Дискретные системы управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Система автоматического управления называется цифровой или дискретной, если в ее состав входит хотя бы одно звено с дискретной действием. Дискретное звено - это звено, выходная величина которого изменяется дискретно даже при плавном изменении входного сигнала. Таким образом, дискретный элемент выполняет преобразование непрерывного (аналогового) сигнала в дискретный. Операция преобразования называется квантования.

До недавнего времени аналоговые системы управления занимали лидирующее место в системах управления электроприводами, технологическими процессами и т.п. Но появление высокоскоростных мощных микропроцессоров и свойств дискретной системы (возможность изменения алгоритма управления без аппаратного вмешательства, реализации более качественного управления, самодиагностики, предупреждение отказов и наличие большого количества защит и блокировок) позволило на порядок превысить параметры аналоговых систем. Все эти преимущества привели к применению цифровых систем в качестве основных.

1. Синтез регуляторов скорости и тока при настройке контуров СПР на модульный оптимум

Структурная схема системы подчиненного регулирования с аналоговыми регуляторами тока и скорости изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Структурная схема

На рисунке 1 обозначены:

К_тп - коэффициент усиления тиристорного преобразователя, К_тп=61;

Т_пт - постоянная времени тиристорного преобразователя, Т_пт=0.011с;

R_я - Активное сопротивление якорной цепи двигателя, R_я=1.95 Ом;

Т_я - электромагнитная постоянная времени двигателя, Т_я=0.017с;

Т_м - электромеханическая постоянная времени двигателя, Т_м=0.127с;

С - конструктивный коэффициент, С=0.872;

К_т - коэффициент передачи датчика тока, К_т=0.117;

К_с - коэффициент передачи датчика скорости, К_с=0.07.

Для синтеза регулятора тока необходимо условно разрезать контур.

Передаточная функция объекта контура тока:

Определим объект контура тока, который компенсируется регулятором, для этого перемножим контур на некомпенсируемую постоянную:

При настройке на модульный оптимум передаточная функция регулятора определяется по формуле:

.

Где Т_м - малая не компенсируемая постоянная времени, Т_м=Т_тп=0.011с.

Передаточная функция оптимизированного контура тока в разомкнутом состоянии:

.

При замыкании контура тока передаточная функция будет иметь вид:

.

Определим передаточную функцию объекта контура скорости:

Компенсации подлежит часть объекта контура скорости, которая не содержит в себе 2 Т _м.

.

Передаточная функция регулятора скорости будет иметь вид:

.

2. Анализ непрерывной модели СПР, настроенной на модульный оптимум

2.1 Определение передаточной функции СПР, настроенной на модульный оптимум

Передаточная функция замкнутого контура момента без учета допущения 2 Т _м².р² имеет вид:

Передаточная функция разомкнутого контура скорости с регулятором, который настраивает систему на модульный оптимум, имеет вид:

.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

.

2.2 Проверка устойчивости СПР по корням характеристического уравнения

Проверку устойчивости системы по корням характеристического уравнения выполним с помощью программной среды MathCAD:

По корням характеристического уравнения можно заметить, что корни электрической части двигателя отрицательные, комплексно сопряженные, кратные. Корни механической части отрицательные, действительны. Поскольку все корни отрицательные, можно сделать вывод, что система устойчива.

2.3 Нахождение уравнения переходного процесса и показателей качества при реакции системы на единичное ступенчатое воздействие

Выполним преобразование полученной передаточной функции замкнутой системы из формы Лапласа в функцию от времени с помощью программной среды MathCAD:

Рисунок 2 - Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие

3. Разработка структурной схемы дискретной СПР

Разработаем структурную схему дискретной системы подчиненного регулирования, которая имеет один контур с цифровым регулятором, внутренняя часть системы будет представлять собой замкнутый контур тока, в качестве ЦАП будем использовать экстраполятор нулевого порядка.

Структурная схема дискретной системы подчиненного регулирования изображена на рисунке 3.

Рисунок 3 - Структурная схема дискретной системы подчиненного регулирования.

где: W_РС(р)- цифровой регулятор скорости;

W_зт(р) - передаточная функция замкнутого контура тока;

К_с - коэффициент передачи датчика скорости;

Т₀ - период квантования.

4. Определение периода квантования дискретной системы по критерию Джури

При использовании критерия Джури период квантования выбираем, исходя из максимальной рабочей частоты аналогового объекта управления, который находится исходя из АФЧХ замкнутой системы, которая состоит из аналогового объекта и цифрового регулятора.

