Системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Российский государственный профессионально-педагогический университет» филиал в г. Первоуральске

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине АЛОВТ

Вариант № 4

Выполнил студент ПУ-112С КТэ

Заиченко Роман Дмитриевич

Проверил преподаватель

Телепова Татьяна Петровна

Первоуральск 2013

Задание 1

1. Перевести двоичное число А в шестнадцатеричную систему счисления, а из шестнадцатеричной системы - в десятичную.

2. Перевести шестнадцатеричное число С в двоичную систему счисления, а из двоичной системы - в десятичную.

3. Перевести десятичное число Е в двоичную систему счисления с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,1.

4. Перевести десятичное число Q в двоично-десятичный код 8421, а число F из двоично-десятичного кода 8421 - в десятичную систему счисления.

Рассматриваемые числа А₍₂₎, С₍₁₆₎, Е₍₁₀₎, Q₍₁₀₎, F_(2-10) приведены в табл.1.

Таблица 1

Исходные числа к выполнению задания 1

Номер варианта	А(2)	С(16)	Е(10)	Q(10)	F(2-10)
10	101.0011100010	6B.98	25.15	853.85	010101000101

Решение.

1. Перевод двоичного числа в системы счисления с основаниями, кратными целой степени двойки, производится путем разбиения его на группы с соответствующим количеством разрядов, которые отсчитываются влево и вправо от точки, отделяющей целую и дробную части числа. Далее каждая группа представляется цифрой, соответствующей той системе счисления, в которую переводится число. Неполные крайние группы дополняются нулями.

Двоичное число 101.0011100010 при переводе в шестнадцатеричную систему счисления разбивается на группы по четыре разряда (тетрады), а затем каждая тетрада заменяется цифрой шестнадцатеричной системы:

5 3 8 8

Перевод чисел из шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему можно производить на основе представления числа в виде полинома от основания системы, из которой переводится число.

Целая часть Дробная часть Дробная часть

101.0011100010₂ = = .

Ответ: ; .

2.

Целая часть

Дробная часть

.

Ответ: .

3. Перевод десятичного числа 25.15 в двоичную систему счисления произведем раздельно для целой и дробной частей числа, а затем оба результата объединим в одно число двоичной системы счисления.

Так как при переводе дробей из десятичной системы счисления в двоичную можно получить дробь в виде бесконечного ряда, то задают необходимое количество разрядов m дробной части числа или абсолютную погрешность ? результата перевода. Считая, что абсолютная погрешность числа определяется значением единицы младшего разряда, можно записать соотношение:

? > 2^-m (1)

Соответствующее количество разрядов числа можно определить из выражения:

m > log₂(1/?) / log₂2 (2)

В задании абсолютная погрешность результата перевода 0,1, отсюда находим

m > log₂(1/0.1) / log₂2 > 3,32...

Округляя полученный результат до ближайшего большего целого числа, будем иметь m=4. Следовательно, при переводе можно ограничиться получением четырехразрядной двоичной дроби:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ответ: 11001.0010.

4. 853.85₁₀ = 1000 0101 0011.1000 0101_2-10

8 5 3 8 5

Для того чтобы перевести десятичное число 853.85 в двоично-десятичный код 8421 необходимо каждую десятичную цифру представить в виде двоичной тетрады (как в целой части числа, так и в дробной). При переводе числа 010101000101 из двоично-десятичного кода 8421 - в десятичную систему счисления нужно заменить каждую двоичную тетраду соответствующей десятичной цифрой.

0101 0100 0101_2-10 = 545₁₀

5 4 5

Ответ: 853.85₁₀ = 100001010011.10000101_2-10; 010101000101_2-10 = 545₁₀.

Задание 2

1. Записать в 8-разрядной сетке цифрового устройства в форме с фиксированной точкой двоичные числа А и В.

2. Записать в 8-разрядной сетке в форме с плавающей точкой двоичное число С, выделив для мантиссы и порядка числа по четыре разряда (старшие разряды отводятся для мантиссы, младшие - для порядка числа).

