Методика обробки експериментальних даних

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Припустимо, що приладом з випадковими помилками нескінченно велике число разів виміряна точна величина. Отримана в результаті такого експерименту безліч величин називається генеральною сукупністю.

Дослідник при постановці дослідів робить кінцеве звичайно невелике число замірів. Їх можна розглядати як випадкову вибірку з гіпотетичної генеральної сукупності. Завдання обробки зводиться до визначення за даними вибірки показників, що оцінюють параметри генеральної сукупності.

Розподіл величин у сукупності може бути різним. В інженерних експериментах у більшості випадків можна вважати., що розподіл підпорядковується нормальному закону. Для нормального розподілу характерна симетричність - позитивні і негативні помилки зустрічаються однаково часто. Нормальний розподіл характеризується двома параметрами:

- генеральним середнім (математичним оцінюванням);

- генеральним середнім квадратичним відхиленням.

Математичне очікування виступає як найбільш ймовірне значення вимірювальної величини. Дисперсія ж є чисельною характеристикою ступеня розсіювання. Звичайно проводиться два - п'ять дослідів і потім визначаються оцінки для математичного очікування і середньоквадратичного відхилення . Оцінкою для математичного очікування є вибіркове середнє М, а для визначення оцінки генерального середньоквадратичного відхилення спочатку знаходиться дисперсія вибірки D.

1. Постановка задачі

1.1 Кореляційний аналіз

Кореляційний аналіз є одним з широко поширених методів оцінки статистичних зв'язків. Він відповідає на питання: чи впливає вхідна величина на вихідну і яка ступінь зв'язку між величинами? Ступінь зв'язку оцінюється коефіцієнтом кореляції. Коефіцієнт кореляції між випадковими величинами за абсолютною величиною не перевершує 1. Чим ближче значення R до 1, тим тісніше лінійний зв'язок між X і Y. Якщо оцінюється вплив на вихідну величину однієї вхідної величини, то визначається коефіцієнт парної кореляції. В кореляційному аналізі виходять з того, що як вхідні, так і вихідні величини є випадковими.

Оцінкою коефіцієнта парної кореляції є величина:

де і - порядковий номер експерименту; n - кількість експериментів, Mx, My - математичне очікування для змінних X і Y відповідно;

Gx, Gy - середньоквадратичне відхилення для X і Y відповідно;

,

Dx, Dy - дисперсія для змінних X і Y відповідно;

,

Mk - коефіцієнт, що визначається по таблиці 1, у залежності від числа ступенів свободи f=n-1.

Таблиця 1 -Значимість коефіцієнта Mk

f	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	60
Mk	1,253	1,128	1,085	1,064	1,051	1,042	1,036	1,032	1,028	1,025	1,00

Vy - коефіцієнт варіації для змінної Y;

Перевірка значимості коефіцієнта кореляції здійснюється за виразом:

де: Tб - табличне значення критерію Стьюдента для f=n-2 і відповідного рівня значимості, величина якого наведена в таблиці 2.

Таблиця 2 - Значення критерію Стьюдента для значимості б=0,05

f	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	60
Tб	12,71	4,303	3,182	2,775	4,571	2,447	2,305	2,228	2,086	2,042	2,00

1.2 Регресійний аналіз

Метою регресійного аналізу є встановлення аналітичної залежності між вихідною і вхідної величинами. У загальному випадку залежність між величинами може бути представлена у вигляді таблиці, графічно і аналітично. Перший спосіб полегшує визначення вихідної величини для наведених у таблиці значень вхідних; графічний - створює наочність представлення. Аналітична залежність дозволяє досліджувати функцію методом математичного аналізу, тобто визначити значення максимуму, мінімуму, точок перегину і т.д. Дана залежність є найбільш універсальною.

Завдання отримання аналітичної залежності включає три етапи: вибір рівняння регресії, визначення коефіцієнтів рівняння, перевірка відповідності встановленої залежності експериментальному матеріалу.

Перший етап.

З'ясувати вид функції можна або з теоретичних міркувань, або аналізуючи розташування точок (xn, yn) на координатній площині. На практиці зазвичай використовують наступні залежності:

1 Лінійна y=ax+b;

2 Параболічна y=ax2+bx+c;

3 Логарифмічна y=alnx+b;

4 Степенева y=axb;

5 Експоненціальна y=beax

Другий етап.

