Геометрическое описание метода секущих
Метод секущих как итерационный численный метод приближенного нахождения корня уравнения. Характеристика его сущности, описание правила останова по соседним приближениям. Изучение критерия Ньютона локализации корня уравнения по сходимости приближений.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.02.2015 |
| Размер файла | 668,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ВВЕДЕНИЕ
Во многих практически важных случаях, когда уравнение имеет сложный вид, аналитически его точное решение найти не удается. Отсутствуют методы решения в общем виде алгебраических уравнений высоких степеней. Однако ни один из подходов нельзя считать достаточно эффективным при решении инженерных и научных задач на ЭВМ. Более предпочтительны способы, обеспечивающие одновременно как оперативность получения результата, так и высокую точность. Когда говорят о методах решения нелинейных уравнений на ЭВМ, то подразумевают в первую очередь итерационные методы.
Метод секущих -- итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения. Суть итерационного метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Геометрическое описание метода секущих
Будем искать нуль функции . Выберем две начальные точки(x-) и (x+ , которые получены с нулевого приближения х, и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке (х;0). Теперь найдем значение функции с абсциссой х. Временно будем считать х корнем на отрезке [a;b]. Пустьследующая точка имеет абсциссу х и лежит на графике. Теперь вместо точек и мы возьмём точку и точку. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки и и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением, удовлетворяющим критерию останова процесса.
Алгебраическое описание метода секущих
Пусть , -- абсциссы концов секущей, y = kx + b -- уравнение секущей, содержащей хорду. Найдем коэффициенты k и b из системы уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе:
, затем найдем коэффициенты и :
, тогда
.
Уравнение принимает вид:
Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:
Пусть , < x <,предположим, что
, = x - ?;
, = x + ?;
Таким образом, подставив вместо = (x - е) и = (x + е);
получаем х3=, которое обозначим новым приближением х.
Теперь возьмем координаты ,, и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:
или если обозначим как и как , получим:
,
где = f2p;
а = dx
Сходимость метода секущих
Итерации метода секущих сходятся к корню f(x), если начальные величины x0и x1 достаточно близки к корню. Метод секущих является квадратичным. Как и для большинства быстрых методов, для метода секущих трудно сформулировать условия сходимости. Если начальные точки достаточно близки к корню, то метод сходится, но нет общего определения «достаточной близости». Сходимость метода определяется, тем насколько функция «волниста» в [ Например, если в интервале есть точка, в которой , то процесс может не сходиться.
Правило останова по соседним приближениям
Задается уровень останова> 0 и момент останова x итерационной
процедуры определяется условием:
Критерий Ньютона локализации корня уравнения по сходимости приближений
уравнение корень метод секущая
Идея метода Ньютона заключается в аппроксимации приращения F(u) - F(u0) его главной линейной частью F'(u0)(u - u0). Тогда приближенный корень уравнения F(u) = 0 (*) найдем, решив линейное уравнение
F'(u0)(u - u0) = - F(u0).
Из теории следует, что для достаточно гладкого отображения
||F(u) - F(u0) - F'(u0)(u - u0)|| ? ||u - u0||2.
То есть норма невязки на искомом приближении u соизмерима с квадратом нормы приращения аргумента, что позволяет организовать вблизи корня уравнения (*) сходящийся итерационный процесс.
Теорема (критерий Ньютона локалицации корня(*) по сходимости приближений [1, c. 141]). Пусть в некотором шаре Q[u0, r] банахово отображение F : U > V дважды непрерывно дифференцируемо и ? K, а для нуль-приближения u0 выполнены условия
1. [F'(u0)]-1 существует и F'(u0)-1 ? C;
2. з ? ||[F'(u0)]-1 F(u0)||;
3. k = CKз ? 1/2;
Тогда последовательность, определяемая рекуррентной формулой
un+1 = un + Дun, где Дun ? - [F'(un)]-1 F(un),(1)
сходится в шаре Q[u0, r] к решению u* уравнения (*) со скоростью
||un - u*|| ? t* - tn,
где tn последовательность приближений меньшего корня t* уравнения
P(t) ? t2 - t + з = 0,
построенная по правилу tn+1 = tn - [P'(tn)]-1 P(tn), t0 = 0.
Корни уравнения P(t) = 0 равны
t* = з и t** = з.
В условиях теоремы они оба действительны и положительны. Ньютоновы приближения {tn, n = 0, 1, … }, начинающиеся с t0 = 0, образуют монотонно возрастающую последовательность, сходящуюся к t*.
Последовательность (1) фундаментальная, то есть в шаре Q[u0, r] банахова пространства U существует предел u* = .
Теорема с некоторыми изменениями взята из теории решения алгебраических уравнений [2, с. 244], по которой оценка не улучшаема. Значит, в условиях теоремы получена не улучшаемая оценка приближения корня и на множестве операторных уравнений.
Теорема. Если для отображения F и нуль-приближения u0 корня уравнения выполнены все условия критерия, то для погрешности n-приближения верна оценка точности ||un - u*|| ? .
