Компьютерная графика

Рис. 24. Ортогональные проекции объекта

Пример8. Рассмотрим сферу с центром в некоторой точке (x0, y0, z0). Уравнение сферы может быть записано

(x-x0)2 + (y -y0)2 + (z-z0)2 = R2, (31)

где R - радиус сферы.

Проекцию на плоскость П" получим, если в уравнении (31) примем z = z0

(x-x0)2 + (y -y0)2 = R2 . (32)

Как видно из уравнения (30), проекцией сферы на плоскость П" будет окружность.

Аналогично можно получить проекции сферы на плоскости П' и П'''.

3.2.2 Аксонометрические изображения

Аксонометрическое изображение получают проецированием предмета вместе с осями координат на аксонометрическую плоскость.

В трёхмерной КГ используют прямоугольную аксонометрию, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис.25). На каждой из координатных осей откладывают единичные отрезки, соответственно ex, ey, ez. Направление проецирования не совпадает ни с одной из осей x, y, z. На аксонометрической плоскости получается изображение объекта, обладающее наглядностью: просматриваются все три измерения, но с искажениями. Коэффициенты искажения определяются как отношения масштабных аксонометрических единиц ex', ey', ez' к натуральным:

.

Если положить u = =w, то получим наиболее часто применяемый в КГ вид аксонометрического изображения - изометрию. Расположение осей в изометрии показано на рис.26.

Рис. 25. Аксонометрическое изображение объекта

Рис. 26. Изображение предмета в изометрии

При построении изображения предмета принято вдоль осей x, y, z откладывать размеры предмета без искажения, не умножая на коэффициент искажения - 0,82.

Формулы линейных преобразований, необходимых для построения аксонометрических изображений, могут быть записаны

x' = (x'B-х'0)х + (x'D-х'0)y + (x'C-х'0)z + х'0;

y' = (y'B-y'0)х + (y'D-y'0)y + (y'C-y'0)z + y'0; (33)

z' = (z'B-z'0)х + (z'D-z'0)y + (z'C-z'0)z + z'0.

Координаты точек O', B', C', D' определяем, находя точки пересечения проецирующих лучей с аксонометрической плоскостью.

Например, решая систему уравнений

(34)

определим координаты точки О'(х'0,y'0,z'0).

Для определения координат точек В', С', D' решаем систему уравнений (34), записывая вместо х0,y0,z0 соответственно (хB,yB,zB), (хC,yC,zC), (хD,yD,zD).

3.2.3 Трёхмерные преобразования

Для перехода к матричной форме заменим тройку (х, y, z) на четвёрку (х, y, z, 1). В более общем случае (х, y, z), задающие точку в пространстве заменяют на (hx, hy, hz, h), h0.

Тем самым каждая точка пространства (кроме начала координат 0) может быть задана четвёркой одновременно не равных нулю чисел. Эта четвёрка определена однозначно с точностью до общего множителя.

Сдвиг. Переводит точку на m единиц по координате х, n единиц по оси у и l единиц по координате.

.

Масштабирование. Масштабирование относительно начала координат имеет вид

,

где kx,ky,kz - масштабные коэффициенты по осям x, y, z соответственно.

Симметрия относительно плоскости. Она осуществляет зеркальное отображение трёхмерного изображения. Симметрию относительно плоскости ОХY можно записать

.

Вращения вокруг осей. В пространстве они разделяются на вращение вокруг координатных осей, вокруг осей, параллельных координатным, вокруг осей, проходящих через начало координат, и вокруг произвольных осей.

Например, матрица поворота вокруг оси Oz на угол записывается

.

3.2.4 Геометрические расчёты в КГ

В КГ выделяют следующие классы задач геометрических расчётов:

Представление математических моделей элементарных геометрических объектов.

Базовые операции над геометрическими объёктами.

Композиция (сборка) и декомпозиция (разборка) геометрических объектов. Методы представления объектов КГ изложены в 2.1, 3.1.

К базовым операциям над геометрическими объектами относятся вычисления локальных характеристик кривых и поверхностей и решение позиционных задач (взаимная принадлежность и пересечение объектов) и метрических задач (вычисление расстояний, углов, площадей и т.д.).

