Разработка математической модели реализации численного метода, состоящего из ортогональных преобразований методом Хаусхолдера, QR-факторизации и LAMBDA-метода для практической реализации в мобильном приемнике сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Кроме самой математической модели, в данной работе описываются такие аспекты численной реализации кодово-фазовой дифференциальной коррекции как численная устойчивость, вычислительная эффективность и эффективность сохранения. Представленный в работе метод является вычислительно эффективным, потому что дает возможность максимально полного использования структуры математической модели и численную устойчивость алгоритмов, использующих ортогональные преобразования. Эффективность хранения также принята во внимание в нижеизложенном методе. Цель этой работы состоит в том, чтобы раскрыть основные моменты и нюансы математической модели, численного метода и учета погрешностей системы дифференциальной коррекции, которые будут необходимы для численной реализации этого подхода на ЭВМ.

В данной работе мы предполагаем, что псевдодальности по фазе несущей и коду измеряются как базовой, так и мобильной станцией. Мы рассматриваем одночастотные приемники, работающие только с частотой входного сигнала L1, потому как многие приемники могут получить только сигнал L1. Но не трудно расширить наш подход и для случая двухчастотных приемников.

Эта работа организована следующим образом. В разделе 1 мы даем математическую модель, которая используется для оценки определяемого положения. В разделе 2 дается описание нашего численного метода, состоящего из ортогональных преобразований методом Хаусхолдера, QR-факторизации и LAMBDA-метода. В разделе 3 рассматривается специфика метода, которую нужно знать при численной реализации.

Повсюду в этой работе мы используем строчные буквы для векторов и прописной регистр для обозначения матриц. Единичная квадратная матрица размерности m будет обозначена и ее i-я колонка - , так что . Вторая норма для векторов будет равна . Символом {·} будем обозначать ожидаемую оценку, cov{·} обозначит матрицу ковариации, которая определяется следующим образом: cov{x}={(x-{x})(x-{x})T}.

Обозначение показывает, что вектор v есть случайный вектор с нормальным распределением, с математическим ожиданием и матрицей ковариации V.

Рисунок 1 - Основная блок-схема алгоритма определения координат

На рис. 1 показана основная блок-схема, наглядно иллюстрирующая алгоритм работы приемника по определению координат потребителя, начиная с включения приемника и заканчивая нахождением оценки координат потребителя. Первичная обработка сигнала производится для каждого из видимых спутников, а во время вторичной обработки до каждого спутника высчитывается псевдодальность по коду и фазе; зная эти расстояния, вычисляют местоположение приемника.

Первичная обработка сигнала.

Рисунок 2 - Блок-схема первичной обработки сигнала

Спутники GPS передают сигналы на двух частотах: 1575, 42 МГц и 1227, 60 МГц. На вход приемника поступают сигналы от спутников, находящихся в зоне радиовидимости. Так как для решения навигационной задачи необходимо измерить псевдодальности относительно, как минимум, четырех спутников, то приемник должен быть многоканальным (от 4 до 12 каналов).

После включения питания и начального тестирования навигационная аппаратура потребителей (НАП) входит в режим поиска сигнала навигационных спутников. Суть алгоритма поиска заключается в последовательном переборе всех возможных значений доплеровского смещения частоты при фиксированном значении битов генератора псевдослучайной последовательности (ПСП), в общем случае уникальной для каждого спутника. Для ускорения этого процесса в навигационных системах GPS используется информация долгосрочного прогноза положения спутников, которая называется альманахом.

Обработка сигнала приемником.

Современные приемники являются аналого-цифровыми системами, сочетающими аналоговую и цифровую обработку сигналов. Переход на цифровую обработку сигналов осуществляется на определенной промежуточной частоте. С техническо-инженерной точки зрения, приёмник можно разделить на три функциональные части: радиочастотную часть, цифровой многоканальный коррелятор и процессор.