ОБЬЕКТ-СХЕМА ПРОГРАММЫ
ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ
Program SekPr;
Uses crt;
Type Fun=Function (x:Real):Real;
Var e,x,fc,xl,fl,xp,f2p,dx:real;
it:integer;
Function PPrib(x:Real;f:Fun):Boolean;
Var dx,fp,f2p,t,dt,pc,maxK,eta,k,r,del:Real;
it,i,m:Integer;
Begin
PPrib:=False;
fp:=(f(x+Sqr(e))-f(x-Sqr(e)))/(2*Sqr(e)); {приближение f'(x) с точностью порядка e^4}
If fp=0 Then
begin
Write(' fp=0 оценка |1/f''(x)| не установлена');{запись f''(x) выводит f'(x)}
Exit;
end; {вычисление поправки dx к приближению х,}
dx:=-f(x)/fp;; {удовлетворяющему условию выхода из КП}
Writeln('по приближению x=',x:0:8,': y=',f(x):0:8,' dx=',dx:0:8);
{проверка условия критерия Ньютона (c. 141) локализации корня в окрестности}
{приближения х по соседним приближениям |dx|}
pc:=Abs(fp); {найдем приближение |f'(x)| с порядком точности e^4 и обозначим pb}
eta:=abs(dx);
r:=2*eta; {r - радиус области Q для оценки нормы |f''(x)|}
m:=2*Round(1/e); {выбор m для установления шага dt=|dx|*е при вычислении f''(x)}
dt:=r/m;
maxK:=0; {найдем в области Q=[x-r,x+r] максимум |f''(x)| и обозначим maxK}
For i:=0 to 2*m do
begin {приближенное вычисление модуля второй производной функции f(x)}
t:=x-r+i*dt; {со вторым порядком точности по приращению e^2}
f2p:=Abs(f(t+Sqr(e))-2*f(t)+f(t-Sqr(e)))/Sqr(sqr(e));
If f2p>maxK Then maxK:=f2p;
end;
maxK:=Round(1000*maxK)/1000; {округлим maxK с точностью до тысячных}
k:=Round(1e6*maxK*eta/pc)/1e6; {округлим k с точностью до 10^(-6)}
Write('c=',pc:0:8,' K=',maxK,' k=',k);
If k>0.5 Then
begin
Writeln; Writeln('область локализации корня не установлена из-за q>0.5')
end
Else
begin
del:=(1-sqrt(1-2*k))*eta/k;
Writeln(' delta=',del:0:8);
If del<=r Then
begin
PPrib:=True;
Writeln('область локализации корня E=[',x-del:0:8,',',x+del:0:8,']');
end
Else Writeln('область локализации корня не установлена из-за r<delta');
end;
End;
Function f(x:real):real;
Begin
f:={sin(x)-0.5}exp(sin(x))+sin(exp(x));
End;
Begin e:=0.0001;
writeln('введи нулевое приближение корня');
read(x);
it:=0;
repeat
f2p:=(f(x+e/2)-f(x-e/2))/e; {приближение производной функции f(x)}
dx:=-f(x-e/2)/f2p-e/2; {со вторым порядком точности по е/2}
x:=x+dx;
it:=it+1;
writeln('x=',x,' dx=',dx,' f(x)=',f(x)); readln;
until (abs(dx)<e) and (abs(f(x))<e); {с проверкой условия сходимости к корню}
writeln('приближение корня x=',x:0:8,' dx=',dx:0:8,' f(x)=',f(x):0:8,' it=',it);
write(PPrib(x,f));
End.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проблема повышения качества вычислений нелинейных уравнений при помощи разнообразных методов, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов - сред и языков программирования. Ответ на вопрос о наилучшем численном методе решения уравнения не однозначен. Он существенно зависит от того, какую дополнительную информацию о данной функции мы имеем, в соответствие с этим, каким свойствам метода придаём большее значение. В данной курсовой работе метод секущих показал достаточно высокую скорость сходимости и он имеет существенное преимущество по сравнению с другими методами решения данного уравнения.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. В.В.Морозов "Прикладной анализ и программирование" Пособие для студентов физико-математических специальностей. Брест, БрГУ им. А.С.Пушкина, 2012.
2. 2 Крылов, В.И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - Минск : Наука и техника, 1985. - 280 с.
3. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры, учебное пособие, издание НГУ, 1983; Наука, 1993.
4. Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. -- СПб.: Издательство «Лань», 2005. -- 288 с: ил.
5. Марчук Г. И., Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977, 456с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Анализ метода касательных (метода секущих Ньютона), аналитическое решение нелинейного уравнения. Описание алгоритма решения задачи, пользовательских идентификаторов, блок-схем, программного обеспечения. Тестирование программы на контрольном примере.
курсовая работа [97,1 K], добавлен 10.01.2014Определение недостатков итерационного численного способа нахождения корня заданной функции (метод Ньютона). Рассмотрение основ математического и алгоритмического решения поставленной задачи, ее функциональной модели, блок-схемы и программной реализации.
