Представление информации в вычислительных машинах

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Представление информации в вычислительных машинах

Представление текста

Информация в форме текста обычно представляется с помощью кода, причем каждому символу (например, букв алфавита или знаку пунктуации) присваивается уникальная комбинация двоичных разрядов. В этом случае текст буде представлен как длинный ряд битов, в котором следующие друг за другом комбинации битов отражают последовательность символов в исходном тексте.

Стандартный код для обмена информацией (ASCII), имеет большую популярность. В этом коде комбинации двоичных разрядов длиной семь бит используются для представления строчных и прописных букв английского алфавита, знаков пунктуации, цифр от 0 до 9, а также кодов управления передачей информации (перевод строки, возврат каретки и табуляция). В наше время код ASCII часто употребляется в расширенном восьмиразрядном формате, который получается посредством добавления нуля в старший конец каждого семиразрядного кода. Благодаря этому можно получить не только коды, размер которых соответствует типичной однобайтовой ячейке памяти, но и 128 новых дополнительных комбинаций двоичных разрядов (которые получаются в результате добавления в старший конец бита со значением 1). Сегодня такие коды, которые способны представлять документы на разных языках (Unicode). В этом коде для представления каждого символа используется комбинация из 16 двоичных разрядов. В результате кодировка Unicode включает 65 536 различных двоичных кодов, что достаточно для представления всех широко употребляемых китайских и японских символов. Международная организация по стандартизации (ISO) разработала код, способный соперничать даже с кодировкой Unicode. Здесь для выражения символов используются комбинации из 32 бит, в результате чего этот код позволяет представить более 17 миллионов символов.

Представление изображений. При растровом методе изображение представляется как совокупность точек, называемых пикселями. Т.е. изображение кодируется в виде длинных строк битов которые представляют ряды пикселей в изображении. При этом каждый бит равен 0 или 1, в зависимости оттого, является ли соответствующий пиксель черным или белым. Для включения информации о цвете изображений каждый пиксель представляется комбинацией битов, определяющей его цвет. Большинство периферийных устройств преобразует цветные изображения в графические файлы с растровым форматом. Чаще всего эти устройства записывают цвет каждого пикселя, раскладывая его на три составляющие -- красную, зеленую и синюю, соответствующие трем первичным цветам. Для передачи интенсивности каждой компоненты обычно используется один байт. Поэтому для представления каждого пикселя исходного изображения требуются три байта. кодирование пиксель растровый

Формат «три байта на пиксель» означает, что для хранения изображения, в котором 1280 рядов по 1024 пикселя (фотография обычного размера), потребуется несколько мегабайт памяти, что существенно превышает размер стандартной дискеты. Одним из недостатков растровых методов является трудность пропорционально изменения размеров изображения. В сущности, единственный способ увеличить изображение -- это увеличить сами пиксели. Однако это приводит к появлению зернистости. Векторные методы позволяют избежать проблем масштабирования. В этом случае изображение представляется в виде совокупности линий и кривых. Устройству передаете подробное описание того, как расположены образующие изображение линии и кривые. На основе этих данных устройство создает готовое изображение. С помощью подобной технологии описываются различные шрифты, поддерживаемые современными принтерами и мониторами. Они позволяют изменять размер символов в широких пределах и по этой причине получили название масштабируемых шрифтов (True Type, PostScript). Векторные методы также широко применяются в автоматизированных системах проектирования (CAD), которые отображают на экране мониторов чертежи сложных трехмерных объектов и предоставляют средства манипулирования ими. Однако векторная технология не позволяет достичь фотографического качества изображений объектов, как при использовании растровых методов. Именно поэтому в современных цифровых фотокамерах используются растровые методы представления изображения.

