Применение компьютерных технологий для интерполирования функций
Интерполяция как вычисление значений y (x) во всей области определения аргумента по заданному дискретному множеству точек, т.е. переход от дискретной функции к непрерывной, ее типы и формы. Решение систем уравнений с помощью электронных таблиц Excel.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.05.2015 |
| Размер файла | 367,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Применение компьютерных технологий для интерполирования функций
Интерполяция - это вычисление значений y (x) во всей области определения аргумента по заданному дискретному множеству точек, т.е. переход от дискретной функции к непрерывной. Наоборот дискретизация - переход от непрерывной к дискретной функции. Стоит отметить, что в радиотехнике эти преобразования для сигналов выполняют специальные устройства, которые называются ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь) и АЦП (аналого-цифровой преобразователь). ЦАП осуществляет интерполяцию, а АЦП - дискретизацию. Часто интерполяцию и аппроксимацию рассматривают как синонимы. Однако их нужно различать. Интерполяция - это переход к непрерывной функции, проходящей точно через заданные точки.
Для заданных N точек N>>1 интерполяция может быть локальной или глобальной. Глобальная использует все заданные точки, а локальная выполняется по нескольким соседним точкам.
|
Интерполяция |
|||||
|
локальная |
глобальная |
||||
|
линейная |
параболическая |
кубическая парабола |
полином степени (N-1) |
кубический сплайн |
Рисунок 1. Виды интерполяции
На рис. 1 показаны три самых распространенных вида локальной интерполяции (линейная, параболическая, кубическая) и два глобальной: полином степени (N-1) и кубический сплайн.
Интерполяция с помощью решения СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений)
Полином степени N-1
имеет коэффициентов . Если потребовать чтобы он проходил через точек , то получим систему линейных уравнений для :
,
Определитель системы называется определителем Вандермонда:
Можно показать, что , если при .
Решая систему линейных алгебраических уравнений можно найти . По правилу Крамера , где получается заменой -го столбца в на столбец .
Например для : .
Задание №1
Найти интерполяционный многочлен Р(х)=А*х3+В*х2+С*х+D
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
y |
1 |
3 |
2 |
4 |
Интерполировать эту табличную зависимость многочленом
3-йстепени:
Решаем систему:
В матричной форме эта система в общем виде для заданной таблицы будет иметь вид ХK=Y:
Построим график по таблице 1, воспользовавшись программой Advanced Grapher:
Рисунок 2 - График многочлена
интерполяция уравнение дискретный компьютерный
Решим систему с помощью электронных таблиц Excel:
Рисунок 3 - решение матрицы в Excel
Решив эту систему, получим искомый многочлен:
Задание №2
На отрезке [1; 4] вычислить наибольшее и наименьшее значения полученного интерполяционного многочлена.
Определения наибольшего и наименьшего значения графика функции.
Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .
1) Выполним задание с помощью программы Advanced Grapher.
Рисунок 4 - наибольшее и наименьшее значения полученного интерполяционного многочлена
2) Выполним то же самое задание с помощью Basic.
