Система автоматического управления, её характеристика и проверка устойчивости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное Образовательное Учреждение Высшего

Профессионального Образования

Обнинский Государственный Технический Университет

Атомной Энергетики

Кафедра АКиД

Индивидуальное домашнее задание

(точка промежуточного контроля №2)

по курсу «Основы теории управления»

Вариант 3.3

Выполнили:

студенты группы ВТ-2-08

Кулагин Виктор

Трусков Сергей

Проверил:

А.В. Нахабов

2010 г.



звено с обратной связью

так как мы рассматриваем звено с отрицательно обратной связью, то в данном равенстве будет использоваться знак минус, т.е.

Выбираем наши коэффициенты согласно условию: получаем следующие звенья:

подставляем наши звенья в формулу W(s) (для простоты рассматриваем с коэффициентами, а не с числами):

начинаем арифметические преобразования:

1. Рассматриваем знаменатель дроби (приводим к общему знаменателю):

2. Подставляем знаменатель в нашу дробь и выполняем дальнейшие преобразования.

3. Подставляем наши коэффициенты:

Мы получили уравнение нашего звена с отрицательной обратной связью:

Запишем дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ:

Задание. Вариант 3.3

автоматический управление характеристика устойчивость

Дано: Система автоматического управления представляет собой соединение двух типовых динамических звеньев с передаточными функциями W₁(p) и W₂(p). С помощью ПО Scilab необходимо решить ниже перечисленные задачи.

Передаточная функция W(p) - связывает изображения входного X(p) и выходного Y(p) сигналов линейного звена соотношением

- апериодическое звено 1-ого порядка;

- интегрирующее с замедлением;

Пункт 1.

Изобразить структурную схему САУ и записать ее передаточную функцию W(p).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Часть программы Scilab:

W₁=10/poly ([1 8],'p','c')

W₂=5/poly ([0 1 6],'p','c')

Соединение с обратной связью, поэтому передаточная функция будет равна:

W=W1/ (1+W1*W2)

W=W1/(1+W1*W2)

W =(0.4s + 2s²)/(1.2 + 0.1s + 0.7s² + s³)

Или

S=syslin ('c',W)

S = (8 + 50p)/(40 + 8p + 12p² + 40p³)

Пункт 2.

Записать дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.

Используя обратное преобразование Лапласа, а именно:

.

При этом, операция умножения "перевоплощается" во взятие производной порядка степени аргумента р при соответствующей функции. Учтём определение передаточной функции:

.

В итоге:

Пункт 3.

Построить график переходных функций h(t), h1(t), h2(t).

Переходная функция (характеристика) h(t) - реакция звена на ступенчатое единичное воздействие 1(t)



Рис.№1,а)

Рис.№1,б)

Часть программы Scilab:

W=poly ([8 50],'p','c')/poly ([40 8 12 40],'p','c')

S=syslin ('c',W)

W1=10/poly ([1 8],'p','c')

W2=5/poly ([0 1 6],'p','c')

W1t=syslin ('c', W1)

W2t=syslin('c',W2)

plotframe([0,-1600,250,400],[5,5,5,5],[%t,%t],["Переходная функция","Ось времени t,c","h(t)"])

plot (csim("step",0:0.1:20,S))

plotframe([0,0,250,50],[5,5,5,5],[%t,%t],["Переходная функция","Ось времени t,c","h1(t) и h2(t)"])

plot (csim("step",0:0.1:20,W1t))

plot (csim("step",0:0.1:20,W2t))

Пункт 4.

Построить график импульсно-переходных функций w(t),w1(t),w2(t).

Def: импульсная или весовая функция w (t) реакция звена на дельта-функцию Дирака д (t).

Def: д-функция Дирака или единичная импульсная функция позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Рис.№2, а)

Рис.№2, б)

Часть программы Scilab:

plotframe([0,0,100,2],[5,5,5,5],[%t,%t],["Импульсно-переходная функция","Ось времени t,c","w1(t) и w2(t)"])

plot (csim("impulse",0:0.1:20,W1t))

plot (csim("impulse",0:0.1:20,W2t))

Пункт 5.

Построить логарифмические частотные характеристики (диаграммы Боде) как для каждого из звеньев, так и для системы в целом.

Def: Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую характеристику (ЛФЧХ). Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ производится по выражениям:

(дБ) и (рад)

Def: Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ или диаграмма Боде) -- представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики и фазо-частотной характеристики

Рис.№3, а) ЛАЧХ и ЛФЧХ для САУ



Рис.№3, б) ЛАЧХ ЛФЧХ для звена с передаточной функцией W1

Рис.№3, в) ЛАЧХ ЛФЧХ для звена с передаточной функцией W2

Часть программы Scilab:

bode (S,0.001,1000)

bode (W1t,0.001,1000)

bode (W2t,0.001,1000)

Пункт 6.

