Размещено на http://allbest.ru

Задание

программа алгоритм функция

Численное определение экстремума функции по методу деления пополам.

Задан вид функции:

где e - константа 2,72.

Заданы коэффициенты a, b, c, d, f. Заданы отрезок поиска экстремума [x₁ x₂] и максимальная погрешность определения точки экстремума. Найти координаты (x,y) точки экстремума по методу деления пополам.

График - исследуемая функция y(x). Отмечаемая точка - точка экстремума.

Решение

В основе этого метода лежит свойство унимодальной функции , благодаря которому можно сокращать отрезок локализации точки минимума.

Пусть f(x) - непрерывная и унимодальная на отрезке [a,b] функция, принимающая во всех точках этого отрезка конечные значения. Пусть число пробных точек x1, x2, …, xn конечно, и для определения каждой точки xk можно использовать информацию о значениях функции во всех предыдущих точках x1, x2, …, xk - 1 . Положим a0 = a, b0 = b. Середина отрезка [a, b] = [a0, b0] находится в точке . Выберем две симметричные точки

x1 = , x2 =

Величина , удовлетворяющая условию 0 < < b - a , является параметром метода, как правило, - малая величина.

Вычислим значения функции в выбранных точках: f(x1) и f(x2). Определим новый отрезок локализации [a1, b1] следующим образом:

если f(x1) f(x2), то a1 = a0, b1 = x2;

если f(x1) > f(x2), то a1 = x1, b1 = b0.

Далее процедура деления отрезка [a1, b1] повторяется.

Деление продолжают до тех пор, пока половина длины отрезка [an, bn] не станет меньше заданной точности решения задачи , , т. е. пока не выполнится неравенство

< .

Тогда за приближение x* принимают середину отрезка [an, bn], т.е. x* .

Разработка алгоритма решения вычислительной задачи

Будем рассматривать метод половинного деления как простейший однопараметрический метод. Данный метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума функции используются только вычисленные значения функции.

Дана функция . Необходимо найти , доставляющий минимум (или максимум) функции на интервале с заданной точностью , т.е. найти

.

Запишем словесный алгоритм метода.

1. На каждом шаге процесса поиска делим отрезок пополам, - координата середины отрезка .

2. Вычисляем значение функции в окрестности вычисленной точки , т.е.

.

3. Сравниваем и и отбрасываем одну из половинок отрезка .

При поиске минимума:

Если , то отбрасываем отрезок , тогда .

Иначе отбрасываем отрезок , тогда .

При поиске максимума:

Если , то отбрасываем отрезок , тогда .

Иначе отбрасываем отрезок , тогда .

4. Деление отрезка продолжается, пока его длина не станет меньше заданной точности , т.е. .

Схема алгоритма метода представлена на рис 1.

На рис 1. - константа,

Рис.1. Блок-схема алгоритма.

Организация ввода-вывода.

В программе предусмотрено 2 варианта ввода данных:

- непосредственно с помощью ввода данных в поля «Еdit»(рис. 2):



Рис. 2 . Ввод данных с помощью формы

- с помощью файла (рис . 3):

Рис. 3. Ввод данных из файла.

Вывод данных реализуется 2 способами :

- в поле формы (рис.4)

- с помощью графика (рис. 5)



Рис.5 График функции.

Для сброса данных служит кнопка «Очистить», после нажатия которой можно вводить новые данные из файла или формы.

Контроль ошибочных ситуаций

Контроль ошибочных ситуаций реализуется с помощью вывода сообщений в отдельное окно:

Текст кода программы

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Button1: TButton;

Edit6: TEdit;

Edit7: TEdit;

Edit8: TEdit;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Button2: TButton;

Button3: TButton;

Label9: TLabel;

Button4: TButton;

Button5: TButton;

Label10: TLabel;

Label11: TLabel;

Label12: TLabel;

Button6: TButton;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

procedure Button4Click(Sender: TObject);

procedure Button3Click(Sender: TObject);

procedure Button5Click(Sender: TObject);

procedure Button6Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

i:integer;

a,b,c,d,f,eps,x1,x2,x,y1,y2,ymin:real;

fi:text;

buf:string;

implementation

uses Math, Unit2;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

Edit1.Text:='';

Edit2.Text:='';

Edit3.Text:='';

Edit4.Text:='';

Edit5.Text:='';

Edit6.Text:='';

Edit7.Text:='';

Edit8.Text:='';

Label9.Caption:='';

Label12.Caption:='';

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Edit1.text);

b:=StrToFloat(Edit2.text);

c:=StrToFloat(Edit3.text);

d:=StrToFloat(Edit4.text);

f:=StrToFloat(Edit5.text);

x1:=StrToFloat(Edit6.text);

x2:=StrToFloat(Edit7.text);

eps:=StrToFloat(Edit8.text);

repeat

x:=(x1+x2)/2;

y1:= a*sin(b*(x-eps)+c)+d*exp(f*(x-eps));

y2:= a*sin(b*(x+eps)+c)+d*exp(f*(x+eps));

if y1<y2 then x2:=x else x1:=x;

until abs(x2-x1) < eps;

x:=(x1+x2)/2;

ymin:=a*sin(b*x+c)+d*exp(f*x) ;

