Позиционные системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вологодский государственный технический университет»

(наименование факультета)

Кафедра информационные системы и технологии

(наименование кафедры)

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ/РАБОТА

Дисциплина: «Технология программирования»

Наименование темы: «Позиционные системы счисления»

Вологда 2014 г.



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Системы счисления

1.1 Позиционные системы счисления

1.2 Непозиционные системы счисления

2. Основные позиционные системы счисления

2.1 Двоичная система

2.2 Восьмеричная система счисления

2.3 Шестнадцатеричная система счисления

3. Операции с числами в позиционных системах счисления

3.1 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

3.2 Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Появление микропроцессоров в 60-х годах cвязано с разработкой интегральных схем (ИС). Интегральные схемы объединяли в себе различные электронные компоненты в единый элемент на силиконовом "чипе". Разработчики установили этот крошечный чип в устройство, напоминающие сороконожку и включили его в функционирующие системы. В начале 70-х микрокомпьютеры на процессоре Intel 8008 возвестили о первом поколении микропроцессоров. микропроцессор интегральный ассемблер счисление

К 1974 году появилось второе поколение микропроцессоров oбщего назначения Intel 8080. Данный успех побудил другие фирмы к производству этих или аналогичных процессоров.

В 1978 году фирма Intel выпустила процессор третьего поколения - Intel 8086, который обеспечивал некоторую совместимость с 8080 и являлся значительным продвижением вперед в данной области. Для поддержки более простых устройств и обеспечения совместимости с устройствами ввода/вывода того времени Intel разработал разновидность процессора 8086 - процессор 8088, который в 1981 году был выбран фирмой iВМ для ее персональных компьютеров.

Более развитой версией процессора 8088 является процесcор 80188, а для процессора 8086 - процессоры 80186, 80286 и 80386, которые обеспечили дополнительные возможности и повыcили мощность вычислений. Микропроцессор 80286, установленный в компьютерах IBM AT появился в 1984 году. Все эти процессоры имеют отношение к развитой архитектуре процессоров фирмы Intel и обозначаются как iAPX 86, iAPX 88, iAPX 86, iAPX286 и iAPX386, где APX - Intel Advanced Processor Architecture.

Распространение микрокомпьютеров послужило причиной пеpесмотра отношения к языку ассемблера по двум основным причинам. Во-первых, программы, написанные на языке ассемблера, требуют значительно меньше памяти и времени выполнения. Во-вторых, знание языка ассемблера и результирующего машинного кода дает понимание архитектуры машины, что вряд ли обеспечивается при работе на языке высокого уровня. Хотя большинство специалистов в области программного обеспечения ведут разработки на языках высокого уровня, таких как Паскаль или С, что проще при написании программ, наиболее мощное и эффективное программное обеспечение полностью

Вычислительные машины в принципе могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях.

В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Система счисления -- способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр) и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные. В непозиционных системах счисления, которые появились значительно раньше позиционных, смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Примером такой системы счисления является римская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква -- V пять, X -- десять, L -- пятьдесят, C -- сто, D -- пятьсот, M -- тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. Недостатком непозиционных систем является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами.

Правила выполнения вычислений с многозначными числами в позиционной системе счисления были разработаны средневековым математиком Мухамедом аль-Хорезми и в Европе были названы алгоритмами (от латинского написания имени аль-Хорезми - Algorithmi).

Изучение систем счисления, которые используются в компьютерах, важно для понимания того, каким образом производится обработка числовых данных в ЭВМ.



1. Системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1 , а2, а3,….,аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления.

В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления. Позиционных систем счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом -- множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр в нем) называется основанием системы счисления. Последовательная запись символов алфавита (цифр) изображает число. Позиция символа в изображении числа называется разрядом. Разряду с номером 0 соответствует младший разряд целой части числа. Каждому символу соответствует определенное число, которое меньше основания системы счисления. В зависимости от позиции (разряда) числа значение символа умножается на степень основания, показатель которой равен номеру разряда.

Примером системы счисления является всем нам хорошо известная десятичная система счисления. Любое число в ней записывается с помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Важно, что значение каждой цифры зависит от того места, на котором она стоит в этой записи. Например, 1575: цифра 5 в записи числа встречается дважды: цифра 5 в последнем разряде -- число единиц, а цифра 5, находящаяся в записи числа левее, -- число сотен. Т.к. значение каждой цифры (ее "вес") определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа, то система счисления называется позиционной. В десятичной системе счисления значение единицы каждого разряда в 10 раз больше единицы соседнего с ним правого разряда.

