Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы оптимальных решений

Методические указания и контрольные задания для студентов II курса

заочной формы обучения всех специальностей

и направлений



Требования к оформлению контрольной работы

Контрольная работа состоит из одного теоретического и двух практических заданий.

Теоретическая часть - написание реферата объемом не более 8-10 страниц на листах бумаги (в обложке) формата А4. Текст должен быть машинописным. Страницы должны быть пронумерованы, на каждой из них справа оставлены поля размером 2,5ч3 см для замечаний и предложений рецензента. Шрифт - 14, одинарный межстрочный интервал, абзацный отступ - 1 см, выравнивание текста - по ширине. В конце реферата приводится список использованной литературы, ставится подпись и дата выполнения.

На титульном листе (Приложение А) должны быть указаны: название кафедры, название дисциплины и темы реферата, номер варианта для написания реферата и параметры для исходных данных к практическим заданиям, ФИО студента, № группы, № зачетной книжки студента, ФИО рецензента. В конце работы ставится подпись и дата выполнения.

Каждое практическое задание должно быть решено «вручную» и с использованием Excel. Порядок решения должен быть оформлен в пояснительной записке на листах бумаги (в обложке) формата А4. При решении задач «вручную» нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений, т.е. ход решения следует излагать подробно, выполняя промежуточные вычисления и объясняя выполненные действия. Текст, таблицы, формулы и графики должны быть созданы на компьютере. Решение задач в Excel необходимо представить на диске или можно в распечатанном виде, но с обязательными распечатками (или скриншотами) таблиц Excel с условиями, решениями, отчетами, скриншотами окна «Поиск решения», а также с пояснениями используемых в ячейках формул и функций. Диск подписывается, вкладывается в конверт и сшивается вместе с пояснительной запиской. В пояснительной записке должны быть выводы и анализ полученных решений.

Не позднее, чем за 10-15 дней до начала экзаменационной сессии контрольная работа должна быть выслана в адрес института для регистрации в деканате УФФ. В противном случае студент не будет допущен к зачетам и экзаменам.

В случае незачета работы студент должен получить ее в деканате УФФ, исправить все отмеченные в рецензии ошибки и недочеты, внести в решения рекомендуемые изменения или дополнения и предоставить работу для повторной проверки. игра стратегия программирование транспортный

Теоретическая часть - реферат по заданной теме

Тема реферата Теория игр. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.

Формирование исходных данных к практическим задачам

m=1 и n=1

1. Задача линейного программирования

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность a_ij i-го вида сырья для производства каждой единицы j-го вида продукции, запас b_i соответствующего вида сырья и прибыль c_j от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья	Виды продукции	Запасы сырья
	I	II
A	a11 = n	a12 = 2	b1 = mn + 5n
B	a21 = 1	a22 = 1	b2 = m + n + 3
C	a31 = 2	a32 = m + 1	b3 = mn + 4m + n + 4
прибыль	c1 = m + 2	c2 = n + 2
план (ед.)	x1	x2

1. Для производства двух видов продукции I и II с планом x₁ и x₂ единиц составить математическую модель, т.е. целевую функцию прибыли F и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

2. Найти оптимальный план X* = (x₁, x₂) производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль F_max. Определить остатки каждого вида сырья. Задачу решить симплекс-методом.

3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим методом. Определить максимальную прибыль F_max.

4. Составить математическую модель двойственной задачи (систему ограничений по единичной прибыли и целевую функцию общих издержек на сырье Z); найти оптимальный набор цен на сырьё Y*=(y₁, y₂, y₃), обеспечивающий минимум общих затрат на сырье Z_min.

5. Провести анализ первоначальных и дополнительных переменных исходной и двойственной задач, сделать выводы.

6. Решить задачу оптимизации в MS Excel в режиме «поиск решения». Провести исследование полученного решения, используя отчеты по результатам, по устойчивости, по пределам; сделать выводы. Ответы, полученные в результате решений «вручную» и с помощью Excel, должны совпадать.

Решение типовой задачи с использованием Excel представлено в Приложении B.