Найбільш достовірні значення коефіцієнтів виходять при використанні для їх визначення методу найменших квадратів. Сутність зводиться до того, що коефіцієнти шукаються такими, щоб сума квадратів відхилень експериментальних значень функції від значень, обчислених за емпіричною формулою, виявилася мінімальною.

Стосовно до лінійної залежності:

min,

де Yi - фактичне значення функції для Xi; а*Xi+b - розрахункове значення функції.

Для визначення коефіцієнтів рівняння необхідно вирішити систему рівнянь для конкретної залежності.

Для лінійної залежності система рівнянь має вигляд:

Для параболічної залежності система рівнянь має вигляд:

Експоненціальна залежність перетворюються в лінійну наступним чином: якщо в експоненційній залежності виду ln (y) = a x + ln (b) застосувати заміну: Y1 = ln(y), B = ln(b), то отримаємо рівняння виду: Y1 = a X + B. Тоді для експоненційної залежності системи нормальних рівнянь має вигляд:



Обробка експоненційної залежностей відбувається аналогічно лінійній з урахуванням проведених замін. Після розрахунку коефіцієнтів регресійної моделі необхідно обчислити дійсні коефіцієнти, використовуючи перетворення:

- для експоненційної залежності

2. Характеристика даних та їх умовні позначення

Таблиця 3

№ п/п	Назва величини	Позначення в алгоритмі	Позначення в програмі	Тип величини
1.	Кількість дослідів	n	n	integer
2.	Експериментальні дані	х(),у()	x(), y()	массив
3.	Допоміжні змінні	i	i	integer
4.	Математичні очікування для змінних х, у	Мх, Му	Мх, Му	real
5.	Дисперсія для змінних х, у	Dx, Dy	Dx, Dy	real
6.	Допоміжні змінні	SMx, SMy, SDx, SDy, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, SP	SMx, SMy, SDx, SDy, S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, SP	real
7.	Середньоквадратичне відхилення змінних х, у	Gx, Gy	Gx, Gy	real
8.	Коефіцієнт варіації для змінної у.	Vy	Vy	real
9.	Коефіцієнт парної кореляції	R	R	real
10.	Константи	Tб, Mk	Tб, Mk	real
11.	Визначники	?, ?1, ?2, ?3	d, d1, d2, d3	real
12.	Коефіцієнти лінійної залежності	a, b	a, b	real
13.	Коефіцієнти параболічної залежності	a1, b1, с1	a1, b1, с1	real
14.	Коефіцієнти експоненційної залежності	а1,b2	a2, b2	real
15.	Допоміжний масив	y1(), y2(), y3(), Sum()	y1(), y2(), y3(), Sum()	массив
16.	Мінімальна сума квадратів відхилень експериментальних значень	min	min	real

3. Програма рішення задачі

program kyrsovaia 1;

var n,i: integer; SMy, SMx, Mx, My, Mk, SDx, SDy, Dx, Dy, Gx, Gy, SP, R, Vy, Ta: real;

S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, a, b, a1, b1, c1, a2, b2, d, d1, d2, d3, Sum1, Sum2, Sum3: real;

y1, y2, y3: array [1..15] of real;

Sum: array [1..3] of real;

min: real;

x,y: array [1..15] of real;

begin

writeln ('vvod n'); read (n);

writeln (' введення елементів масиву x');

for i:=1 to n do

read (x[i]);

writeln (' введення елементів масиву y');

for i:=1 to n do

read (y[i]);

SMx:=0;

SMy:=0;

for i:=1 to n do

begin

SMx:=SMx+x[i];

SMy:=SMy+y[i];

end;

Mx:=SMx/n;

My:=SMy/n;

Mk:=1.025;

SDx:=0;

SDy:=0;

for i:= 1 to n do

begin

SDx:=SDx+sqr(x[i]-Mx);

SDy:=SDy+sqr(y[i]-My);

end;

Dx:=SDx/(n-1);

Dy:=SDy/(n-1);

Gx:=Mk*sqrt(Dx);

Gy:=Mk*sqrt(dy); SP:=0;

for i:=1 to n do

SP:=SP+(x[i]-Mx)*(y[i]-My);