Представление целых чисел

Двоичный дополнительный код

На сегодняшний день наиболее распространенной системой представления целых чисел в компьютерах является двоичный дополнительный код, в котором дл представления каждого числа используется фиксированное количество битов. В настоящее время данная система чаще всего реализуется с использованием, для представления любого числа, 32-х двоичных разрядов. Подобное решение позволяет предоставить широкий диапазон целых чисел, однако демонстрация его работы вызывает определенны затруднения. Поэтому при изучении свойств двоичного дополнительного кода мы будем оперировать числами меньшей длины. Построение подобной системы начинается с записи строки нулей, количество которых равно числу используемых двоичных разрядов. Далее ведется обычный двоичный отсчет до тех пор, пока не будет получено значение состоящее из единственного нуля, за которым следуют лишь единицы. Полученные комбинации будут представлять положительные числа 0, 1, 2, 3, ... . Для представления отрицательных чисел выполняется обратный отсчет, начиная со строки из всех единиц соответствующей длины. Обратный счет продолжается до тех пор, пока не будет получена строка, состоящая из одной единицы, за которой будут следовать все нули. Полученные комбинации будут представлять числа -1, -2, -3, ... . (Если вам покажется трудным вести обратный отсчет в двоичной системе счисления, можно отсчитывать комбинации в обратном порядке, начиная со строки с одной единицей и всеми нулями заканчивая строкой, состоящей из одних единиц.) В дополнительном двоичном коде крайний левый бит определяет знак представляемой числовой величины, поэтому этот бит принято называть знаковым разрядом (отрицательные числа представляются комбинациями со знаковым битом, равным 1, а положительные числа -- комбинациями со знаковым битом, равным 0). В двоичном дополнительном коде очень удобно представлена взаимосвязь между комбинациями битов, представляющими положительные и отрицательные значения, одинаковые по модулю. Последовательность битов оказывается идентичной при чтении справа налево до первой единицы включительно. С этой позиции и далее коды являются дополнительными друг другу. (Дополнением двоичной комбинации называется такая комбинация, которая получается в результате изменения всех нулей в исходном значении на единицы, а всех единиц на нули. Например, двоичные комбинации 0110 и 1001 являются дополнительными друг другу). Например в четырехразрядном коде обе битовые комбинации, представляющие числа 2 и -2, заканчиваются на 10, однако комбинация, представляющая число 2, начинается с 00 тогда как комбинация, представляющая число -2, начинается с 11. Данное наблюдение позволяет сформулировать алгоритм взаимного преобразования битовых комбинаций, представляющих положительные и отрицательные числа, имеющие одно и то же значение по модулю. Достаточно просто копировать исходную комбинацию справа налево до тех пор, пока не будет встречена единица, а затем последовательно заменять значения оставшихся битов их дополнениями.

Таблица 1. Схемы кодирования в двоичном коде

Ясное понимание описанных выше основных свойств двоичного дополнительного кода позволяет также сформулировать алгоритм преобразования значений этого кода в десятичное представление. Если битовая комбинация имеет нулевой знаковый бит, то это значение рассматривается просто как обычное двоичное число. Например, битовая комбинация 0110 представляет число 6, поскольку комбинация битов 110 является двоичным представлением числа 6 Если битовая комбинация содержит знаковый бит, равный единице, то она представляет отрицательное число, и нам остается лишь определить абсолютную величину этого числа. Это выполняется посредством записи исходной комбинации справа налево, вплоть до первой встретившейся единицы, после чего для оставшихся битов, в порядке и следования, записываются дополнительные значения. Полученная комбинация битов дешифруется как обычное двоичное число.

Например, чтобы определить десятичное значение комбинации 1010, мы, прежде всего, отмечаем, что это значение является отрицательным, так как исходная комбинация содержит единицу в знаковом бите. Затем исходная комбинация преобразуется в комбинацию 0110, которая представляет собой двоичное число 6. Теперь можно сделать окончательно заключение, что исходная двоичная комбинация представляет число -6.

Сложение чисел в двоичном дополнительном коде

Чтобы сложить числа, представленные в двоичном дополнительном коде, следует использовать тот же алгоритм, что и для сложения обычных двоичных чисел. Однако нужно учесть тот факт, что в этом коде все представляемые числа, включая и искомый результат, имеют одинаковую длину. Это означает, что, при суммировании представленных в этом коде чисел, любой бит переноса, появляющийся на левом конце результирующего значения при сложении самых старших разрядов, должен отбрасываться. Например, при суммировании битовых комбинаций 0101 и 0010 будет получен результат 0111, а при сложении комбинаций 0111 и 1011 -- результат 0010 (0111 + 1011 = 10010, после чего результат усекается до 0010). В каждом случае исходные числовые значения сначала преобразовываются в четырехразрядный двоичный дополнительный код, а затем выполняется операция суммирования, согласно описанному выше алгоритму. Полученный результат вновь преобразуется в десятичное значение. Обратите внимание, если бы при сложении использовался традиционный метод, которому нас обучали еще начальной школе, то для решения третьей задачи потребовались бы совершенно иные действия (операции вычитания), отличные от используемых в двух предыдущих задачах. Однако за счет преобразования исходных данных в двоичные дополнительные коды можно вычислить результат с помощью одного и того же алгоритма сложения. Таким образом, основным преимуществом двоичного дополнительного кода является то, что операция сложения для любых целых чисел со знаком осуществляется с помощью одного и того же алгоритма. В отличие от учеников начальной школы, которые должны вначале освоить операцию сложения, а затем операцию вычитания, машины, в которых используется двоичный дополнительный код, должны уметь только суммировать числа и изменять знак числа на обратный. Например, операция вычитания 7-5 аналогична операции сложения 7 + (-5). Если машине потребуется вычесть число представленное битовой комбинацией 0101) из числа 7 (представленного битовой комбинацией 0111), то она сначала поменяет знак числа 5 на -5 (представляемое как битовая комбинация 1011), а затем выполнит операцию сложения для значений 0111 и 1011. В результате будет получено значение 0010, представляющее десятичное число 2.

