Методы уточнения корней

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Введение
• 1. Численное решение нелинейных уравнений
• 1.1 Отделение корней
• 1.2 Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)
• 1.3 Уточнение корней методом хорд
• 1.4 Уточнение корней методом касательных (Ньютона)
• 2. Решение уравнений средствами Excel
• 2.1 Подбор параметра
• Список использованных источников
• Введение численный уравнение корень
• Часто в классической математике многое выглядит элементарно. Так, если нужно найти экстремум некоторой функции, то предлагается взять ее производную, приравнять нулю, решить полученное уравнение и т.д. Вне сомнения, что первые два действия в состоянии выполнить многие школьники и студенты. Что касается третьего действия, то позвольте усомниться в его элементарности.
• В самом деле, мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся "мастодонты", знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней -- поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).
• В данной работе рассмотрены следующие методы уточнения корней: метод половинного деления, метод итераций и метод касательных. Так же полностью исследованы вопросы решения полиномиальных уравнений (интервал на котором содержатся корни, количество действительных корней и т.д.). Все проделано средствами табличного процессора Excel. Решение уравнений средствами Excel производится с помощью циклических ссылок, подбора параметра и поиска решения.
• Данную тематику планируется преподавать в десятом классе в теме Excel. Так же можно давать задания на уроках математики. Мною был создан обучающий сайт, на котором выложена теория и примеры решения задач в Excel. Так же были созданы варианты лабораторных работ по данному курсу.
• 1. Численное решение нелинейных уравнений

1.1 Отделение корней

В общем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)ґ f(b)Ј 0, то в указанном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x)= 1-x2-х1,5=0 видим, что при x®Ґ f(x)>0, при x®-Ґ f(x)<0, что уже свидетельствует о наличии хотя бы одного корня.

В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют "прогулку" по этому диапазону с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x), т.е. f(x)ґ f(x+h)<0.

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может служить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня, может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции не превышает заданной допустимой погрешности.

1.2 Уточнение корней методом половинного деления (дихотомии)

Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0.

Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)ґ f(b) Ј 0 (рис. 1), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)ґ f(c) Ј 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Рис. 2. Блок-схема метода половинного деления

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a)<e.

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности e количество вычислений n определяется условием (b-a)/2n<e, или n~log2((b-a)/e). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков (e ~ 10-6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации (рис. 2) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

1.3 Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (рис. 3).

Рис. 3. Метод хорд

Здесь вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится "хорда", соединяющая точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Точка пересечения ее с осью абсцисс

принимается за очередное приближение к корню. Анализируя знак f(z) в сопоставлении со знаком f(x) на концах отрезка, сужаем интервал до [a,z] или [z,b] и продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности) |Zn-Zn-1|<e.

Можно доказать, что истинная погрешность найденного приближения:

,

где X* - корень уравнения, Zn и Zn+1 - очередные приближения, m и M - наименьшее и наибольшее значения f(x) на интервале [a,b].

1.4 Уточнение корней методом касательных (Ньютона)

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы - методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

Наиболее популярным из итерационных методов является метод Ньютона (метод касательных).

Рис. 4. Метод касательных

Пусть известно некоторое приближенное значение Zn корня X*. Применяя формулу Тейлора и ограничиваясь в ней двумя членами, имеем

,

откуда

.

Геометрически этот метод предлагает построить касательную к кривой y=f(x) в выбранной точке x=Zn, найти точку пересечения её с осью абсцисс и принять эту точку за очередное приближение к корню (рис. 4).

Рис. 5. Расходящийся процесс

Рис. 6. Приближение к другому корню

Очевидно, что этот метод обеспечивает сходящийся процесс приближений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (рис. 5), либо приводит к другому корню (рис. 6).

Очевидно, что для функций, производная от которых в окрестности корня близка к нулю, использовать метод Ньютона едва ли разумно.

Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

.

Существуют и другие модификации метода Ньютона.

2. Решение уравнений средствами Excel

2.1 Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера уравнение 1 - x2 - x1.5=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

В ячейку R3C3 (рис. 7) введем формулу для вычисления значения функции, стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку R2C3, т.е. =1-R[-1]C^2- R[-1]C^1.5.

Рис. 7. Окно формулы!

В окне диалога Подбор параметра (рис. 8) в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение - ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки - ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. (рис.9) Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке R2C3 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

Рис. 8. Окно диалога Подбора параметра!

Рис. 9. Результат подбора параметра.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить - для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Опять возникает вопрос: как получить второй корень? Как и в предыдущем случае необходимо задать начальное приближение. Это можно сделать следующим образом (рис. 10,а):

а б

Рис. 10. Поиск второго корня

В ячейку Х (R2C3) вводим начальное приближение.

В ячейку Хi (R3C3) вводим формулу для вычисления очередного приближения к корню, т.е.

=X - (1 - X^2 - X^1.5)/-2X - 1.5X^0.5.

В ячейку R4C3 поместим формулу, задающую вычисление значения функции, стоящей в левой части исходного уравнения, в точке Хi.

После этого выбираем команду Подбор параметра, где в качестве изменяемой ячейки принимаем ячейку R2C3. Результат вычислений изображен на рис. 10,б (в ячейке R2C3 - конечное значение, а в ячейке R3C3 - предыдущее).

Однако все это можно сделать и несколько проще. Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения (рис. 9) в ячейку R2C3 поместить константу 1 и после этого запустить процесс Подбор параметра.

Список использованных источников

1. Додж М. Эффективная работа в Microsoft Excel 2000/ М. Додж, К.Стинсон.-- СПб.: Питер, 2002. -- 1056 с.

2. Биллиг В.А. VBA и Office 97. Офисное программирование/ В.А. Биллиг, М.И. Дехтярь.-- М.: Издательский отдел "Русская Редакция" ТОО "Channel Trading Ltd.", 1998. -- 720 с.

3. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. -- СПб.: BHV -- Санкт--Петербург, 1997. -- 384 с.

4. Гетц К. Программирование в Microsoft Office. Полное руководство по VBA/ К. Гетц, М. Джилберт. -- Киев: Издательская группа BHV, 1999

5. Гарнаев А.Ю. Excel, VBA, Internet в экономике и финансах. -- СПб.: BHV -- Санкт-Петербург, 2001. -- 816 с.

6. Петруцос Э. Visual Basic 6 и VBA для профессионалов/ Э. Петруцос, К. Хау. -- СПб.: Питер, 2000. -- 432 с.

7. Карпов Б. Microsoft Office 2000: справочник. -- СПб.: Питер, 2000. -- 498

8. Гусева О.Л. Практикум по Excel/ О.Л. Гусева, Н.Н. Миронова. -- М.: Финансы и статистика, 1997. -- 160 с.

9. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. -- М.: Наука; Гл. ред. физ.--мат. лит., 1987. -- 320 с.

10. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. -- Томск: МП "Раско", 1991. -- 272 с.

11. Тынкевич М.А. Численные методы анализа: Учеб. пособие. -- Кемерово, 1997. -- 123 с.

Размещено на Allbest.ru