R:=SP/((n-1)*Gx*Gy);

Vy:=Gy/My*100;

writeln ('My= ', My:7:3, 'Dy= ', Dy:7:3, 'R= ', R:7:3, 'Vy= ', Vy:7:3, 'Gy= ', Gy:7:3);

Ta:=2.228;

if abs(r)*sqrt(n-2)/sqrt(1-sqr(R))>=Ta then

writeln ('коефіцієнт задовольняє умови')

else

writeln (' коефіцієнт не задовольняє умови');

S1:=0; S2:=0; S3:=0; S4:=0;

for i:=1 to n do

begin

S1:=S1+x[i];

S2:=S2+sqr(x[i]);

S3:=S3+y[i];

S4:=S4+(x[i]*y[i]);

end;

d:=n*S2-S1*S1;

d1:=S3*S2-S1*S4;

d2:=n*S4-S3*S1;

b:=d1/d; a:=d2/d;

writeln (' коефіцієнт лінійної залежності');

writeln('a= ', a:7:3, 'b= ', b:7:3);

S1:=0; S2:=0; S3:=0; S4:=0; S5:=0; S6:=0; S7:=0;

for i:=1 to n do

begin

S1:=S1+x[i];

S2:=S2+sqr(x[i]);

S3:=S3+sqr(x[i])*x[i];

S4:=S4+sqr(x[i])*sqr(x[i]);

S5:=S5+y[i];

S6:=S6+(x[i]*y[i]);

S7:=S7+(sqr(x[i])*y[i]);

end;

d:=n*S2*S4+S1*S3*S2+S1*S3*S2-S2*S2*S2-S3*S3*n-S1*S1*S4;

d1:=S5*S2*S4+S2*S6*S3+S7*S1*S3-S2*S2*S7-S3*S3*S5-S4*S6*S1;

d2:=n*S6*S4+S2*S1*S7+S2*S5*S3-S2*S6*S2-S4*S1*S5-n*S7*S3;

d3:=n*S2*S7+S5*S1*S3+S2*S1*S6-S5*S2*S2-S7*S1*S1-n*S3*S6;

c1:=d1/d; b1:=d2/d; a1:=d3/d;

writeln (' коефіцієнт параболічної залежності ');

writeln ('a= ', a1:7:3, 'b= ', b1:7:3, 'c= ', c1:7:3);

S1:=0; S2:=0; S3:=0; S4:=0;

for i:=1 to n do

begin

S1:=S1+x[i];

S2:=S2+sqr(x[i]);

S3:=S3+ln(y[i]);

S4:=S4+(x[i]*ln(y[i]));

end;

d:=n*S2-S1*S1;

d1:=S3*S1-n*S4;

d2:=n*S4-S3*S1;

b2:=d1/d; a2:=d2/d;

b2:=exp(b2);

writeln ('коефіцієнт експоненційної залежності');

writeln ('a= ', a2:7:3, 'b= ', b2:7:3);

for i:=1 to n do

begin

y1[i]:=a*x[i]+b;

y2[i]:=a1*sqr(x[i])+b1*x[i]+c1;

y3[i]:=b2*exp(a2*x[i]);

writeln ('y1[',i,']= ', y1[i]:7:3, 'y2[',i,']= ', y2[i]:7:3, 'y3[',i,']= ', y3[i]:7:3);

end;

Sum[1]:=0; Sum[2]:=0; Sum[3]:=0;

for i:=1 to n do

begin

Sum[1]:=Sum[1]+sqr(y[i]-y1[i]);

Sum[2]:=Sum[2]+sqr(y[i]-y2[i]);

Sum[3]:=Sum[3]+sqr(y[i]-y3[i]);

end;

min:=Sum[1];

for i:=2 to 3 do

if Sum[i] < min then

min:=Sum[i];

if min=Sum[1] then

writeln ('Лінійна залежність краще апроксимує початкові дані ')

else

if min=Sum[2] then

writeln ('Параболічна залежність краще апроксимує початкові дані ')

else

writeln ('Експоненціальна залежність краще апроксимує початкові дані ');

end.

