Моделирование равномерно распределенной величины
Изучение непрерывной равномерно распределенной случайной величины как особой проблемы в статистическом моделировании. Определение шага дискретности и плотности распределения. Датчик (генератор) случайных чисел. Алгоритм мультипликативного метода.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 29.04.2015 |
Размер файла | 116,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство науки и образования РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет им.А.Г. и Н.Г. Столетовых»
(ВлГУ)
Реферат
по дисциплине: «Математические моделирование»
На тему: «Моделирование равномерно распределенной случайной величины»
Выполнил:
ст. гр. БТСм-114
Аль-Одайби Я.М.
Приняла:
доц.Тахаан О.
Владимир 2015
Моделирование равномерно распределенной случайной величины
Особое значение в статистическом моделировании имеет непрерывная равномерно распределенная случайная величина. Особая значимость этой случайной величины объясняется тем, что, во-первых, она сама по себе необходима для моделирования случайных процессов и величин и, во-вторых, случайные величины с другими законами распределения формируются на их основе.
Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение в интервале , если ее плотность вероятности определяется так.
Значения характеристик равномерного закона распределения:
· математическое ожидание
;
· дисперсия
.
При моделировании часто используются случайные числа из интервала . Непрерывная случайная величина равномерно распределена в интервале , если:
.
Случайное число из интервала легко преобразуется в случайное число для интервала :
Применительно к двоичным дробям случайное число из интервала представляет собой бесконечную дробь:
Очевидно, реализовать такую дробь в компьютере невозможно, так как разрядная сетка компьютера ограничена. В компьютере можно формировать дискретные последовательности случайных чисел, которые не могут отличаться друг от друга только на величину меньше ( - число разрядов в сетке компьютера). То есть непрерывного, "теоретического" распределения на компьютерах получить нельзя. Если эти числа равновероятны, то такое распределение случайных чисел называют квазиравномерным.
Заметим, что непрерывные случайные величины существуют только в теории. На практике все случайные величины дискретны и шаг дискретности равен наименьшей единице измерения.
Случайная величина , имеющая квазиравномерное распределение в интервале , принимает значения
с вероятностями .
Можно показать, что эта случайная величина имеет характеристики:
Современные компьютеры имеют разрядность не менее 32. Следовательно, , а дисперсии тоже практически совпадают. Учитывая это, в дальнейшем квазиравномерное распределение будем называть равномерным и обозначать: .
Для формирования последовательности случайных чисел в компьютере может использоваться один из трех основных способов:
· аппаратный (физический);
· табличный (файловый);
· алгоритмический (программный).
Аппаратный способ. При этом способе случайные числа формируются специальным устройством. Источником случайных чисел чаще всего являются шумы в электронных приборах. Временные расстояния между шумовыми всплесками, превышающими подобранный уровень ограничения, фиксируются как случайные числа из распределения .
Преимущества такого способа:
· количество случайных чисел неограниченно;
· не требует затрат оперативной памяти;
· требует малые вычислительные ресурсы компьютера.
Однако, такой датчик (генератор) случайных чисел имеет существенные недостатки, которые в настоящее время исключили его из инженерной практики:
· трудность настройки;
· необходимость периодической проверки формируемой последовательности на соответствие закону распределения;
· обеспечение стабильности условий работы устройства - питания, влажности, температуры, старения приборов и элементов;
· при необходимости невозможно повторить эксперимент при одной и той же последовательности случайных чисел.
Табличный способ. Случайные числа в виде таблицы (файла) помещаются в оперативную или внешнюю память компьютера. Эти числа формируются заранее или берутся из соответствующего справочника. Достоинствами такого способа являются:
· числа требуют однократную проверку при формировании или недоверии источнику;
· можно повторять вычислительный эксперимент при одной и той же последовательности случайных чисел.
Недостатки же очень существенны:
· количество случайных чисел ограничено;
· файл занимает место в оперативной памяти компьютера;
· при размещении во внешней памяти обращение за случайными числами увеличивает время моделирования.
Алгоритмический способ. При этом способе случайные числа формируются с помощью специальных алгоритмов (формул) и реализующих их программ при каждом обращении моделирующего алгоритма за случайным числом. Достоинства способа:
· в настоящее время предлагается достаточно алгоритмов, генерирующих случайные числа, проверенных практикой и, следовательно, не нуждающихся в особых проверках;
· можно многократно воспроизвести одну и ту же последовательность;
· в памяти компьютера хранится только программа датчика (генератора), занимающая, как правило, малый объем;
· алгоритмический датчик может быть реализован и аппа-ратно, за счет чего существенно сокращается время формирования случайного числа и в целом время моделирования.
Недостатки: генератор величина дискретность моделирование
· на формирование случайного числа при программной реализации датчика требуются затраты машинного времени;
· любой алгоритмический датчик может сгенерировать ограниченное количество неповторяющихся чисел.