С выхода антенно-фидерного устройства (антенны) сигнал поступает на радиочастотную часть. Основная задача этой части заключается в усилении входного сигнала, фильтрации, преобразовании частоты и аналого-цифровом преобразовании. Помимо этого, с радиочастотной части приёмника поступает тактовая частота для цифровой части приёмника. С выхода радиочастотной части цифровые отсчёты входного сигнала поступают на вход цифрового коррелятора.

В корреляторе в цифровой форме формируются отсчеты синфазных I(k) и квадратурных Q(k) составляющих сигнала, которые являются основой работы алгоритмов поиска сигналов по задержке и частоте, вычисления псевдодальности, слежения за фазой сигнала и выделения навигационного сообщения.

Отсчёты корреляционных интегралов поступают в процессор для дальнейшей обработки и замыкания петель ФАП (фазовая автоподстройка) и ССЗ (схема слежения за задержкой). Измерения параметров сигнала в приёмнике производятся не непосредственно по входному сигналу, а по его точной копии, формируемой системами ФАП и ССЗ. Корреляционные интегралы I и Q позволяют оценить степень «похожести» (коррелированности) опорного и входного сигналов. Задача коррелятора, помимо формирования интегралов I и Q, -- формировать опорный сигнал, согласно с управляющими воздействиями (кодами управления), поступающими с процессора. Кроме того, в некоторых приёмниках коррелятор формирует необходимые измерения опорных сигналов и передаёт их в процессор для дальнейшей обработки. В то же время, так как опорные сигналы в корреляторе формируются по управляющим кодам, поступающим с процессора, то необходимые измерения опорных сигналов можно производить непосредственно в процессоре, обрабатывая соответствующим образом управляющие коды, что и делается во многих современных приёмниках.

Дальность при радиотехнических измерениях характеризуется временем распространения сигнала от объекта измерения до измерительного пункта. В СРНС излучение сигналов синхронизировано со шкалой времени системы, точнее, со шкалой времени спутника, излучающего данный сигнал. В то же время, потребитель имеет информацию о расхождении шкалы времени спутника и системы. Цифровая информация, передаваемая со спутника, позволяет установить момент излучения некоторого фрагмента сигнала (метки времени) спутником в системном времени. Момент приёма этого фрагмента определяется по шкале времени приёмника. Шкала времени приёмника (потребителя) формируется с помощью кварцевых стандартов частоты, поэтому наблюдается постоянный «уход» шкалы времени приёмника относительно шкалы времени системы. Разность между моментом приёма фрагмента сигнала, отсчитанным по шкале времени приёмника, и моментом излучения его спутником, отсчитанным по шкале спутника, умноженная на скорость света, является псевдодальностью.

1. Математическая модель

Здесь мы даем математическую модель оценки позиции.

Постановка задачи. Заданы два одночастотных GPS приемника, которые именуются базовым (БС) s и мобильным (МБ) r, находящиеся на поверхности Земли, расположенные на относительно небольшом расстоянии друг от друга (не более 10 км.). Мы хотим найти вектор базовой линии x, т.е. вектор, направленный от приемника s к приемнику r. По базовой линии однозначно определяются координаты мобильного приемника. Оба приемника постоянно принимают сигналы с некоторого множества спутников GPS. Это множество «видимых» с обоих приемников спутников с течением времени меняется: спутники GPS все время покидают и заходят в «зону видимости».

Координаты базового приемника статичны и считаются известными в международной системе ECEF с достаточно высокой точностью (1-2 мм.). В режиме постобработки координаты мобильного приемника считаются также неизменными в определенный промежуток времени, в которое проводятся измерения.

Каждый из приемников способен высчитывать и выдавать свои измерения расстояния до заданного спутника в определенный момент времени (именуемый эпохой). Причем эти расстояния измеряются аппаратной частью приемника двумя способами: кодовым и фазовым. В данной работе описывается алгоритм решения навигационной задачи посредством кодовых и фазовых измерений. В грубом приближении, расстояние от приемника до спутника по коду рассчитывается как время запаздывания сигнала относительно системного отсчета времени, помноженная на скорость света (берется как скорость сигнала). А дальность по фазе определяется как количество длин волн несущей сигнала, которые помещаются на отрезке между спутником и приемником, помноженное на длину волны сигнала.