2. Транспортная задача

На трех складах А₁, А₂ и А₃ хранится а₁=100, а₂=200, а₃=60+10n единиц одного и того же груза, соответственно. Этот груз требуется доставить трем потребителям В₁, В₂ и В₃, заказы которых b₁=190, b₂=120, b₃=10m единиц груза, соответственно. Стоимости перевозок c_ij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:



Потребности Запасы	В1	В2	В3
	b1=190	b2=120	b3=10m
А1	а1 = 100	4	2	m
А2	а2 = 200	n	5	3
А3	а3 = 60 + 10n	1	m + 1	6

1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность

в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи открытой или закрытой. Если модель открытая, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад А₄ с запасом а₄=b-а в случае а<b или фиктивного потребителя В₄ с потребностью b₄=a-b в случае а>b и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.

2. Составить первоначальный план перевозок методом северо-западного угла и методом наименьшей стоимости.

3. Методом потенциалов проверить первоначальный план перевозок на оптимальность в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это не так, то составить оптимальный план

,

обеспечивающий минимальную стоимость перевозок . Найти эту стоимость.

4. Решить задачу в MS Excel в режиме «поиск решения». Ответы (значения стоимости перевозок), полученные в результате решений «вручную» и с помощью Excel, должны совпадать. Оптимальные планы перевозок могут не совпадать.

Решение типовой задачи с использованием Excel см. в Приложении С.

Приложение А

Пермский институт (филиал)

ФГБОУ ВПО «Российский государственный торгово-экономический университет»

Кафедра высшей и прикладной математики

Контрольная работа

по дисциплине:

«Методы оптимальных решений»

на тему:

«Численные методы поиска стационарных точек в оптимизационных задачах: градиентные методы»

Вариант 5 (m=4, n=5)

Приложение B

Применение MS Excel при решении задач оптимизации (поиск решения)

1. Составление плана выгодного производства

Постановка задачи

Предприятие производит 3 вида продукции А, В и С. Для их изготовления используются три вида ресурсов Р1, Р2, Р3, объемы которых ограничены. Известны потребности в ресурсах для выпуска единицы каждого j-го вида продукции («ресурсные коэффициенты» или «нормы расхода сырья на производство единицы продукции» r_ij). Ресурсные коэффициенты для каждого вида продукции приведены в табл.1.

Известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого j-го вида продукции (единичная прибыль c_j). Реализация единицы продукции А дает прибыль c₁=60 $, продукции В -- c₂=70 $ и продукции С -- c₃=120 $. Заданы также граничные значения объемов выпуска каждого вида продукции (верхняя и нижняя границы). Виды продукции В и С можно производить неограниченно в любом количестве (верхние границы их объемов равны плюс бесконечности).

Необходимо определить оптимальное количество выпуска каждого вида продукции x_j, при котором будет получена максимальная общая прибыль.

Таблица 1

Вид ресурса Рi	ресурсные коэффициенты rij	Запас ресурса (ограничения по ресурсам) bi
	Продукция А	Продукция В	Продукция С
Р1	1	1	1	16
Р2	4	6	10	100
Р3	6	5	4	110
Единичная прибыль	60	70	120



Математическую модель задачи представим в виде набора уравнений:

Уравнение для целевой функции: F = У c_j x_j > max;

где: c_j - единичная прибыль, целевые коэффициенты; x_j - объемы производства, независимые переменные.

Для рассматриваемой задачи уравнение будет иметь вид:

(Итоговая общая прибыль)=(Общая прибыль по А)+(Общая прибыль по В)+(Общая прибыль по С) > max

Здесь: (Общая прибыль по А) = (единичная прибыль от А) * (объем производства А)

(Общая прибыль по В) = (единичная прибыль от В) * (объем производства В)

(Общая прибыль по С) = (единичная прибыль от С) * (объем производства С)

или, используя данные из таблицы 1, запишем это уравнение в виде:

F = 60·x₁ + 70·x₂ + 120·x₃ > max

Здесь: x₁, x₂, x₃ - объемы производства продукции А, В и С, соответственно.

Целевыми коэффициентами c_j в данном уравнении являются значения единичной прибыли (60, 70, 120).

