Анализ и синтез одноконтурной САУ четвертого порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Курсовой проект посвящен анализу и синтезу одноконтурной САУ четвертого порядка. В процессе работы необходимо определить передаточную функцию звена, заданного в виде принципиальной схемы, а также передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ по задающему и возмущающему воздействиям. Кроме того, необходимо оценить устойчивость системы, определить граничный коэффициент усиления, и найти коэффициент усиления, обеспечивающий заданный запас устойчивости.

Для системы управления, имеющей заданный запас устойчивости, построить внешнюю и регулировочную характеристику, частотные характеристики, переходную функцию и определить показатели качества регулирования.

При решении задачи синтеза необходимо найти передаточную функцию последовательного корректирующего устройства, обеспечивающего заданное время переходного процесса при минимальном перерегулировании, разработать принципиальную схему корректирующего устройства на операционных усилителях и определить его параметры, а также провести анализ полученной САУ.

Для подтверждения правильности выполненных расчетов необходимо смоделировать исходную и скорректированную САУ в пакете Workbench/

Для решения поставленных задач и выполнения необходимых расчетов в настоящее время широко используются математические программные пакеты, такие как Matlab, Mathcad, Vissim и др. Отличительной чертой пакета Mathcad, используемого в курсовом проекте является возможность записи математических выражений на естественном математическом языке. Все формулы выглядят так, как они записаны в учебниках и учебных пособиях, что облегчает их использование. Кроме того, пакет имеет удобные средства для решения уравнений, выполнения символьных преобразований, построения графиков.

Для анализа и синтеза САУ используется хорошо известный аппарат частотных характеристик [1, 2], а также методы, использующие операционное исчисление, в частности преобразования Фурье и Лапласа.

1. Анализ технического задания

Исследуемая система содержит форсирующее звено, реализованное на операционных усилителях, колебательное и два апериодических звена.

Необходимо найти параметры исходной системы, обеспечивающие заданный запас устойчивости, передаточную функцию, параметры и схемную реализацию корректирующего звена, обеспечивающего настройку системы на модульный оптимум, выполнить анализ статических и динамических свойств исходной и скорректированной системы, а также подтвердить результаты расчетов моделированием с использованием программного пакета Workbench.

2. Расчетная часть

2.1 Определение передаточных функций САУ

Передаточную функцию этого звена найдем как произведение передаточных функций операционных усилителей, каждая из которых определяется отношением операторных сопротивлений двухполюсника в обратной связи к сопротивлению двухполюсника в прямой цепи, взятым со знаком минус.

После преобразований получим:

,

Структурная схема исходной системы представлена на рис. 1.

Рисунок 1

Передаточные функции отдельных звеньев равны:

Передаточная функция разомкнутой системы по возмущению

Передаточные функции замкнутой системы найдем, используя правила структурных преобразований [1]

2.2 Анализ устойчивости САУ и определение граничного коэффициента передачи

Характеристический полином представляет собой знаменатель передаточной функции замкнутой системы. Его коэффициенты легко вычисляются с помощью программы Mathcad

Для проверки устойчивости вычислим определитель Гурвица и его главные миноры

Поскольку все определители положительны, то система устойчива.

Для определения граничного коэффициента запишем коэффициенты характеристического полинома в параметрической форме:

Исходя из заданного запаса устойчивости, скорректируем коэффициент усиления второго звена

2.3 Расчет характеристик исходной САУ

Внешняя характеристика, найденная с помощью программы Mathcad для расчетного коэффициента усиления представлена на рис. 2.

Рисунок 2

Регулировочная характеристика (рис. 3) определена для нулевого возмущающего воздействия.

Рисунок 3

Исходная система имеет установившуюся ошибку, как по управляющему, так и по возмущающему сигналу.

Логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики, построенные с помощью программы Mathcad представлены на рис. 4.

Рисунок 4

Частоту среза найдем с помощью программы Mathcad:

Аналогично найдем частоту переворота фазы и запасы устойчивости.

