Построение и форматирование в MathCAD графиков векторных полей

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Ростовский технологический институт сервиса и туризма ДГТУ

Кафедра «Математика и информатика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: «Построение и форматирование в MathCAD графиков векторных полей»

Дисциплина: Программирование в среде MathCAD

Разработал: Чурилов П.А.

Руководитель: Акишин Б.А.

Ростов-на-Дону, 2012

ВВЕДЕНИЕ

Во многих учебниках по MathCAD'у сведения о визуализации векторных полей по какой-то причине отсутствуют. Сложно сказать, чем руководствовались их авторы -- ведь эта тема очень и очень важна для многих пользователей того всесторонне замечательного математического пакета, который мы с вами так усердно изучаем.

Вполне возможно, что авторы считают тему не слишком актуальной для технических специалистов -- однако хочу заметить, что это совсем не так, ведь для расчета огромного количества реальных вещей используется такая математическая модель, как векторное поле. Достаточно вспомнить об электричестве -- ведь все электродинамические расчеты основаны именно на математической теории векторного анализа, оперирующей векторными и скалярными полями. Обширно применяется эта теория и в других отраслях физики -- например, в гидродинамике. В общем, как видите, полезность построения графиков трехмерных векторных полей вполне очевидна. Что касается самих методов векторного анализа, то их применительно к MathCAD'у мы рассмотрим все-таки позже.

1. КУРСОВОЕ ЗАДАНИЕ

Построение и форматирование в MathCAD графиков векторных полей.

Решить уравнение Результат проиллюстрировать графически.

Найти общее решение и одно частное решение системы линейных уравнений. Сделать проверку общего решения.

Исследовать функцию и построить её график, отметив характерные точки и проведя асимптоты.

Разработать программу вычисления функции:

,

где K - параметр.

2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Итак, векторное поле -- это закон, по которому каждой точке пространства сопоставляется некоторый вектор. Обычно эти векторы направлены не хаотически, а образуют в пространстве некоторые фигуры, которые как раз и становятся видны в результате визуализации полей. Эти фигуры обусловлены некоторыми свойствами, характерными для определенных классов векторных полей, используемых более часто, чем векторные поля совершенно произвольные. Потенциальными называются такие векторные поля, которые описываются как градиент некоторой скалярной функции. Ротор (векторная производная) таких полей равна нулю. Существуют также соленоидальные векторные поля, дивергенция (скалярная производная) которых равна нулю. Не будем вдаваться в подробности и в математические формулы -- вы легко сможете найти более подробную информацию об этих типах векторных полей практически в любом учебнике по матанализу или по электродинамике. Визуализация векторного поля -- это отображение закономерности распределения векторов в нем на экране. Думаю, что не имеет смысла подробно рассказывать о том, как именно все отображается -- вы сами все очень быстро поймете, когда увидите, как это делается в MathCAD'е.

3. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Вектор - совокупность скалярных величин (координат вектора). Векторы могут быть 2, 3 и более числа измерений.

Геометрическая интерпретация вектора - «направленный отрезок» из начала системы координат в точку, задаваемую координатами вектора.

Для вставки вектора в MathCAD используйте сочетание клавиш Ctrl-M. В появившемся диалоге укажите желаемое число строк (измерений), и столбцов (в случае вектора - это всегда единица). Вектор может участвовать в операциях, аналогично скалярным величинам. Следующий пример показывает, как задать вектор, выяснить его значение и значения отдельных компонент. Для обращения к отдельной компоненте после имени вектора нажмите клавишу [ (открывающая квадратная скобка). Обратите внимание, что компоненты вектора нумеруются с нуля (это можно изменить с помощью установки системной переменной ORIGIN).