Задачи третьей группы решаются при проектировании изделия в САПР, поэтому мы их рассматривать не будем.

Наиболее часто из второго класса задач встречаются задачи:

принадлежность точки линии и поверхности;

определение точек пересечения кривых;

определение точек пересечения кривых с поверхностями;

расчёт линий пересечения поверхностей.

Принадлежность точки поверхности. Если поверхность задана уравнением

F(x,y,z) = 0, (35)

то принадлежность точки Р(x1,y1,z1) поверхности устанавливается подстановкой координат x1,y1,z1 в уравнение (35).

Пересечение кривых. Для определения точек пересечения кривых необходимо решить систему уравнений

f(x,y)=0;

(x,y)=0.

Если кривые заданы уравнениями в параметрическом виде

x = x(t);

y = y(t); (36)

x = x(u);

y = y(u), (37)

то точки пересечения кривых должны одновременно удовлетворять уравнениям (36) и (37). Для определения координат точек пересечения кривых необходимо совместно решить эти уравнения.

Пересечение кривой с поверхностью. Пусть кривая задана параметрическим уравнением

, (38)

а поверхность - уравнением

(x, y, z) = 0. (39)

Для определения координат точки пересечения кривой с поверхностью необходимо подставить выражение (38) в (39) и решить полученное уравнение

(x(t), y(t), z(t)) = 0,

относительно t.

Пересечение поверхностей. Если обе поверхности заданы уравнениями в параметрическом виде

,

то их пересечение описывается уравнением

r1(u1,v1) - r2(u2,v2)=0.

В случае двух неявно заданных поверхностей

f1(r) = 0;

f2(r) = 0,

введение дополнительного условия

g(r) = 0

даёт систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

f1(r) = 0;

f2(r) = 0;

g(r) = 0.

3.2.5 Удаление невидимых линий и поверхностей

В КГ наиболее часто применяются ортогональные проекции. В случае выпуклых поверхностей для получения точного изображения контура в проекции определяются линии очерка, которые отделяют видимую часть поверхности от невидимой.

Сазерленд, Спрулл и Шумахер разделили существующие алгоритмы удаления невидимых линий и поверхностей на три класса:

алгоритмы определения видимости в объектном пространстве;

алгоритмы определения видимости в пространстве изображения;

алгоритмы списка приоритетов (метод упорядочения).

Алгоритмы определения видимости в объектном пространстве анализируют расположения элементов каждого объекта, т.е. выполняют полный расчёт положения граней и рёбер объектов и на основе этих данных определяют видимость различных частей объектов. На этом принципе основаны алгоритмы Робертса и Лутреля.

Алгоритм Робертса. В соответствии с этим алгоритмом любой замкнутый объект с плоскими гранями разбивают на выпуклые многогранники, каждый из которых задаётся уравнениями плоскостей своих граней (см. 3.1). Поиск видимых рёбер объекта осуществляется в следующей последовательности:

определение рёбер или частей рёбер, которые находятся в пределах границ изображения;

удаление “задних” ребер, т.е. рёбер, заслоняемых многогранником, которому они принадлежат;

анализ расположения рёбер одного объекта относительно другого.

Алгоритм Робертса основан на рассмотрении векторного произведения нормали к плоскости и вектора на линии визирования. Нормаль к плоскости легко определяется из уравнения плоскости. По результату векторного произведения делается вывод о взаимном расположении точки и плоскости. Если векторное произведение положительное, то точка лежит в внутри грани, в противном случае - снаружи.

Реализация алгоритма Робертса требует большого объёма вычислений.

Ко второму классу алгоритмов относятся алгоритмы Варнока и Уоткинса.

Алгоритм Варнока. Алгоритм Варнока в основном состоит в определении пространственного положения каждой грани многогранника относительно трубы зрения (рис.27): грани могут быть отдельными (полностью вне трубы), пересекающими (хоты бы одно ребро в трубе) и охватывающими (грани, “пробитые” трубой). Охватывающая грань закрывает все элементы, расположенные дальше нее от глаза.

