Использование матричных функций Microsoft Excel

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Российский заочный институт текстильной и легкой промышленности

Кафедра информатики

Методические указания по выполнению контрольных курсовых заданий

по дисциплине «Информатика» для студентов всех специальностей

Использование матричных функций Microsoft Excel

Составили проф. В.Г. Митихин,

ст.преп. А.В. Захаров

Москва 2010

1. Системы линейных алгебраических уравнений

Многие задачи технико-экономического характера сводятся к решению систем линейных уравнений. Систему вида :

(1)

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа aij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа bi (i = 1, 2,…, n) - свободными членами. Такая форма записи алгебраической линейной системы называется нормальной. Решением СЛАУ называется совокупность чисел xi (i = 1, 2,…, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Систему (1) можно записать в матричной форме

A Ч X = B,

где A - матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

X - вектор-столбец неизвестных X = (x1, x2, …, xn)T:

B - вектор-столбец свободных членов:

или B = (b1, b2,..., bn)T. Целое число n называется размерностью системы.

Система (2) может быть записана в развернутом матричном виде

Система уравнений (6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной - в противном случае. Совместная система (6) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

2. Решение линейных алгебраических систем

Вопросы исследования СЛАУ (6) на совместность оставим за пределами нашего рассмотрения. Все же методы решения линейных алгебраических систем принято делить на два класса: прямые и итерационные. Прямыми называются методы решения СЛАУ, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. В случае точной реализации операций решение будет точным, поэтому и прямые методы иногда называют точными. Итерационными методами называют такие методы, в которых точное решение может быть получено за счет реализации многократно повторяющихся действий (итераций). Эффективность способов решения системы (6) во многом определяется свойствами матрицы (3) A (размерностью, симметричностью, заполненностью и т.д.). MS Excel располагает рядом возможностей для работы с матрицами.

2.1 Табличные формулы и операции с матрицами

Табличные формулы или формулы массива - очень мощное вычислительное средство Excel, позволяющее работать с блоками рабочего листа как с отдельными ячейками. Табличные формулы в качестве результата возвращают массив значений. Поэтому перед вводом такой формулы необходимо выделить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты. Потом набирается сама формула. Ввод ее в выделенный диапазон ячеек осуществляется нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter. Это принципиально. Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При активизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы. Для выделения всего блока, содержащего табличную формулу, необходимо выделить одну из его ячеек, после чего нажать комбинацию клавиш Ctrl+/. Невозможно редактировать содержимое только одной ячейки из интервала с табличной формулой. Изменить можно только весь блок целиком, для чего он и должен быть предварительно выделен.

Например, пусть необходимо сложить две матрицы размера 33. Элементы первой матрицы (9 элементов) разместим в интервале A1:C3, второй - в диапазоне E1:G3. Под результат выделим интервал A5:C7. После чего, не снимая выделения, введем формулу =A1:C3+E1:G3, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В ячейках интервала A5:C7 отобразится результат - сумма соответствующих элементов матриц, а в строке формул мы увидим {=A1:C3+E1:G3}. Пусть вместо сложения нам надо умножить первую матрицу на число 2. Для этого перемещаемся внутрь интервала A5:C7, выделяем его, нажав комбинацию Ctrl+/, вносим в формулу исправления =A1:C3*2, вводим ее нажатием Ctrl+Shift+Enter. В интервале A5:C7 увидим результат умножения, а в строке формул - табличную формулу {=A1:C3*2}.

К простейшим операциям с матрицами принято относить следующие:

сложение и вычитание матриц, умножение и деление матрицы на число, перемножение матриц, транспонирование, вычисление обратной матрицы. Умножение (деление) матрицы на число, сложение (вычитание) матриц в Excel реализуются достаточно просто: с помощью обычных формул (поэлементное сложение или вычитание, умножение или деление на число), либо с использованием табличных формул, как это было описано выше. Для остальных матричных операций в Excel предусмотрены функции рабочего листа из категорий «Математические и Ссылки и массивы»:

1) МОПРЕД(матрица) - вычисление определителя матрицы,

2) МОБР(матрица) - вычисление обратной матрицы,

3) МУМНОЖ(матрица1;матрица2) - произведение матриц,

4) ТРАНСП(матрица) - транспонирование матрицы.