Выведем передаточную функцию АФЧХ замкнутой системы:

.

Согласно критерию Джури модуль АФЧХ на частоте квантования соответствует следующей формуле:

,

Где е - ошибка регулирования.

Согласно заданию к курсовому проекту е=0.05.

Вычислим период квантования с помощью программной среды MathCAD:

5. Анализ дискретной системы с аналоговым регулятором момента и цифровым регулятором скорости

5.1 Определение передаточной функции дискретной СПР

Передаточную функцию дискретной системы подчиненного регулирования определим, опираясь на схему, которая приведена на рисунке 4 в разделе 3.

,

где W_фнч(z) - передаточная функция непрерывной части с формирователем, который является экстраполятор нулевого порядка.

5.2 Проверка устойчивости дискретной СПР по корням характеристического полинома в плоскостях «z» и «w»

Проверку устойчивости системы в плоскости «z» с помощью Mathcad.

Результаты расчета приведены на рисунке 4.

Рисунок 4 - Результаты расчета

Так как корни характеристического полинома находятся в окружности единичного радиуса, то система устойчивая.

Определим корни характеристического полинома и изобразим их в плоскости «w».

Характеристическое уравнение имеет вид:

Проведем замену:

Подстановка представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 - Результаты расчета

Так как корни находятся в левой полуплоскости относительно мнимой оси, система является устойчивой.

5.3 Нахождение уравнения переходного процесса и показателей качества при реакции дискретной СПР на единичное ступенчатое воздействие

Аналитически построим переходной процесс системы управления, принимая R(t) за единичное ступенчатое воздействие.

тогда реакция системы будет иметь вид:

.

Найдем C(z):

.

По последнему выражению составляем разностное уравнение:

.

Z - Перемещение на шаг вперед, тогда разностное уравнение принимая z=(n+1)T можно записать как:

Принимаем, что k=(n+1)T₀.

Преобразуем разностное уравнение так, чтобы значение граничной функции имели отсчет в прошлое:

.

Составим таблицу решений разностного уравнения в Excel, фрагмент которой представлен в таблице 1.

Таблица 1 -Фрагмент решения разностного уравнения

k	2,958614 С(k-1)	`-2,198082 C(K-2)	0.959467 С(k-3)	0.006183 R(k-1)	0.006053 R(k-2)	C(k)
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0,006138176	0	0,006138176
2	0,018160497	0	0	0	0,006053679	0,024214176
3	0,071640413	-0,017911704	0	0	0	0,053728708
4	0,158962536	-0,070658962	0,005889383	0	0	0,094192957
5	0,278680649	-0,156784801	0,023232726	0	0	0,145128574
6	0,429379505	-0,274862814	0,051550973	0	0	0,206067664
7	0,609674779	-0,423497144	0,090375122	0	0	0,276552757
8	0,818212998	-0,601322431	0,139246213	0	0	0,35613678
9	1,053671444	-0,807003743	0,197715316	0	0	0,444383016
10	1,314758037	-1,039236484	0,265343502	0	0	0,540865055
11	1,600211197	-1,296746275	0,341701821	0	0	0,645166742
12	1,908799681	-1,578288818	0,426371254	0	0	0,756882117
13	2,23932241	-1,88264974	0,518942677	0	0	0,875615347
14	2,590608265	-2,208644414	0,619016801	0	0	1,000980652
15	2,961515875	-2,555117766	0,726204121	0	0	1,13260223
16	3,350933386	-2,920944061	0,840124848	0	0	1,270114173
17	3,757778214	-3,305026678	0,960408838	0	0	1,413160374
18	4,18099678	-3,706297863	1,086695522	0	0	1,561394439
19	4,619564235	-4,123718471	1,218633822	0	0	1,714479586
20	5,07248417	-4,556277692	1,355882065	0	0	1,872088542
21	5,538788315	-5,00299277	1,498107897	0	0	2,033903441
22	6,017536221	-5,462908698	1,644988186	0	0	2,199615709
23	6,507814939	-5,935097912	1,796208926	0	0	2,368925953
24	7,008738684	-6,41865997	1,951465133	0	0	2,541543847
25	7,519448488	-6,912721221	2,11046074	0	0	2,717188006
26	8,039111845	-7,416434465	2,27290849	0	0	2,89558587
27	8,566922354	-7,928978602	2,438529824	0	0	3,076473577
28	9,102099345	-8,449558277	2,607054762	0	0	3,259595831
29	9,643887503	-8,977403515	2,778221793	0	0	3,444705781
30	10,19155649	-9,51176935	2,951777746	0	0	3,631564882
31	10,74440053	-10,05193544	3,127477678	0	0	3,819942767
32	11,30173808	-10,59720571	3,305084739	0	0	4,009617109
33	11,86291134	-11,1469079	3,484370055	0	0	4,200373487
34	12,42728592	-11,70039327	3,665112595	0	0	4,392005245
35	12,99425042	-12,25703611	3,847099044	0	0	4,584313359

