История развития двоичной системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Владея развитой компьютерной теорией, программисты иногда забывают о той роли, которую сыграли системы счисления в истории компьютеров. Ведь первые счетные приборы (абаки и арифмометры), прообразы современных компьютеров, начали создаваться задолго до возникновения алгебры логики, теории алгоритмов - и главную роль при их создании сыграли именно системы счисления. Об этом следует помнить, прогнозируя дальнейшее развитие компьютерной техники.

1. Происхождение и история развития систем счисления

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. У первобытных народов не существовало развитой системы счисления. Еще в 19 веке у многих племен Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа: 3 - два - один, 4 - два - два, 5 - два - два - один и 6 - два - два - два. Обо всех числах, больших 6, говорили «много», не индивидуализируя их. Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Впоследствии способность различать друг от друга небольшие совокупности развивалась; возникли слова для обозначений понятий «четыре», «пять», «шесть», «семь». Последнее слово длительное время обозначало также неопределенно большое количество. Наши пословицы сохранили память об этой эпохе («семь раз отмерь - один раз отрежь», «у семи нянек дитя без глазу», «семь бед - один ответ» и т.д.).

В период правления династий Маурьев и Гуптов (IV - II вв. до н.э. - VIII в.н.э), индийскими учеными была создана десятичная система счисления, современное начертание цифр (позже названных в несколько измененном виде арабскими).

Одной из наиболее древних систем счисления является египетская иероглифическая нумерация, возникшая еще за 2500 - 3000 лет до н. э. Это была десятичная непозиционная система счисления, в которой для записи чисел применялся только принцип сложения (числа, выраженные рядом стоящими цифрами, складываются). Специальные знаки имелись для единицы, десяти, ста и других десятичных разрядов до .

С развитием общественно-хозяйственной жизни возникла потребность в создании систем счисления, которые позволяли бы вести счет в более обширных пределах и обозначать все большие совокупности предметов. Для этого человек пользовался окружавшими его предметами, как инструментами счета: он делал зарубки на палках и на деревьях, завязывал узлы на веревках, складывал камешки в кучки и т.п. Такой вид счета носит название унарной системы счисления, т.е. система счисления, в которой для записи числа применяется только один вид знаков. Это удобно, так как сразу визуально определяется количество знаков и сопоставляется с количеством предметов, которые эти знаки обозначают. Все мы ходили в первый класс и считали там, на счетных палочках - это отзвук той далекой эпохи. Кстати, от счета с помощью камешков ведут свое начало различные усовершенствованные инструменты, такие как, например, русские счеты, китайские счеты («сван-пан»), древнеегипетский «абак» (доска, разделенная на полосы, куда клались жетоны). Аналогичные инструменты существовали у многих народов. Более того, в латинском языке понятие «счет» выражается словом «calculatio» (отсюда наше слово «калькуляция»); а происходит оно от слова «calculus», означающего «камешек».

Особо важную роль играл природный инструмент человека - его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Язык первобытного человека был беден; жесты возмещали недостаток слов, и числа, для которых еще не было названий, «показывались» на пальцах.

На первых порах расширение запаса чисел происходило медленно. Сначала люди овладели счетом в пределах нескольких десятков и лишь позднее дошли до сотни. У многих народов число 40 долгое время было пределом счета и названием неопределенно большого количества. В русском языке слово «сороконожка» имеет смысл «многоножка»; выражение «сорок сороков» означало в старину число, превосходящее всякое воображение.

На следующей ступени счет достигает нового предела: десяти десятков, и создается название для числа 100. Вместе с тем слово «сто» приобретает смысл неопределенно большого числа. Такой же смысл приобретают потом последовательно числа тысяча, десять тысяч (в старину это число называлось «тьма»), миллион.

На современном этапе границы счета определены термином «бесконечность», который не обозначает, какое либо конкретное число.

2. История возникновения двоичной системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов и правил для наименования и обозначения чисел. Условные знаки, применяемые для обозначения чисел, называются цифрами.

Обычно все системы счисления разбивают на два класса: непозиционные и позиционные.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает означает 7 сотен, вторая -- 7 единиц, а третья -- 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

В непозиционных системах счисления вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. Примером непозиционной системы счисления, достаточно широко применяющейся в настоящее время, может служить так называемая римская нумерация.