Первая из этих функций в качестве результата возвращает число (определитель матрицы), поэтому вводится как обычная формула. Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как табличные формулы (Ctrl+Shift+Enter).

2.2 Группировка рабочих листов

Рассмотрим задачу решения СЛАУ на следующем примере

(7)

Т.е. будем решать систему из трех алгебраических уравнений относительно трех неизвестных. Размерность системы (7) n=3, матрица системы A (3) размерности 33 имеет вид

(8)

а вектор-столбец свободных членов (5) B=(-24, -48, 18)T.

Попытаемся решить СЛАУ (7) в среде MS Excel тремя различными способами. Для чего создадим рабочую книгу из трех листов и назовем ее Решение СЛАУ.xls. Поскольку исходные данные для трех различных способов решения (а значит и трех рабочих листов книги) одни и те же (матрица системы A (8) и вектор-столбец свободных членов В), то неплохо было бы их одновременно ввести в эти рабочие листы. Excel предоставляет такую возможность. Этот инструмент называется группировкой рабочих листов. Для того, чтобы применить средство Группа, необходимо выделить группируемые рабочие листы, щелкнув первый рабочий лист (Лист1), на котором будут вводиться данные, а затем, удерживая клавишу Ctrl, щелкнуть ярлычки листов (Лист2 и Лист3), куда одновременно должны вводиться те же самые данные. Либо, если группируемые рабочие листы расположены подряд, как в нашем случае, при выделенном первом (Лист1) щелкнуть, удерживая нажатой клавишу Shift, на ярлычке последнего (Лист3). После этого можно вводить данные на текущем рабочем листе, они автоматически появятся в одноименных ячейках на всех остальных сгруппированных листах. Признаком группировки нескольких листов является появившееся в строке заголовка слово [Группа] ([Group]), заключенное в квадратные скобки. После ввода группировку необходимо отменить. Для отмены необходимо выбрать любой из листов, не входящих в группу, либо щелкнуть правой кнопкой мыши на любом ярлычке листа из группы и выполнить команду Разгруппировать листы.

Для решения рассматриваемой СЛАУ (7) сгруппируем листы (Лист1:Лист3), разместим в ячейках текущего листа (Лист1) A1, B2, D2, A6:A9 соответствующие поясняющие тексты (заголовки), в интервале A3:C5 - элементы матрицы A (8), а в интервале D3:D5 - элементы вектора В. Интервал B7:B9 зарезервируем под искомое решение - вектор X (4). После этих манипуляций все три рабочих листа примут одинаковый вид. Перед дальнейшей работой не забудьте разгруппировать рабочие листы.

2.3 Метод Крамера

Метод Крамера большинству известен из школьного курса алгебры. Решение СЛАУ (6) находится по формулам Крамера

(9)

где det A = A- определитель матрицы (3) системы (главный определитель), det Ai = Ai (i = 1, 2, …, n)- определители матриц Ai (вспомогательные определители), которые получаются из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B (5). Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det A=0. Для рассматриваемой СЛАУ (7) вспомогательные матрицы имеют следующий вид

(10)

Разместим их на рабочем листе. Причем сделаем это не путем простого копирования соответствующих значений, а вводом формул с использованием абсолютных ссылок на элементы матрицы A из интервала A3:C5 и элементы вектора B из интервала D3:D5.

