Система математических расчётов Mathcad

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра прикладной математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам по дисциплине:

«Алгоритмизация и программирование»

Тема:

Система математических расчётов Mathcad

Составитель: И.Н. Гатауллин

Казань - 2008



УДК 621.313

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Система математических расчётов Mathcad. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н. Гатауллин. - Казань, 2008. 31 с.

Данные методические указания предназначены для студентов 3 курса по специальности 291100: «Мосты и транспортные тоннели» дневной формы обучения и используются при выполнении лабораторных и расчётно-графических работ по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Методические указания предназначены для самостоятельного освоения работы с современным математическим пакетом Mathcad, входящим в программу курса. Предлагаемое пособие позволит не только освоить основные операции пакета Mathcad, но и познакомит с основными методами математического анализа. Его можно рассматривать как вводный курс перед изучением методов оптимизации и статистической обработки данных.

Табл. 8, библиогр. назв. 3

Рецензент - Р.Б. Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор

© Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2008 г.



1. Система математических расчётов Mathcad

1.1. Общие сведения

Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчёты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов, Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением. Он очень прост в использовании, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчёты, а потом запускать её на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул и получать результат. Создатели Mathcad сделали всё возможное, чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании, мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

1) ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчётов или создания документов, презентаций, Web - страниц);

2) проведение математических расчётов;

3) подготовка графиков с результатами расчётов;

4) ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

5) подготовка отчётов работы в виде печатных документов;

6) подготовка Web - страниц и публикаций результатов в Интернете;

7) получение различной справочной информации из области математики.

В состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов - это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования, как текста, так и формул, вычислительный процессор - для проведения расчётов согласно введенным формулам, и символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта.

1.2 Запуск программы

После того как Mathcad установлен на компьютере и запущен на исполнение, появляется основное окно приложения (см. рис. 1.1). Оно имеет ту же структуру, что и большинство приложений Windows. Сверху вниз располагаются:

1) заголовок окна;

2) строка меню;

3) панели инструментов (стандартная и форматирования);

4) рабочий лист;

5) в самой нижней части окна находится строка состояния.

1.3 Интерфейс пользователя

Составными частями интерфейса пользователя являются:

1) верхнее меню, или строка меню (menu bar);

2) панели инструментов (toolbars) Standard (Стандартная) и Formatting (Форматирование);

3) панель инструментов Math (Математика) и доступные через нее дополнительные математические панели инструментов;

4) рабочая область (worksheet);

5) строка состояния (status line, или status bar);

6) всплывающие, или контекстные, меню (pop-up menus, или context menus);

7) диалоговые окна, или диалоги (dialogs).

Рис. 1.1. Окно интерфейса системы Mathcad

Большинство команд можно выполнить как с помощью меню (верхнего или контекстного), так и панелей инструментов или клавиатуры.

Программирование

Пример определения максимальной координаты вектора и её позиции.

Присваивание начальных значений переменным. Цикл по элементам вектора (не следует забывать, что элементы вектора отсчитываются от 0).

Присваивание большего значения

Возвращаемые значения и сохранение его координаты. Операторную скобку создаём кнопкой Add Line.

Определим теперь вектор:

Действительно, максимальное значение 9, имеет номер 5.



Метод Рунге-Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка:

y_i+1 = y_i + (k₀ + 2k₁ + 2k₂ + k₃) /6. (6.11)

где: k₀ = h f(x_i, y_i),

k₁ = h f(x_i+h/2, y_i+ k₀ /2),

k₂ = h f(x_i+h/2, y_i+ k₁ /2), (1.12)

k₃ = h f(x_i+h, y_i+ k₂).

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

Пример: Решить задачу Коши методом Рунге-Кутта для дифференциального уравнения

y = x²+y, y(0) = 1 на отрезке 0,0.3 с шагом 0.1.

Решение: По формулам (1.12) вычислим значения k₀ , k₁, k₂, k₃

k₀ = h f(x₀,y₀) = 0,1·(0²+1) = 0,1

k₁ = h f(x₀+h/2, y₀+k₀ /2) = 0,1·((0+0,1/2)²+1+0,1/2) = 0,10525

k₂ = h f(x₀+h/2,y₀+k₁ /2) = 0,1·((0+0,1/2)²+1+0,10525/2) = 0,105513

k₃ = h f(x₀+h, y₀+ k₂) = 0,1·((0+0,1)²+1+0,105513) = 0,111551

mathcad математический дифференциальный

Используя формулу (6.11), находим значение y₁ в точке x₁ = 0.1

y₁ = y₀+(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6 =

= 1+(0,1+2·0,10525+2·0,105513+0,111551)/6 = 1,105513

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках:

