Относительное движение классических механических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

В настоящее время при изучении различных дисциплин все более широко применяются персональные компьютеры, как в процессе обучения, так и текущего контроля. Применение компьютеров активизирует процесс изучения дисциплины студентами, облегчает и ускоряет усвоение нового материала и контроль, что в итоге повышает качество обучения и углубляет знания студентов. При этом используются как стандартные программы, так и разрабатываемые при изучении наиболее важных тем теоретического курса и материала практических и лабораторных занятий.

Модель, компьютерная модель, элемент, система, состояние системы, методы моделирования, обучение моделированию.



Оглавление

Введение

Глава I. Компьютерное моделирование

1.1 Моделирование как метод научного познания

1.2 История возникновения и развития метода компьютерного моделирования. Области применения

1.3 Детерминированные модели динамических систем с конечным числом степеней свободы

1.4 Моделирование движения механической системы в силовом поле

Глава II. Методика изложения темы «Движение в поле гравитационных и электрических сил»

2.1 Изложение теории и постановка задачи

2.1.1 Постановка целей и задач построения компьютерной модели движения электрического заряда

2.1.2 Теория движения заряженной частицы в магнитном поле

2.1.3 Постановка целей и задач моделирования движения космической станции

2.1.4 Теория движения ИСЗ

2.2 Движение электрического заряда в пространстве между заряженными пластинами конденсатора с наложенным магнитным полем

2.3 Модель движения космической станции в поле силы тяжести Земли, Луны и Солнца

Заключение

Список литературы

силовой космический моделирование электрический

Введение

В настоящее время компьютерное моделирование является неотъемлемой составной частью информатики. Развитие этого раздела информатики и проблемы, связанные с его изложением, тесно переплетаются с проблемами постановки курса информатики в целом.

Для развития компьютерной техники и совершенствования архитектурной организации компьютерных систем необходимо непрерывное обучение и самосовершенствование специалистов на этапе обучения. При его проведении необходимо комбинировать формы традиционного обучения с возможностями самостоятельной подготовки, дистанционного обучения, практической разработки проектов и реализации экспериментов исследования.

Существенную роль при обучении в области компьютерных наук играет применение современных методов изучения архитектурной организации и анализа системной производительности КС. В этом смысле, применение методов моделирования в процессе изучения базовых структур различных КС и организации компьютерных процессов позволяет разработать подходящее математическое описание исследуемого объекта и создать программное обеспечение для выполнения компьютерных экспериментов [1]. Анализ экспериментальных результатов моделирования позволяет оценить основные характеристики системы и производительность изучаемых КС.

Применение моделирования в процессе обучения студентов позволяет исследовать особенности архитектуры и организацию вычисления и управления. Это можно осуществить на основе модельного эксперимента, организация которого предполагает проектирование компьютерной модели как последовательности трех компонентов (концептуальная модель, математическая модель, программная модель) и реализации этой модели в подходящей операционной среде. В настоящей работе рассматривается возможность применения методов компьютерного моделирования в процессе их изучения и, в частности, применение принципов моделирования для исследования протекающих процессов.

Основная цель дипломного проекта состоит в определении обобщенной процедуры компьютерного моделирования как последовательности взаимосвязанных этапов и представлении основных стадий методологии модельного исследования при обучении студентов.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

Анализ и общая формализация компьютерной обработки информации при компьютерном моделировании;

выделение особенностей компьютерных вычислений в качестве объекта изучения при обучении моделированию;

применение принципов моделирования в процессе обучения;

разработка практических и лабораторных заданий для обучения компьютерному моделированию.

Решение всех поставленных задач будет формализовано в виде курса теоретических, практических и лабораторных занятий для студентов.



Глава I. Компьютерное моделирование

1.1 Моделирование как метод научного познания

Метод моделирования в качестве научного исследования стал применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывал все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, информационные технологии. Методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин модель широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента:

1) субъект (исследователь),

2) объект исследования,

3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом, так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала [2].

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

Этапы компьютерного моделирования можно представить в виде схемы (рис. 1).



Моделирование начинается с объекта изучения. На первом этапе формируются законы, управляющие исследованием, происходит отделение информации от реального объекта, формируется существенная информация, отбрасывается несущественная. Преобразование информации определяется решаемой задачей. Информация, существенная для одной задачи, может оказаться несущественной для другой. Потеря существенной информации приводит к неверному решению или не позволяет вообще получить решение. Учет несущественной информации вызывает излишние сложности, а иногда создает непреодолимые препятствия на пути к решению. Переход от реального объекта к информации о нем осмыслен только тогда, когда поставлена задача. В то же время постановка задачи уточняется по мере изучения объекта. Таким образом, на первом этапе процессы целенаправленного изучения объекта и уточнения задачи происходят параллельно и независимо друг от друга. Также на этом этапе информация об объекте подготавливается к обработке на компьютере. Строится так называемая формальная модель явления, которая содержит:

набор постоянных величин, констант, которые характеризуют моделируемый объект в целом и его составные части, называемые статистическими или постоянными параметрами модели;

набор переменных величин, меняя значение которых можно управлять поведением модели, называемых динамическим или управляющими параметрами;

формулы и алгоритмы, связывающие величины в каждом из состояний моделируемого объекта;

формулы и алгоритмы, описывающие процесс смены состояний моделируемого объекта.