CLS
DIM x(5), y(5)
'Задание A, B, C, D - коэффициентов многочлена
A = 1: B = 7.5: C = 17.5x: D = 10
x(1) = 1: x(2) = 4
y(1) = A + B + C + D: y(2) = A * 64 + B * 16 + 4 * C + D
k = 2
Решение квадратного уравнения 3Ах^2+2Bx+C=0
W = B ^ 2 - 3 * A * C
IF W < 0 THEN GOTO 3
x1 = (-B + SQR(W)) / (3 * A)
IF x1 > 4 OR x1 < 1 THEN GOTO 2
k = k + 1
y(k) = A * x1 ^ 3 + B * x1 ^ 2 + C * x1 + D: x(k) = x1
2:
x2 = (-B - SQR(W)) / (3 * A)
IF x2 > 4 OR x2 < 1 THEN GOTO 3
k = k + 1
y(k) = A * x2 ^ 3 + B * x2 ^ 2 + C * x2 + D: x(k) = x2
3:
Ymax = y(1): xmax = x(1)
Ymin = y(1): xmin = x(1)
FOR i = 1 TO k
IF y(i) > Ymax THEN Ymax = y(i): xmax = x(i)
IF y(i) <= Ymin THEN Ymin = y(i): xmin = x(i)
NEXT i
PRINT «Наибольшее значение функции равно y=»;
PRINT USING «##.##»; Ymax;
PRINT «при х=»;
PRINT USING «##.##»; xmax
PRINT «Наименьшее значение функции равно y=»;
PRINT USING «##.##»; Ymin;
PRINT «при х=»;
PRINT USING «##.##»; xmin
END
Рисунок 5 - наибольшее и наименьшее значения полученного интерполяционного многочлена
Задание №3
Найти значение производной в узлах интерполяции.
Выполним задание с помощью Basic.
CLS
x(1) = 1
x(2) = 2
x(3) = 3
x(4) = 4
y1 = 3* x(1) ^ 2 + 32 * x(1) - 10
y2 = 3 * x(2) ^ 2 + 32 * x(2) - 10
y3 = 3 * x(3) ^ 2 + 32 * x(3) - 10
y4 = 3 * x(4) ^ 2 + 32 * x(4) - 10
PRINT «y(1)'=»; y1
PRINT «y(2)'=»; y2
PRINT «y(3)'=»; y3
PRINT «y(4)'=»; y4
END
Рисунок 6 - Значение производной в узлах интерполяции
Задание №4
Вычислить интеграл от заданной функции на отрезке [1; 4].
1) Вычислим интеграл с помощью Advanced Grapher.
Результат: 7.5
Рисунок 7 - интеграл от заданной функции на отрезке [1; 4]
2) Выполним то же самое в Basic.
CLS
A = 1
B = 7.5
C = 17.5
D = 10
X1 = 1
X2 = 4
I(X1) = A * X1 ^ 4 / 4 + B * X1 ^ 3 / 3 + C * X1 ^ 2 / 2 + D * X1
I(X2) = A * X2 ^ 4 / 4 + B * X2 ^ 3 / 3 + C * X2 ^ 2 / 2 + D * X2
I = I(X2) - I(X1)
PRINT I
END
Рисунок 8 - интеграл от заданной функции на отрезке [1; 4]
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет и построение таблицы значений функции (протабулирование функции) при различных значениях аргумента. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и построение графика. Рабочий лист Excel в режимах отображения значений и формул.
контрольная работа [30,0 K], добавлен 27.05.2010Понятие и назначение электронных таблиц. Сравнительная характеристика редакторов электронных таблиц Microsoft Excel, OpenOffice.org Calc, Gnumeric. Требования к оформлению электронных таблиц. Методика создания электронных таблиц в MS Word и MS Excel.
контрольная работа [1,5 M], добавлен 07.01.2015Математические возможности Mathcad и Microsoft Excel. Преобразование алгебраических выражений. Вычисление значения функции. Решение уравнений и систем. Вычисление значения интеграла, производных и пределов. Построение графиков функций. Работа с матрицами.
курсовая работа [559,5 K], добавлен 15.07.2012Понятие и возможности MS Excel. Основные элементы его окна. Возможные ошибки при использовании функций в формулах. Структура электронных таблиц. Анализ данных в Microsoft Excel. Использование сценариев электронных таблиц с их практическим применением.
курсовая работа [304,3 K], добавлен 09.12.2009Пакет Microsoft Office. Электронная таблица MS Excel. Создание экранной формы и ввод данных. Формулы и функции. Пояснение пользовательских функций MS Excel. Физическая постановка задач. Задание граничных условий для допустимых значений переменных.