Цель задачи: определить координаты мобильного приемника в режиме постобработки, то есть для случая когда в качестве входных данных численного метода используются измерения, получаемые как до так и после эпохи, в которое нужно определить искомые координаты мобильного приемника.

Пусть в некоторую эпоху в поле зрения базовой станции находятся множество {d} спутников, а мобильной станции некоторое множество {f} спутников. Пересечение множеств {d} и {f} как раз таки является множеством спутников, с которыми будет происходить работа по дифференциальной коррекции. Обозначим это множество {m} (в количестве m), которое обычно называется рабочим созвездием из навигационных космических аппаратов (НКА).

Нам необходимы следующие переменные для описания геометрии относительного положения спутников и GPS приемников:

- вектор, направленный от БС s к i-му НКА;

- единичный вектор, направленный из середины базовой линии x к i-му НКА;

- дальность в длинах волн от БС до i-го НКА;

- длина волны (для частоты L1, используемой здесь, 19 см)

Верхний индекс определяет спутник, нижний индекс определяет приемник. После того, как введем обозначение:

получим что:

дающее:

(1)

(2)

Заметим, что примерно равно 1, то есть вектора, направленные от приемников БС и МС к одному и тому же спутнику почти что коллинеарны, и мы можем заменить этот параметр на 1 для приложений, в которых нет необходимости производить высокоточное определение местоположения. Но для некоторых высокоточных GPS приложений нам может понадобиться неединичный параметр . Данная математическая модель позволяет делать такое упрощение, потому что в дальнейшем показано каким образом производится перерасчет x c учетом этого упрощения.

Предположим, что сигнал от i-го спутника приходит на приемник s в момент времени и он доходит от спутника до получения его приемником за период времени . В момент времени измеряется фаза несущей (в длинах волн) и измеряется код (также в длинах волн) от приемника s до i-го спутника.

(3)

(4)

где размерности каждого из выше приведенных уравнений определяются как “количество длин волн”,

· измерение фазы несущей в момент времени .

· измерение кода в момент времени .

· измеренное расстояние между приемником s БС в момент времени и i-м НКА в момент времени .

· ионосферная ошибка, вносимая в дальность, в момент времени .

· тропосферная ошибка, вносимая в дальность, в момент времени .

· целочисленная неопределенность.

· частота несущей L1;

· ошибка часов приемника в момент времени ;

· ошибка часов НКА в момент времени ;

· задержки в аппаратуре приемника при измерениях фазы несущей в момент времени .

· задержки в аппаратуре НКА при измерениях фазы несущей в момент времени .

· задержки в аппаратуре приемника при измерениях кода в момент времени .

· задержки в аппаратуре НКА при измерениях кода в момент времени .

· начальная фаза генератора сигнала несущей приемника в начальное время .

· начальная фаза генератора сигнала несущей передатчика НКА в начальное время .

· шум измерений фазы несущей, включая ошибки переотражения, в момент времени .

· шум измерений кода, включая ошибки переотражения, в момент времени .

Ионосферная ошибка , тропосферная ошибка и ошибка часов НКА может быть промоделирована. Мы рассмотрим численно реализованные нами тропосферную и ионосферную модели для учете данных ошибок.

