Динамическое программирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамическое программирование

В задачах линейного и нелинейного программирования, рассмотренных в предыдущих главах, экономический процесс считался статическим, т.е. не зависящим от времени, поэтому оптимальное решение находилось только на один этап планирования. Такие задачи получили название одноэтапных или одношаговых.

В задачах динамического программирования экономический про-цесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми.

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.

Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием - управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. динамический программирование интерпретация

Казалось бы, для получения максимального объема выпускае-мой продукции проще всего вложить максимально возможное коли-чество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем воз-можность расширения производства.

Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене обо-рудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.

Планируя многоэтапный процесс, исходят из интересов всего про-цесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Для большинства задач динамического программирования классические методы анализа или вариационного исчисления оказываются неэффективными, поскольку приводят первоначально поставленную задачу отыскания максимального значения функции к задаче, которая не проще, а сложнее исходной. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задач, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач.

2. Общая постановка задачи динамического программирования

Пусть некоторая физическая управляемая система S находится в первоначальном состоянии S₀ (где - область начальных состояний). С течением времени ее состояние меняется и система приходит в конечное состояние S_k (где - область конечных состояний). С процессом изменения состояния системы связан некоторый численный критерий W. Необходимо так организовать процесс, чтобы критерий достиг оптимального значения.

Обозначим множество возможных управлений через U. Тогда задача состоит в том, чтобы из множества возможных управлений U найти такое управление U*, которое позволит перевести систему S из начального состояния S₀ в конечное S_k так, что критерий W(U) принимает оптимальное значение W*.

3. Геометрическая интерпретация задачи динамического программирования

Состояние физической системы S можно описать числовыми параметрами, например расходом горючего и скоростью, количеством вложенных средств и т. д. Назовем эти параметры координатами системы; тогда состояние системы можно изобразить точкой S, а переход из одного состояния S₁ в другое S₂ - траекторией точки S. Управление U означает выбор определенной траектории перемещения точки S из S₁ в S₂, т.е. установление определенного закона движения точки S. Совокупность состояний, в которые может переходить система называется областью возможных состояний. В зависимости от числа параметров, характеризующих состояние системы, область возможных состояний системы может быть различной.

Пусть, например, состояние системы S характеризуется одним параметром, - координатой х. Следовательно, областью возможных состояний системы является совокупность значений х, а управлением - закон движения точки S из начального состояния S₀ в конечное S_k по оси Ох или ее части.

Если состояние системы S характеризуется двумя параметрами (x₁ и х₂), то областью возможных состояний системы служит плос-кость х₁Ох₂ или ее часть, а управление изобразится линией на плос-кости, по которой точка S перемещается из S₀ в S_k

В общем случае, когда состояние системы описывается п параметрами x_i (i = 1, 2, ..., п), областью возможных состояний служит n-мерное пространство, а управление изображается перемещением точки S из какой-то начальной области в конечную по некоторой «траектории» этого пространства.

Таким образом, задаче динамического программирования можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Из всех траекторий, принадлежащих области возможных состояний системы и соединяющих области и , необходимо выбрать такую, на которой критерий W принимает оптимальное значение.

Размещено на Allbest.ru