На втором этапе формальная модель реализуется на компьютере, выбираются подходящие программные средства для этого, строиться алгоритм решения проблемы, пишется программа, реализующая этот алгоритм, затем написанная программа отлаживается и тестируется на специально подготовленных тестовых моделях [18]. Тестирование - это процесс исполнения программы с целью выявления ошибок. Подбор тестовой модели - это своего рода искусство, хотя для этого разработаны и успешно применяются некоторые основные принципы тестирования. Тестирование - это процесс деструктивный, поэтому считается, что тест удачный, если обнаружена ошибка. Проверить компьютерную модель на соответствие оригиналу, проверить насколько хорошо или плохо отражает модель основные свойства объекта, часто удается с помощью простых модельных примеров, когда результат моделирования известен заранее.

На третьем этапе, работая с компьютерной моделью, мы осуществляем непосредственно вычислительный эксперимент. Исследуем, как поведет себя наша модель в том или ином случае, при тех или иных наборах динамических параметров, пытаемся прогнозировать или оптимизировать что-либо в зависимости от поставленной задачи.

Результатом компьютерного эксперимента будет являться информационная модель явления, в виде графиков, зависимостей одних параметров от других, диаграмм, таблиц, демонстрации явления в реальном или виртуальном времени и т.п.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Компьютерное моделирование, возникшее как одно из направлений математического моделирования с развитием информационных компьютерных технологий стало самостоятельной и важной областью применения компьютеров. В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных методов познания. Без компьютерного моделирования сегодня невозможно решение крупных научных задач. Выработана технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью вычислительной техники математической модели изучаемого объекта. Такой метод исследования называется вычислительным экспериментом. Вычислительный эксперимент применяется практически во всех отраслях науки - в физике, химии, астрономии, биологии, экологии, даже в таких сугубо гуманитарных науках как психология, лингвистика и филология. Проведение вычислительного эксперимента имеет ряд преимуществ перед так называемым натурным экспериментом:

для вычислительного эксперимента не требуется сложного лабораторного оборудования;

существенное сокращение временных затрат на эксперимент;

возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения, вплоть до придания им нереальных, неправдоподобных значений;

возможность проведения вычислительного эксперимента там, где натурный эксперимент невозможен из-за удаленности исследуемого явления в пространстве (астрономия) либо из-за его значительной растянутости во времени (биология), либо из-за возможности внесения необратимых изменений в изучаемый процесс.

В этих случаях и используется компьютерное моделирование. Также широко используется компьютерное моделирование в образовательных и учебных целях. Компьютерное моделирование - наиболее адекватный подход при изучении предметов естественнонаучного цикла, изучение компьютерного моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными. Учитель может использовать на уроке готовые компьютерные модели для демонстрации изучаемого явления, будь это движение астрономических объектов или движение атомов или модель молекулы или рост микробов и т.д.. Также учитель может озадачить учащихся разработкой конкретных моделей, моделируя конкретное явление, студент не только освоит конкретный учебный материал, но и приобретет умение ставить проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки, использовать компьютер для решения задач, проводить анализ вычислительных экспериментов. Таким образом, применение компьютерного моделирования в образовании позволяет сблизить методологию учебной деятельности с методологией научно-исследовательской работы.

Понятие моделирования - это очень широкое понятие, оно не ограничивается только математическим моделированием. Истоки моделирования обнаруживаются в далеком прошлом. Наскальные изображения мамонта, пронзенного копьем, на стене пещеры можно рассматривать как модель удачной охоты, созданную древним художником.

Элементы моделирования часто присутствуют в детских играх, любимое занятие детей - моделировать подручными средствами предметы и отношения из жизни взрослых. Взрослеют дети, взрослеет человечество. Человечество познает окружающий мир, модели становятся более абстрактными, теряют внешнее сходство с реальными объектами. В моделях отражаются глубинные закономерности, установленные в результате целенаправленных исследований. В роли моделей могут выступать самые разнообразные объекты: изображения, схемы, карты, графики, компьютерные программы, математические формулы и т.д. Если мы заменяем реальный объект математическими формулами - допустим, согласно Второму закону Ньютона, опишем движение некоторого тела системой нелинейных уравнений, или, согласно закону теплопроводности опишем процесс распространения тепла дифференциальным уравнение второго порядка, - то говорят о математическом моделировании, если реальный объект заменяем компьютерной программой - о компьютерном моделировании.