Двоичная система счисления, т.е. система с основанием , является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое.

История развития двоичной системы счисления - одна из ярких страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".

Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой. Он говорил, что «вычисление с помощью двоек ... является для науки основным и порождает новые открытия ... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

По просьбе ученого в честь «диадической системы» - так тогда называли двоичную систему - была выбита медаль. На ней изображалась таблица с числами и простейшие действия с ними. По краю медали вилась лента с надписью: «Чтобы вывести из ничтожества все, достаточно единицы».

Потом о двоичной системе забыли. В течение почти 200 лет на эту тему не было издано ни одного труда. Вернулись к ней только в 1931 году, когда были продемонстрированы некоторые возможности практического применения двоичного счисления.

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, физик и математик Джон фон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах ("Принципы Джона фон Неймана").

3. Запись числа в двоичной системе

Чем меньше знаков - цифр в одном разряде для записи в двоичной системе, тем больше надо разрядов, чтобы представить данное число. Возьмем, например число 8. В двоичной системе для его представления понадобятся четыре разряда: 1000.

Теперь возьмем другую запись в двоичной системе - 1111. Самая правая, последняя цифра так и будет единицей. Но уже следующая высшего разряда - больше ее только в два раза и означает 2, третья опять в два раза больше - 4, четвертая соответственно - 8.

Попробуем записать какое-нибудь число, допустим 1017, в двоичной системе. Для этого, как и в десятичной системе, раскладываем его на разряды, но разряды здесь выглядят по-иному. Начнем с низшего, с 7. Поскольку в двоичной системе каждый разряд в два раза больше последующего, число 7 запишется суммой трех двоичных разрядов: 7=4+2+ 1 (1 в 2 раза меньше 2; 2 в 2 раза меньше 4). В числе 7 одна четверка, одна двойка, одна единица: 7=4+2+ 1. Эту запись можно сделать по-другому: 1*22+ 1*21 + 1. Следовательно, в каждом из этих разрядов ставим по 1-111.

Затем идет число 10. Оно состоит из одной восьмерки и одной двойки: 10 = 8+2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20. Заметили, здесь нет разрядов единицы и четверок, поэтому вместо них мы ставим нули и записываем число так: 1010.

Так же можно разложить и все следующие разряды. Тогда все число 1017 запишется как 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 1= 1*29 + 1*28 + 1*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 и. Записываем по разрядам и получаем 1 111 111 001.

Основы двоичной системы, столь непривычной из-за традиции оперировать всегда и везде системой десятичной, мы знаем. Двоичной системой пользуются только вычислительные машины. Машина пересчитывает нули и единицы с очень большой скоростью.

Достоинства двоичной системы счисления заключаются в простоте реализации процессов хранения, передачи и обработки информации на компьютере:

1. Для ее реализации нужны элементы с двумя возможными состояниями, а не с десятью.

2. Представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво.

3. Возможность применения алгебры логики для выполнения логических преобразований.

4. Двоичная арифметика проще десятичной.

Недостатки двоичной системы счисления.

Итак, код числа, записанного в двоичной системе счисления, представляет собой последовательность из 0 и 1. большие числа занимают достаточно большое число разрядов.

Быстрый рост числа разрядов - самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

Заключение

двоичный кодирование компьютер

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, но применимо к компьютерной технике и ЭВМ двоичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими системами, т.к. для ее реализации нужны технические устройства лишь с двумя устойчивыми состояниями (есть ток -- нет тока, намагничен -- не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, -- как в десятичной; представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; возможность применения аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; двоичная арифметика проще десятичной. Однако, недостаток двоичной системы -- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

На сегодняшний день именно двоичная система счисления используется для кодирования и шифрования информации. Из всех существующих систем счисления двоичная система счисления наиболее удобна и применима в компьютерной технике и ЭВМ.

Список использованной литературы

1. Бобынин В.В. «Лекции по истории математики» («Физико-математические Науки», т. IХ и Х, лекции 2--6);

2. Бобынин В.В. «Исследования по истории математики» (вып. II, М., 1896).

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

4. Ролич Ч.Н. - От 2 до 16, Минск, «Высшая школа», 1981 г.

5. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.

Размещено на Allbest.ru