Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образование и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Курсовой проект

На тему: «Оптимизационные задачи в исследовании организационно- управленческих решений»

Выполнил:

студентка группы 2221б

Трегубова О. А.

Проверила:

Строганова Я. С.

Воронеж 2013



Содержание

Введение

1. Решение задач линейного программирования

1.1 Решение задач линейного программирования симплекс методом

1.2 Решение задач линейного программирования графическим способом

2. Решение задач нелинейного программирования

2.1 Решение задач нелинейного программирования методом золотого сечения

2.2 Решение задач нелинейного программирования методом Фибоначчи

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Тема моей работы касается решения задач, возникающих в экономике. При этом встает вопрос о выборе наилучшего в некотором смысле варианта решения. А на поиск возможного варианта часто влияют разного рода факторы, сужающие рамки выбора. Иначе говоря, требуется решить задачу оптимизации, которая состоит в необходимости выбора наилучшего варианта решений среди некоторого, как правило, ограниченного множества возможных вариантов. Задача оптимизации может быть сформулирована на языке математики, если множество доступных вариантов удается описать с помощью математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений), а каждое решение - оценить количественно с помощью некоторого показателя, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Тогда наилучшим решением будет то, которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение, в зависимости от содержательного смысла задачи. Так, например, при инвестировании ограниченной суммы средств в несколько проектов естественной является задача выбора тех проектов, которые могут принести в будущем наибольшую прибыль. При доставке в магазины продукции от различных поставщиков возникает задача минимизации транспортных затрат.

Процесс формализации задачи называется построением ее математической модели. Он состоит из трех этапов.

1. Выбор параметров задачи, от которых зависит решение. Эти параметры называют управляющими переменными и обозначают , формируя из них вектор . Принять решение - это значит задать конкретные значения переменных. экономический математический линейный программирование

2. Построение числового критерия, по которому можно сравнивать различные варианты решений. Такой критерий принято называть целевой функцией и обозначать через .

3. Описание всего множества X допустимых значений переменных - ограничений, связанных с наличием материальных ресурсов, финансовых средств, технологическими возможностями и т.п..

Математическая задача оптимизации состоит в нахождении такого допустимого решения , которое доставляет целевой функции наибольшее или наименьшее значение среди всех возможных решений.



1. Решение задач линейного программирования

1.1 Решение задачи линейного программирования симплекс методом

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных. Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными. Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X₁, X₂, ..., X_r, то решение {b₁, b₂,..., b_r, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b₁, b₂,..., b_r ? 0.

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то,осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным. Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения. При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.

Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные.

Для составления симплекс-таблицы во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся в левую часть, свободные оставляются справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств.



Далее эта система оформляется в виде симплекс-таблиц:

Б	Сб	А0	А1	А2	А3	А4	А5	А6	Д2
А4
А5
А6
Д

Первая симплекс-таблица подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм перехода к следующей таблице такой:

· просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;

· просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;

· среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;

· в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных.

В результате получают новую симплекс-таблицу, отвечающую новому базисному решению.

Теперь следует просмотреть строку целевой функции (индексную), если в ней нет отрицательных значений (в задачи на нахождение максимального значения), либо положительных (в задачи на нахождение минимального значения) кроме стоящего на месте (свободного столбца), то значит, что оптимальное решение получено. В противном случае, переходим к новой симплекс таблице по выше описанному алгоритму.

Пример решения задачи линейного программирования симплекс методом.

F(x) = 57X₁ + 49X₂ + 46X₃

346X₁ + 266X₂ + 326X₃ ? 826,

196X₁ + 156X₂ + 136X₃ ? 726,

406X₁ + 466X₂ + 476X₃ ? 926 .

X₁, X₂, X₃ ? 0

Решение :

Приводим задачу к каноническому виду для этого в левую часть первого ограничения вводим дополнительную переменную Х₆ с коэффициентом + 1.

В целевую функцию переменную Х₆ вводим с коэффициентом 0.