Вычтем уравнение измерения фазы несущей, соответствующее приемнику r, из (3) и замечая, что величина:

будет незначительна для коротких базовых линий, мы получим уравнения первых фазовых разностей:

(5)

Для уменьшения числа зависимых неизвестных, мы можем просто объединить ошибки часов приемника, задержки в аппаратуре приемника, и начальные фазы сгенерированных несущих сигналов вместе. Заметив, что приемник s и r встречаются в каждом уравнении, мы можем пропустить эти индексы и обозначить эпоху времени k нижним индексом k. Таким образом, определяя:

из (5) и (1) получим что:

 (6)

Аналогично, введя обозначения:

мы получим из (4) уравнения первых кодовых разностей:

(7)

Следуя литературе, мы положим, что все в уравнениях измерений фазы несущей (и все в уравнениях кодовых измерений) для различных НКА и различных эпох есть некоррелированные шумы с нормальным распределением, следовательно эти и независимы. Введем:

(8)

мы получим (помня, что ) из (6) и (7):

(9)

(10)

где мы полагаем, что среднеквадратические отклонения и являются известными. Уравнения (9) и (10) являются желаемыми (искомыми) уравнениями первых разностей в эпоху k.

2. Численный метод

В общем случае, для решения системы линейных уравнений (9), (10) применяется метод наименьших квадратов, но для повышения вычислительной эффективности и устойчивости алгоритма, используют разноплановые модификации данного метода.

Для решения общей линейной проблемы наименьших квадратов, имеется два основных метода: метод нормальных уравнений и метод QR факторизации (в которой заложены ортогональные преобразования). Плохая обусловленность матрицы коэффициентов (что может быть следствием плохой геометрии расположения НКА GPS) может привести к увеличению вычислительных погрешностей метода. Поэтому, для того чтобы не увеличивать коррелированность входной системы уравнений и повысить численную устойчивость алгоритма, вместо простых вторых разностей в методе используются ортогональные вторые разности.

Следуя, мы распишем рекурсивный алгоритм ортогональных преобразований для оценки позиции, основанный на уравнениях (9) и (10) измерений первых разностей фазы несущей и кода. Мы собираемся полностью использовать структуру задачи (для примера, учтем факт того, что вектор целочисленных неопределенностей идентичен на каждом шаге при отсутствии срывов циклов или при уходе или заходе НКА GPS в рабочее созвездие) для того, чтобы сделать алгоритм как можно более эффективным. Отметим, что Тибериус также использует рекурсивный алгоритм. Но он использует стандартный подход SRIF, основанный на уравнениях измерений вторых разностей фазы несущей и/или кода.

На настоящий момент времени мы предполагаем, что в (9) и (10) известны, и что число видимых НКА не изменяется во временной промежуток наблюдения. Сначала мы устраним из уравнения (9) измерений фазы несущей.

Пусть есть преобразование Хаусхолдера такое, что:

(11)

Отметим, что матрица симметричная и ортогональная. Представим как , тогда:

где имеет размерность {m, m-1}. (12)

Умножая (9) на слева, получим:

(13)

Так как верхнее уравнение в (13) включает неизвестное (и не желательное) выражение его можно исключить из алгоритма оценки положения мобильной станций. Таким образом, мы имеем:

 (14)

Заметим, что мы использовали простое преобразование Хаусхолдера, вместо часто используемой техники двойных разностей для устранения неизвестной переменной . Его главным преимуществом является то, что преобразованные измерения являются все еще некоррелированными. Техника ортонормализации Грама-Шмидта, которая может также устранить и сделать инструмент трансформации некоррелированным, не является таким прямым, как техника преобразования Хаусхолдера.

Так как является матрицей , она не имеет полного ранга по столбцу и мы не в состоянии получить однозначную оценку . Если мы положим как новый вектор, то мы потеряли бы целое натуральное . Поэтому, идем другим путем и введем вектор двойных разностей целочисленных неопределенностей (double difference integer ambiguity - DDIA):

(15)

где без потери общности мы выбрали первый попавшийся НКА как «референсный» и присвоили ему номер 1. Заметим, что все еще вектор целых чисел. Определим:

(16)

где несингулярная квадратная матрица размерности {m-1} и . Это легко проверить, используя (12):

(17)

Таким образом, выражение (14) может быть переписано как:

(18)

Подобным образом мы можем также устранить из уравнения (10) измерений кода и при этом получим:

(19)