Построить ЛАЧХ как для каждого из звеньев, так и для системы в целом.

Рис.№4, а) ЛАЧХ для САУ

Рис№4, б) ЛАЧХ для звена с передаточной функцией W1



Рис№4, в) ЛАЧХ для звена с передаточной функцией W2

Часть программы Scilab:

gainplot (W1t,0.01,100)

gainplot (W1t,0.01,100)

gainplot (W2t,0.01,100)

На рисунке 4 изображены ЛАЧХ системы и двух звеньев на а), б), в) соответственно.

Пункт 7.

Построить амплитудно-фазовую характеристику (частотный годограф Найквиста) как для каждого из звеньев, так и для системы в целом.

Def: Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ иначе диаграмма Найквиста) -- удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в полярных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Рис.№5, а)

Рис.№5, б)



Рис.№5, в)

Часть программы Scilab:

nyquist (S,0,10,0.01)

nyquist (W1t,0,10,0.01)

nyquist (W2t,0,10,0.01)

На рисунке 5 изображены АФЧХ системы и двух звеньев на а), б), в) соответственно.

Пункт 8.

Построить АЧХ и ФЧХ как для каждого из звеньев, так и для системы в целом.

Def: АЧХ в теории линейных стационарных систем означает зависимость модуля передаточной функции системы от частоты. АЧХ показывает во сколько раз амплитуда сигнала на выходе системы отличается от амплитуды входного сигнала на всём диапазоне частот.

На графике АЧХ по оси абсцисс откладывается частота, а по оси ординат отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы. Обычно для частоты используется логарифмический масштаб, так как исследуемый диапазон частот может изменяться в достаточно широких пределах (от единиц до миллионов Гц или рад/с). В случае когда логарифмический масштаб используется и на оси ординат, АЧХ превращается в логарифмическую амплитудно-частотную характеристику. АЧХ получила широкое распространение в теории автоматического управления в связи с простотой построения и наглядностью при исследовании систем управления.

Def: В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:

АЧХ:

ФЧХ:

Где: - действительная часть;

- мнимая часть;

Рис.№6, а) АЧХ и ФЧХ для САУ

Часть программы Scilab:

[frq,rf]=repfreq(S)

[db,phi]=dbphi(rf)

plotframe([0,-160,1000,-40],[1,5,1,11],[%t,%t],["АЧХ","Частота, (Гц)","A(w)"])

plot (frq,db)

xgrid()

square(0,-60,3,3)

plotframe([0,0,1000,200],[1,6,1,6],[%t,%t],["ФЧХ","Частота, (Гц)","Градусы"])

plot(frq,phi)

Рис.№6, б)

Часть программы Scilab:

[frq,rf]=repfreq(W1t)

[db,phi]=dbphi(rf)

plotframe([0,-100,1000,-10],[1,5,1,6],[%t,%t],["АЧХ","Частота, (Гц)","A(w)"])

plot (frq,db)

plotframe([-0,-120,10,90],[1,8,1,8],[%t,%t],["ФЧХ","Частота, (Гц)","Градусы"])

plot(frq,phi)

Рис.№6, в)

Часть программы Scilab:

[frq,rf]=repfreq(W1t)

[db,phi]=dbphi(rf)

plotframe([0,-500,1000,-10],[1,5,1,6],[%t,%t],["АЧХ","Частота, (Гц)","A(w)"])

plotframe([-0,-210,10,90],[1,8,1,8],[%t,%t],["ФЧХ","Частота, (Гц)","Градусы"])

plot(frq,phi)

Пункт 9.

Для W(S) определить вид установившегося выходного сигнала при подаче на вход сигнала

x1 (t)=2 sin(10t)

Учтём, что в t=[0:0.01:30] первый и последний параметр отвечают за выбранный интервал, а средний - за шаг при размерности в секунду, а не в радианах.

Рис.№7, а)

Часть программы Scilab:

t=[0:0.01:30]

plotframe([0,-2,4,2],[1,11,1,11],[%t,%t],["Входной гармонический сигнал","Ось времени t, с","x(t)"])

plot (t,2*sin(10*t))

square(0,-2,4,2)

plot(csim(2*sin(10*t),t,S))

square(0,-50,2000,50)

Рис.№7, б)

Пункт 10.

Проверить устойчивость САУ с помощью критерия Гурвица.

Def: Критерий устойчивости Рауса-Гурвица -- один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может оказаться значительной вычислительная ошибка).

Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):

40p³+12p²+8p+40 =0

характеристическое уравнение разомкнутой системы

Необходимое условие выполнено: все коэффициенты больше нуля. Проверим достаточное условие.