Важной частью алгоритма является упорядочение списка многоугольников в порядке возрастания расстояния между точкой зрения и ближайшими к ней вершинами каждого многоугольника. Затем блок просмотра извлекает многоугольник из структуры данных и сравнивает его с трубой зрения. Блок просмотра определяет, какой из трёх случаев имеет место для каждого многоугольника. Если изображение в трубе получается другим, то труба делится на четыре пространства. Затем последовательно рассматривается каждая из вновь образованных труб. Просмотр досрочно заканчивается при обнаружении охватывающего многоугольника. Размер трубы можно уменьшать до получения удовлетворительного результата, но не меньше разрешающей способности экрана.

Алгоритм Варнока может использоваться для получения как векторных, так и растровых изображений. Однако из-за произвольной разбивки, выполняемой для распознавания, в изображениях возникают дефекты.

Алгоритм Уоткинса. Уоткинс предложил рассекать объекты плоскостями, перпендикулярными поверхности экрана, параллельными одна другой и проходящими по строкам развертки. Каждая плоскость развертки определяет совокупность отрезков прямой, представляющих собой следы пересечения граней с плоскостью развёртки (рис.28).

Отрезками, расположенными спереди, закрываются полностью или частично отрезки, расположенные сзади.

Предположим, что некоторое ребро видимо в начальной точке. Этот факт запоминается. До тех пор, пока состояние ребра не изменяется, продолжается вывод на экран следа пересечения с гранью, к которой принадлежит это ребро. В случае изменения состояния (ребро стало невидимым) на экран выводится отрезок, соединяющий начальную точку и точку, в которой изменилось состояние. Недостатком алгоритма является то, что для его эффективной работы необходимо использовать достаточно сложную структуру данных.

Рис. 27. Принцип алгоритма Варнока

Рис. 28.Принцип алгортима Уоткинса

Алгоритми Ньюэлла и Санча. По этому алгоритму грани упорядочиваются в зависимости от значения координаты наиболее удалённой вершины. Вывод на экран начинают с грани 1, наиболее удалённой от наблюдателя. Затем рассматривают видимость граней 2, 3 и т.д. При этом возможны два случая:

Поверхность 2 не имеет контакта с поверхностью 1. Это означает, что грани 1 и 2 не перекрываются.

Поверхность 2 полностью или частично перекрывает поверхность 1. Это означает, что грань 2 полностью или частично перекрывает грань 1. Недостаток алгоритма: большие затраты машинного времени.

Вопросы и упражнения:

Какое расположение осей координат принято в компьютерной графике?

Как можно определить координаты произвольной точки прямой, проходящей через точки (2, 3, 4), (5, 6, 8)?

Какие виды кривых используются в компьютерной графике?

Какие способы применяются для описания многогранников?

Какой из способов задания многогранников позволяет строить изображение с удалением невидимых линий?

Какой способ представления поверхностей используется в компьютерной графике?

Какие возможны подходы для представления участков непрерывных поверхностей?

Как называется способ интерполяции поверхности треугольниками?

Что является исходными данными для конструирования линейчатой поверхности?

Какие условия задаются для конструирования отсека поверхности по методу С.Инаба?

Как определить уравнение участка поверхности, ограниченного четырьмя кривыми, по методу Кунса?

Что называют функцией смещения?

С помощью чего можно управлять формой порции кубической поверхности Безье?

Что называется поверхностью вращения?

Что такое геометрический синтез? Какие операции геометрического синтеза Вы знаете?

Какие методы используются для реализации операций геометрического синтеза?

Как можно получить проекции геометрического объекта на плоскости проекций?

Как можно получить аксонометрическое изображение геометрического объекта?

Назовите виды трехмерных преобразований координат.

Какие классы задач геометрических расчетов Вам известны?

На какие классы можно разделить алгоритмы удаления невидимых линий и поверхностей?

В чем достоинства и недостатки алгоритмов Робертса, Варнока, Уоткинса, Нюэлла?

Размещено на Allbest.ru

...