Для того чтобы при объединении и получившийся параметр имел такую же ковариационную матрицу как , мы определим и умножим (19) на , а затем объединим результирующее уравнение и (18):

(20)

Последний член в уравнений (20), , по своей сути является неоднородностью в системе линейных уравнений, неточностью, вызванная шумами и переотражениями. Эта неоднородность подчиняется нормальному распределению, то есть, ее пределы изменения значений могут быть оценены, опираясь на результаты ограниченного количества экспериментов с дифференциальной системой. Как показывает практика, данный вид погрешностей на порядок ниже погрешностей, возникающих из-за атмосферной задержки. Поэтому, для упрощения дальнейшего математического анализа, опустим эту неоднородность из уравнения.

Теперь приведем уравнение (20) к виду, пригодному для численной реализации. Правую часть (20) можно переписать как:

,

где O - квадратичная матрица, состоящая из нулей, размерности {m-1}.

Таким образом, система уравнений (20) может быть записана в следующей матричной форме:

Aс=B, ((21)

где:

где k проходит целые числа от 1 до n включительно.

Матрица имеет размерность {m, m-1}.

Матрица F имеет размерность {m-1, m-1}.

Обозначения:

n - количество эпох, в которые производятся наблюдения;

m - количество спутников в рабочем созвездий;

- матрица, составленная из единичных векторов, поделенных на длину волны L1 и коллинеарных направлению на спутники в эпоху с номером k (эпохой в литературе по СНС называется момент времени, в который производится измерение);

где - единичный вектор, направленный из середины базовой линии к i-му НКА в эпоху ; - координаты вектора, соединяющего базовый и мобильный приемники, то есть вектора базовой линии в эпоху ;

Переопределенная система (21) решается методом наименьших квадратов (ищется с, минимизирующая эвклидову норму ) приведением матрицы к верхнетреугольной форме методом Хаусхолдера. Метод Хаусхолдера заключается в разложении матрицы A в виде мультипликации двух матриц (другими словами, происходит QR-факторизация):

A=T*H,

где T - квадратная ортогональная матрица, и H - верхнетреугольная прямоугольная матрица.

После чего условие минимизации можно переписать как:

.

Так как T - ортогональная матрица, данное условие минимума равнозначно минимизации другой нормы:

 .

Верхнетреугольную матрицу H представим в виде:

,

где и - верхнетреугольные матрицы, причем имеет размерность 3х3. При практической реализации верхнетреугольная форма вычисляется рекурсивно, по мере поступления данных в последовательные эпохи.

А матрицу, получающуюся из мультипликации , обозначим как , так что:

Можно заметить из уравнения, что матрица U не принимает участия в поиске с, поэтому нижняя часть получившейся системы линейных уравнений отбрасывается. Именно такая возможность, предоставляемая методом Хаусхолдера, и приводит к экономии времени и процессорной мощности обрабатывающего ЭВМ. Следовательно:

(22)

кодовый линейный матричный хаусхолдер

Матричное уравнение (22) записывается как система двух уравнений:

 (23)

(24)

Из (23) получаем вещественнозначное смешанное кодово-фазовое решение:

,

где - вектор вещественных величин (вещественнозначных неопределенностей), полученный решением системы уравнений (24). Такое решение (без использования целочисленной природы неопределенностей) позволяет достичь точности в несколько дециметров.

Для того чтобы получить высокую точность оценок положения для как можно минимального числа эпох, должна быть использована природа целочисленных неопределенностей. Заметим, что в нашем алгоритме мы только оценили как вещественный вектор, но не определили его как целочисленный вектор. Для некоторых приложений этого будет достаточно, и для них не имеет смысла дополнительно тратить время вычислений для разрешения целочисленных неопределенностей. Также, если целочисленные неопределенности определены неправильно, это может вызвать большие ошибки в оценке положения. Имеется несколько подходов для разрешения целочисленных неопределенностей на базе вторых разностей. Один их хорошо известных подходов называется LAMBDA метод. На вход метода подаются вещественнозначные неопределенности (в качестве исходной оценки), матрица ковариации неопределенностей и требуемое количество векторов-кандидатов (на практике достаточно двух). Он основан на ковариации . Ковариация неопределенностей может быть найдена из (24):