Из этого примера видно, что при использовании двоичного дополнительного кода необходимо реализовать электронные схемы только для осуществления операций сложения и отрицания. Этого будет достаточно для выполнения как операций сложения, так и вычитания.

Двоичная нотация с избытком

Теперь давайте рассмотрим двоичную нотацию с избытком, которая является еще одним способом представления целых чисел. Каждое число в этой нотации представлено битовой комбинацией одной и той же длины. Чтобы сформировать представление числа двоичной нотации с избытком, сначала выбирается длина битовой комбинации, а затем в порядке счета в обычной двоичной системе последовательно записываются все возможные битовые комбинации, имеющие установленную длину. При анализе полученного результата можно заметить, что первая битовая комбинация с единицей в старшем разряде находится почти в середине списка. Именно он выбирается в этой нотации для представления числа 0. Все последующие комбинации с единицей в старшем разряде будут представлять числа 1, 2, 3,... соответственно. Предыдущие комбинации в обратном направлении используются для представления чисел -1, -2, -3,... Кодовые значения, получаемые при использовании четырехразрядных битовых комбинаций, показаны в табл.2. В частности, число 5 представлено комбинацией 1101, а число -5 представлено комбинацией 0011. (Обратите внимание, что различие между двоичной нотацией с избытком и двоичным дополнительным кодом состоит только в противоположности значений знаковых битов).

Таблица 2

Таблица значений, известна как двоичная нотация с избытком восемь. Чтобы понять, почему она так называется, сначала определим значения кодовых комбинаций как обычных двоичных значений, а затем сравним полученный результат с тем значением, которое присвоено каждой кодовой комбинации в двоичной нотации с избытком

восемь. В результате мы обнаружим, что соответствующее кодовой комбинации двоичное число превышает представляемое этой комбинацией значение на 8. Например, комбинация 1100 обычно используется для представления числа 12, а в двоичной нотации с избытком восемь эта же комбинация представляет число 4. Это же справедливо и для комбинации 0000, которая обычно представляет число 0, а в данной нотации -- число -8. Если же двоичная нотация с избытком создается для комбинаций длиной пять битов, она будет называться двоичной нотацией с избытком 16. В этом случае комбинация 10000 будет представлять число 0, а не 16, как в обычной двоичной системе. Этот же принцип может быть использован для именования любой конкретной схемы двоичной нотации с избытком. Например, схему с тремя двоичным разрядами, представленную в табл. 3, можно назвать двоичной нотацией с избытком четыре.

Представление дробных значений

В отличие от методов представления целых чисел, задача представления числовых значений с дробной частью требует не только сохранения комбинаций из нулей и единиц, образующих его двоичное представление, но и запоминания позиции точно отделяющей целую часть от дробной. Наиболее распространенный способ решения этой задачи, именуемый двоичной нотацией плавающей точкой, состоит в экспоненциальном представлении чисел.

Таблица 3

2. Двоичная нотация с плавающей точкой

Для пояснения принципа, положенного в основу двоичной нотации с плавающей точкой, рассмотрим пример, в котором для хранения числа используется всего одни байт. Несмотря на то, что в машинах обычно используются более длинные битовые комбинации, восьмиразрядный формат достаточно наглядно демонстрирует используемые принципы без ненужной избыточности длинных битовых комбинаций.

Для начала давайте условимся считать старший бит знаковым. Как и в предыдущих примерах, значение нуль в знаковом бите означает, что представляемое число неотрицательно, а значение единица, наоборот, указывает, что число является отрицательным. Далее разделить оставшиеся биты байта на две группы, или поля, а именно: поле порядка числа и поле мантиссы. Следующие три бита после знакового бита будем считать полем порядка числа, а оставшиеся четыре бита - полем мантиссы. Попробуем разобраться с назначением отдельных полей на конкретном примере. Пусть байт содержит битовую комбинацию 01101011. При разложении этой комбинации по элементам описанного выше формата оказывается, что знаковый бит равен 0, поле порядка числа имеет значение 110, а поле мантиссы -- значение 1011. Для расшифровки представленного в этом байте значения, прежде всего, выделим мантиссу и поместим плавающую точку слева от нее, как показано ниже:

1011

Далее выделим значение в поле порядка числа (110) и интерпретируем его как целое трехразрядное число, записанное в двоичной нотации избытком. Таким образом, в поле порядка числа закодировано целое число 2. Это означает, что плавающую точку в полученном ранее значении следует переместить на два бита вправо (при отрицательном порядке плавающая точка перемещается влево), после чего буде получен окончательный результат:

10.11

Это значение является двоичным представлением числа . Наконец, определяем, что представляемое число является положительным, поскольку знаковый бит имеет значение 0. Таким образом, мы установили, что битовая комбинация 01101011 двоичной нотации с плавающей точкой представляет число .

