Решение дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных с использованием MATLAB

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

«Решение дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных с использованием MATLAB»



Задание

	(1)

Данный вид уравнения представляет собой двухмерное уравнение Пуассона эллиптического типа с правой частью

,

где х, y - координаты; u(x, y) - искомая функция;

f(x, y) - некоторая непрерывная функция на прямоугольной области с граничными условиями Дирихле или Неймана на границах x = xmin, x = xmax, y = ymin, y = ymax.

Граничные условия для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде:

граничных условий первого рода (Дирихле)	и/или	граничных условий второго рода (Неймана)
; ; (2) ; ,		; ; (3) ; .
х1, xn - координаты граничных точек области xmin, xmax; y1, ym - координаты граничных точек области ymin, ymax; g1(y), g2(y), g3(x), g4(x) - некоторые непрерывные функции соответствующих координат.



Для решения дифференциальных уравнений в частных производных в программе MATLAB 8.0 воспользуемся пакетом прикладных программ Partial Differential Equation (PDE).

В пакете используется метод конечных элементов.

Команды и графический интерфейс пакета могут быть использованы для математического моделирования PDE применительно к широкому классу инженерных и научных приложений, включая задачи сопротивления материалов, расчеты электромагнитных устройств, задачи тепломассопереноса и диффузии.

Решение PDE с помощью метода конечных элементов состоит из 6 шагов, соответствующих режимам пакета:

1) определение геометрии (режим рисования);

2) задание граничных условий (режим граничных условий);

3) выбор коэффициентов, определяющих задачу (режим PDE);

4) дискретизация конечных элементов (режим сетки);

5) задание начальных условий и решение PDE (режим решения);

6) последующая обработка решения (режим графика).

Решим двухмерное уравнение Пуассона (1) с правой частью, определяемой выражением

геометрия дискретизация граничный задача

(x2+y2)exy

и граничными условиями (в данной задаче граничными условиями Дирихле (2)):

u(xmin,y) = 1; u(xmax,y) = ey; u(x,ymin) = 1; u(x,ymax) = ex;

на границах (1): xmin = 0, xmax = 1, ymin =0, ymax = 1

на триангулярной координатной сетке методом конечных элементов.

Для решения в системе MATLAB 8.0 воспользуемся приложением pdetool.

Запуск приложения осуществляется командой pdetool (меню APPSPDE) (рис.1).

Рис. 1. Запуск приложения PDE.

При этом на экране монитора отображается главное окно приложения (рис. 2).

Рис. 2. Главное окно приложения pdetool



1) Для задания прямоугольной области решения задачи необходимо активизировать манипулятором «мышь» кнопку , после чего навести курсор с символом «мыши» на рабочее поле редактора, нажать левую кнопку «мыши» в левом нижнем углу (0, 0) задаваемой прямоугольной области, переместить курсор в правый верхний угол (1,1) области, удерживая левую кнопку, после чего отпустить ее.

Прямоугольная область будет зафиксирована (рис. 3).

Рис. 3. Задание прямоугольной области решения задачи в приложении pdetool

Таким образом, выполнено условие задачи: 0 ? x ? 1; 0 ? y ? 1.

При необходимости корректировки координат и размеров области нужно навести курсор «мыши» на изображение прямоугольника и дважды щелкнуть левой кнопкой. На экране появится окно редактирования параметров области с соответствующими полями (рис. 4).



Рис. 4. Окно редактирования параметров прямоугольной области решения задачи в приложении pdetool

В первом и втором полях отображаются координаты левой нижней точки прямоугольника по осям х и y соответственно. В третьем поле - ширина прямоугольника, в четвертом - высота, в пятом - условное обозначение.

Также настроим оси координат. В меню Options вызовем окно Axes Limits и поставим галочки в поле auto рис.5.

Рис. 5

В том же меню поставить галочку для команды Axes Equal (рис.6).



Рис.6 Результат преобразования осей координат

2) Решаемое уравнение в частных производных относится к общему виду задачи (Generic Scalar).

Для задания граничных условий необходимо активизировать манипулятором «мышь» кнопку с символом , в результате чего окно приложения примет вид, показанный на рис. 7.