Само число 10 называется основанием системы счисления, а цифры, используемые в десятичной системе -- базисными числами этой системы.

Но в качестве основания системы счисления можно выбрать любое целое число. Чтобы отличить, в какой системе счисления записано число, будем указывать основание системы счисления в виде индекса в десятичной системе счисления, заключенного в круглые скобки. Если основание системы счисления равно 10 или очевидно из контекста, то индекс будет опущен.

В компьютере для представления информации используются десятичная, двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Количество цифр, которое требуется для изображения числа в позиционной системе счисления , равно основанию системы счисления р. Например, для записи чисел в двоичной системе счисления требуется две цифры, в десятичной -- десять, а в шестнадцатеричной -- шестнадцать.

1.1 Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Позиционная система счисления -- система счисления, в которой важную роль играет порядок следования цифр. Каждая цифра в позиционной записи имеет свою позицию, которая определяет её численное значение. Позиции цифр носят название разрядов.

Для позиционной системы счисления выбирается основанием некоторое натуральное число большее или равное двум. Любое неотрицательное целое число представляется как сумма степеней n с целыми коэффициентами в диапазоне от 0 до n-1. Эти коэффициенты записываются в виде цифр выбранной системы счисления.

Общая система счисления может быть определена, как такая группировка целых и дробных чисел.

Существенным отличием позиционных систем от непозиционных является необходимость использования специального знака «нуля» для обозначения пропущенных разрядов. Отсутствие его вносило бы неразрешимую путаницу: было бы не ясно, например в числе 35 тройка означает три десятка, сотни, тысячи и ещё чего, а с использованием нуля невозможно спутать три десятка в числе 35 и три сотни в 305.

1.2 Непозиционные системы счисления

В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр. Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа.



2. Основные позиционные системы счисления

В компьютере для представления информации используются десятичная, двоичная и шестнадцатеричная системы счисления. Количество цифр, которое требуется для изображения числа в позиционной системе счисления, равно основанию системы счисления р. Например, для записи чисел в двоичной системе счисления требуется две цифры, в десятичной -- десять, а в шестнадцатеричной -- шестнадцать.

В информатике и вычислительной технике часто используются основания 2 (двоичная система счисления), 8 (восьмеричная система счисления) и 16 (шестнадцатеричная система счисления). Двоичная система счисления связана с особенностями функционирования цифровых электронных схем, работающих с двумя состояниями, выражаемыми цифрами 0 и 1. Использование систем счисления с основаниями 8 и 16 связано с тем, что для удобства двоичные цифры группируются по 3 и 4 соответственно, что позволяет использовать более компактную запись. В шестнадцатеричной и других системах счисления с основанием больше десяти используют в качестве недостающих цифр буквы латинского алфавита: A--F.

2.1 Двоичная система

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Двоичная система счисления имеет набор цифр {0, 1}, р=2. В общем виде, используя формулу (1), двоичное число можно представить выражением:

Например, число 101101(2) можно записать так:

101101(2) = 1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20

Двоичная система счисления имеет особую значимость в информатике: внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описывается набором символов только из двух знаков 0 и 1.

2.2 Восьмеричная система счисления

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

2.3 Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Шестнадцатеричная система счисления имеет набор цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}, p = 16. Для изображения чисел в шестнадцатеричной системе счисления требуются 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной системы счисления, шесть остальных -- первых шесть прописных букв латинского алфавита.



3. Операции с числами в позиционных системах счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P>1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

3.1 Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (её вес)изменяется в зависимости от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления.

Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m



Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими много членами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

Правило 1: Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную можно воспользоваться выражением: Сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы, из которой осуществляется перевод, а затем цифры исходного числа.

Пример. Перевести в десятичную систему счисления числа С7(16) и 1010(2) :

С7(16) = 12*161 + 7*160 = 192 + 7 =199 (10) ;

1010 (2) = 1*23 + 1*21 = 8+2 10.

Правило 2: Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р:

Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления (р) до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания счисления.

Полученные остатки от деления, представленные цифрами из нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот просты потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2.

Правило 3: Для того, чтобы перевести число, записанное в восьмеричной системе в двоичный код, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются. Например:

12345667(8) = 001 010 011 100 101 110 110 111(2) =

= 1 010 011 100 101 110 110 111(2).