Рисунок 6 - Переходный процесс дискретной СПР при реакции на единичное воздействие

Проведем тот же расчет в Mathcad:

Составим модель дискретной СПР с помощью Matlab Simulink.

Модель представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 - Математическая модель

Результаты моделирования при реакции на единичное ступенчатое воздействие приведено на рисунке 8.

Рисунок 8 - График переходного процесса дискретной СПР

Определим показатели качества по графику переходного процесса:

- Время регулирования t_о=0.266 с;

- Перерегулирование .

6. Синтез дискретной спр с регулятором скорости, обеспечивающим конечную длительность переходного процесса

Для нахождения уравнения дискретного регулятора структурную схему представим в виде предложенном на рисунке 9.

Рисунок 9 - Структурная схема дискретной СПР

Определим приведенную к дискретной непрерывную ПФ.

Выполним Z - преобразование с помощью MathCAD.

порядок числителя: ;

порядок знаменателя: .

Выполним факторизацию полиномов:

Q^*₊(z)= ;

В выходной системе порядок астатизма определяется порядком апериодической нейтральности непрерывной части:

.

Тогда:

Минимальный порядок желаемой функции К_ж(z) =n_q=2, тоесть G_ж(z)=z².

По второму полиномиальному уравнению получим:

Принимаем минимальный порядок полинома М₁(z) равным n_M=n_q--1,тогда

n_M=0.

М₁^*(z)=а₀.

Минимальный порядок полинома N_*(z) ровняется порядку полинома P(z)=1.

N₁^*(z)=b₀+b₁z.

Полиномиальное уравнение имеет вид:

а₀+ (z-1)(b₀+b₁z)=z²

Сгруппировав элементы при одинаковых степенях получим:

b₁z²+(a₀+b₀-b₁)z+(-b₀)=z²

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой части уравнения найдем,

a₀=0.5034653218; b₀=0.4965346781; b₁=1.

Тогда полиномы:

M₁^*(z)= 0.5034653218;

N₁^*(z)=z+0.4965346781.

Передаточная функция обеспечивающая переходной процесс конечной длительности имеет вид:

.

7. Анализ дискретной СПР с переходным процессом конечной длительности

7.1 Определение передаточной функции дискретной СПР

Желаемая передаточная функція системы с D(z):

.

7.2 Проверка устойчивости дискретной СПР по корням характеристического уравнения в плоскостях «z» и «w»

Результаты проверки устойчивости в плоскости «z» проведенные с помощью Mathcad приведены на рисунке 10.

Рисунок 10 - Результаты расчетов

Система устойчива так как корни находятся в середине окружности единичного радиуса.

Определим корни характеристического полинома и изобразим их в плоскости «w».

Проведем подстановку:

Тогда результат расчетов приведен на рисунке 11.

Рисунок 11 - Результат расчетов

Система устойчива так как корни находятся в левой полуплоскости.

7.3 Нахождение уравнения переходного процесса и показателей качества при реакции дискретной СПР на единичное ступенчатое воздействие.

Выполним построение переходного процесса в цифровой СПР по разностному уравнению.

а выходная реакция:

Найдем :

.

По последнему выражению составляем уравнение:

.

Принимая что z=(n+1)T₀, тогда разностное уравнение примет вид:

.

Принимая k=(n+3)Т₀, обращаем выражение в прошлое.

Решение разностного уравнения приведено в таблице 2.

Таблица 2 - Решение разностного уравнения

k	С(k-1)	R(k-1)	R(k-2)	Ck	Ck/0,07
	1	0,503465	0,496535
1	0	0,503465	0	0,503465	7,192362	0,00092
2	0,503465	0	0,496535	1	14,28571	0,00184
3	1	0	0	1	14,28571	0,00276
4	1	0	0	1	14,28571	0,00368
5	1	0	0	1	14,28571	0,0046
6	1	0	0	1	14,28571	0,00552
7	1	0	0	1	14,28571	0,00644
8	1	0	0	1	14,28571	0,00736
9	1	0	0	1	14,28571	0,00828
10	1	0	0	1	14,28571	0,0092

На рисунке 12 представлен переходный процесс конечной длительности.