Получаем,

F(x) = 57X₁ + 49X₂ + 46X₃ + 0X₄ + 0X₅ + 0X₆ max

346X₁ + 266X₂ + 326X₃ + X₄ = 826,

196X₁ + 156X₂ + 136X₃ + X₅ = 726,

406X₁ + 466X₂ + 476X₃ + X₆ = 926 .



Находим начальное опорное решение. Для этого свободные переменные приравниваем к 0.

Х₁=Х₂=Х₃=0

Получаем опорное решение Х₁= (0, 0, 0, 726, 826, 926).

Получаем опорное решение Х₁ с единичным базисом Б= ( А₄, А₅, А₆ ).

Вычисляем оценки разложения векторов условий по базису опорного решения по формуле :

Д_к=С_б*Х_к-С_к, где

С_б=( С₁, С₂, С₃… С_n) -это вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных.

Х_к=(Х_к1, Х_к2…Х_nк)- это вектор разложения соответствующего вектора А_к по базису опорного решения.

С_к- это коэффициент целевой функции при переменной Х_к.

Оценки векторов, входящих в базис всегда равно 0. Опорное решение коэффициенты разложений и оценки разложения векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу.



Б	Сб	А0	А1	А2	А3	А4	А5	А6	Д2
А4	0	826	346	266	326	1	0	0	2,3
А5	0	726	196	156	136	0	1	0	3,7
А6	0	926	406	466	476	0	0	1	2,2
Д	0	-57	-49	-46	0	0	0

В первом столбце под названием Б записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствуют разрешенных неизвестных в уравнениях ограничений.

Во втором столбце таблицы записывают коэффициент целевой функции для базисных переменных в том же порядке.

В 3 столбце таблицы записывают значения целевой функции на опорном решении f(Х₁). Начальное опорное решение не является оптимальным, т.к. задачи на максимум оценки Д₁ =-57, Д₂ = -49, Д₃ = -46.

По теореме об улучшении опорного решения, если задачи на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательное значение, то можно найти новое опорное решение, на котором значений целевой функции будет больше.

Д₀=(0 ;0;57) * (30,2 ; 275,2 ; 2,3)-0= 131, 1

Д₁=(0, 0; 57) * ( 0;0;1)-57 = 0

Д₂= (0;0;57) * ( - 26,6; -59,6 ; 1,1)-49 = 8

Д_{3 =} (0;0;57) * (-89,2;-99,2; 1,2) -46 =22,4

Д₄₌(0;0;57)* (1, 0, 0) - 0=0

Д₅₌(0;0;57)* (0,1,0) - 0 =0

Д₆₌(0;0;57)* (-0,692 ; -0, 392 ; 0, 002 ) - 0 = 0, 144

Вводим А₁.

Выводим А₆.

Ответ : это решение является единственным оптимальным, т.к. для всех векторов не входящих в базис оценки положительный max f(x)=131, 1 , при Х= ( 0 ; 8 ; 22, 4; 0; 0; 0, 114)



1.2 Графический метод решения задач линейного программирования

Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования (ЛП) является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными.

Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме записи:

Положим n=2, т.е. рассмотрим эту задачу на плоскости. Пусть система неравенств совместна (имеет хотя бы одно решение).

Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой a_i1 x₁ + a_i2 x₂ = b_i , i=1,2,…m. Условия неотрицательности определяют полуплоскости, соответственно, с граничными прямыми x1=0,x2 =0. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования (ЗЛП) представляет собой отыскание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное (минимальное) значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х₁+3х₂ 12. Во-первых, построим прямую 2х₁+3х₂=12. Эта прямая проходит через точки (6, 0) и (0, 4). Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Удобной для использования при подстановке в неравенство является начало координат. Подставим х₁=х₂=0 в неравенство 2х₁+3х₂12. Получим 20+3012. Данное утверждение является верным, следовательно, неравенству 2х₁+3х₂12 соответствует нижняя полуплоскость, содержащая точку (0.0). Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений или областью определения. Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (x_j 0, j=1,…,n). Координаты любой точки, принадлежащей области определения являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции.