Поскольку запас устойчивости по фазе мал, то следует ожидать, что переходная функция имеет колебательный характер.

2.3.4. Переходная характеристика исходной системы, построенная с помощью программы приведена на рис. 5.

Рисунок 5

По графику легко оценить время переходного процесса, которое равно 4,7 с.

Для определения перерегулирования воспользуемся следующими командами на языке Mathcad

Перерегулирование больше 70%. Кроме того, процесс, как и ожидалось, имеет колебательный характер, и система нуждается в коррекции.

2.4 Расчет корректирующего устройства

Для расчета воспользуемся методикой [3]. Приравняв передаточную функцию разомкнутой цепи с включенным в нее последовательным корректирующим устройством к желаемой функции САУ, настроенной на технический оптимум, со значением Т_м равным постоянной времени цепи обратной связи, найдем передаточную функцию корректирующего устройства (регулятора).

Для представления данной функции в виде набора стандартных регуляторов разложим эту функцию на простые дроби:

Из разложения следует, что корректирующее устройство может быть реализовано в виде параллельного соединения дифференцирующего, усилительного, апериодического и интегрирующего звеньев. Выделив дифференцирующее звено, при реализации которого часто приходится применять дополнительные меры по защите от помех, объединим три оставшихся в одно. Окончательно получим

Для проверки правильности найденных параметров выполним разложение на простые дроби

Таким образом, корректирующее устройство может быть реализовано в виде дифференциального регулятора, к которому параллельно подключены последовательно соединенные пропорционально-интегральный регулятор и фильтр.

Схема модели идеального корректирующего устройства с найденными параметрами представлена на рис. 6.

Рисунок 6

Поскольку схема содержит идеальное дифференцирующее звено, то она практически неработоспособна в условиях высокочастотных помех. В этом случае можно использовать реальное дифференцирующее звено. Кроме того, можно исключить фильтр, имеющий близкие постоянные времени в числителе и знаменателе передаточной функции.

Схема упрощенного корректирующего звена приведена на рис. 7.

Рисунок 7

В курсовом проекте было проведено сравнение этих моделей при действии синусоидального сигнала различных частот. Схема эксперимента представлена на рис. 9, а результаты моделирования для частот 1 и 10 Гц - на рис. 10.

Сравнение показывает, что в области существенных частот, частотные характеристики расчетного и упрощенного корректирующего звена совпадают с хорошей точностью.

Рисунок 8

Переходные характеристики (рис.9), построенные с помощью программы Mathcad для скорректированной системы с рассчитанным и идеальным (при жесткой обратной связи) корректирующим звеном, а также при упрощенной реализации корректирующей цепи, позволяют оценить величину перерегулирования и время регулирования.

Время регулирования t_p = 0.12 с.

Рисунок 9

Показатели качества, рассчитанные с помощью программы Mathcad для различных настроек регулятора, приведены в таблице.

Таблица 1

Амплитудная и вещественная частотные характеристики замкнутой скорректированной системы, рассчитанная с помощью программы Mathcad, представлены на рис. 10.

Рисунок 10

Показатель колебательности скорректированной системы равен

Частота собственных колебаний и перерегулирование, найденные согласно [1] c использованием программы Mathcad равны

Расчет дает примерно в три раза завышенную оценку перерегулирования.

Частотные характеристики исходной системы представлены на рис. 11.

Показатели качества регулирования исходной системы найдем, используя программу Mathcad.

Рисунок 11

Оценка перерегулирования по формуле, приведенной в [3] дает завышенные результаты.

2.5 Проведение электронного моделирования

При проведении электронного моделирования в пакете Workbench были построены разомкнутые модели, эквивалентные замкнутым исходной и скорректированной системам.

Для этого с помощью программы Mathcad были найдены корни знаменателя передаточной функции

Передаточная функция была разложена на множители и определены ее параметры.