Ограничения на ресурсы:

(Расход ресурса 1) = (объем производства А) * (норма расхода ресурса 1 на А) + (объем производства В) * (норма расхода ресурса 1 на В) + (объем производства С) * (норма расхода ресурса 1 на С)

или для каждого вида ресурса Р_i:

Р1 = 1 · x₁ + 1 · x₂ + 1 · x₃ ? 16

Р2 = 4 · x₁ + 6 · x₂ + 10 · x₃ ? 100

Р3 = 6 · x₁ + 5 · x₂ + 4 · x₃ ? 110

Ограничения на объемы производства по видам продукции:

1 ? x₁ ? 4

x₂ ? 2

x₃ ? 2

Две последние записи означают, что для видов продукции В и С верхней границы нет, их можно производить в любых количествах, поскольку известно, что их сбыт всегда обеспечен.

Порядок решения

1. Создайте электронную расчетную таблицу как на рис.1. Введите в нее исходные данные и формулы в соответствии с условиями задачи.

Расчетные формулы имеют вид:

для ячейки F5: =В5*$В$10+С5*$С$10+D5*$D$10. Скопируйте формулу в ячейки F6, F7.

Для независимых переменных x₁, x₂, x₃ (объемов производства каждого вида продукции) зарезервированы ячейки В10:D10. Решение должно определить оптимальные значения x₁*, x₂*, x₃*, которые будут содержаться в этих ячейках. Так как значения этих переменных пока неизвестны и будут подобраны в процессе решения задания, то ячейки B10:D10 останутся пока пустыми.

Для заполнения 16-й строки (Общая прибыль) в ячейку В16 следует ввести формулу =В8*В10 и скопировать ее для ячеек С16 и D16.

В ячейку Е16 (Итоговая общая прибыль) введите формулу =СУММ(В16:D16).

Необходимо отметить, что простые ограничения на независимые переменные, которые называются «Верхняя граница» и «Нижняя граница», в принципе, могут быть введены в таблицу (В13:D14) так же, как и ограничения на ресурсы. Однако Excel дает возможность вводить простые ограничения непосредственно в процессе решения с помощью диалогового окна Поиск решения. Поэтому пока воздержимся от ввода указанных ограничений в таблицу.

Рис. 1. Исходные данные

2. Активизируйте режим Поиск решения и введите параметры, как на рис. 2.

В качестве целевой ячейки укажите ячейку Е16 (Итоговая общая прибыль) и задайте максимальное значение суммарной прибыли.

В качестве изменяемых ячеек укажите ячейки B10:D10 (Объемы производства по видам продукции А, В, С).

Укажите ограничения на запас ресурсов $F$5:$F$7<=$E$5:$E$7 и простые ограничения на независимые переменные (Объемы производства продукции А, В, С) (рис. 2).

Рис. 2. Задание условий и ограничений для поиска решений



Установите параметры поиска решения как на рис.3. Задайте Линейную модель расчета, ОК.

Рис. 3. Задание параметров поиска решения

Запустите процесс вычислений кнопкой Выполнить. Решение будет как на рис. 4.

Рис. 4. Найденное решение максимизации прибыли при заданных ограничениях

Из полученного решения можно сделать выводы: оптимальный план производства предусматривает выпуск 4,0 ед. продукции А (соответствует верхней границе ограничений по объемам производства), 2,0 ед. продукции В (соответствует нижней границе ограничений по объемам производства) и 7,2 ед. продукции С. Полученная суммарная прибыль при этом составит 1244,0 $. Продукция В является неэффективной для производства. Ресурс Р2 является дефицитным, так как используется полностью. Имеется возможность снизить запас ресурса Р1 на 2,8 ед. или запас ресурса Р3 на 47,2 ед. без сокращения итоговой прибыли.

3. Сохраните созданный документ под именем «План производства».

2. Исследование полученного решения оптимизационной задачи

Часто получения оптимального решения задачи оказывается недостаточно. Например, пользователя может интересовать, насколько чувствительным является полученное оптимальное решение к изменению различных параметров исходной модели. Этому способствуют предлагаемые в окне Результаты поиска решения отчеты. Таких отчетов три: отчет по результатам, отчет по устойчивости, отчет по пределам (рис.1). Данное окно появляется после запуска вычислений кнопкой Выполнить из окна Поиск решения.