3. Записать в 16-разрядной сетке, содержащей по восемь разрядов для мантиссы и порядка, двоичное число С в форме с плавающей точкой со смещенным порядком.

4. Записать в 8-разрядной сетке в прямом, обратном и дополнительном кодах двоичные числа А и В.

5. Выполнить в 8-разрядной сетке логический, циклический и арифметический сдвиги на R разрядов вправо и влево двоичных чисел А и В, приставив числа в прямом и дополнительных кодах.

Рассматриваемые числа А₍₂₎, В₍₂₎, С₍₂₎ и количество разрядов сдвига R приведены по вариантам в табл. 2.

Таблица 2

Исходные числа к выполнению задания 2

Номер варианта	А(2)	В(2)	С(2)	R
10	- 101100111	0.101111	- 0.00001	3

Решение.

1. - 101100111. Так как значения модулей целых двоичных чисел в 8-разрядной сетке не должны превышать значения 2⁷ - 1 = 127 (заданное число равно 359), следовательно, ограничение на максимальное значение модуля не выполняется, произошло переполнение разрядной сетки, старшие разряды модуля теряются, и появляется ошибка в представлении числа. Заданное двоичное число в 8-разрядной сетке будет выглядеть таким образом (представляемое число отрицательное, значит, в знаковом разряде устанавливается 1):

1	1	1	0	0	1	1	1

0.101111. Заданное число правильная дробь. Нуль в старшем разряде указывает на знак числа (положительный). Так как количество значащих цифр модуля меньше количества обозначенных для записи разрядов в сетке, то оставшийся свободным младший разряд заполняется нулем. Указанное двоичное число в 8-разрядной сетке с фиксированной точкой будет выглядеть следующим образом:

0	1	0	1	1	1	1	0

2. - 0.00001. Представим число в нормализованной форме: - 0.00001 = -0,1 • 2^-4. Не поместившиеся в сетку значащие цифры модуля мантиссы теряются.

Тогда заданное двоичное число в 8-разрядной сетке с плавающей точкой будет выглядеть так:

1	0	0	1	1	1	0	0

3. - 0.00001. Представим число в нормализованной форме: -0.00001 = 0,1 • 2^-4. Тогда с учетом формулы смещенного порядка:

Р _см = Р_д + 2 ^t-1, (3)

где Р_см - значение смещенного порядка;

Р_д - значение действительного порядка;

t - количество разрядов, используемых для размещения порядка в разрядной сетке.

Р _см = -4 + 2^8-1 = -4 + 128 = 124₁₀ = 1111100₂.

В итоге представление числа в рассматриваемой разрядной сетке будет иметь вид:

1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	0	0

4. Прямой код: -101100111 = 1101100111 и 0.101111 = 0101111

Запись в 8-разрядной сетке (так как значения модулей целых двоичных чисел в 8-разрядной сетке не должны превышать значения 2⁷ - 1 = 127, указанное число равно 359, следовательно, ограничение на максимальное значение модуля не выполняется, произошло переполнение разрядной сетки, старшие разряды модуля теряются):

1	1	1	0	0	1	1	1

0	0	1	0	1	1	1	1

обратный код: -101100111 = 1010011000 и 0.101111 = 0101111

1	0	0	1	1	0	0	0

0	0	1	0	1	1	1	1

дополнительный код: -101100111 = 1010011001 и 0.101111 = 0101111.

1	0	0	1	1	0	0	1

0	0	1	0	1	1	1	1

5. Логический сдвиг: -101100111 и 0.101111

Прямой код:

1	1	1	0	0	1	1	1

0	0	1	0	1	1	1	1

Сдвиг влево на 3 разряда:

0	0	1	1	1	0	0	0

0	1	1	1	1	0	0	0

Сдвиг вправо на 3 разряда:

0	0	0	1	1	1	0	0

0	0	0	0	0	1	0	1

Дополнительный код:

1	0	0	1	1	0	0	1

0	0	1	0	1	1	1	1

Сдвиг влево на 3 разряда:

1	1	0	0	1	0	0	0

0	1	1	1	1	0	0	0

Сдвиг вправо на 3 разряда:

0	0	0	1	0	0	1	1

0	0	0	0	0	1	0	1

Циклический сдвиг: -101100111 и 0.101111

Прямой код:

1	1	1	0	0	1	1	1

0	0	1	0	1	1	1	1

Сдвиг влево на 3 разряда:

0	0	1	1	1	1	1	1

0	1	1	1	1	0	0	1

Сдвиг вправо на 3 разряда:

1	1	1	1	1	1	0	0

1	1	1	0	0	1	0	1

Дополнительный код:

1	0	0	1	1	0	0	1

0	0	1	0	1	1	1	1

Сдвиг влево на 3 разряда:

1	1	0	0	1	1	0	0

0	1	1	1	1	0	0	1

Сдвиг вправо на 3 разряда:

0	0	1	1	0	0	1	1

1	1	1	0	0	1	0	1

Арифметический сдвиг: -101100111 и 0.101111

Прямой код:

1	1	1	0	0	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1	1

Сдвиг влево на 3 разряда:

1	0	1	1	1	0	0	0

0	1	1	1	1	0	0	0

Сдвиг вправо на 3 разряда:

1	0	0	0	1	1	0	0

0	0	0	0	0	1	0	1

Дополнительный код:

1	0	0	1	1	0	0	1

0	0	1	0	1	1	1	1

Сдвиг влево на 3 разряда:

1	1	0	0	1	0	0	0

0	1	1	1	1	0	0	0

Сдвиг вправо на 3 разряда:

1	1	1	1	0	0	1	1

0	0	0	0	0	1	0	1

Задание 3

1. Вычислить S = A + B, представив слагаемые в формате байта с фиксированной точкой в дополнительном коде.

2. Вычислить Z = A + B, представив слагаемые в формате двух байт с плавающей точкой (старший байт для мантиссы, младший - для порядка числа).

3. Вычислить E = C + D, представив слагаемые в дополнительном двоично-десятичном коде 8421.

4. Вычислить П = А · В, используя алгоритм Бута, представив сомножители в формате байта с фиксированной точкой в дополнительном коде.

5. Вычислить Q = A : B, используя метод с неподвижным делителем без восстановления остатка, представив делимое и делитель в формате байта с фиксированной точкой.

Рассматриваемые числа А₍₁₀₎, В₍₁₀₎, С₍₁₀₎, D₍₁₀₎ приведены в табл. 3.

двоичный счисление алгоритм система

Таблица 3

Исходные числа к выполнению задания 3

Номер варианта	А(10)	В(10)	С(10)	D(10)
10	65	-11	-771	231

Решение.

1. Представим числа A = 65₁₀ = 1000001₂ и B = -11₁₀ = -1011₂ в формате байта дополнительном коде: [А]_доп = 01000001; [В]_доп = 11110101.

Операции сложения полученных кодов чисел будут иметь вид:

[А]_доп = 01000001

[В]_доп = 11110101

100110110

Так как при сложении возникла единица переноса из знакового ряда, то она отбрасывается.

[S] _доп = 00110110

[S] _пр = 00110110

S = +110110₂ = 54₁₀

Ответ: S = 65 + (-11) = 54.

2. Представим слагаемые в формате двух байтов с плавающей точкой в нормализованном виде: A = 65₁₀ = 1000001₂ и B = -11₁₀ = -1011₂

Определим разность порядков слагаемых, изменив знак порядка числа A (большего порядка) и представив порядки в дополнительном коде:

k [10000111]пр [11111001]доп

+p [00000100]пр [00000100]доп

(p - k) [11111101]доп [10000011]пр -00000011₂ = -3_10.

Исходя из полученного результата, произведем сдвиг мантиссы числа B на три разряда вправо:

М_B = М_{B, выр} = 10001011.

Произведем операцию сложения мантисс в дополнительном коде:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку в старшем разряде модуля суммы мантисс находится нуль, то необходимо провести нормализацию результата. Для этого модуль суммы мантисс сдвигается на один разряд влево при уменьшении порядка числа на единицу. Результат сложения рассматриваемых чисел в итоге будет иметь вид

0	1	1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0

Z = 0.1101100 • 2⁶₂ = 110110₂ = 54₁₀.