Рассмотрим еще один пример, в котором байт содержит битовую комбинацию 10111100. Выделив мантиссу, получим следующее значение 1100

Теперь перенесем плавающую точку на один бит влево, так как в поле порядка содержится значение 011, представляющее число -1. Поэтому окончательный вид закодированного двоичного числа будет следующим: 0.01100. Это двоичное число имеет значение 3/8. Закодированное в значении байта число является отрицательным, поскольку его знаковый бит равен 1. Из этого следует, что битовая комбинация 10111100 в двоичной нотации с плавающей точкой представляет число -3/8.

Для представления чисел в двоичной нотации с плавающей точкой необходимо следовать описанному выше процессу, но уже в обратном порядке. Например, для определения представления в этой нотации числа 1 сначала необходимо записать его двоичное представление: 1.001. Затем эта битовая комбинация копируется в поле мантиссы слева направо, начиная с самой левой единицы в двоичном представлении числа. Это будет выглядеть так: _ _ _ _ 1 0 0 1

Теперь остается заполнить поле порядка числа. Представим содержимое поля мантиссы, слева от которого расположена плавающая точка, и определим число разрядов, а также направление, в котором будет перемещаться плавающая точка для получения исходного значения двоичного числа. Обратившись к нашему примеру, можно увидеть, что точка в комбинации .1001 должна быть перемещена на один бит вправо. В результате будет получено исходное значение 1.001. Таким образом, порядок числа равен положительному числу 1, поэтому в соответствующее поле следует поместить значение 101 (представляющее число +1 в двоичной нотации с избытком четыре). Окончательное значение в байте будет выглядеть следующим образом. 0 1 0 1 1 0 0 1.

При заполнении поля мантиссы имеется один тонкий момент, на который бы могли не обратить внимание. Правило требует копировать битовую комбинацию двоичного представления числа в поле мантиссы слева направо, начиная с крайней левой единицы. Чтобы прояснить для себя этот нюанс, рассмотрим процесс кодирования числа 3/8, двоичным представлением которого является битовая комбинация .011. В этом случае мантисса должна иметь следующее значение: _ _ _ _ 1 1 0 0

Любой другой вариант, например представленный, недопустим: _ _ _ _ 0 1 1 0

Суть в том, что заполнение поля мантиссы всегда должно начинаться с крайней левой единицы в двоичном представлении кодируемого числа. Данное правило исключает возможность различного представления одного и того же значения. Это также говорит о том, что в представлении всех чисел, отличных от нуля, мантисса всегда будет содержать значение 1 в ее старшем разряде. Такое представление чисел называется нормализованной формой. В связи с этим заметим, что представление числа нуля является особым случаем, а соответствующая битовая комбинация представляет собой строку из одних нулей.

Задание

Пусть байт содержит битовую комбинацию 01101011. При разложении этой комбинации по элементам оказывается, что знаковый бит равен 0, поле порядка числа имеет значение 110, а поле мантиссы -- значение 1011. Для расшифровки представленного в этом байте значения, прежде всего, выделим мантиссу и поместим плавающую точку лева от нее, как показано ниже:

1011

Далее выделим значение в поле порядка числа (110) и интерпретируем его как целое трехразрядное число, записанное в двоичной нотации с избытком. Таким образом, в поле порядка числа закодировано целое число 2. Это означает, что плавающую точку в полученном ранее значении следует переместить на два бита вправо (при отрицательном порядке плавающая точка перемещается влево), после чего будет получен окончательный результат: 0.11

Это значение является двоичным представлением числа . Наконец, определяем, что представляемое число является положительным, поскольку знаковый бит имеет значение 0. Таким образом, мы установили, что битовая комбинация 01101011 в двоичной нотации с плавающей точкой представляет число . Рассмотрим еще один пример, а котором байт содержит битовую комбинацию 10111100. Выделив мантиссу, получим следующее значение: 1100. Теперь перенесем плавающую точку на один бит влево, так как в поле порядка содержится значение 011, представляющее число -1. Поэтому окончательный вид закодированного двоичного числа будет следующим: 0.01100. Это двоичное число имеет значение 3/8. Закодированное в значении байта число является отрицательным, поскольку его знаковый бит равен 1. Из этого следует, что битовая комбинация 10111100 в двоичной нотации с плавающей точкой представляет число -3/8.

Размещено на Allbest.ru