(Рис.1)

Ряд авторов справедливо считает, что объемные 3D графики имеют

скорее демонстрационный эффект, чем практическую ценность визуализации «серьёзных» расчетов. Сложный расчет иллюстрируется, как правило, несложными «плоскими» графиками, показывающими основные закономерности и характерные точки расчета. С этой точки зрения преимущества перед трехмерными графиками поверхностей имеют двумерные контурные графики линий уровня - Contour Plot и графики векторных полей - Vector Field Plot.

В графиках векторного поля каждой точке плоскости поставлен в соответствие двумерный вектор. Для создания графика векторного поля нужно создать прямоугольный массив точек и сопоставить каждой точке вектор. Это можно сделать, создав матрицу комплексных чисел, в которой:

- номера строк и столбцов используются для определения координат соответствующей точки плоскости.

- вещественная часть каждого элемента матрицы представляет собой x - компоненту вектора, связанного с данной точкой плоскости.

- мнимая часть каждого элемента представляет собой y - компоненту вектора, связанного с данной точкой плоскости.

Для создания графика векторного поля:

- создайте матрицу, как было описано выше.

- выберите Векторное поле из меню Графика. Mathcad выдаст окно с полем ввода.

- напечатайте имя матрицы в поле ввода.

Mathcad не будет обрабатывать график векторного поля, если не нажать [F9], или, в автоматическом режиме, не щёлкнуть мышью вне выделенной графической области.

При построении графика матрица ориентируется таким образом, что её (0.0) элемент соответствует нижнему левому углу графика, строки матрицы соответствуют постоянным значениям по оси ординат, а столбцы соответствуют постоянным значениям по оси абсцисс.

Совокупность mn векторов. Значения координат начала каждого вектора определяются номерами строк и столбцов исходной матрицы. Величину и направление каждого вектора определяют вещественная и мнимая части соответствующего элемента.

Можно также создать график векторного поля, используя две матрицы вещественных чисел, а не одну комплексную матрицу. Обе матрицы должны иметь одинаковый размер. Первая матрица должна содержать x, вторая -- y компоненты векторов. На Рисунке 3 показано такое же векторное поле, как и на Рисунке 2, но созданное при помощи двух вещественнозначных матриц, а не одной комплексной матрицы.

Можно определить надписи и линии сетки, которые должны быть показаны на осях, изменяя формат графика векторного поля.

Рис. 2

4. ГРАФИКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Для построения графика векторного поля прежде всего нужно задать функцию, которую этот график будет в дальнейшем визуализировать -- здесь, в общем-то, как видите, все так же, как с обычными трехмерными графиками. Функцию задайте скалярную и от двух переменных, которыми будут координаты x и y. Конечно, функцию можно выбрать практически любую, но хрестоматийным примером стала зависимость, аналогичная той, которую имеет напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом: f(x, y) = 1 / (x2 + y2). Думаю, именно ее мы и будем использовать для построения нашего с вами первого графика векторного поля.

Собственно говоря, на этом сходство с обычным трехмерным графиком как бы и заканчивается, потому что дальше нужно вручную задать базис, в котором будут строиться векторы нашего с вами поля. Только сначала нужно задать сетку разбиения нашей области построения для этого поля (см. иллюстрацию). Она задается границами xa и xb, ya и yb, обозначающими, соответственно, наибольшее и наименьшее значение координат. Далее мы рассчитываем по предельно простым формулам равномерно распределенные между границами опорные точки, и рассчитываем значения векторов в этих точках. Вот на этом-то расчете, я так думаю, имеет смысл остановиться и подробнее. Как вы знаете, должно быть, каждый вектор имеет смысл только будучи построенным в определенном базисе. Базис -- это линейно независимая система векторов, через которые может быть выражен любой другой вектор в данном пространстве. Что значит «линейно независимая»? Это значит, что в данной системе один вектор не может быть линейно выражен через другие, то есть сумма остальных векторов, умноженных на любые скалярные коэффициенты, никогда не даст этот самый вектор. В качестве базиса могут использоваться разные векторы. Чаще всего используется прямоугольная декартова система координат, в которой базисом являются векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей x, y и z. Однако все эти соображения никоим образом не помогают понять, каким должен быть базис для векторов, поле которых мы с вами сейчас строим. Ответ прост: в качестве базисных векторов используются линейно независимые векторы из градиента нашей скалярной функции, которую мы задавали в самом начале данного, с позволения сказать, упражнения. Градиент -- это векторная производная скалярной функции, направленная в сторону ее убывания. Компоненты градиента направлены параллельно координатным осям, то есть в нашем случае мы можем просто написать в качестве базисных векторов X и Y компоненты градиента. Именно это и отражено на приведенной иллюстрации.