Правило 4: Обратный перевод производится так: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода число должно быть выровнено, т.е. число двоичных знаков должно быть кратно трем. Выравнивание производится простым дописыванием требуемого количества нулей перед старшим разрядом целой части числа. Например:

1100111(2) = 001 100 111(2) = 147(8).

Правило 5: При переводах чисел между двоичным и шестнадцатеричным системами счисления используются четверки двоичных чисел -- тетрады. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем. Например:

12345ABCDEF(16) = 1 0010 0011 0100 0101 1010 1011 1100 1101 1110 1111(2);

11001111010 1110(2) = 0110 0111 1010 1110(2) = 67AF(16).

Правило 6: При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа. Например:

1234567(8) = 001 010 011 100 101 110 111(2)

= 0101 0011 1001 0111 0111(2) = 53977(16);

1267ABC(16) = 0001 0010 0110 0111 1010 1011 1100(2)

= 010 010 011 001 111 101 010 111 100(2) = 223175274(16).

Примеры перевода чисел из одной системы счисления в другую:

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

а) 464(10) = 111010000(2); б) 380,1875(10) = 101111100,0011(2);

в) 115,94(10) ??1110011,11110(2) (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен).

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной -- слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части -- слева, в дробной -- справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.

Соответствия приведены в таблицах.

Р	2	00	01	10	11
	4	0	1	2	3

Р	2	000	001	010	011	100	101	110	111
	8	0	1	2	3	4	5	6	7

Р	2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000
	16	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	2	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
	16	9	А	В	С	D	E	F

16 9 A B C D E F

Переведем из двоичной системы в восьмеричную число

1111010101,11(2).

001 111 010 101,110(2) = 1725,6(8).

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2) = 3D5,C(16).

Соответствие между шестнадцатеричными цифрами и десятичными числами



16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления)
Показатель	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Степень	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	8192	16384	32768	65536

Некоторые отрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления)
Показатель	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7
Степень	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,03125	0,015625	0,0078125

а) 1000001(2).

1000001(2)=1 ??26+0 ??25+0 ??24+0 ??23+0 ??22+ 0 ??21+1 ??20 = 64+1=65(10).

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

б) 1000011111,0101(2).

1000011111,0101(2)=1 ??29 + 1 ??24 + 1 ??23 + 1 ??22 + 1 ??21 + 1 ??20 + 1 ??2-2 + 1 ??2-4 =512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).



Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления)
Показатель	0	1	2	3	4
Степень	1	8	64	512	4096

Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления)
Показатель	-1	-2
Степень	0,125	0,015625

в) 1216,04(8).

1216,04(8)=1 ??83+2 82+1 ??81+6 ??80+4 ??8-2 = 512+128+8+6+0,0625 = 654,0625(10).

Некоторые неотрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления)
Показатель	0	1	2	3	4
Степень	1	16	256	4096	65536

Некоторые отрицательные степени числа 16 (в десятичной системе счисления)
Показатель	-1	-2
Степень	0,0625	0,00390625

г) 29A,5(16).

29A,5(16) = 2 ??162+9 ??161+10 ??160+5 ??16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).

3.2 Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими много членами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

Вычисления выполняются по следующим правилам:

- операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых;

- в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы;

- если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю, если равна или больше -- то равен единице.

Арифметические операции над числами в двоичной системе счисления:

Рассмотрим правила выполнения арифметических операций над однозначными числами.

Примеры:

1. Сложить два числа: 1010(2) + 10101(2) = 11111(2)

2. Найти разность двух чисел 10101(2) и 1010(2):

10101(2) - 1010(2) = 1011(2)

3. Умножить два числа 1011(2) и 101(2):

1011(2) * 101(2) = 110111(2)

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения.

Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.





3. Сложить числа:

а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).

б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

а) 10000000100(2)=1 ??210+1??22 = 1024+4=1028(10)

111000010(2)=1?28+ 1?27+ 1?26+ 1?21 = 256+128+64+2 = 450(10)

10111000110(2)=1?210+ 1?28+ 1?27+ 1?26+ 1?22+ 1?21 = 1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)

1028(10)+450(10) = 1478(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе

счисления выполнены верно.

б) 223,2(8)=2?82+ 2?81+ 3?80+ 2?8-1 = 128+16+3+0,25 = 147,25(10)

427,54(8)= 4?82+ 2?81+ 7?80+ 5?8-1+ 4?8-2 = 256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)

652,74(8)= 6?82+ 5?81+ 2?80+ 7?8-1+ 4?8-2 = 384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)

147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно.