Но что бы ни выступало в роли модели, постоянно прослеживается процесс замещения реального объекта с помощью объекта-модели с целью изучения реального объекта или передачи информации о свойствах реального объекта. Это процесс и называется моделированием. Замещаемый объект называется оригиналом, замещающий - моделью (рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.2 История возникновения и развития метода компьютерного моделирования. Области применения

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабского ученого Аль Хорезми. Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец 40-х начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них - появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая - беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно «осуществлены» в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Эффективные численные методы и программы, разработанные для многих классов задач, позволили уже на ЭВМ второго поколения решить многие практически важные задачи.

Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается (сказанное справедливо и по отношению к некоторым социально-политическим проектам) [3].

Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными «ресурсами» нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного «сырья» в готовый «продукт», т. е. в точное знание.

История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества. Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в «единственном экземпляре». Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире - информационное) моделирование является неизбежной составляющей научно-технического прогресса.

Наиболее впечатляющие успехи достигнуты при применении математического моделирования в инженерии и технологии. В настоящее время отмечается все возрастающий уровень математизации химии.

Например, химическая кинетика базируется на системах обыкновенных дифференциальных уравнений, химическая гидродинамика - на уравнениях в частных производных и т.д.

Повышается и уровень математизации биологии. В этой связи достаточно сослаться на классические работы В. Вольтерра по моделированию системы хищник - жертва, выполненные еще в начале двадцатого века.

Мы являемся свидетелями все более широкого использования математических идей в экономике, истории и других гуманитарных науках.

Процесс математизации наук идет чрезвычайно быстро благодаря опыту, накопленному при математизации механики и физики, благодаря достигнутому уровню развития самой математики.

Компьютерное моделирование применяют для широкого круга задач в различных областях человеческой деятельности:

Экологии и геофизике:

анализ распространения загрязняющих веществ в атмосфере

проектирование шумовых барьеров для борьбы с шумовым загрязнением

прогнозирование погоды и климата

прогнозирование землетрясений

Транспорте:

конструирование транспортных средств

полетные имитаторы для тренировки пилотов

моделирование транспортных систем

исследование поведения гидравлических систем: нефтепроводов, водопровода

Электронике и электротехнике:

эмуляция работы электронных устройств

Экономике и финансах:

прогнозирование цен на финансовых рынках

имитация краш-тестов

Архитектуре и строительстве:

исследование поведения зданий, конструкций и деталей под механической нагрузкой

прогнозирование прочности конструкций и механизмов их разрушения

проектирование производственных процессов, например химических

моделирование сценарных вариантов развития городов

Управлении и бизнесе:

стратегическое управление организацией

моделирование рынков сбыта и рынков сырья

моделирование производственных процессов

Промышленности

моделирование роботов и автоматических манипуляторов

моделирование прочностных и других характеристик деталей, узлов и агрегатов

Медицине и биологии:

моделирование результатов пластических операций

моделирование пандемий и эпидемий

моделирование воздействия медикаментов и оперативных вмешательств на метаболизм и другие жизненно важные процессы

Политике и военном деле:

моделирование развития межгосударственных отношений

моделирование поведения масс людей в различных общественно-политических ситуациях

моделирование театра военных действий

Различные сферы применения компьютерных моделей предъявляют разные требования к надежности получаемых с их помощью результатов. Для моделирования зданий и деталей самолетов требуется высокая точность и степень достоверности, тогда как модели эволюции городов и социально-экономических систем используются для получения приближенных или качественных результатов.

1.3 Детерминированные модели динамических систем с конечным числом степеней свободы

Различают динамические и стохастические системы. Динамические системы описываются алгебраическими или дифференциальными уравнениями, а характеризующие их величины изменяются непрерывно так, что небольшое относительное изменение внешнего воздействия, входного сигнала или параметра приводит к сопоставимому изменению состояния системы. Например, движение материальной точки в силовом поле, электромагнитные колебания в колебательном контуре, изменение численности популяции, изменения концентрации того или иного вещества в химических реакциях и т.д. При изучении подобных систем используется непрерывно-детерминированный подход, а соответствующие ему математические схемы называются D-схемами (от англ. dynamic). Анализ систем с небольшим числом степеней свободы требует совместного решения небольшого числа уравнений [3]. В ряде случаев решение задачи может быть найдено только численными методами.

В некоторых случаях компьютерное моделирование изучаемой динамической системы не требует вычисления производных и интегралов, а сводится к решению алгебраических уравнений, исследованию функции одного или нескольких аргументов графическими методами (построение графика, поверхности, силовых линий, линий тока, линий равного уровня, потенциала, температуры, световых лучей и т.д.) [4]. Используемая компьютерная программа должна содержать один или несколько вложенных циклов, в которых осуществляется многократное выполнение одной и той же вычислительной процедуры, связанной с нахождением значения функции в узлах одномерной или многомерной сетки. Результаты вычислений выводятся на экран в числовом или графическом виде: печатается массив чисел, либо строятся графики, поверхности, изолинии, линии наибыстрейшего спуска и т.д.