Рис.1.

Отчет по результатам. Откроем файл «План производства», очистим содержимое изменяемых ячеек В10:D10 и снова запустим Поиск решения. Далее выведем отчет по результатам решения задачи по определению плана выгодного производства, когда прибыль максимальна. Данный отчет выводится на новый рабочий лист «Отчет по результатам» и включает три таблицы (рис. 2).

Рис. 2. Отчет по результатам

В первой таблице «Целевая ячейка» приводятся исходное и окончательное (оптимальное) значение целевой функции (Итоговая прибыль), которая находится в ячейке Е16 - целевой ячейке.

Во второй таблице «Изменяемые ячейки» приводятся исходные и окончательные значения оптимизируемых переменных x₁, x₂, x₃ (объемов производства видов продукции), которые находятся в ячейках В10:D10.

Третья таблица «Ограничения» содержит информацию об ограничениях. В столбце «Значение» помещены оптимальные значения потребных ресурсов и оптимизируемых переменных.

Столбец «Формула» содержит записи ограничений в форме ссылок на используемые ячейки.

Столбец «Статус» определяет: связанными или несвязанными являются те или иные ограничения. Под «связанными» понимаются ограничения, которые реализуются в решении в виде жестких равенств. Заметим, что Ресурс2 в оптимальном решении используется полностью (без остатка) и поэтому является связанным, т.е. дефицитным.

Столбец «Разница» для ресурсных ограничений определяет остаток используемого ресурса (например, Ресурс2 исчерпан). Для ограничений по оптимизируемым переменным x_i (объемам выпуска продукции) здесь указывается разность между оптимальным значением x_i^* и верхней или нижней границей. Если эта разность равна нулю, тогда объем производства данного вида продукции считается связанным (x₁^* продукции А - по верхней границе «4», x₂^* продукции В - по нижней границе «2»).

Связанность ограничений заставляет обычно исследователя отказаться от дальнейших поисков улучшения целевой функции.

Отчет по устойчивости. Очистим содержимое изменяемых ячеек В10:D10, запустим Поиск решения и выберем Тип отчета - Устойчивость. Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц с информацией об изменяемых (оптимизируемых) переменных (Объемах производства) и ограничениях модели (на расходы ресурсов) (рис.3).

Рис.3. Отчет по устойчивости для линейных задач

Информация в отчете позволяет оценить, насколько чувствительным является полученное решение (Итоговая прибыль) к возможным изменениям параметров модели.

Верхняя таблица содержит информацию об изменяемых ячейках, содержащих значения объемов производства продукции. В столбце «Результирующее значение» указаны их оптимальные значения. Величина показателя «Нормированная (редуцированная) стоимость» определяется как разность между единичной прибылью и оценкой снижения общей прибыли за счет отвлечения ресурсов для производства данного вида продукции, взятой по теневым ценам этих ресурсов:

(Нормир. стоимость продукции А) = (Единичная прибыль от А) - {(Теневая цена Р1) * (норма расхода Р1 на А) + (Теневая цена Р2) * (норма расхода Р2 на А) + (Теневая цена Р3) * (норма расхода Р3 на А)}

Для нашего случая значения нормированной стоимости для каждого вида продукции:

(Нормир. стоимость продукции А) = 60 - (0 · 1 + 12 · 4 + 0 · 6) = 12

(Нормир. стоимость продукции В) = 70 - (0 · 1 + 12 · 6 + 0 · 5) = - 2

(Нормир. стоимость продукции С) = 120 - (0 · 1 + 12 · 10 + 0 · 4) = 0

Значения «Целевого коэффициента» для рассматриваемого примера являются показателями единичной прибыли - от производства единицы продукции данного вида.

В следующих двух столбцах указаны «Допустимое увеличение и уменьшение» целевых коэффициентов (значений единичной прибыли) без изменения найденного оптимального решения. Так, для нашего случая коэффициент c₁, равный 60, может быть увеличен на 30 порядков (до значения, равного 60+10³⁰) или уменьшен на 12 единиц (до значения 48) без изменения найденного решения (при сохранении без изменений всех остальных переменных) - оптимальных значений объемов производства.