 (25)

Дадим теоретическое описание использования LAMBDA-метода при решении нашей задачи. Линейные системы уравнений, используемые в математической модели для решения задачи дифференциальной коррекции, можно представить в виде:

(26)

где y - заданный вектор данных, a и b - неизвестные параметрические вектора и e - вектор шумов. Вектор данных y состоит из «наблюдаемых» минус «вычисленных» первых разностей по коду и фазе за весь временной промежуток наблюдений. a - вектор разностей целочисленных неопределенностей размерности {m-1}, измеряемые в циклах. Значения вектора a являются целыми. В векторе b размерности p заключены оставшиеся неизвестные параметры уравнений, такие как координаты базовой линий и тропосферные (ионосферные) параметры атмосферной задержки.

При использовании принципа наименьших квадратов, система (26) решается посредством минимизации:

, (27)

где норма вычисляется по формуле:

- матрица ковариации наблюдаемых величин,

- целочисленное пространство размерности m-1.

Для того чтобы решить такого рода задачу минимизации, необходимо сначала провести ортогональную декомпозицию целевой функции. Распишем целевую функцию в виде суммы трех квадратов,

(28)

где:

,

где с ортогональными проективными операторами и Матрица является ортогональным проективным оператором, который проецируется ортогонально вдоль направления B (относительно метрики ). Аналогично, матрица является ортогональным проективным оператором, который проецируется ортогонально вдоль направления A.

Ковариационные матрицы и задаются формулами:

Вектора и являются вектором веществозначных неопределенностей и вещественным решением. Они определяются из (24) и (23), то есть когда в задаче минимизации (27) отсутствует ограничение по целочисленности . является остаточным вектором соответствующий веществозначному решению.

Вектор является решением b, в предположении, что a известен. Следовательно, он является условным решением b. Такое условное решение и ее ковариационная матрица могут быть записаны в виде:

где ковариационная матрица равна:

Из (27) и (28):

Заметим что первое выражение, не поддается минимизации потому что оно не зависит от a и b. Также последнее выражение в уравнении является неотрицательным (так как под квадратом) и для любого a из пространства целых чисел можно подобрать такое b что оно будет равняться нулю. Следовательно, решение данной задачи минимизации находится посредством формул:

 (29)

Вектора и представляют собой вектор разрешенных целочисленных неопределенностей и вектор базовой линии при разрешенных целочисленных неопределенностях.

Поиск не может быть проведен по всему пространству целых чисел, поэтому необходимо определить область поиска, центрированного в точке в смысле метрики . Такую область можно определить как:

,

где является оптимально выбранной константой-ограничителем. Для того чтобы область поиска не содержала слишком много целочисленных векторов-кандидатов, должен быть небольшим.

Граница области поиска является эллиптической. В случае с фазовыми неопределенностями эллипсоид сильно вытянут из-за высокой коррелированности компонентов вектора неопределенностей. Такая вытянутость вредит вычислительной эффективности поиска, поэтому область поиска первым шагом приводят к более сферической форме:

(30)

используя приемлемое преобразование неопределенностей: Преобразование неопределенностей считается приемлемым, когда результатом преобразований T и являются целые числа. Такие матрицы сохраняют целочисленную природу неопределенностей. Для того чтобы область поиска имела более сферическую форму, строится такое T-преобразование, сохраняющее объем области, что неопределенности подвергаются как можно более сильной декорреляции. Используя треугольное преобразование левая часть квадратичного неравенства расписывается как сумма квадратов:

С левой стороны в неравенстве участвуют условные оценки неопределенностей , которые находятся как условные случайные целочисленные вектора . Из данного неравенства можно вывести оптимальные интервалы поиска по каждому измерению пространства . Интервалы задаются m-1 формулой:

(31)