в) 3B3,6(16)= 3?162+ 11?161+ 3?160+ 6?16-1 = 768+176+3+0,375 = 947,375(10)

38B,4(16)= 3?162+ 8?161+ 11?160+ 4?16-1 = 768+128+11+0,25 = 907,25(10)

73E,A(16)= 7?82+ 3?81+ 14?80+ 10?8-1 = 1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)

947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно.

4. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).

б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

в) 27D,D8(16) - 191,2(16) = EC,B8(16).

5. Выполнить умножение:

а) 100111(2) x?? 1000111(2) = 101011010001(2).

б) 1170,64(8) x?? 46,3(8) = 57334,134(8).

в) 61,A(16) x?? 40,D(16) = 18B7,52(16).

6. Выполнить деление:

а) 100110010011000(2) : 101011(2)=111001000(2);

б) 46230(8) : 53(8)=710(8);

в) 4C98(16) : 2B(16)=1C8(16).



Заключение

Наиболее удобной для построения ЭВМ оказалась двоичная система счисления, т.е. система счисления, в которой используются только две цифры: 0 и 1, т.к. с технической точки зрения создать устройство с двумя состояниями проще, также упрощается различение этих состояний.

Для представления этих состояний в цифровых системах достаточно иметь электронные схемы, которые могут принимать два состояния, четко различающиеся значением какой-либо электрической величины - потенциала или тока. Одному из значений этой величины соответствует цифра 0, другому - 1. Относительная простота создания электронных схем с двумя электрическими состояниями и привела к тому, что двоичное представление чисел доминирует в современной цифровой технике. При этом 0 обычно представляется низким уровнем потенциала, а 1 - высоким уровнем. Такой способ представления называется положительной логикой.

Интерес к языку Ассемблера постоянно растет даже не у профессиональных программистов. Объясняется это возможностью самостоятельного выполнения простых доработок готовых программ, дополнения возможностей к трансляторам языков программирования высокого уровня. Ассемблер позволяет разобраться с целым арсеналом популярных и недорогих средств для анализа и редактирования двоичных файлов, отладчиков программ, ловушек прерываний и т.д.

Программирование на Ассемблере дисциплинирует пользователя,

ориентирует его на экономное использование памяти, гибкой организации программ и данных, учит хорошему стилю и качеству, тому, что называют культурой программирования.

Знание Ассемблера позволяет четко разобраться в архитектуре ЭВМ, в структуре и функциях операционной системы MS-DOS, UNIX, других ОС.

Часто прибегают к ассемблированию при обработке большого числа данных, при построении графиков и изображении движущихся объектов. Особенно ассемблер необходим при реализации компьютерных игр. Здесь программа должна просмотреть большое число вариантов и сделать достаточно приемлемый, лучший исход. Язык ассемблера обеспечивает программисту большой контроль над ЭВМ за счет большей детализации, меньшего удобства, большей кропотливости и работы. Здесь возможно написание драйвера устройства, которое сам же и изобрел.

Ассемблер - язык машинных команд, реализующий их через мнемонические коды операций. Одна операция - одна машинная команда.

Отсюда можно сделать вывод, что будущему системному инженеру, или системному программисту, специалисту в области компьютерного программирования. что этот язык нужен как воздух.



Список использованной литературы

1. Ершов А.П., Монахов В.М. и др. Основы информатики и вычислительной техники: Проб. учеб. пособие для сред. учеб. заведений. В 2-х ч. Ч. 1. -М.: Просвещение, 1995- 187-201с.

2. Каймин В.А., Щеголев А.Г., Ерохина Е.А., Федюшин Д.О. Основы информатики и вычислительнойтехники - М.: Просвещение, 1999-174-191с.

3. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987 - 15-48с.

4. Абель П., Язык ассемблера для IBM PC и программирования /П. Абель,- М.: Высшая школа, 1992- 446 с.

5. Горбунов В.А. Самоучитель для работы на персональном компьютере /В.А. Горбунов, Ю.В. Сараев - Вологда: ВоПИ, 1999, - 110-120 с.

6. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя /в.Э. Фигурнов, - М.: Инфа, 1995,- 421-432с.

7. Карманеева К.М. мировые информационные ресурсы: учеб.пособие /К.М. Карманеева, -СПб,: СПбГИЭУ, 2001,-71-82с.

8. Информатика: метод.указания / сост. /В.А. Горбунов, - Вологда: ВоГТУ, 2007, - 41-51 с.

Размещено на Allbest.ru

...