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая

,



перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции. В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине “a”. Меняя значение “a”, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону - убывает.

С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на котором достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе) остальных в направлении наискорейшего роста.



2. Решение задач нелинейного программирования

2.1 Решение задач методом золотого сечения

Метод золотого сечения -- метод поиска значений действительно-значной функции на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Наиболее широко известен как метод поиска экстремума в решении задач оптимизации.Пусть задана функция

.

Тогда для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки и .

b-a/b-x₁= b-a/x₂-a=,

где -- пропорция золотого сечения.

Таким образом:

То есть точка делит отрезок в отношении золотого сечения. Аналогично делит отрезок в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

Алгоритм:

1) На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.

2) После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают.

3) На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.

4) Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

2.2 Решение задач методом Фибоначчи

В силу того, что в асимптотике

метод золотого сечения может быть трансформирован в так называемый метод чисел Фибоначчи. Однако при этом в силу свойств чисел Фибоначчи количество итераций строго ограничено. Это удобно, если сразу задано количество возможных обращений к функции.Алгоритм :

Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка и число итераций , рассчитывают начальные точки деления:

и значения в них целевой функции:



.

1. Шаг 2. .

· если , то

.

Иначе .

2. Шаг 3.

· Если , то и останов.

· Иначе возврат к шагу 2.

Пример решения задачи методом Фибоначчи.

Найти min функции

F(x) = 28x² -30x - 42

на отрезке с ограничением [ 0; 50 ].

Решение :

F_n+2= F₁₀ =55

F_n+1=F₉=34

F_n=F₈=21

F_n-1=F₇=13

F_n-2=F₆=8

F_n-3=F₅=5

F_n-4=F₄=3

F_n-5=F₃=2

F_n-6=F₂=1

F_n-7=F₁=1

Итерация 1.



Х¹ ₁=a + F_n/F_n+2 =a+ F₈/F₁₀(b-a) = 21/55 * 50 =19,1

X¹₂ =a+ Fn+1/Fn+2(b-a) =a+ F9/F10(b-a) = 34/35 * 50= 30,9

F(X¹₁) = 28*(19,1)² -30*19,1-42 =10214,7- 573-42 = 9599,7

F(X¹₂) = 28(30,9)² - 30* 30,9 -42 = 26734,6 - 927- 42 = 25765,6

Т.к F(X¹₁) при 1 итерации меньше, чем F(X¹₂) при 1 итерации, то получаем отрезок ограничений [0 ; 30,9].

Итерация 2.

X²₁= a+ Fn-1/Fn+1( b-a) = a+ F7/F9(b-a)= 13/34 * 30,9= 11,8

X²₂= a+ Fn/Fn+1(b-a) = a+ F8/F9(b-a) = 21/34 * 30,9 = 19,1

F(X₁²)= 28* (11,8)² - 30*11,8-42 =3898,7-354-42= 3502,7

F(X²₂) = 28 * (19,1)²-30(19,1)-42 = 10214,7 - 573 -42 =9599,7

Т.к. F(X₁²) при 2 итерации меньше, чем F(X²₂) при 2 итерации, то получаем отрезок ограничений [0 ; 19,1 ].

Итерация 3.

X³₁=a+ Fn-2/Fn(b-a) = a+ F6/F8(b-a) = 8/21 * 19,1= 7,3

X³₂=a+ Fn-1/Fn(b-a)= a+ F7/F8(b-a)= 13/21 * 19,1= 11,8

F (X³₁) = 28 *(7,3)²- 30* 7,3-42 = 1492,1- 219-42= 1231,1

F(X³₂) = 28* (11,8)² - 30*11,8-42 =3898,7-354-42= 3502,7

Т.к. F (X³₁) при 3 итерации меньше, чем F(X³₂) при 3 итерации, следовательно получаем отрезок ограничений [0 ; 11, 8 ].

Итерация 4.