курсовая работа [3,4 M], добавлен 07.06.2015Электронные таблицы как самая продуктивная идея в области компьютерных информационных технологий, принцип их действия и назначение, функциональные особенности. Основные сведения об электронных таблицах Excel, оценка их главных преимуществ и недостатков.
реферат [527,8 K], добавлен 27.03.2010Процессор электронных таблиц Microsoft Excel - прикладная программа, предназначенная для автоматизации процесса обработки экономической информации, представленной в виде таблиц; применение формул и функций для производства расчетов; построение графиков.
реферат [2,4 M], добавлен 03.02.2013Способы решения системы дифференциальных, нелинейный и линейных уравнений. Понятие интерполирования и аппроксимации. Основные принципы линейного программирования. Сущность и условия применения трендового анализа. Алгоритм создания электронной таблицы.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 02.01.2012Возможности современных компьютерных технологий решения задач в средах MS Excel, MS Word. Область программирования в офисных пакетах. Применение ЭВМ в решении математических задач. Разработка программного обеспечения. Разработка приложений с помощью VBA.
дипломная работа [742,2 K], добавлен 29.01.2009Общее понятие об электронных таблицах Excel, использование формул, функций и диаграмм. Принципы обработки информации в электронныхх таблицах, общие требования к спискам. Экономико-математические приложения Excel, решение уравнений и задач оптимизации.
реферат [2,5 M], добавлен 10.11.2010Интерполяция данных с использованием значений функции, заданной множеством точек, для предсказания значения функции между ними. Результаты линейной интерполяции в графическом виде. Кубическая сплайн-интерполяция. Функции для поиска вторых производных.
презентация [2,7 M], добавлен 29.09.2013Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.
лабораторная работа [2,0 M], добавлен 26.10.2013Особенность электронных таблиц Excel, возможности применения формул для описания связи между значениями различных ячеек. Способы ввода данных, формул и их последующего редактирования, типы ссылок на ячейки и диапазоны, особенности работы со ссылками.
контрольная работа [86,8 K], добавлен 13.03.2019Рабочая область окна и структура MS Excel. Применение и возможности электронных таблиц, преимущества использования при решении задач. Ввод и редактирование данных в ячейках, копирование данных, построение диаграмм, профессиональное оформление документов.
реферат [2,2 M], добавлен 10.06.2010Решение системы линейных уравнений методами деления отрезка пополам, Гаусса и подбора параметров. Формализация задач при моделировании; построение математических, алгоритмических и программных моделей задач с помощью электронных таблиц Microsoft Excel.
лабораторная работа [1,4 M], добавлен 21.07.2012Работа на персональном компьютере с использованием современных компьютерных технологий MS EXEL. Выполнение заданий: табулировние и построение графиков функций, вычисление корней нелинейного уравнения, финансовый анализ в Excel, решение практических задач.
контрольная работа [5,7 M], добавлен 17.07.2009Назначение табличных процессоров. Форматирование шрифта, проверка орфографии, вставка объектов в редакторе Excel. Понятие функции, применение Мастера функций. Абсолютные и относительные адреса ячеек. Обработка данных средствами электронных таблиц.
реферат [51,2 K], добавлен 22.01.2012Роль интерполяции функций в вычислительной математике. Реализация интерполирования функций полиномом Лагранжа в программном продукте MatLab. Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяция по соседним элементам, кубическими сплайнами. Анализ результатов.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 10.06.2012Получение навыков работы в Mathcad при использовании интерполяции и регрессии. Постройте функции сглаживания и предсказания данных с помощью различных встроенных функций. Применение операций как калькулятор, математический анализ, матрица и вычисление.
лабораторная работа [205,1 K], добавлен 23.12.2014Вычисление на ЭВМ значения функции и построение графика ее зависимости от аргумента с помощью компьютерных программ МathCad и MS Excel. Структура составления алгоритмов: методы и приемы, связи между параметрами, анализ, сравнение и заключение выводов.
контрольная работа [124,7 K], добавлен 18.12.2011