Достаточно часто изучение того или иного процесса требует решения алгебраического уравнения f (x) g(x) , которое можно записать в виде F(x) f (x) g(x) 0. Для решения уравнений и систем уравнений используют прямые (точные) и итерационные (приближенные) методы [5]. В вычислительной математике под точным решением понимают решение с точностью до погрешности округления, которое выдала бы идеальная ЭВМ с бесконечной разрядностью машинного слова, работающая по точным формулам. Прямые методы дают точное решение, причем число арифметических операций может быть оценено заранее. Например, для точного решения квадратного уравнения сначала определяют дискриминант, а затем находят корни с тем количеством знаков, на которое рассчитан компьютер. Итерационные методы имеют следующие особенности: 1) получается приближенное решение с заданной точностью; 2) для его нахождения требуется выполнить большое количество итераций (приближений); 3) требующееся число операций заранее неизвестно.

В случае, когда функция F(x) f (x) g(x) является полиномом первой, второй или третьей степени, применяются аналитические методы нахождения точного значения корня. Если же F(x) -- полином четвертой и более высокой степени, тригонометрическая или трансцендентная функция, то используются приближенные (численные) методы. При этом решение состоит из двух этапов: 1) локализация корня, то есть приближенное установление числового интервала, внутри которого он находится; 2) уточнение корня путем уменьшения содержащего его интервала до требуемого значения .

Для отделения корней можно использовать теорему: если значения функции F(x) на концах интервала [a ; b] имеют разные знаки (при этом

F(a) F(b) 0), то внутри этого интервала содержатся не менее одного корня уравнения F(x) 0.

Наиболее простой способ численного решения уравнения состоит в использовании метода табуляции. Его алгоритм заключается в следующем: 1) локализовать корень уравнения F(x) 0, то есть найти интервал [a ; b], внутри которого график функции y F(x) однократно пересекает ось абсцисс; 2) протабулировать функцию F(x) f (x) g(x) при дискретных значениях аргумента xi a ih, где h x - шаг изменения аргумента, i 1,2,3,..; 3) найти интервал [ xi , xi1], внутри которого функция y F(x) пересекает ось абсцисс (при этом значения F(xi ) и F(xi1) имеют противоположные знаки); 4) если ширина интервала [ xi , xi1] превышает требуемую точность , то считать, что a xi , b xi1 и перейти к операции 2, табулируя функцию с меньшим шагом.

Более удобным является метод половинного деления. Он состоит в следующем: 1) локализуют корень уравнения F(x) 0, определяя содержащий его интервал [a ; b]; 2) отрезок [a ; b] делят точкой c (a b) / 2 пополам; 3) если F(c) 0, то значение x c и есть корень уравнения; если это не так, то из двух отрезков [a ; c ] и [c ;b] выбирается тот, на границах которого функция y F(x) имеет противоположные знаки (F(a) F(b) 0); 4) если ширина отрезка, содержащего корень, превышает заданную точность , то снова повторяют операции 2 и 3, то есть делят выбранный отрезок пополам и выбирают тот, что содержит корень. В противном случае, -- приближенное значение корня равно одному из границ отрезка. В качестве примера рассмотрим решение трансцендентного уравнения x2 e-x, которое можно записать как e-x x2. Соответствующий алгоритм А-1, записанный в псевдокоде, представлен ниже. Существуют и другие методы численного решения подобных уравнений [6]: метод простой итерации, метод касательных, метод секущих, метод парабол и т.д.

В некоторых случаях создание компьютерной модели предполагает решение системы алгебраических уравнений [19]. Например, расчет цепи постоянного тока из нескольких контуров с источниками ЭДС методом Кирхгофа требует решения системы алгебраических уравнений, число которых равно количеству ветвей. Чтобы рассчитать трехфазную цепь необходимо решить систему из нескольких уравнений в комплексных числах.

Для решения систем линейных уравнений также используются точные (конечные) и приближенные итерационные (бесконечные) методы. Точные методы позволяют получить точное решение с помощью конечного числа операций. К ним относятся метод Крамера, метод исключения Гаусса, состоящий в приведении матрицы коэффициентов к треугольному виду. Приближенные методы предполагают построение итерационного процесса, который дает последовательность значений, при определенных условиях сходящуюся к точному решению системы. Обычно ограничиваются первыми 100 или 1000 итераций, что позволяет определить приближенное решение с заданной точностью.

Методом Гаусса можно решить любую систему линейных алгебраических уравнений, однако в случаях, когда уравнения имеют достаточно много нулевых коэффициентов, итерационные методы позволяют получить результат за меньшее количество шагов и требуют меньший объем памяти. Для решения системы нелинейных уравнений используются приближенные методы: метод простой итерации, метод Ньютона [6].

Поведение динамических систем описывается функциями непрерывного аргумента. Но цифровая ЭВМ обрабатывает информацию дискретно: ее программа состоит из отдельных команд, циклов, подпрограмм, процедур, каждая из которых осуществляет отдельный акт преобразования исходных данных. Выход состоит в применении метода сеток, предполагающего дискретизацию области изменения аргументов, в замене функции непрерывного аргумента функцией дискретного аргумента.