Для того чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Cоставим матрицу Гурвица:

a1	a3	0
a0	a2	0
0	a1	a3

Теперь вычисли определители Гурвица.

Часть программы Scilab:

d1=det([12])

d1 = 12>0;

d2=det([12 40;40 8])

d2 = - 1504<0;

d3=det([12 40 0;40 8 0;0 12 40])

d3 = - 60160.

Поскольку определители Гурвица имеют разные знаки, то система неустойчива.

Пункт 11.

Проверить устойчивость САУ с помощью критерия Михайлова (и следствия из него).

Def: Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(щ),Y(щ)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до +?.

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jщ) при изменении частоты от 0 до +? начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n*р/2, где n - степень характеристического уравнение D(jщ)=0. Другими словами требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно n квадрантов против часовой стрелки, все время огибая начало координат и уходила в ? в том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Характеристическое уравнение разомкнутой САУ имеет вид:

40p³+12p²+8p+40 =0

Для построения годографа Михайлова необходимо устремить .

Получаем:

Часть программы Scilab:

deff('u=re(w)','u=40-12*w^2')

deff('v=im(w)','v=(8*w)-40*w^3')

x=re(0:0.1:100)

y=im(0:0.1:100)

plot(x,y)

square(-80,-1000,60,100)

xgrid()

xtitle('Годограф Михайлова','Действительная ось','Мнимая ось')

Рис.№8, а)

Как видно из графика, вектор проходит по часовой стрелке и всего лишь два квадранта, в то время как степень характеристического уравнения равна трём. Отсюда следует, что система неустойчива.

Следствие из критерия устойчивости Михайлова гласит: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни полиномов X(щ)и Y(щ) чередовались по величине и их общее число (включая щ = 0) было равно степени характеристического уравнения САУ.

Часть программы Scilab:

roots(poly([40,0,-12],'w','c'))

ans =

- 1.8257419

1.8257419

roots(poly([0,8,0,-40],'w','c'))

ans =

0

- 0.4472136

0.4472136

Получилось 5 корней, а степень характеристического уравнения равна 3. Разомкнутая САУ неустойчива.

Следствие критерия Михайлова:

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.

Часть программы Scilab:

plot2d(roots(poly([40,0,-12],'w','c')),[0,0],style=-2)

plot2d(roots(poly([0,8,0,-40],'w','c')),[0,0,0],style=-3)

xgrid()



Рис.№8, б)

Корни полиномов X(jw) и Y(jw) не перемежаются, значит согласно следствию из критерия Михайлова, данная замкнутая система неустойчива.

Пункт 12.

Найти полюса и нули передаточной функции разомкнутой системы W(s) и представить их графически.

Часть программы Scilab:

roots(poly([40,8,12,40],'s','c'))

ans =

0.3685095 + 0.9102216i

0.3685095 - 0.9102216i

- 1.0370189

plzr(S)



Рис.№9, а)

Не все корни находятся в полуплоскости устойчивости, значит, разомкнутая система неустойчива.

Рис.№9, б)

Часть программы Scilab:

evans(S);

Пункт 13.

Проверить устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста.

Def: Данный критерий относится к частотным критериям. Как и критерий Михайлова, критерий Найквиста базируется на АФЧХ разомкнутой системы и дает правила, согласно которым, по виду АФЧХ разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы. Соответственно существует две формулировки критерия Найквиста, в зависимости от поведения системы в разомкнутом состоянии.

1) Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Правило: Если разомкнутая САУ устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0).

2) Система с неустойчивой разомкнутой цепью

Пусть характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет n корней с положительной вещественной частью. Тогда для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала критическую точку с координатами (-1,j0) против часовой стрелки на угол nр.

САР в разомкнутом состоянии не устойчива. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала критическую точку с координатами (-1,j0) против часовой стрелки на угол nр. Наш график не охватывает данную точку, поэтому наша система неустойчива.



Рис.№10, а)

Рис.№10, б)

Пункт 14.

Проверить устойчивость САУ с помощью логарифмического критерия устойчивости.

Определим запасы по амплитуде и по фазе.

Def: Логарифмические критерии устойчивости являются следствием критерия Найквиста, поэтому так же позволяют судить об устойчивости замкнутой системы управления по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Следовательно, здесь так же рассматриваются два случая:

1) Если САР в разомкнутом состоянии устойчива

Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения фазовой характеристики разомкнутой системы с линией -180° лежала правее частоты среза (точки пересечения ЛАЧХ с осью в 0 дБ).

2) Если САР в разомкнутом состоянии не устойчива

Для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы сумма переходов логарифмической фазовой характеристики разомкнутой системы через критический отрезок была равна n/2 где n - число корней с положительной вещественной частью в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы W(p).