4. Опис програми

У даній роботі для рішення завдання використовується програма Pascal. Програма починається з заголовка: program kyrsovaia 1;

Після заголовка іде розділ оголошення змінних Var, наприклад:

Var n,i: integer;

SMx, SMy, Mx, My, Mk, SDx, SDy, Dx, Dy, Gx, Gy, SP, R, Vy, Ta: real;

S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, a, b, a1, b1, c1, a2, b2, d, d1, d2, d3, Sum1, Sum2, Sum3: real; y1, y2, y3: array [1..15] of real;

Sum: array [1..2] of real;

min: real;

x, y: array [1..15] of real;

У роботі використовуються такі типи даних: цілий -(integer), дійсний - (real), масиви - (array).

Розділ операторів полягає в операторні дужки: begin… end.

Для введення вихідних даних використовується оператор read і оператор writeln для виведення пояснювального тексту, наприклад:

writeln (`ввод n'); read (n);

Для введення елементів масиву використовується оператор циклу з відомим числом повторень for і оператор read, наприклад:

for i:= 1 to n do read (y[i]);

Для перевірки логічних умов використовується умовний оператор if… then…else, наприклад:

if abs(r)*sqrt(n-2)/sqrt(1-sqr(R))>=Ta then

writeln ('Коефіцієнт задовольняє умові ')

else

writeln ('Коефіцієнт не задовольняє умові ');

Для виведення результатів на екран використовується оператор writeln, наприклад:

writeln (`R= `, R:7:3);

де в апострофа полягає пояснювальний текст, перша цифра в шаблоні виведення змінної позначає загальну кількість позицій для виведення числа, а друга цифра - кількість символів у дробовій частині.

Програма завершується оператором end з крапкою.

5. Рішення задачі у пакеті EXCEL

Рис. 1 - Розрахунок статистичних показників на робочому листі 1

кореляційний експоненційний програмний

Рис. 2 - Розрахунок коефіцієнтів функціональних залежностей на робочому листі 2



Рис. 3 - Оцінка погрішності методу найменших квадратів на робочому листі 3

6. Графічний аналіз результатів

Рис. 4 - Параболічна залежність краще апроксимує початкові данні, так як величина R була найбільшою

Висновок

У результаті курсової роботи було проведено кореляційний аналіз і знайдений коефіцієнт кореляції, який дорівнює -0,84. Даний коефіцієнт показує, яка ступінь зв'язку між величинами. Отриманий коефіцієнт задовольняє умові, що було з'ясовано при обробці даних в програмі Паскаль і абсолютно збігається з результатом, отриманим в пакеті Excel.

У результаті курсової роботи були отримані коефіцієнти для трьох залежностей:

- Для лінійної залежності: a=-196,654; b=1175,757;

- Для параболічної залежності: a=60,60679; b=-579,956; с=1715,962;

- Для експоненційної залежності: a=-0,32557; b=1446,484.

Дані коефіцієнти були отримані в програмі Pascal і абсолютно збігаються з результатами, отриманими в пакеті Excel при вирішенні матриць двома методами : методом зворотної матриці і методом Крамера і коефіцієнтами, отриманими при графічному аналізі результатів, що підтверджує правильність виконання програми.

У результаті курсової при обробці експериментальних даних було з'ясовано, що параболічна залежність краще апроксимує вихідні дані.

Курсова робота виконувалася на основі знань, отриманих при вивченні курсу «Обчислювальна математика і програмування». Для виконання роботи було використано програми: Microsoft Word, Microsoft Excel, Pascal ABC, що закріпило отримані знання.

Список використаної літератури

1. Методическое пособие к выполнению лабораторных работ в среде программирования TURBO PASCAL(для студентов направления подготовки «химическая технология») / сост.: Л.А. Лазебная. - Донецк: ДонНТУ, 2012. - 95с.

2. Методическое пособие к выполнению лабораторных работ в текстовом редакторе WORD /сост.: Л.А. Лазебная, И.Ю. Анохин. - Донецк: ДонНТУ, 2012. - 82с.

3. Методическое пособие к выполнению лабораторных работ по теме «решение математических задач средствами Excel»/сост.: Л.А. Лазебная, С.В. Масло. - Донецк: ДонНТУ, 2006. - 37с.

Размещено на Allbest.ru

...