Не редко исследуемое явление или процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ), связывающим независимую переменную x , искомую функцию y и несколько ее первых производных: F(x,y, y',...,yn)=0, где n -- порядок старшей производной.

Функция y f (x) называется решением ОДУ, если при ее подстановке дифференциальное уравнение превращается в истинное высказывание. Любое ОДУ имеет бесконечно много решений, для выбора искомого необходимо учесть начальные условия.

Для численного решения подобных уравнений используется метод конечных разностей, который состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов заменяют сеткой и переходят к функциям дискретного аргумента. Производные, входящие в дифференциального уравнения, заменяют соответствующими им конечно-разностными аппроксимациями, а интегралы -- суммами с большим, но конечным числом слагаемых, в которых складываются небольшие, но конечные величины. Использование этого метода для решения дифференциальных уравнений приводит к тому, что получается система алгебраических уравнений, содержащих значения искомой функции в узлах сетки.

Как известно, производная функции y = f (x) -- это предел отношения приращения функции Dy = f (x + Dx) - f (x) к приращению аргумента Dx в случае, когда приращение аргумента стремится к 0:

. (1)

При этом дифференциал dx -- бесконечно малое приращение аргумента, а dy -- соответствующая ему линейная часть приращения функции. Производная характеризует быстроту изменения функции и крутизну графика в данной точке x . Она равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Частная производная функции многих переменных f (x1,..., xn ) по переменной x1 в точке (x1,..., xn ) есть предел приращения функции f (x1 + Dx1,..., xn ) - f (x1,..., xn ) к приращению аргумента Dx1 при фиксированных значениях остальных независимых переменных.

Для численного дифференцирования используется метод сеток: области непрерывного изменения аргументов функции y = f (x1,..., xn ,t ) заменяют конечным множеством узлов, образующих одномерную или многомерную пространственно-временную сетку. От функции непрерывного аргумента переходят к функции дискретного аргумента, приближенно вычисляют ее значения на различных временных слоях, находят производные и интегралы. При этом бесконечно малые приращения функции y = f (x1,..., xn ,t ) и приращения ее аргументов заменяются малыми, но конечными разностями.

1.4 Моделирование движения механической системы в силовом поле

Механическая система представляет собой совокупность материальных точек, взаимодействующих друг с другом и окружающими телами. Основная задача механики состоит в расчете движения точек системы, исходя из их масс и действующих на них сил. Эта глава посвящена компьютерному моделированию систем, состоящих из одной или нескольких частиц, взаимодействующих друг с другом и движущихся во внешнем силовом поле [3].

Простейшей механической системой является материальная точка, которая под действием некоторой силы движется вдоль прямой (например, оси ). Если считать, что движение происходит в вязкой среде, а масса частицы и действующая на нее сила, зависят от координат и времени, то задача становится достаточно сложной. Пусть материальная точка массой m движется вдоль оси под действием силы . На частицу также действует сила сопротивления, которая пропорциональна скорости:. В начальный момент точка имеет координату и скорость. Необходимо определить координату точки, ее скорость и ускорениев следующие моменты времени [7]. Из второго закона Ньютона следует дифференциальное уравнение второго порядка: . Характер движения физической системы зависит от ее параметров, начальных условий и действующей на нее внешней силы. В этом случае возможны следующие ситуации:

1) внешняя сила отсутствует;

2) внешняя сила постоянна;

3) внешняя сила изменяется по некоторому закону .

Будем использовать метод сеток, для этого перейдем от непрерывной области к дискретной области. В соответствии с методом Эйлера заменим бесконечно малые приращения функции и ее первые две производные, их конечно-разностными аппроксимациями. Исходя из параметров системы (m и r), координаты и скорости частицы в момент, рассчитываются ее координата и скорость в следующий момент (дискретный момент ): , , . Это состояние рассматривается как исходное и процедура расчета повторяется для момента времени и т.д. В одном цикле с вычислениями строятся графики .

Большое количество физических задач сводится к анализу движения систем, имеющих две степени свободы, в частности к двумерному движению материальной точки. Например, задача о качении шарика по искривленной поверхности, задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту, задача о движении частицы в поле центральных сил и т.д. Рассмотрим материальную точку массой m, движущуюся в однородном силовом поле , на которую действует сила сопротивления . Необходимо, зная начальные условия, определить координаты, проекции скорости и ускорения в последующие моменты времени, построить траекторию [8].

Пусть материальная точка брошена с некоторой начальной скоростью в поле тяжести в вязкой среде (рис. 3).

При отсутствии силы трения точка движется по параболе, а при ее наличии -- по более сложной кривой. На рис. 3.1 показаны действующие на нее силы.

По второму закону Ньютона: , где .