К сожалению, по той же иллюстрации видно, что с построением векторного поля существует одна досадная, но практически неустранимая мелочь -- векторы, отстоящие достаточно далеко от его силового центра, настолько малы, что MathCAD изображает их даже и не стрелками, а просто точками. Виноват здесь, впрочем, совсем не MathCAD, который просто максимально честно отображает то, что мы его попросили отобразить. Дело в том, что по мере удаления от силового центра (он у нас пришелся на начало координат) поле уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния до этого самого центра, то есть убывает модуль (длина) наших векторов очень и очень быстро. Чуть лучше их будет видно, если растянуть картинку до достаточно больших размеров (фактически лучше всего -- на весь экран), но и это не спасает положения в целом. Так что приготовьтесь к тому, что зачастую визуализация векторных полей будет совсем не так хороша, как вам хотелось бы. Можно попробовать несколько улучшить ситуацию, поэкспериментировав с границами отображаемого участка векторного поля, однако и это, как правило, редко дает удовлетворительные результаты. Лучшим выходом будет логарифмирование входной скалярной функции, что будет гораздо лучше, однако в таком случае стоит помнить, что и график у нас получится в логарифмическом масштабе, а не в линейном. В качестве иллюстрации того, что картинка, получаемая в результате визуализации векторного поля больше зависит от функции, которая его задает, чем от размеров области отображения, приведу иллюстрацию векторного поля на участке х = (-50; 50), у = (-50; 50) и с f(x, y) = x2 + y2. Как видите, положение вещей кардинально отличается от того, что мы видели на рисунке, когда f(x, y) была записана как 1/(x2 + y2). Если вы попробуете для любого из этих случаев умножить каждую из границ диапазона отображения на какую-нибудь отличную от нуля произвольную константу, то увидите, что картинка никак не изменится. Думаю, вполне понятно, что это происходит потому, что MathCAD изображает относительную, а не абсолютную величину векторов поля.

Вычисление градиента (Рис. 3)

Решение

2. Решить неравенство

3.

Правая часть матрицы

Матрица системы

Формирование расширенной матрицы

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Формирование столбца решения системы

Проверка

Задача 4

Исследовать функцию, построить её график

Проведем исследование функции

Область допустимых значений

x=1-вертикальнаяасимптота

Точки пересечения с осями координат

пересечение с осью OY

пересечение с осью OX

Производные первого и второго порядка

Монотонность, точки экстремума функция убывает

функция возрастает

точка минимума

Вогнутость, точки перегиба вогнутая

выпуклая

точка перегиба

векторный трехмерный график форматирование

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Работа с MathCad 14: [Электронный ресурс]: URL: http://www.sistemair.ru/dok/mathcad/text/index16-2.html (дата обращения 14.12.2012г.).

2. Exponenta.ru : [Электронный ресурс]: URL: http://www.exponenta.ru/soft/mathcad/usersguide/chapter25/25_1.asp (дата обращения 15.12.2012г.).

3. Пособие по MathCad : [Электронный ресурс]: URL: http://school.podvorye.ru/staff/tsvetkov/mathcad.pdf (дата обращения 15.12.2012г.).

4. Pers.narod.ru: [Электронный ресурс]: URL: http://pers.narod.ru/study/mathcad/04.html (дата обращения 16.12.2012г.).

Размещено на Allbest.ru