння, отримаємо порядок і параметри диференціального рівняння :

.

Результати обробки експериментальних даних показують, що запропонований метод ідентифікації дозволяє з високою точністю встановити залежність зміни тиску від кількості заповнених зерном отворів. (СКП моделі не перевищує 3%-5%).

Приклади практичного застосування отриманих методів ідентифікації показали можливість отримати значно вищу точність, ніж інші методи, а також можливість встановлення впливу різних факторів на технологічний процес.

Розрахунок ефективності показав, що застосування запропонованих методів до моделювання технічних об'єктів дає можливість отримати суттєвий економічний ефект, особливо в системах автоматичного керування.

ВИСНОВКИ