Получаем:



, , , (2)

, , . (3)

И так, в начале программы необходимо задать массу материальной точки m, коэффициент вязкости r, начальные координаты , и проекции скорости , , силовое поле, , а также шаг по времени ?ф. Затем следует организовать цикл по времени t, в котором будут рассчитываться ускорение, скорость и координата точки в следующий момент времени t +1, и результаты вычислений будут выводиться на экран в текстовом и графическом виде. Результаты приведены на рис. 3.2. Легко определить время подъема и общее время t движения материальной точки. Для этого результаты вычислений координат и времени выводят в текстовом формате. Чтобы найти время подъема следует воспользоваться тем, что в наивысшей точке траектории проекция скорости на ось y меняет свой знак на противоположный [20]. При вычислении времени полета расчеты производятся до тех пор, пока y не станет меньше нуля. Время подъема меньше времени спуска

Рассмотрим также случай, когда материальная точка движется в центральном поле с потенциальной энергией U =U(r). На точку, удаленную от центра O на расстояние r, действует сила притяжения F = F(r), зависящая только от r и направленная к O (рис. 4.1). Можно записать:



, , (4,5,6)

Промоделируем движение точки в поле гравитационных сил притяжения, действующих по закону обратных квадратов (рис. 4.2). Если действует сила вязкого трения, то точка движется по спирали, приближаясь к началу координат. Из рис. 5 видно, при малых скоростях точка движется по эллиптической орбите (траектории 1, 2, 3, 4), а при больших -- по гиперболической (траектории 5, 6). Критическому случаю соответствует параболическая траектория. На рис. 5.2 представлены результаты расчетов движения частицы в центральном поле, для которого . Видно, что траекторией является незамкнутая кривая (розетка). Известно, что частица движется по замкнутой траектории только в поле квазиупругой силы или силы притяжения, для которой .

Для планеты, вращающейся вокруг Солнца, построим графики зависимости расстояния, линейной скорости и секториальной скорости планеты от времени и подтвердим, что секториальная скорость планеты остается постоянной (второй закон Кеплера) [21]. Пусть за время ?ф планета перемещается из в (рис. 6.1). Длины сторон AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны:

, . (7)



Радиус-вектор планеты заметает площадь ?S=r|BC |/2, ее секториальная скорость щ = ?S/?ф. Из рис. 6.2 видно, что секториальная скорость не изменяется, это и подтверждает второй закон Кеплера. Кроме расчета секториальной скорости в программе вычисляются скорость х и расстояния r от планеты до Солнца. На рис. 6.3 представлены результаты расчетов движения альфа-частиц в поле положительно заряженного ядра атома (опыт Резерфорда) при различных значениях прицельного параметра с. Действуют силы отталкивания, поэтому в программе следует изменить знак в выражении для силы F. Траекториями частиц являются гиперболы. После небольших изменений можем промоделировать движение частицы в центральном поле, задаваемом уравнением: . Коэффициенты и подбираются так, чтобы при больших r преобладали силы притяжения, а при малых -- силы отталкивания.

Итак, исходя из информации, приведенной в главе 1 можно заключить, что компьютерное моделирование, как метод научного познания является наиболее приемлемым для изучения процессов, неподвластных непосредственному изучению. К таким процессам можно отнести как микропроцессы, так и макропроцессы. В главе 2 будет рассмотрено моделирование движения электрического заряда в пространстве между заряженными пластинами конденсатора - в качестве микропроцесса, а также моделирование движения космической станции в поле тяжести Земли, Луны и Солнца.

Глава II. Методика изложения темы «Движение в поле гравитационных и электрических сил»

2.1 Изложение теории и постановка задачи

2.1.1 Постановка целей и задач построения компьютерной модели движения электрического заряда

В современном мире с интенсивно протекающим научно-техническим прогрессом и развитыми технологиями требуются высокоточные способы анализа веществе. Одним из них является масс-спектрометрический способ анализа. Масс-спектрометры применяются при контроле технологических процессов, в космических исследованиях, в экологии и т.д. Одной из наиболее распространенных разновидностей подобных приборов являются масс-спектрометры динамического типа, которые сочетают в себе высокие эксплуатационные и аналитические свойства. Работа приборов этого типа основана на разделении заряженных частиц с различным значением удельного заряда с квадратичным распределением потенциала. Используются различные режимы работы приборов этого типа. В некоторых из них для улучшения рабочих характеристик используется заполнение рабочего объема анализатора и смежных устройств легким нейтральным газом [23].

В устройствах транспортировки ионов на основе ионной ловушки и фильтра масс этот газ позволяет снизить энергию и размер ионного облака. В этом случае возникает задача оценки влияния нейтрального газа на движение заряженных частиц в полях с квадратичным распределением потенциала.

Возникновение силы, действующей на электрический заряд, движущийся во внешнем электромагнитном поле - Силы Лоренца - приводит к перераспределению тока по сечению проводника, что находит свое проявление в термомагнитных и гальваномагнитных явлениях [24].

Эффект Лоренца широко применяется в измерительных приборах, в качестве так называемого датчика Холла: пластинка из металла или полупроводника помещается в магнитное поле В. При пропускании через нее электрического тока плотности j в направлении перпендикулярном магнитному полю в пластине возникает поперечное электрическое поле, напряженность которого Е перпендикулярна обоим векторам j и В. По данным измерений находят В [25].