В настоящее время практически везде применяются алгоритмические датчики случайных чисел (ДСЧ). Создание высокопроизводительных компьютеров существенно снижает роль первого недостатка (затраты машинного времени). Второй недостаток устраняется использованием в одной модели нескольких ДСЧ.
Алгоритмические датчики не обеспечивают получение теоретически "чистой" случайности чисел, так как их формирование идет по формулам. Вследствие этого, рано или поздно последовательность случайных чисел станет повторяться или выродится. Последнее означает, что, начиная с некоторого числа, все последующие числа будут равны нулю.
Поэтому алгоритмические датчики называют датчиками псевдослучайных чисел. Современные датчики вырабатывают числа, псевдослучайность которых практически неощутима.
Качество алгоритмического датчика оценивается тем, насколько полно он удовлетворяет следующим требованиям:
· закон распределения формируемых чисел должен быть равномерным (квазиравномерным);
· числа должны быть статистически независимыми;
· числа не должны повторяться;
· формирование чисел должно занимать минимальное машинное время и минимальный объем памяти.
Понимая, что алгоритмический ДСЧ выдает детерминированную, псевдослучайную последовательность квазиравномерно распределенных случайных чисел, в дальнейшем будем называть его датчиком случайных равномерно распределенных чисел.
Исторически первым таким датчиком является датчик, в котором был реализован так называемый "способ срединных квадратов". Сущность способа заключается в следующем:
· подбирается начальное число , например, ;
· вычисляется квадрат : ;
· первое случайное число , то есть середина ;
· вычисляется квадрат : ;
· второе случайное число и т. д.
Такие ДСЧ теперь не используются: между числами имеется сильная корреляция, случайность отсутствует, при неудачно выбранном последовательность может быстро выродится, то есть при .
В настоящее время очень широкое распространение в практике моделирования получил мультипликативный метод формирования случайной последовательности:
где - произвольное нечетное число, неотрицательное;
- коэффициент, , - любое целое положительное число;
- значение модуля. Для реализации на компьютере удобно , где - основание системы счисления (2 или 10), - число разрядов в случайном числе.
В этом случае взятие числа по модулю сводится к выделению младших разрядов произведения .
Алгоритм мультипликативного метода
1. Выбрать , например,
2. Вычислить коэффициент . Пусть , тогда .
3. Выбрать модуль . Пусть система счисления десятичная ( ), разрядность случайных чисел .
4. Вычислить произведение : .
5. Найти остаток от деления по модулю
: .
6. Найти число последовательности случайных чисел из интервала
: .
7. Присвоить и перейти к п. 4.
Рассмотренный метод обеспечивает приемлемое качество случайных чисел в смысле равномерности распределения и их независимости, а также простой реализации на компьютере.
Применяется и немного более сложный алгоритм:
где - неотрицательное целое число.
Такой метод называется конгруэнтно-мультипликативным. При удачном подборе дополнительного параметра корреляция формируемых чисел может быть несколько уменьшена по сравнению с мультипликативным методом.
Непрерывное равномерное распределение-- в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.
Равномерное распределение полезно при описании переменных, у которых каждое значение равновероятно, иными словами, значения переменной равномерно распределены в некоторой области.
Определение
Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где , если еёплотностьимеет вид:
Пишут: X ~ U (a,b) или
Иногда значения плотности в граничных точках x = a и x = b меняют на другие, например 0 или . Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.
Если L(о) = U(a,b), то
Равномерное распределение U (a,b) описывает процесс «выбора точки наудачу» в интервале [a,b]. Так, если [a,b] - интервал между последовательными отправлениями автобуса от остановки, то время ожидания пассажира, не знающего расписания и пришедшего на остановку, есть случайная величина с распределением U (0,1). Распределение U (0,1) играет особую роль в методах моделирования с помощью компьютеров случайных величин с заранее заданными распределениями. Такие методы широко используют для приближенных вычислений интегралов, решений дифференциальных и интегральных уравнений и т.д.
Литература
1. Боев В.Д., Сыпченко Р.П. Компьютерное моделирование
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Способы получения случайных чисел в программировании и их использование для решения ряда задач. Принцип действия и тестирование работы генератора случайных чисел в Borland C++, его преимущества. Генерация одномерной и двумерной случайной величины.
лабораторная работа [105,4 K], добавлен 06.07.2009Проектирование датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. Методы моделирования. Разработка алгоритма и программы датчика. Исследование свойств выработанной им последовательности.