Рисунок 12 - переходный процесс конечной длительности

Проведем тот же расчет в Mathcad:

Рисунок 13 - Решение в Mathcad

Построим переходной процесс дискретной СПР в среде Matlab Simulink. mathcad регулятор ток

Математическая модель системы представлена на рисунке 14.

Рисунок 14 - Математическая модель

Результат моделирования представлен на рисунке 15.

Рисунок 15 - График переходного процесса дискретной СПР при реакции на единичное ступенчатое воздействие

Определим показатели качества по графику переходного процесса:

- Время регулирования t_о=0.00184 с;

- Перерегулирование .

Исходя из вида переходных процессов можно сделать вывод что СПР с дискретным регулятором конечной длительности переходного процесса имеет явные преимущества перед аналоговой СПР.

8. Программная реализация регулятора, который обеспечивает конечную длительность переходного процесса дискретной СПР

8.1 Листинг программы

Передаточная функция регулятора:

.

Представим в виде разностного уравнения

Программа Delphi, которая реализует последнее уравнение:

unit REGULATOR;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls, TeeProcs, TeEngine, Chart, StdCtrls, Series, Buttons;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit6: TEdit;

Edit7: TEdit;

Edit8: TEdit;

Edit9: TEdit;

Label3: TLabel;

Button1: TButton;

Chart1: TChart;

Series1: TFastLineSeries;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

Label10: TLabel;

Label11: TLabel;

Edit5: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var T,xinp,xout:real; n,i:integer;

x_inp,x_out:array[0..10]of real;

ni_,no_:array[0..3] of real;

begin

ni_[0]:=StrToFloat(Edit1.Text);

ni_[1]:=StrToFloat(Edit2.Text);

ni_[2]:=StrToFloat(Edit3.Text);

ni_[3]:=StrToFloat(Edit4.Text);

T:=StrToFloat(Edit5.Text);

no_[0]:=0;

no_[1]:=StrToFloat(Edit6.Text);

no_[2]:=StrToFloat(Edit7.Text);

no_[3]:=StrToFloat(Edit8.Text);

n:=StrToInt(Edit9.Text);

For i:=0 to n do

begin

xinp:=ni_[0]*x_inp[i]+ni_[1]*x_inp[i-1]+ni_[2]*x_inp[i-2]+ni_[3]*x_inp[i-3];

xout:=no_[1]*x_out[i-1]+no_[2]*x_out[i-2]+no_[3]*x_out[i-3];

x_out[i]:=xinp+xout;

end;

Chart1.SeriesList.Series[0].Clear;

for i:=1 to n do

begin

Chart1.SeriesList.Series[0].AddXY(((i-1)*Т),x_out[i],'',clGreen);

Chart1.SeriesList.Series[0].AddXY((i*Т),x_out[i],'',clGreen);

end;

end;

end.

Рисунок 16- Работа регулятора

Вывод

В ходе выполнения курсового проекта был выполнен синтез регуляторов скорости и тока при их настройке на модульный оптимум, выполнен анализ непрерывной модели системы подчиненного регулирования скорости, разработана структурная схема цифровой системы подчиненного регулирования скорости, выполнен ее анализ и синтезированы систему, обеспечивающую конечную длительность переходного процесса . Также приведена программная реализация регулятору скорости, обеспечивает конечную длительность переходного процесса.

Список литературы

1. Чиликин М. Г. и др. Основы автоматизированного электропривода. - М.: Энергия, 1974. - 567 с.

2. Ключев В. И. Теория электропривода: Учеб. для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 560 с.

3. Вешеневский С. Н. Характеристики двигателей в электроприводе. Изд. 6-е, исправленное. М., «Энергия», 1977. 432 с. с ил.

4. Попович М. Г., Ковальчук О. В. Теорія автоматичного керування. К.: Либідь, 1997. - 544 с.

5. Основы автоматического управления и регулирования. Зайцев Г. Ф., Кос-тюк В. И., Чинаев П. И. «Техніка», 1975 - 496 стр.

6. Електромеханічні системи автоматичного керування та електроприводи: Навч. посібник / М. Г. Попович, О. Ю. Лозинський, В. Б. Клепіков та ін.; За ред.. М. Г. Поповича, О. Ю. Лозинського. - К.: Либідь, 2005. - 680 с.

Размещено на Allbest.ru

...