Ответ: Z = 65 + (-11) = 54.

3. Сформируем дополнительный код отрицательного числа:

C = -771₁₀ = -0111 0111 0001_2-10 > [1 0111 0111 0001]_пр,

Прибавим во все тетрады прямого кода корректирующую поправку:

Размещено на http://www.allbest.ru/

После инверсии цифр в разрядах (кроме знакового) получим обратный код числа: [C]_обр =1 0010 0010 1000.

Дополнительный код получим путем прибавления единицы к младшему разряду обратного кода: [C]_доп = 1 0010 0010 1001.

Положительное число D = 231₁₀ = 0010 0011 0001_2-10 > [0 0010 0011 0001]_пр = [0 0010 0011 0001]_доп

Выполним операцию сложения дополнительных кодов чисел:

При суммировании получено отрицательное число (1 - в знаковом разряде), представленное в дополнительном коде. Для преобразования полученного результата в прямой код необходимо в каждую тетраду прибавить корректирующую поправку, затем нужно произвести инверсию цифр в тетрадах и прибавить единицу в младший разряд:

Ответ: E = -771 + 231 = -540.

4. A = 65₁₀ = 1000001₂ и B = -11₁₀ = -1011₂ в формате байта дополнительном коде: [А]_доп = 01000001; [В]_доп = 11110101. Изменим знак числа A и представим его в дополнительном коде: [-A]_доп = 10111111.

Последовательность выполняемых операций при умножении рассматриваемых чисел будет иметь такой вид:

Результат в дополнительном коде

Преобразуя полученный результат в прямой код, в итоге получим:

[1111110100110101]_доп > [1000001011001011]_пр > -1011001011₂ = -715_10.

Ответ: П = 65 • (-11) = -715

A = 65₁₀ = 1000001₂ и B = -11₁₀ = -1011₂

5. Выполним деление числа A = 65₁₀ = 1000001₂ > [01000001]_пр на число B = -11₁₀ = -1011₂ > [10001011]_пр. Знак частного определится так:

Знак Знак Знак

делимого делителя частного

0 1 = 1

Представим модуль делителя в формате байта как положительное число в прямом коде и как отрицательное число в дополнительном коде, а модуль делимого в прямом коде с увеличенным в два раза количеством разрядов по отношению к делителю:

[|B|]_пр = 00001011; [-|B|]_доп = 11110101; [|A|]_пр = 0000000001000001.

Операцию деления представим в следующем виде:

		Делимое		Частное
[|A|]пр		0000000001000001	Исходное состояние
	+	000000001000001	Сдвиг влево
[-|B|]доп	11110101
		111101011000001	Остаток отрицательный	0
	+	11101011000001	Сдвиг влево
[|B|]пр	00001011
		11110110000001	Остаток отрицательный	00
	+	1110110000001	Сдвиг влево
[|B|]пр	00001011
		1111011100001	Остаток отрицательный	000
	+	111011100001	Сдвиг влево
[|B|]пр	00001011
		111110010001	Остаток отрицательный	0000
	+	11110010001	Сдвиг влево
[|B|]пр	00001011
		11111101001	Остаток отрицательный	00000
	+	1111101001	Сдвиг влево
[|B|]пр	00001011
		0000010101	Остаток положительный	000001
	+	000010101	Сдвиг влево
[-|B|]пр	11110101
		111111111	Остаток отрицательный	0000010
	+	11111111	Сдвиг влево
[|B|]доп	00001011
		00001010	Остаток положительный	00000101
Последний остаток	Модуль частного в прямом коде

В результате за восемь циклов операции деления получена целая часть частного и положительный последний остаток.

Изменив знак в прямом коде модуля частного, в итоге получим:

[10000101]_пр > -0000101₂ = -5₁₀. Остаток - 00001010₂ = 10₁₀.

Ответ: Q = 65 : (-11) = -5 (10 в остатке).

Задание 4

1. Записать совершенную нормальную дизъюнктивную форму (СНДФ) логической функции, заданной в виде таблицы истинности.

2. Минимизировать СНДФ методом Квайна-Мак-Класки.