Поскольку параметры Т₁ и Т₃, а также Т₂ и Т_ос близки то для проведения электронного моделирования была взята упрощенная модель

Возможность применения упрощенной модели была проверена путем вычисления переходного процесса с помощью программы Mathcad.

Рисунок 12

График переходного процесса и параметры регулирования совпадают с найденными ранее.

Упрощенная схема модели замкнутой исходной системы представлена на рис. 13. Для того чтобы избежать насыщения операционных усилителей, величина входного сигнала снижена до 1 В.

Рисунок 13

Переходная функция модели представлена на рис.15. величина перерегулирования д = (1.3769/1.9256)*100 = 71.5%, что соответствует ранее полученным результатам.

Сократив близко расположенные полюса и нули, найдем параметры и упрощенную передаточную функцию скорректированной системы, а также построим переходной процесс, использую программу Mathcad.

Рисунок 14

Модель скорректированной системы представлена на рис. 16. Для исключения насыщения операционных усилителей величина входного сигнала выбрана равной 10 мВ.

Рисунок 15

По результатам моделирования (рис. 17) определена величина перерегулирования д + (1.36/20)*100 = 6.8 %, что близко к ранее полученному значению.

Рисунок 16

Таким образом, результаты моделирования подтверждают результаты, полученные расчетным путем.

линейный электронный моделирование программный

Заключение

В результате выполнения курсовой работы были освоены методы анализа и синтеза линейных непрерывных систем управления. Для решения этих задач необходимо иметь математическую модель системы управления. Ее получение требует применения различных законов естественных наук: механики, физики, электротехники и, электроники т.д. В частности, в работе была построена модель элемента системы, реализованного на операционных усилителях. При моделировании важно представлять себе те допущения, которые использованы при построении модели, так как они во многом определяют границы ее применимости. Одним из таких допущений, принятых в курсовой работе было предположение об идеальности операционного усилителя - бесконечном значении его коэффициента усиления.

Анализ полученной модели системы на устойчивость по критерию Гурвица показал, что система устойчива. Было определено граничное значение коэффициента усиления и определено значение, обеспечивающее заданный запас устойчивости 10 дБ. Однако, дальнейший анализ показал, что этого явно недостаточно, для получения удовлетворительных переходных процессов. Переходный процесс оказался колебательным с достаточно большой величиной перерегулирования (более 70%). Поэтому было рассчитано последовательное корректирующее устройство, обеспечивающее требуемое время переходного процесса при минимальном перерегулировании. Это достигнуто настройкой системы на модульный оптимум. Дальнейший анализ динамических свойств системы показал, что оптимальное значение величины перерегулирования 4.3%, обеспечиваемое подобной настройкой в реальной системе не достигается. Причин этого несколько. Во-первых система содержит инерционный элемент в цепи обратной связи, что придает ей форсирующие свойства, вследствие чего как величина перерегулирования так и время регулирования несколько увеличиваются. Во вторых, идеальное корректирующее устройство является либо физически нереализуемым, либо неоправданно сложным (в работе и то и другое), что еще более увеличивает величину перерегулирования. Для полученного в работе упрощенного корректирующего устройства его значение составило 7.2%.

Проделанные в работе расчеты были подтверждены результатами моделирования исходной и скорректированной системы с помощью программы Workbench. Поскольку модели построены для замкнутых систем, а также не учитывают ни влияния помех, ни неидеальности элементов САУ, то скорее служат лишь учебной цели: приобретению навыков моделирования. В целом можно считать, что основная цель курсовой работы - овладение методами анализа и синтеза линейных непрерывных систем автоматического управления достигнута.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - М.: Наука, 1972. - 768с.

2. Лурье Б.Я., Энрайт П. Дж. Классические методы автоматического управления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 640 с.

3. Лебедев Ю.М. Теория автоматического управления. Учебное методическое пособие. - Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2000. - 141 с.

Размещено на Allbest.ru