Этот эффект объясняется действием силы Лоренца на движущийся заряд.

Примерами приборов, в которых также применяется датчик Холла (действие которого основано на эффекте Лоренца) можно назвать гальваномагнитные магнитометры, масс-спектрометры, ускорители заряженных частиц, магнитогидродинамические генераторы.

В качестве основной цели моделирования движения заряженной частицы в пространстве между пластинами конденсатора можно выделить исследование режимов работы и разработку способов улучшения параметров приборов в области масс-спектрометрии и других, актуальных для электродинамики на сегодняшний день областях.

Поставленная цель может быть достигнута решением следующих задач:

Разработка аналитической теории движения частицы

Построение компьютерной модели движения частиц в электромагнитном поле

Сравнение аналитической и компьютерной модели для оценки достоверности

Заключение о возможности оптимизации параметров электродинамических приборов на основе аналитической теории и результатов компьютерного моделирования.

2.1.2 Теория движения заряженной частицы в магнитном поле

Рассмотрим движение заряженной частицы в магнитном поле, если ее начальная скорость перпендикулярна линиям индукции . Со стороны поля на заряд действует сила Лоренца (где q - заряд частицы; u - скорость заряда; B - индукции магнитного поля), лежащая в плоскости рисунка и направленная перпендикулярно вектору скорости (рис. 9.1). Проекции силы Лоренца на координатные оси равны [9]:

(8)

Проекции ускорения, скорости и координаты частицы в момент времени t+1 равны:

(9)

. (10)

Определив координаты и проекции скорости точки в момент времени t+1, можно повторить процедуру вычисления требуемое количество раз и построить траекторию движения точки. Заряженная частица описывает окружность, радиус которой R = mх/Bq. При наличии тормозящей силы скорость частицы и радиус кривизны траектории постепенно уменьшаются, частица движется по спирали (рис. 9.2).

Особое внимание следует обратить на случай, когда заряженная частица движется в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть силовые линии электрического поля лежат в плоскости экрана и направлены вверх, а силовые линии магнитного поля направлены к нам перпендикулярно плоскости экрана. Если заряд частицы положительный, то на него со стороны электрического поля действует постоянная сила, направленная вверх. Чтобы учесть ее влияние необходимо к вертикальной проекции силы Лоренца прибавить постоянное слагаемое qE:

. (11)

Во остальном задача решается аналогично.

2.1.3 Постановка целей и задач моделирования движения космической станции

Актуальность разработки теории движения небесных тел много лет остается плодотворным направлением исследований, как в физике, так и в математике. Одной из ее важнейших проблем является ограниченная задача трех тел. Актуальность исследования этой задачи связана с тем, что ее общее решение до сих пор не известно, но сама она имеет многочисленные и важные практические приложения.

За 45 лет существования раздела науки, именуемого динамикой ИСЗ, создано много новых методов и алгоритмов, предназначенных как для приближенного, так и для высокоточного моделирования движения, написаны подробные монографии и аналитические обзоры, но учебников практически нет. Вышедшая в 1965 г. книга П. Е. Эльясберга "Введение в теорию полета искусственных спутников Земли", которую можно было бы порекомендовать студентам для первоначального ознакомления с проблемой, давно стала библиографической редкостью. По современным результатам практически не существует сколько-нибудь подробных обзоров.

Моделирование орбит любых искусственных тел в околоземном пространстве опирается на отыскание частных решений ограниченной задачи трех тел. Для этого применяются разнообразные численные и численно-аналитические алгоритмы. Желание получить новые семейства орбит заставляет нас развивать способы интегрирования этой сложной задачи.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Анализ существующих классов орбит и практики их применения для астрофизических исследований, выявление недостатков указанных орбит, анализ существующих подходов к численному моделированию орбитального движения СИСЗ и выявление их недостатков.

2. Разработка математической модели движения искусственного тела, позволяющей эффективно исследовать орбиты.

3. Разработка средств численного анализа и алгоритма численного моделирования орбитального движения СИСЗ.

5. Разработка компьютерной модели движения искусственного спутника Земли, позволяющей эффективно исследовать орбиты.

6. Получение новых, перспективных классов орбит СИСЗ в окрестности треугольных точек либрации и изучение их свойств.

2.1.4 Теория движения ИСЗ

С математической точки зрения задача о движении искусственного спутника Земли, как и задача о движении любого естественного объекта Солнечной системы, является задачей Коши. Движение описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями с начальными условиями.