лабораторная работа [124,2 K], добавлен 15.06.2010Стадии процесса моделирования. Функция распределения непрерывной случайной величины. Методы моделирования (обратной функции, суперпозиции, исключения). Нормальные случайные величины. Метод Монте-Карло, точки равновесия. Моделирование динамических систем.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 06.08.2013Применение случайных чисел в моделировании, выборке, численном анализе, программировании и принятии решений. Понятие равномерного распределения вероятности. Способы получения последовательности. Правила выбора модуля. Критерий Колмогорова-Смирнова.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 17.03.2011Структура и функции генератора случайных чисел. Методы предельного уменьшения ошибки второго рода. Усиление шумового сигнала. Его дискретизация по времени и аналого-цифровое преобразование. Формирование случайной последовательности и ее корреляция.
курсовая работа [299,4 K], добавлен 11.12.2014Требования, предъявляемые к свойствам систем распределенной обработки информации. Логические слои прикладного программного обеспечения вычислительных систем. Механизмы реализации распределенной обработки информации. Технологии обмена сообщениями.
курсовая работа [506,8 K], добавлен 03.03.2011Моделирование работы генератора случайных двоичных чисел с ограниченной последовательностью 0 и 1, подчиняющегося равномерному закону распределения, заданному с помощью модели Гильберта. Представление программного решения задачи средствами языка С++.
лабораторная работа [857,7 K], добавлен 05.06.2011Оценка неизвестной функции распределения величины или ее плотности распределения вероятности. Алгоритм основной программы, функции для построения графика исходного массива, гистограммы и графика функции Лапласа. Результат обработки сейсмического сигнала.
курсовая работа [194,4 K], добавлен 16.12.2012Типовая структура информационно-вычислительной сети. Функции, процедуры, механизмы и средства защиты ИВС. Технология виртуальных частных сетей. Разработка алгоритмов управления интенсивностью информационного обмена удаленных сегментов распределенной ИВС.
дипломная работа [2,1 M], добавлен 21.12.2012Анализ разновидностей, моделей и типов, классов, видов и элементов КИИ. Объект исследования с плотностью вероятности успешной (во времени) компьютерной атаки, распределенной по закону Хи-квадрат. Осуществление вычислительного эксперимента по риск-оценке.
курсовая работа [812,4 K], добавлен 13.07.2014Анализ способов построения генераторов случайных чисел для криптографических задач. Анализ генератора случайных чисел на основе магнитометров. Анализ статистических свойств двоичных последовательностей, полученных путем квантования данных магнитометра.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 06.05.2018Написание программы для генерации случайных чисел, в которой реализуются возможности генерации абсолютно случайных чисел. Приложение на языке С/С++. Описание узла, содержащего данные; функций и методов работы; чтения данных из памяти и вывода их на экран.
курсовая работа [172,4 K], добавлен 23.05.2012Обзор технических условий, должностных обязанностей, положений и инструкции по эксплуатации вычислительной техники в ТОО "Степноишимская опытная станция". Анализ характеристик распределенной автоматизированной системы. Изучение программы "1С-Бухгалтерия".
отчет по практике [198,8 K], добавлен 11.03.2014Характеристика вероятностного алгоритма и особенности его использования. Принцип работы и назначение генератора случайных чисел, сущность псевдослучайных чисел. Рассмотрение и реализация метода середины квадрата, разработка алгоритма и его кодирование.
курсовая работа [50,3 K], добавлен 18.09.2009Структура и описание программ для расчета тепловых коэффициентов для параллелепипеда с равномерно распределенными источниками тепла, равномерно распределенными на двух противоположных гранях и грани которого находятся в состоянии теплообмена со средой.
курсовая работа [523,0 K], добавлен 22.06.2015Анализ структуры распределенной информационной системы и обрабатываемых в ней персональных данных. Выбор основных мер и средств для обеспечения безопасности персональных данных от актуальных угроз. Определение затрат на создание и поддержку проекта.
дипломная работа [5,3 M], добавлен 01.07.2011Характеристика графического языка UML. Моделирование случайной величины с заданным законом распределения. Мультипликативный конгруэнтный метод Лемера. Диаграмма вариантов использования для ресторана. Операции классов, их взаимодействие и подчиненность.
курсовая работа [663,1 K], добавлен 05.01.2016Программа для формирования и просмотра команды для олимпиады по программированию. Генератор случайных чисел в Borland C++, методы их получения. Линейный конгруэнтный метод. Метод Фибоначчи, вихря Мерсенна. Тестирование псевдослучайных последовательностей.
курсовая работа [93,5 K], добавлен 27.09.2014Характеристики распределенной системы управления базой данных. Уровни представления информации в распределенной базе. Сравнительные характеристики стратегий хранения информации: централизованной, расчленения (фрагментации), дублирования, смешанной.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 16.05.2014Определение зависимости одной физической величины от другой. Применение метода наименьших квадратов с помощью программного обеспечения Mathcad. Суть метода наименьших квадратов. Корреляционный анализ, интерпретация величины корреляционного момента.
курсовая работа [63,8 K], добавлен 30.10.2013