Рис. 7. Задание граничных условий в приложении pdetool.

Все границы области показаны линиями со стрелками, причем по умолчанию на них заданы условия Дирихле (красные линии). Для редактирования граничных условий необходимо дважды щелкнуть левой кнопкой «мыши» на выбранной границе и внести соответствующие изменения в полях окна редактирования граничных условий (рис. 8 - рис.11).

Рис. 8. Задание граничных условий на левой границе

Рис. 9. Задание граничных условий на правой границе

Рис. 10. Задание граничных условий на нижней границе

Рис. 11. Задание граничных условий на верхней границе

3) Для редактирования вида дифференциального уравнения и ввода его функций и коэффициентов необходимо активизировать манипулятором «мышь» кнопку с символами PDE, после чего внести соответствующие изменения в полях окна редактирования, показанного на рис. 12.



Рис. 12. Окно редактирования уравнения задачи в приложении pdetool

Точки после символов х и y означают, что действие, знак которого стоит после точки, применяется к каждому элементу матрицы x или y.

4) Формирование триангулярной сетки с использованием метода Делоне осуществляется активизацией кнопки с символом (рис. 13).

Рис. 13. Генерация триангулярной сетки с использованием метода Делоне в приложении pdetool



При необходимости увеличения числа узлов сетки следует активизировать кнопку (рис. 14).

Рис. 14. Увеличение числа элементов сетки в приложении pdetool

5) Решение задачи осуществляется при активизации кнопки с символом «=». По умолчанию значения функции решения выделены цветом (рис. 15).

Рис. 15. Решение уравнения Пуассона в приложении pdetool

6) Для графического вывода решения задачи в виде трехмерного (3D) изображения следует активизировать кнопку , после чего в появившемся окне редактирования параметров изображения внести в соответствующие поля данные, как показано на рис. 16.

Рис. 16. Окно редактирования параметров графического представления решения в приложении pdetool

При активизации кнопки Plot на экран будет выведен график, показанный на рис. 17.

Рис. 17. Представление решения уравнения Пуассона в виде 3D-изображения

При сохранении файла, получаем m-файл с готовым решением:

function pdemodel

[pde_fig,ax]=pdeinit;

pdetool('appl_cb',1);

set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]);

set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[720.78719999999998 480.52479999999991 480.52479999999991]);

set(ax,'XLimMode','auto');

set(ax,'YLimMode','auto');

set(ax,'XTickMode','auto');

set(ax,'YTickMode','auto');

% Geometry description:

pderect([0 1 0 1],'R1');

set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','R1')

% Boundary conditions:

pdetool('changemode',0)

pdesetbd(4,...

'dir',...

1,...

'1',...

'1')

pdesetbd(3,...

'dir',...

1,...

'1',...

'exp(x)')

pdesetbd(2,...

'dir',...

1,...

'1',...

'exp(y)')

pdesetbd(1,...

'dir',...

1,...

'1',...

'1')

% Mesh generation:

setappdata(pde_fig,'Hgrad',1.3);

setappdata(pde_fig,'refinemethod','regular');

setappdata(pde_fig,'jiggle',char('on','mean',''));

pdetool('initmesh')

pdetool('refine')

% PDE coefficients:

pdeseteq(1,...

'1.0',...

'0.0',...

'(x.^2+y.^2).*exp(x.*y)',...

'1.0',...

'0:10',...

'0.0',...

'0.0',...

'[0 100]')

setappdata(pde_fig,'currparam',...

['1.0 ';...

'0.0 ';...

'(x.^2+y.^2).*exp(x.*y)';...

'1.0 '])

% Solve parameters:

setappdata(pde_fig,'solveparam',...

char('0','1968','10','pdeadworst',...

'0.5','longest','0','1E-4','','fixed','Inf'))

% Plotflags and user data strings:

setappdata(pde_fig,'plotflags',[1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1]);

setappdata(pde_fig,'colstring','');

setappdata(pde_fig,'arrowstring','');

setappdata(pde_fig,'deformstring','');

setappdata(pde_fig,'heightstring','');

% Solve PDE:

pdetool('solve')

Размещено на Allbest.ru

...