Обычно движение искусственного спутника Земли представляется как движение материальной частицы бесконечно малой массы в поле тяготения центрального тела с массой под действием сил, определенных потенциальной функцией , и совокупности не потенциальных сил . В этом случае дифференциальные уравнения движения частицы в прямоугольной инерциальной системе координат, связанной с центральным телом , можно записать следующим образом:

с начальными условиями

Количество действующих на движение ИСЗ возмущающих сил весьма велико. К силам, имеющим потенциал, относятся все силы гравитационной природы. Это влияние не сферичности Земли, возмущения, связанные с приливными деформациями Земли, а также влияние Луны и Солнца. К силам, не имеющим потенциала, относится сила сопротивления атмосферы. Сила светового давления на искусственный спутник Земли для большинства объектов является разрывной функцией времени. Ее непрерывная аппроксимация, содержащая функцию тени, также является не потенциальной, хотя сама по себе сила радиационного давления имеет потенциал [10].

Как аналитический, так и численный подходы к решению уравнений небесной механики основаны на приближении решений отрезками каких-либо рядов, однако в построении этих решений есть принципиальная разница.

Аналитический подход позволяет строить ряды, аппроксимирующие решение на значительных интервалах времени от одного до нескольких тысяч оборотов объекта. Кроме того, очень существенно, что аналитическая аппроксимация хотя и может зависеть от типа орбиты, но никогда напрямую не связана с начальными условиями уравнений движения. В связи с этим аналитическую аппроксимацию можно считать общим решением. И именно поэтому аналитические методы иногда называют методами общих возмущений.

Главная трудность при аналитическом подходе состоит в представлении правых частей уравнений движения в виде явных функций времени. Это достигается путем разложения возмущающей функции в ряд пуассоновского типа. Сложность построения точных аналитических аппроксимаций решения уравнений (12) приводит к тому, что более или менее общее решение, приемлемое для различных типов орбит, построить практически невозможно и применение каждой отдельной теории движения ограничено конкретным классом орбит.

Чтобы решить задачу, необходимо для начала четко себе ее представить.

Предположим, всеми правдами и неправдами нам удалось заполучить двумерный участок безвоздушного пространства с находящимися в нем телами. Все тела перемещаются под действием сил гравитации. Внешнего воздействия нет.

Необходимо построить процесс их движения относительно друг друга. Простота реализации и красочность конечного результата послужат стимулом и наградой. Освоение Питона будет хорошей инвестицией в будущее.

Введем систему координат.

Пусть система состоит из двух тел:

1. массивной звезды массой М и центром ;

2. легкой планеты массой m, с центром в точке , скоростью и ускорением .

После разбора данного случая, студент легко перейдет к сложным системам со взаимным влиянием звезд и планет друг на друга.

Согласно Второму закону Ньютона:

(14)

(15)

Это позволяет составить алгоритм перемещения планеты в поле гравитации звезды:

1. Перед началом задается начальное положение планеты и начальную скорость

2. На каждом шаге вычисляется новое ускорение по формуле выше, после этого пересчитываем скорость и координаты:

(16)

(17)

(18)

(19)

2.2 Движение электрического заряда в пространстве между заряженными пластинами конденсатора с наложенным магнитным полем

Основная задача электродинамики состоит в расчете электрического и магнитного полей и их взаимодействия с окружающими телами при заданном распределении зарядов и электрических токов. Ее решение предполагает нахождение потенциала, напряженности и индукции электромагнитного поля, определение силы взаимодействия с зарядами, расчет движения электрических зарядов.

Лабораторная работа №1

Элементарное моделирование

Рассмотрим модель движения заряженной частицы в кулоновском поле другой заряженной частицы, положение которой фиксировано [22].

Входные параметры модели:

q и Q соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц;

m масса движущейся частицы;

начальные координаты движущейся частицы;

начальная скорость движущейся частицы.

В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу, дифференциальные уравнения модели имеют вид

(20)

Они получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона. = 0,85. 1012 ф/м электрическая постоянная. Знак “” в двух последних уравнениях соответствует разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на “+”.

Взаимные движения разноименно заряженных частиц и движения двух небесных тел качественно очень схожи (это становится совершенно очевидно после обезразмеривания уравнений) (20).

Контрольные вопросы

Как формулируется закон всемирного тяготения?

Как формулируется закон Кулона?

Темы для рефератов

Движение небесных тел. Задача двух тел. Возмущения. Задача трех тел.

Темы семинарских занятий

Движение небесных тел. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера.

Закон Кулона. Единицы измерения электрических величин. Характеристики электрического поля.

Лабораторная работа №2

Моделирование в MS Excel с помощью Visual Basic Application

1. Изучите теорию движения точки в центрально симметричном поле сил притяжения и отталкивания. По каким траекториям может двигаться точка? В каком случае траектория замкнута?

2. Изучите математическую модель явления и алгоритм, позволяющий рассчитать движение точки в поле центральной силы.

3. По направлению к массивному положительно заряженному ядру движутся частицы. Рассчитайте траекторию движения частиц в Excel. Для этого наберите и запустите программу ПР-1 [11]. В начале программы следует задать прицельный параметр y0=30. Действуют силы отталкивания, поэтому в программе сила F положительна. Траекториями частиц являются гиперболы (рис. 11). Все физические величины измеряются в условных единицах [12].

...