Таким образом, определив интервалы возможных изменений вектора неопределенностей через (31), можно заметить, что область поиска будет содержать ограниченное количество векторов-кандидатов. Причем, число кандидатов не будет превышать . То есть, если нам позволяют вычислительные мощности, путем простейшего перебора в режиме постобработки, можно найти оптимального кандидата, удовлетворяющего условию минимизации (29). Поиск начинается с целочисленного вектора , который является простым округлением вещественнозначной оценки. На каждом шагу поиска осуществляется коррекция размера области поиска (изначально размер выбирается в зависимости от количества требуемых векторов-кандидатов). После того, как решение найдено в декоррелированных координатах, производится обратное отображение и целочисленные неопределенности вычисляются в исходных координатах.

На выходе метода получаются разрешенные целочисленные неопределенности (целочисленные вектора-кандидаты, с наименьшими отклонениями от исходного вещественнозначного) и отклонения векторов-кандидатов в смысле метрики, соответствующей матрице ковариации.

3. Специфика

При реализации данного алгоритма на практике следует учесть некоторые нюансы.

Во-первых, в математической модели было сделано допущение, что единичные вектора, направленные от приемников к одному и тому же спутнику практически коллинеарны друг к другу. Чтобы минимизировать ошибку от сделанного допущения, введем вектор коррекции:

- координаты вектора коррекции направления псевдодальности для спутника j (j пробегает значения от 1 до n, где n - количество спутников, видимых в данную эпоху i). Он вычисляется следующим образом:

где Hs - вектор, направленный от базового приемника к спутнику; Blest - вектор базовой линии.

Во-вторых, приходится учитывать разность тропосферных и ионосферных ошибок для базового и мобильного приемников. Подсчет разности тропосферных ошибок производится через выбор определенной модели тропосферы (UNB3m), в которой дана формула подсчета задержки проходящего сигнала при определенных значениях влажности, температуры, давления, дня года и высоты над уровнем моря. Для расчета ионосферных ошибок также существует модель задержки сигнала во время прохождения ионосферы.

Литература

1. J. Ashjaee, Ashtech XII GPS technology, Proceedings of IEEE PLANTS'90 Position Location and Navigation Symposium, Las Vegas, IEEE, New York, pp. 184-190.

2. J.D. Bossler, Clyde C. Goad, Peter L. Bender, Using the Global Positioning System (GPS) for geodetic positioning, Bulletin G.eod.esique, Vol. 54, 1980, pp. 553-563.

3. X.W. Chang and C.C. Paige, An orthogonal transformation algorithm for GPS positioning, SIAM J. Sci. Comp., Vol. 24., pp. 1710-1732, 2003.

4. C.C. Goad, Optimal filtering of pseudoranges and phases from single-frequency GPS receivers, Navigation, Journal of The Institute of Navigation, Vol. 37, Spring 1990, pp. 249-262.

5. G.H. Golub and C.F. Van Loan, Matrix Computations, 3rd ed., The Johns Hopkins University press, Baltimore, MD, 1996.

6. R. Hatch, The synergism of GPS code and carrier measurements, Proceedings of the Third International Symposium on Satellite Doppler Positioning, New Mexico State University, New Mexico, February 8-12, 1982, Vol. 2, pp. 1213-1231.

7. B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger, and J. Collins, GPS Theory and Practice, 5th ed., Springer, New York, 2001.

8. P.Y.C. Hwang and R.G. Brown, GPS navigation; combining pseudo-range with continuous carrierphase using a Kalman filter, Navigation, Journal of The Institute of Navigation, Vol. 37, pp. 181-196, 1990.

9. X.X. Jin, Algorithm for carrier-adjusted DGPS positioning and some numerical results, Journal of Geodesy, Vol. 71, pp. 411-422, 1997.

10. A. Kleusberg, Kinematic relative positions using GPS code and carrier beat phase observations, Manuscripta Geodaetica, Vol. 10, 1986, pp. 257-274.

Размещено на Allbest.ru

...