Label9.Caption:=FloatToStr(x)+' '+FloatToStrf(ymin,fffixed,6,4);

end;

procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);

begin

Form2.Show;

end;

procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);

begin

a:=StrToFloat(Edit1.text);

b:=StrToFloat(Edit2.text);

c:=StrToFloat(Edit3.text);

d:=StrToFloat(Edit4.text);

f:=StrToFloat(Edit5.text);

x1:=StrToFloat(Edit6.text);

x2:=StrToFloat(Edit7.text);

eps:=StrToFloat(Edit8.text);

repeat

x:=(x1+x2)/2;

y1:= a*sin(b*(x-eps)+c)+d*exp(f*(x-eps));

y2:= a*sin(b*(x+eps)+c)+d*exp(f*(x+eps));

if y1>y2 then x2:=x else x1:=x;

until abs(x2-x1) < eps;

x:=(x1+x2)/2;

ymin:=a*sin(b*x+c)+d*exp(f*x) ;

Label12.Caption:=FloatToStr(x)+' '+FloatToStrf(ymin,fffixed,6,4);

end;

procedure TForm1.Button5Click(Sender: TObject);

begin

Form1.Close();

Form2.Close();

end;

procedure TForm1.Button6Click(Sender: TObject);

begin

AssignFile(fi, 'data.mp');

Reset(fi); // открыть для чтения

begin

readln(fi, buf);

Edit1.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit2.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit3.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit4.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit5.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit6.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit7.text:=buf;

readln(fi, buf);

Edit8.text:=buf;

end;

CloseFile(fi);

end;

end.

Построение графика

unit Unit2;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs;

type

TForm2 = class(TForm)

procedure FormPaint(Sender: TObject);

procedure FormResize(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form2: TForm2;

bb,ff:real;

implementation

uses Unit1;

{$R *.dfm}

Function f(x:real):real;

begin

a:=StrToFloat(form1.Edit1.text);

bb:=StrToFloat(form1.Edit2.text);

c:=StrToFloat(form1.Edit3.text);

d:=StrToFloat(form1.Edit4.text);

ff:=StrToFloat(form1.Edit5.text);

f:=a*Sin(bb*x+c)+d*exp(x*ff);

end;

procedure GrOfFunc;

var

x1,x2:real; // границы изменения аргумента функции

y1,y2:real; // границы изменения значения функции

x:real; // аргумент функции

y:real; // значение функции в точке x

dx:real; // приращение аргумента

l,b:integer; // левый нижний угол области вывода графика

w,h:integer; // ширина и высота области вывода графика

mx,my:real; // масштаб по осям X и Y

x0,y0:integer; // точка - начало координат

begin

// область вывода графика

l:=10; // X - координата левого верхнего угла

b:=Form2.ClientHeight-20; // Y - координата левого верхнего угла

h:=Form2.ClientHeight-40; // высота

w:=Form2.Width-40; // ширина

x1:=0; // нижняя граница диапазона аргумента

x2:=10; // верхняя граница диапазона аргумента

dx:=0.01; // шаг аргумента

// найдем максимальное и минимальное значения

// функции на отрезке [x1,x2]

y1:=f(x1); // минимум

y2:=f(x1); // максимум

x:=x1;

repeat

y := f(x);

if y < y1 then y1:=y;

if y > y2 then y2:=y;

x:=x+dx;

until (x>=x2);

// вычислим масштаб

my:=h/abs(y2-y1); // масштаб по оси Y

mx:=w/abs(x2-x1); // масштаб по оси X

// оси

x0:=l;

y0:=b-Abs(Round(y1*my));

with form2.Canvas do

begin

// оси

MoveTo(l,b);LineTo(l,b-h);

MoveTo(x0,y0);LineTo(x0+w,y0);

{TextOut(l+5,b-h,FloatToStrF(y2,ffGeneral,6,3));

TextOut(l+5,b,FloatToStrF(y1,ffGeneral,6,3));}

// построение графика

x:=x1;

repeat

y:=f(x);

Pixels[x0+Round(x*mx),y0-Round(y*my)]:=clRed;

x:=x+dx;

until (x>=x2);

end;

end;

procedure TForm2.FormPaint(Sender: TObject);

begin

GrOfFunc;

end;

procedure TForm2.FormResize(Sender: TObject);

begin

// очистить форму

form2.Canvas.FillRect(Rect(0,0,ClientWidth,ClientHeight));

// построить график

GrOfFunc;

end;

end.

Руководство пользователя по работе с программой

1. Для работы программы необходимо наличие ПК с установленной операционной системой WINDOWS _XP и выше.

2. Для запуска приложения достаточно загрузить Project1.exe из папки «Вариант 22».

3. Приложение имеет интуитивно-понятный интерфейс. Все функции, реализуемые приложением, привязаны к объектам управления формы.

4. Ввод данных производится с помощью непосредственного ввода данных в соответствующие подписанные поля или из файла

5. Для расчета экстремумов функции на заданном интервале необходимо нажать на соответствующие кнопки.

6. Для получения графика функции необходимо нажать на соответствующую кнопку «График»

7. Для сброса данных необходимо нажать кнопку «Очистить»

8. Для выхода из приложения необходимо нажать кнопку «Выход».

Примеры работы программы

Размещено на Allbest.ru

...