3. На основе минимальной формы логической функции построить схему комбинационного устройства, используя логические элементы И, ИЛИ, НЕ.

4. Перевести минимальную форму логической функции в инвертирующий базис И-НЕ.

5. Построить схему комбинационного устройства, используя только логические элементы И-НЕ.

Значения аргументов Х1, Х2, Х3, Х4 логической функции Y приведены по вариантам в табл.4.

Таблица 4

Значения аргументов и логической функции к заданию 4

Х1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
Х2	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
Х3	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
Х4	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Y	0	0	0	0	1	1	0	1	1	1	0	1	1	1	0	0

Решение.

1. Функция Y принимает значение 1 для восьми наборов аргументов. Следовательно, СНДФ данной функции состоит из дизъюнкции восьми элементарных конъюнкций:

2. Перейдем к сокращенной форме логической функции. Для этого наборы аргументов в СНДФ представим их эквивалентами в двоичной форме:

Y = 0100 ? 0101 ? 0111 ? 1000 ? 1001 ? 1011 ? 1100 ? 1101

Наборы аргументов в такой форме СНДФ объединяют в группы, содержащие одинаковое количество единиц. Для заданной логической функции объединение в группы представляло в столбце стадии I таблицы.

Определение сокращенной формы логической функции производится последовательно в несколько стадий путем выполнения операций попарного склеивания наборов.

Стадии определения сокращенной формы логической функции:

Номер группы	Стадия
	I	II	III
0	--	--
1	0100 1000	010* *100 100* 1*00	*01* *10* 1*0* 1*0*
2	0101 1001 1100	01*1 *101 10*1 1*01 110*	01*1 *101 10*1 1*01 110*
3	0111 1011 1101	--	--
4	--	--	--

Y_сок = *01* ? *10* ? 1*0* ? 01*1 ? *101 ? 10*1 ? 1*01 ? 110*

Полученную форму можно представить и в виде логического выражения:

Переход от сокращенной формы логической функции к минимальной форме осуществляется при помощи импликантной матрицы:

Вычеркиваем

		0100	0101	0111	1000	1001	1011	1100	1101
V	*01*						+
Ядро	*10*	+	+					+	+
Ядро	1*0*				+	+		+	+
Ядро	01*1		+	+
	*101		+						+
V	10*1					+	+
	1*01					+			+
	110*							+	+

0100 ? 0101 ? 0111 ? 1000 ? 1001 ? 1011 ? 1100 ? 1101

Столбцы импликантной матрицы обозначены наборами аргументов СНДФ, а строки - простыми импликантами сокращенной формы логической функции. Крестиками в импликантной матрице пометим столбцы тех наборов аргументов СНДФ, которые поглощает каждая из простых импликант сокращенной формы. Таким образом, помечаются все столбцы матрицы. Затем обозначим столбцы, перекрываемые только одной импликантой. Такие существенные импликанты составляют ядро Квайна (Я) и не могут быть исключены из сокращенной формы. В данном случае имеется три существенных импликанты - *10*, 1*0* и 01*1 поскольку столбцы наборов 0100, 0111 и 1000 перекрываются только этими импликантами. Все столбцы, перекрываемые существенными импликантами, вычеркиваются. Далее выявляем минимальное количество импликант, не входящих в ядро, которые перекрывают оставшийся столбец матрицы. Этот столбец выделен цветом. Помечаем такие импликанты галочкой. С учетом импликант ядра, минимальную форму логической функции можно представить виде выражения:

3. Схема комбинационного устройства, построенная по минимальной форме логической функции с использованием логических элементов И, ИЛИ, НЕ, приведена на рис. 1.

Рис. 1 Схема комбинационного устройства на элементах И, ИЛИ, НЕ

4. Для перевода минимальной формы логической функции в инвертирующий базис И - НЕ дважды проинвертируем правую часть выражения:

Преобразуем полученное выражение, используя формулу де Моргана:

5. Полученному выражению соответствует схема комбинационного устройства, приведенная на рис. 2.

Рис. 2 Схема комбинационного устройства на элементах И-НЕ

Размещено на Allbest.ru

...