Во-первых, это ускорит процесс ввода матриц Ai (i = 1, 2, 3) (формулы введем только в интервал A11:C13 матрицы A1 и в интервал E11:E13 первого столбца матрицы A2, далее же будем их блоками только копировать: A11:A13 в F11:F13 и в K11:K13, B11:B13 в J11:J13, C11:C13 в G11:G13, E11:E13 в I11:I13). Во-вторых, это сделает проектируемую таблицу универсальной в том смысле, что можно будет изменять только исходные данные (матрицу системы A в интервале A3:C5 и вектор-столбец свободных членов B в D3:D5), а все остальное (в том числе и решение СЛАУ) будет автоматически вычисляться. Далее, воспользовавшись функцией МОПРЕД(матрица), вычислим определители всех матриц. Аналогичная формула (=МОПРЕД(A3:C5)) для вычисления определителя матрицы A записана в ячейку E8. Осталось по формулам Крамера (9) найти решение системы(7). Соответствующие формулы Excel запишем в интервал решения B7:B9, в котором и увидим результат. Обратите внимание на то, что при вычислении xi (i = 1, 2, 3) анализируется значение определителя матрицы системы A, вычисленное в ячейке E8, и, если оно равно нулю (система несовместна), то в B7 помещается текст «Решения нет», а в ячейки B8 и B9 - пустые строки.

2.4 Матричный способ решения

Матричный способ решения СЛАУ (6) достаточно прост. Обе части матричного равенства (2) умножим слева на обратную матрицу А-1. Получим A-1AX=A-1B. Т.к. A-1A=E, где E - единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы). Тогда решение системы (2) запишется в следующем виде

X = A-1 B (11)

То есть для решения системы (2) (вычисления вектора-столбца X (4)) необходимо найти для матрицы A (3) обратную A-1 и умножить ее справа на вектор-столбец B (5) свободных членов. Для чего, воспользовавшись функциями Excel МУМНОЖ(матрица1;матрица2) и МОБР(матрица), введем в интервал B7:B9 следующего рабочего листа (Лист2) табличную, т.е. используя для ввода комбинацию Ctrl+Shift+Enter, мегаформулу =МУМНОЖ(МОБР(A3:C5);D3:D5). После чего в строке формул увидим {=МУМНОЖ(МОБР(A3:C5);D3:D5)}, а в интервале B7:B9 - решение, точно такое же, как и в предыдущем случае.

2.5 Поиск решения

Широкий класс технико-экономических задач составляют задачи оптимизации. Задачи оптимизации предполагают поиск значений аргументов, доставляющих функции, которую называют целевой, минимальное или максимальное значение при наличии каких-либо дополнительных ограничений. MS Excel располагает мощным средством для решения оптимизационных задач. Это инструмент-надстройка, который называется Поиск решения (Solver). Поиск решения доступен через меню Сервис/Поиск решения. Задачу решения СЛАУ (1) можно свести к оптимизационной задаче. Для этого одно из уравнений (например, первое) взять в качестве целевой функции, а оставшиеся n-1 рассматривать в качестве ограничений. Запишем систему (1) в виде:

(12)

Тогда задача оптимизации для Поиска решения может рассматриваться следующим образом. Найти значения X = (x1, x2, …, xn)T, доставляющие нуль функции, стоящей слева в первом уравнении системы(12), при n-1 ограничениях, представленных оставшимися уравнениями.

Для решения этой задачи необходимо записать выражения (формулы) для вычисления значений функций, стоящих слева в уравнениях системы(12). Отведем под эти формулы интервал C7:C9 текущего рабочего листа (Лист3). В ячейку C7 введем формулу =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 и скопируем ее в оставшиеся C8 и C9. В них появятся соответственно =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 и =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5. Осталось, обратившись к пункту меню Сервис/Поиск решения, в окне диалога задать параметры поиска (установить целевую ячейку C7 равной нулю, решение в изменяемых ячейках B7:B9, ограничения заданы формулами в ячейках C8 и С9). После щелчка по кнопке Выполнить в интервале B7:B9 получим результат - решение СЛАУ(7).