курсовая работа [364,8 K], добавлен 25.01.2010Методика разработки программного модуля для нахождения методом хорд корня уравнения x3-x-0,3=0 с точностью до 0,001 на языке программирования Visual Basic for Application. Схема программного модуля и описание процедуры обработки кнопки "Найти корни".
курсовая работа [394,0 K], добавлен 08.09.2010Использование повторяющегося процесса. Нахождение решения за определенное количество шагов. Применение метода хорд и метода простой итерации. Методы нахождения приближенного корня уравнения и их применение. Построение последовательного приближения.
курсовая работа [849,1 K], добавлен 15.06.2013Проверить условие сходимости и записать расчетные формулы для нахождения корня уравнения. Составить блок-схему алгоритма, программу решения задачи. Вычисления определенного интеграла методом Симпсона. Построить график функции Y=1/sqr(3sin(x)+2cos(x)).
курсовая работа [29,6 K], добавлен 02.10.2008Применение методов касательных (Ньютона) и комбинированного (хорд и касательных) для определения корня уравнения. Разработка алгоритма решения и его описание его в виде блок-схем. Тексты программ на языке Delphi. тестовый пример и результат его решения.
курсовая работа [923,7 K], добавлен 15.06.2013Модифицированный метод Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Вычисления корня уравнения при помощи программы. Построения графика зависимости приближений двух координат, при котором задаются промежутки и константы.
реферат [14,1 K], добавлен 29.01.2009Разработка программы для расчета корня уравнения в определенном отрезке, по количеству итераций. Рисование в окне консоли на языке программирования C++. Реализация вывода графика функции и корня уравнения. Математическая модель и алгоритм решаемой задачи.
курсовая работа [521,3 K], добавлен 09.07.2017Рассмотрение процесса разработки системы нахождения нулей функции. Изучение вычисления корня уравнения методом Ньютона или касательных. Основы проектирования графического интерфейса пользователя и описание алгоритма, тестирование готовой программы.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 23.02.2014Идентификация объектов методом наименьших квадратов. Анализ коэффициентов парной, частной и множественной корреляции. Построение линейной модели и модели с распределенными параметрами. Итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.
курсовая работа [893,3 K], добавлен 20.03.2014Тестирование модуля отыскания корня уравнения методом половинного деления. Схема алгоритма тестирующей программы. Численное интегрирование по методу Симпсона с оценкой погрешности по правилу Рунге. Проверка условий сходимости методов с помощью MathCAD.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 04.02.2011Особенности точных и итерационных методов решения нелинейных уравнений. Последовательность процесса нахождения корня уравнения. Разработка программы для проверки решения нелинейных функций с помощью метода дихотомии (половинного деления) и метода хорд.
курсовая работа [539,2 K], добавлен 15.06.2013Составление блок-схемы и алгоритма программы для решения уравнения с приближенным значением корня по методу Ньютона, расчета приближенного значения интеграла по формуле трапеций, вычисления уравнения длины вектора. Типы формул общего члена суммы.
курсовая работа [41,3 K], добавлен 15.12.2012Рассмотрение двух методов нахождения приближенного корня дифференциального уравнения, применение их на практике. Графическая интерпретация метода Эйлера. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера. Программная реализация, блок-схемы и алгоритм.
курсовая работа [246,8 K], добавлен 17.06.2013Изучение численных методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных (на примере уравнения). Отделение корней графически. Программная реализация, алгоритм.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 15.06.2013Обзор методов вычисления кубического корня: численные, метод интеграций и другие. Оценка их преимуществ и недостатков Математическое представление задачи вычисления значений кубического корня, описание системы реализации. Примеры работы программы.
курсовая работа [486,3 K], добавлен 14.12.2012Графический и аналитический методы отделения корней при решении уравнения. Уточнение отдельных корней уравнения: метод половинного деления, последовательных приближений, метод Ньютона. Расчет в программах Excel, MathCAD, на языке программирования Pascal.
курсовая работа [3,2 M], добавлен 29.05.2010Составление процедуры для матрицы, разложения матрицы на множители, решения системы линейных уравнений, нахождения определителя матрицы и матрицы с транспонированием. Суть метода квадратного корня. Разложение матрицы на множители. Листинг программы.
лабораторная работа [39,4 K], добавлен 18.09.2012Изучение методов решения нелинейных уравнений таких как: метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод Хорд, метод простых Итераций. Реализация программы для персонального компьютера, которая находит решение нелинейного уравнения разными способами.
практическая работа [321,9 K], добавлен 24.06.2012Решение нелинейного уравнения шаговым методом, методом половинного деления, методом Ньютона и простой итерации с помощью программы Mathcad. Разбиение промежутка на число n интервалов. Условия сходимости корня. Составление программы для решения на С++.
лабораторная работа [207,5 K], добавлен 10.05.2012