X⁴₁ = a+ Fn-3/Fn-1(b-a) = a+F5/F7(b-a)= 5/13 * 11,8= 4,5

X⁴₂=a+ Fn-2/Fn-1(b-a)=a+ F6/F7(b-a)= 8/13 *11,8=7,3



F (X⁴₁)=28 *(4,5)²-30*4,5-42=567-135-42=390

F(X⁴₂ )= 28 *(7,3)²- 30* 7,3-42 = 1492,1- 219-42= 1231,1

Т.к F (X⁴₁) при итерации 4 меньше, чем F(X⁴₂ ) при 4 итерации, следовательно получаем отрезок ограничений [0 ; 7,3].

Итерация 5.

X⁵₁=a+ Fn-4/Fn-2(b-a)= a+F4/F6(b-a)= 3/8 *7,3= 2,7

X⁵₂=a+Fn-3/Fn-2(b-a) = a+ F5/F6(b-a) = 5/8 * 7,3=4,5

F(X⁵₁)= 28*(2,7)²-30*2,7-42= 204,1-81-42=81,1

F(X⁵₂)= 28 *(4,5)²-30*4,5-42=567-135-42=390

Т.к. F(X⁵₁) при итерации 5 меньше, чем F(X⁵₂) при 5 итерации , следовательно получаем отрезок ограничений [0 ; 4,5].

Итерация 6.

X⁶₁=a+Fn-5/Fn-3(b-a)=a+F3/F5(b-a)= 2/5*4,5=1,8

X⁶₂=a+Fn-4/Fn-3(b-a)= a+F4/F5(b-a)= 3/5*4,5=2,7

F(X⁶₁)=28*(1,8)²-30*1,8-42=90,7-54-42=-5,3

F(X⁶₂)= 28*(2,7)²-30*2,7-42= 204,1-81-42=81,1

Т.к. F(X⁶₁) при итерации 6 меньше, чем F(X⁶₂) при 6 итерации , следовательно получаем отрезок ограничений [0 ; 2,7].

Итерация 7.

X⁷₁=a+Fn-6/Fn-4(b-a)=a+F2/F4(b-a)=1/3*2,7=0,9

X⁷₂=a+Fn-5/Fn-4(b-a)= a+F3/F4(b-a)=2/3*2,7=1,8

F(X⁷₁)=28*(0,9)²-30*0,9-42= 22,7-27-42= -46,3

F(X⁷₂)= =28*(1,8)²-30*1,8-42=90,7-54-42=-5,3

Т.к. F(X⁷₁) при итерации 7 меньше, чем F(X⁷₂) при 7 итерации , следовательно получаем отрезок ограничений [0 ;1,8 ].

Итерация 8.

X⁸₁=a+Fn-7/Fn-5(b-a)=a+ F1/F3(b-a) = Ѕ*1,8=0,9

X⁸₂= a+Fn-6/Fn-5(b-a)=a+F2/F3(b-a)= Ѕ*1,8=0,9

F(X⁸₁)= 28*(0,9)²-30*0,9-42= 22,7-27-42= -46,3

F(X⁸₂)= 28*(0,9)²-30*0,9-42= 22,7-27-42= -46,3

Ответ : -46,3 - это и есть точка минимума.



Заключение

Рассмотренные способы решения задач линейного программирования широко используются на практике. Однако следует отметить, что математическая модель всегда беднее реальной экономической системы. Она описывает эту систему лишь приблизительно, выделяя одни свойства и пренебрегая другими. Для компенсации указанного недостатка в математической экономике разрабатывается несколько типов моделей, каждый из которых призван отразить какую-то одну определённую сторону экономической действительности с тем, чтобы при решении конкретной экономической задачи можно было подобрать такую модель, которая лучше всего к ней подходит.



Список литературы

Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В.Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999.

Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. / Практикум: Учебное пособие для вузов. - М.:ЗАО Финстатинформ, 2000.

3. Тарасенко Н.В. Математика-2. Линейное программирование: курс лекций. - Иркутск: изд-во БГУЭП, 2003.

4. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: Высшая школа, 2005.

5. Ашманов С.А. Линейное программирование. - М.: Наука, 2006.

Размещено на Allbest.ru

...