k₀ = h f(x₁,y₁) = 0,1·(0,1²+1,105513) = 0,111551

k₁ = h f(x₁+h/2,y₁+k₀/2) = 0,1·((0,1+0,1/2)²+1,105513+0,111551/2) =

0,118379

k₂ = h f(x₁+h/2,y₁+k₁/2) = 0,1·((0,1+0,1/2)²+1,105513+0,118379/2) =

0,11872

k₃ = h f(x₁+h,y₁k₂) = 0,1·((0,1+0,1)²+1,105513+0,11872) = 0,126423

y₂ = y₁+(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6 =

= 1,105513+(0,111551+2·0,118379+2·0,11872+0,126423)/6 = 1,224208

k₀ = h f(x₂,y₂) = 0,1· (0,2²+1,224208) = 0,126421

k₁ = h f(x₂+h/2, y₂+k₀ /2) = 0,1· ((0,2+0,1/2)²+1,224208+0,126421/2) =

0,134992

k₂ = h f(x₂+h/2,y₂+k₁ /2) = 0,1·((0,2+0,1/2)²+1,224208+0,134992/2) =

0,13542

k₃ = h f(x₂+h,y₂+k₂) = 0,1·((0,2+0,1)²+1,224208+0,13542) = 0,144963

y₃ = y₂+(k₀+2k₁+2k₂+k₃)/6 =

= 1,224208+(0,126421+2·0,134992+2·0,13542+0,144963)/6 = 1,359576

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

x	0	0.1	0.2	0.3
y	1	1,105513	1,224208	1,359576

Численное решение дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение задачи Коши.

Пусть задано дифференциальное уравнение

При начальном условии

Численное решение осуществляется при помощи встроенной функции rkfixed (y, x1, x2, n, D), которая использует метод

y - вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента. Решим наше уравнение:

Начальное условие

Правая часть уравнения

;

Решение уравнения на интервале (0, 0.3).

Матрица Z имеет 2 столбца и 4 строк.

Первый столбец содержит х переменную, второй - y.

x1, x2 - границы интервала для поиска решения.

n - количество точек на интервале.

D(x,y) - вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

2. Определить изменение целого индекса и построить таблицу значений функции в виде вектор-столбца. В частности, для предыдущей задачи:

Переменная с индексом

Доступ к элементам массива происходит по индексу, x[i получается

В Mathcad принято, что индекс массива отсчитывается от 0.

Начальный индекс определяется системной переменной а получается ORIGIN = 0.

Выбор способа построения функции, вообще говоря, не столь важен, однако при вычислении значения функции как элемента

Для двумерного массива обращение строится так: M[i,j

Двумерный массив соответствует значению функции двух переменных, например: , ,

В качестве единственного аргумента графика указываем имя матрицы М массива упрощается процедура обращения к его отдельным значениям, и построим поверхность

Определим двумерную матрицу:

,



Линейная интерполяция



Кубическая сплайн-интерполяция

Экстраполяция при помощи функции предсказания



Литература

С.В. Симонович и др. Информатика. Базовый курс. Санкт-Петербург: Издательский дом Питер. 2002, - 640 с.

А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер. Информатика. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательский центр «Академия», 2004, - 848 с.

М.Д. Князева. Программирование на Visual Basic 6. Учеб. Пособие. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2006. - 176с.

И.К. Сафронов. Visual Basic в задачах и примерах. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007, - 400 с.

Д.А. Шевякова, А.М. Степанов, Р.Г. Карпов. Самоучитель Visual Basic 2005 / Под общ. Ред. А.Ф. Тихонова. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2007, - 576 с.

6. Методические указания по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Алгоритмизация и визуальное программирование. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н. Гатауллин. - Казань, 2008. 27 с.

7. Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Основы визуального программирования. / Казанский государственный архитектурно-строительный университет; Сост.: И.Н. Гатауллин, Ф.Г. Габбасов. - Казань, 2008. 54 с.



Рецензия

На методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Алгоритмизация и программирование». Компьютерная графика и визуальное программирование Гатауллина И.Н.

Данные методические указания предназначены для студентов 3 курса по специальности 291100: «Мосты и транспортные тоннели» дневной формы обучения и используются при выполнении лабораторных и расчётно-графических работ по дисциплине «Алгоритмизация и программирование» на языке Visual Basic.

Методические указания позволяют выполнять студентам дневной формы обучения лабораторные и расчётно-графические работы самостоятельно.

Считаю, что данные методические указания могут быть опубликованы.

Доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой ВМ Р.Б. Салимов

Размещено на Allbest.ru

...