Рис.№11

Часть программы Scilab:

bode(S)

[gm,frq]=g_margin(S)

frq = 0.4184984

gm = 14.601796

[ pm,frq]=p_margin(S)

frq = 0.1089633

pm = - 91.070249

САР в разомкнутом состоянии не устойчива. Число корней с положительной вещественной частью в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы n=2 и сумма переходов логарифмической фазовой характеристики разомкнутой системы через критический отрезок равна 0 то по формуле

n/2=1.

Следовательно, САУ неустойчива.

Пункт 15.

Возможны два случая границы устойчивости - апериодический (), что не представляется возможным и колебательный (в данном случае, определитель Гурвица второго порядка должен быть равен 0:

Рассмотрим второй случай. Либо , либо

.



Выводы

Проанализировав полученные в задании функции для разомкнутой и замкнутой САУ мы пришли к выводу, что по всем возможным критерия САУ неустойчива.



Приложение

Целью данного индивидуального задания являлось не только изучение критериев устойчивости систем автоматического управления и использования их на практике, но и изучение такого инструмента анализа и построения вышеперечисленных функций и их графиков, как Scilab. Ниже приведены описания используемых в ходе выполнения задания функций Scilab:

Первая функция, это функция poly. С помощью нее мы может задать нашу передаточную функцию:

p=poly(a,vname,[“flag”])

где: а - действительное число или вектор, с помощью этого параметра мы задаем вид нашего полинома,

vname - строка или символьная переменная, а [“flag] - необязательный параметр принимающий значения “roots” или “coeff” (по умолчанию “roots”). Roots обозначает корни полинома, а coeff коэффициенты полинома. Т.е. задавая параметр r мы указываем на параметр “roots” и программа строит полином, который будет иметь корни, указанные в параметре a. Напротив, задавая параметр c, мы указываем на параметр “coeff”, и программа строит полином, принимая, что значения, указанные в a есть коэффициенты полинома (первый параметр указывает на коэффициент при младшей степени, а последний при старшей).

Функция syslin задает непрерывное САУ по ее передаточной функции.

[sl]=syslin(dom,A,B,C [,D[,x0]])

В данной работе используется формат

[sl]=syslin(dom,H),

где: dom символы `c' (для построения непрерывной системы) и `d' (для построения дискретной системы);

H - рациональная матрица или вектор.

Функция plotframe позволяет установить параметры шкал и их названия

plotframe(rect,tics,[arg_opt1,arg_opt2,arg_opt3])

где: rect это вектор с параметрами vector[xmin,ymin,xmax,ymax], устанавливающий ограничения по осям x,y;

tics - вектор с параметрами vector[nx,mx,ny,my], где mx,nx (так же как и my,ny) интервалы на оси x(оси y);

Скобка [arg-opt1,arg-opt2,arg-opt3] позволяет нам дать имя графического окна, оси х, оси у.

Функция plot позволяет нам построить график в графическом окне.

Plot (y,[linespec],[globalproperty])

Y - функция, которую необходимо построить;

Linespec - спецификатор линии, определяет ее внешний вид.

Функция csim симулирует линейную систему

Csim(u,t,sl)

Где u может принимать параметры `step' or `impulse' (`step'-симулирует реакцию системы на единичный ступенчатый сигнал, `impulse' соответственно на имульс.

t - действительный вектор, определяющий время, t(1) - начальное время;

sl - list(seslin).

Функция square (xmin,ymin,xmax,ymax) - меняет границы уже построенного графика. Таким образом, с помощью этой функции можно приближать и рассматривать более подробно интересующие нас места на графике.

Функция gainplot - функция для построения ЛАЧХ

Gainplot(sl,fmin,fmax,[,step][,comments]);

Sl - list(симуляция линейной системы);

Fmin,fmax - реальные величины, интервалы частот;

Comments - комментарии, задается строкой.

Функция nyquist - строит диаграмму Найквиста.

Nyquist(sl,[fmin,fmax],[,step],[comments]);

Параметры аналогичные, как и у функции gainplot.

Функция repfreq - функция для построения АЧХ.

Repfreq(sys,fmin,fmax [,step]);

Параметры аналогичны, как и у функций gainplot и nyquist.

Функция xgrid([style]) - отображает координатную сетку на графиках.

Функция xtitle добавляет заголовки на график.

Xtitle(title,[x_label,[y_label,[z_label]]],<opts_args>);

Title, x_label, y_label, z_label - матрицы или строки.

<opts_args> - аналогично, как и в функции legends.

Функция roots(p) - отображает корни полинома, где р - полином.

С помощь функции deff задается мнимая и действительная часть функции, например

deff('x=re(w)','x=25-56*(w^2)');

C помощь функции g_margin определяем запас устойчивости системы по логарифмическому критерию

Gm=g_margin(h), где h - наша функция.

Размещено на Allbest.ru

...