Проверьте это утверждение, повторно решив задачу для любого значения коэффициента c₁ в диапазоне [48, (60+10³⁰)]. Поскольку 60+10³⁰ является бесконечно большим числом, то следует говорить о наличии лишь ограничения снизу на значение целевого коэффициента. Аналогично определяются диапазоны возможного изменения целевых коэффициентов при остальных переменных (c₂ и c₃).

Вторая таблица содержит информацию по ограничениям. Столбец «Результирующее значение» содержит данные о потребностях в ресурсах для оптимального решения. Во 2-м столбце указаны «Теневые цены» на используемые виды ресурсов. Далее - ограничения на объем используемых ресурсов (сколько их имеется в наличии). Последние два столбца содержат данные о возможном изменении объемов имеющихся ресурсов.

Параметр «Теневая цена» позволяет выяснить, как изменится значение целевой функции, если ослабить то или иное ограничение. Например, необходимо определить, как увеличится прибыль, если имеющийся объем ресурса Р2 был бы увеличен. Теневая цена ограничения выражает величину изменения целевой функции при увеличении имеющегося объема ресурсов данного вида на единицу (при условии, что все остальные переменные не изменятся).

Рассмотрим теневую цену на ресурс Р2, который имеет связанное ограничение (используется полностью). Из отчета по устойчивости (рис.3) видно, что если увеличивать имеющееся количество ресурса Р2 (100) на некоторую величину, находящуюся в пределах от 0 до 28, оптимальное значение целевой функции (максимум Итоговой прибыли) увеличится на 12,0 за каждую единицу увеличения объема ресурса Р2. Если же уменьшить Р2 на некоторую величину в пределах от 0 до 52, то максимум итоговой прибыли уменьшится на 12,0 за каждую единицу уменьшения Р2.

Допустим, решено увеличить имеющийся запас Р2 на 25 ед. (допустимое увеличение составляет 28) и вправе ожидать увеличения максимальной итоговой прибыли на 12·25=300, т.е. 1244+300=1544. Это можно проверить при повторном решении модели, внеся изменение в ячейку Е6 =125 (вместо 100) (рис.4).



Рис. 4. Решение, полученное после увеличения имеющегося объема ресурса Р2 на 25 единиц

На рис. 4 видно, что получены новые значения оптимизируемых переменных x₁*=4, x₂*=2, x₃*=9,7, поскольку коррекция одного из ограничений изменила область существования решения.

Необходимо понимать, что для увеличения прибыли на 300 ед. путем увеличения объема связанного ресурса Р2 на 25 ед. надо за каждую его дополнительную единицу платить надбавку, максимальная величина которой равна теневой цене: 300/25=12. Даже заплатив такую максимальную надбавку (хотя реально она должна быть меньше), будет получена та же прибыль, что была до увеличения объема.

Теперь рассмотрим теневые цены на несвязанные ограничения, по которым ресурсы в оптимальном решении используются не полностью (недефицитные ресурсы Р1 и Р3). Теневая цена ресурса Р1 равна 0 при возможном увеличении его объема до бесконечности (допустимое увеличение 1Е+30) или уменьшении в пределах от 0 до 2,8 (допустимое уменьшение). При этом максимальное значение итоговой прибыли не изменится. Это связано с тем, что оптимальное решение оставляет 2,8 ед. ресурса Р1 неиспользованными, и дальнейшее увеличение не может улучшить оптимального решения. Отсюда следует, что можно сократить имеющийся объем Р1 (16) на 2,8 ед., не оказывая влияния на оптимальное решение. Таким же образом можно сократить имеющийся объем Р3 (110) на 47,2 ед. без изменения максимальной итоговой прибыли.

Проверьте последнее утверждение при повторном решении модели, устанавливая в ячейке Е7 значение, равное 110-40=70, далее, значение, равное 110-60=50.

Сохраните таблицу в виде как на рис. 4, задав ей имя «План производства_2».

Отчет по пределам. Очистим содержимое изменяемых ячеек В10:D10 (рис.4), запустим Поиск решения и выберем Тип отчета - Пределы. Получим отчет по пределам как на рис.5.