В завершение работы можно защитить ячейки созданных таблиц от несанкционированного, часто случайного, изменения и скрыть формулы, по которым находится решение СЛАУ. Для этого существует стандартное средство Excel - пункт меню Сервис/Защита/Защитить лист. Перед этим необходимо снять защиту с ячеек, содержащих исходные данные (A3:C5 - элементы матрицы A (8), и D3:D5 - элементы вектора В), выделив эти интервалы, выбрав меню Формат/Ячейки вкладка Защита и сбросив флажок Защищаемая ячейка. Для ячеек же, содержащих формулы, надо в этом диалоге (Формат ячеек) установить флажок Скрыть формулы. Надо знать, что после такой защиты невозможно будет воспользоваться средством Поиск решения. Поэтому защитить ячейки и скрыть формулы можно на первом и втором листах. В случае необходимости можно скрыть и отображаемую в ячейках информацию, поставив в соответствие этим ячейкам пользовательский формат ;;; (три точки с запятой).

3. Модель межотраслевого баланса

Эффективное функционирование текстильной отрасли предполагает наличие баланса между смежными отраслями (животноводство, растениеводство, машиностроение, транспорт, торговля и т.д.). Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса была опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах известного экономиста В. Леонтьева.

Мы рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).

Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к системе линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) - некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, текстильная, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).

Пусть xij - количество продукции i-й отрасли, расходуемое в j-й отрасли; Xi - объем производства i-й отрасли за данный промежуток времени, так называемый валовой выпуск продукции i; yi - объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления; Zj - условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (метры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В таблице 1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношений:

j = 1, 2, …, n. (13).

Напомним, что величина условно чистой продукции Zj равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение (13) охватывает систему из n уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы. Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и продукции данной отрасли:

i = 1, 2, …, n. (14).

Формулы (14) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Таблица 1 Таблица межотраслевого баланса

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	…	n
1	X11	X12	…	X1n	y1	X1
2	X21	X22	…	X2n	y2	X2
…	…	…	…	…	…	…
N	Xn1	Xn2	…	Xnn	yn	Xn
Условно чистая продукция	Z1	Z2	…	Zn
Валовой продукт	X1	X2	…	Xn

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат A = (aij).

Коэффициент прямых материальных затрат aij показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли:

аij = xij / Xj , i, j = 1, 2, …, n. (15).

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизвестной. Таким образом, матрица A = (aij) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т.е. для выпуска j-й отраслью любого объема продукции Xj необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijXj, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

xij = aij • Xj . (16).

Подставляя (16) в балансовое соотношение (14), получаем:

(17).

или в матричной форме:

X = AX + Y . (18).

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

· Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y = (E - A) X . (19).

· Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X = (E - A)-1 Y . (20).

· Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных - объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (19) и (20) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А)-1 обозначает матрицу, обратную матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через:

В = (Е - А)-1,

тогда систему уравнений в матричной форме (20) можно записать в виде:

X = B• Y.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х ? 0, что:

Х > A • X . (21).

Очевидно, что условие (21) означает существование положительного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого баланса.

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1. Матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)-1 ? 0;

2. Матричный ряд

Е + А + А2 + А3 + … =

сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)-1;

3. Все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

Пример. Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Yi для трехотраслевой экономической системы:

0.3 0.1 0.4 200

А = 0.2 0.5 0.0 , Y = 100 .

0.3 0.1 0.2 300

Требуется определить:

1. Коэффициенты полных затрат.

2. Вектор валового выпуска.

3. Межотраслевые поставки продукции.

4. Проверить продуктивность матрицы А.

Для решения задачи воспользуемся функциями MS Excel.

Таблица 2 Исходные данные и результаты по этапам решения

	A	B	C	D	E	F	G
1 2 3 4 5 6 7 8	A E-A	0.3 0.2 0.3 0.7 -0.2 -0.3	0.1 0.5 0.1 -0.1 0.5 -0.1	0.4 0 0.2 -0.4 0 0.8
9 10 11 12 13	1) B	2.0408 0.8163 0.8673	0.6122 2.2448 0.5102	1.0204 0.4081 1.6836		Y	200 100 300
14 15 16 17 18	2) X	775.5102 510.2041 729.5918
19 20 21 22	3) X(ij)	232.6531 155.102 232.6531	51.02041 255.102 51.02041	291.8367 0 145.9183

В таблице 2 приведены результаты решения задачи по указанным трем пунктам.