Этот отчет содержит оптимальные значения целевой функции (прибыли) F_max=1544 и независимых переменных (объемов производства) x₁* = 4, x₂* = 2, x₃* = 9,7.

Отчет также показывает, как изменится значение целевой функции, если независимые переменные будут принимать свои предельные (нижние и верхние) значения при условии, что остальные независимые переменные остаются без изменений и выполняются все ограничения.

Рис.5. Отчет по пределам

При исследовании результатов решения оптимизационных задач необходимо учитывать следующие закономерности.

- Если результирующие значения оптимизируемых переменных находятся внутри интервала их ограничений (как в последнем примере x₃*, x₄*), они всегда имеют равный нулю показатель нормированной стоимости.

- При решении задач максимизации переменные, оптимальные значения которых совпадают с нижней границей (x₁*, x₂*), имеют отрицательную или равную нулю нормированную стоимость;

переменные, оптимальные значения которых совпадают с верхней границей (x₁* из 1-го примера x₁*=4), имеют положительную или равную нулю нормированную стоимость.

При решении задач минимизации все наоборот.

- Теневые цены ресурсов определяют прирост (в задаче минимизации - сокращение) целевой функции при увеличении (в задаче минимизации - при уменьшении) на единицу имеющегося объема дефицитных ресурсов (Р2, Р3).

- Недефицитные ресурсы (Р1) имеют нулевую теневую цену.

- Виды продукции, имеющие отрицательную нормированную стоимость (А, В), являются неэффективными для производства.

- Одновременное изменение нескольких коэффициентов целевой функции (на рис.2 значения единичной прибыли 60, 70, 120, 127) при сохранении найденного оптимального решения осуществимо при выполнении следующего условия:

У k_j ? 1,

где: k_j = Дc_j / I_j, если Дc_j ? 0, k_j = -Дc_j / D_j, если Дc_j ? 0,

Дc_j - планируемое изменение коэффициента целевой функции c_j для переменной x_j,

I_j, D_j, - допустимые увеличение и уменьшение коэффициента c_j в соответствии с отчетом по устойчивости.



Приложение C

Решение транспортной задачи в EXCEL (Поиск решения)

Исходные данные транспортной задачи:

- внутри таблицы - удельные затраты на перевозку единицы груза (c_ij),

- слева - мощности поставщиков (a_i),

- сверху - мощности потребителей (b_j).

Мощности поставщиков (ai)	Мощности потребителей (bj)
	31	52	17	20
35	5	4	3	1
40	2	3	5	8
40	6	8	7	10
50	5	6	7	2

Найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями (x_ij).

Суммарные запасы больше суммарных потребностей (задача открытая):

Решение:

1. Создайте форму для ввода условий задачи. Так как задача открытая, то необходимо ввести фиктивного поставщика с мощностью a₅=165-120=45, а в 5-м столбце записать нулевые тарифы.

Рисунок 1. Создание формы для ввода исходных данных

2. В ячейку С14 введите формулу для вычисления значения целевой функции: =СУММПРОИЗВ (В2:F5;В10:F12).

3. В ячейку A2 записать формулу суммирования значений четырех изменяемых ячеек второй строки: =СУММ(В2:F2). Копировать формулу в ячейки А3:А5 (ячейки наличия груза).

4. Аналогично по потребителям: в ячейку В6 суммировать значения изменяемых ячеек первого потребителя =СУММ(В2:В5). Скопировать формулу в ячейки С6:Е6 (ячейки мощностей потребителей). Форма примет вид, показанный на рисунке.

Рис.2. Готовая форма для Поиска решения



5. Перейти в режим Поиск решения (Данные - Поиск решения). Установить параметры как на рисунке:

Все грузы должны быть перевезены т.е. А2:А5 = А9:А12.

Все потребности должны быть удовлетворены, т.е. В6:F6 = В8:F8.

6. Нажать кнопку Параметры и в открывшемся окне установить неотрицательные значения и линейная модель, ОК, Выполнить, ОК.

Результаты расчетов оптимального плана перевозок отражен в «Матрице перевозок (изменяемые ячейки)» (рис.3):

Размещено на Allbest.ru

...