1. В ячейки В6:D8 запишем элементы матрицы Е - А. Массив Е - А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В = (Е - А)-1 и введем формулу для вычислений МОБР(B6:D8). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (ответ на п.1 и 4).

2. В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска Х, вычисляемого по формуле Х = (Е - А)-1 • Y. Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ(B10:D12,G10:G12). Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

3. Межотраслевые поставки Xij вычисляем по формуле

xij = aij • Xj.

4. Заполняем схему МОБ.

Таблица 3 Результаты решения задачи МОБ

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	…
1	232.6	51.0	291.8	200	775.3
2	155.1	255.0	0.0	100	510.1
3	232.6	51.1	145.9	300	729.6
Условно чистая продукция	155.0	153.1	291.9	600
Валовой продукт	775.3	510.1	729.6		2015

В заключение отметим, что модель « затраты - выпуск » является статической, т.е., не учитывает фактор времени. Динамическим вариантом модели « затраты - выпуск » является модель « запас - поток », учитывающая временной фактор, научно-технический прогресс, технологические и ценовые изменения. В рамках такой модели требуется периодическое решение задачи « затраты - выпуск », что, очевидно, возможно только на базе соответствующих информационных технологий.

4. Задания для выполнения контрольного задания

линейный алгебраический excel матрица

В соответствии с номером варианта выберите из приведенных ниже систему линейных алгебраических уравнений четвертого (n=4) порядка. Приведите ее к нормальному виду(1). Разработайте таблицы Excel для решения выбранной СЛАУ тремя различными способами:

1) методом Крамера,

2) матричным способом,

3) используя Поиск решения.

Выполнить проверку найденных решений, используя матричные операции.

Варианты систем линейных алгебраических уравнений:

 

Правильность полученных решений легко проверить. В результате решения выбранной СЛАУ тремя различными способами должны получиться три одинаковых решения. Однако, на всякий случай, приведем решения систем 1)-36):

1)-6) X = (-5,1,-3,4)T; 7)-12) X = (1,-3,-1,0)T; 13)-18) X = (1,0,-2,3)T;

19)-24) X = (1,0,0,1)T; 25)-30) X = (0,1,1,0)T; 30)-36) X = (5,0,-5,0)T.

5. Задания для выполнения курсовой работы

Для модели Леонтьева межотраслевого баланса ( 3 отрасли ) заданы: матрица прямых затрат А и вектор конечного продукта Y. Требуется определить:

1) матрицу полных затрат (Е - А)-1;

2) вектор валового продукта Х;

3) межотраслевые поставки продукции;

4) проверить продуктивность матрицы А;

5) проверить выполнение балансового матричного уравнения для найденного вектора Х.

Расчеты вести с точностью до 0,0001.

А = a * , где а = 0,1 - 0,0005 * N,

Y = b * , где b = 1 + 0.005 * N,

где N - число, образованное двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента.

Структура курсовой работы:

1. Титульный лист.

2. Содержание.

3. Введение.

4. Краткие теоретические сведения:

а) функции MS Excel, необходимые для решения задачи;

б) межотраслевой баланс.

5. Задание.

6. Результаты выполнения.

7. Краткие выводы.

Список литературы

1. Лавренов С.М. Excel: Сборник примеров и задач.- М.: Финансы и статистика, 2002.- 336 с.

2. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel: Практикум.- СПб.: Питер, 2003.- 237 с.

3. Холи Р. Excel. Трюки/ Р. Холи, Д. Холи.- СПб.: Питер, 2005.- 287 с.

Размещено на Allbest.ru

...