Автоматизація синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут”

УДК 621.38

АВТОМАТИЗАЦІЯ СИНТЕЗУ

СХЕМНИХ МАКРОМОДЕЛЕЙ КОМПОНЕНТІВ,

ЩО ОПИСУЮТЬСЯ СИСТЕМАМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

05.13.12 - Системи автоматизації проектувальних робіт

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

БЕЗНОСИК ОЛЕКСАНДР ЮРІЙОВИЧ

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі системного проектування Навчально-наукового комплексу «Інститут прикладного та системного аналізу» (ННК «ІПСА») Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут» Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор технічних наук, професор Петренко Анатолій Іванович Національний технічний університет України «КПІ», завідувач кафедри системного проектування

Офіційні опоненти доктор технічних наук, доцент Теслюк Василь Миколайович Національний університет «Львівська політехніка», професор кафедри систем автоматизованого проектування

кандидат технічних наук, доцент Витязь Олег Олексійович Національний технічний університет України «КПІ», доцент кафедри фізичної та біомедичної електроніки

Захист відбудеться 20 грудня 2010 р. о 15 годині 00 хвилин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.002.17 у Національному технічному університеті України «Київський політехнічний інститут» за адресою: 03056, м. Київ, проспект Перемоги, 37, корп. 6, кім. 9.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці НТУУ “КПІ” (03056, м. Київ, проспект Перемоги, 37).

Автореферат розіслано 16 листопада 2010 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д26.002.17

кандидат технічних наук, доцент Г.Д. Кисельов



АНОТАЦІЇ

Безносик О.Ю. Автоматизація синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь. - Рукопис. диференціальний рівняння автоматизований електромеханічний

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.12 - Системи автоматизації проектувальних робіт. - Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”. - Київ, 2010.

Дисертація присвячена дослідженню та розробці методів автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь. Досліджено особливості побудови схемних еквівалентів для систем звичайних диференціальних рівнянь у формі Коші та показано можливість створення автоматизованої системи побудови відповідних макромоделей.

Вдосконалено метод побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, який базується на використанні принципу електромеханічних аналогій. Розроблено методи скорочення макромоделей, поданих у вигляді схемних еквівалентів, що враховують особливості галузі їх застосування.

Доведено можливість використання методів оптимізації, характерних для САПР схемотехнічного рівня, для уточнення параметрів отриманих схемних макромоделей.

Розроблено методику автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, яка включає етапи побудови, скорочення та оптимізації параметрів макромоделі.

Розроблені методи реалізовано у вигляді програмного забезпечення, яке є сумісним з пакетом схемотехнічного проектування NetALLTED, і перевірено на кластері НТУУ «КПІ».

Ключові слова: синтез схемних макромоделей, методи скорочення математичних моделей, оптимізація, САПР, моделювання.



Безносик А.Ю. Автоматизация синтеза схемных макромоделей компонентов, описываемых системами дифференциальных уравнений. - Рукопись.

Диссертация посвящена исследованию методов автоматизации синтеза схемных макромоделей компонентов, описываемых системами дифференциальных уравнений. Определены основные подходы, использующиеся современными системами проектирования при моделировании объектов сложной физической природы. Предложено использование схемных эквивалентов компонентов, описываемых системами дифференциальных уравнений, в качестве макромоделей отдельных подсистем современных гетерогенных устройств. В работе рассмотрено современное состояние САПР схемотехнического уровня. Проведен анализ эффективности математического аппарата и дополнительных видов анализа наиболее популярных систем схемотехнического проектирования.

Обоснована возможность создания автоматизированного метода построения схемных макромоделей неэлектронных компонентов, описанных системами дифференциальных уравнений в форме Коши. В качестве тестов использовался набор задач для сертификации программ библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ. Исследованы особенности получения макромоделей для систем обыкновенных дифференциальных уравнений различного вида, приведены соответствующие языковые конструкции для пакета схемотехнического проектирования NetALLTED.

При переходе к схемным эквивалентам для компонентов, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных, в работе использован метод электромеханических аналогий. Усовершенствован автоматизированный метод получения макромоделей на примере базовых механических узлов и элементов (включающих балки с одной и тремя степенями свободы, как однородные, так и с присоединенными и встроенными массами, а также пластины). Адекватность и эффективность метода проверена путем сравнения полученных в ППП NetALLTED резонансных (собственных) частот объектов с аналитическим расчетом, а также с результатами моделирования в пакете конечно-элементного моделирования ANSYS Multiphysics.

Для уменьшения размерности полученных схемных макромоделей было предложено использование методов сокращения размерности. В результате анализа существующих методов сокращения выбран класс методов на основе Y-? преобразования, среди которых наиболее целесообразным является использование метода RLC-сокращения, применяемого для уменьшения размерности линейных схем на этапе верификации при проектировании СБИС. Однако для получения адекватных схемных макромоделей базовый метод был усовершенствован в части учета отрицательных номиналов компонентов, а также разброса номиналов элементов схемы (до 30 порядков). Разработаны модификации данного метода, которые в зависимости от метода выбора подлежащих сокращению узлов схемы обеспечивают уменьшение времени сокращения (до 15 раз), увеличение точности получаемой макромодели (погрешность при сокращении размерности в 20 раз составляет 5-7%), уменьшение неоднозначности сокращения. На тестовом наборе примеров исследованы особенности разработанных модификаций и даны методические рекомендации по порядку и условиям их использования.

Моделирование устройств проводилось как в частной области (определение собственных частот объекта), так и во временной (определение реакций объекта под действием вешних сил).

Разработана методика получения схемных макромоделей неэлектрических компонентов с требуемой точностью, которая включает этапы построения эквивалентной схемы замещения, сокращения ее размерности и получения макромодели объекта, уточнения параметров макромодели с использованием оптимизационных процедур пакетов схемотехнического проектирования. С учетом чувствительности и характерных особенностей (овражности) целевых функций, предложено использование методов оптимизации на основе случайного поиска.

На примере моделирования распространения волны в прямолинейном трубопроводе исследованы особенности сокращения макромоделей неэлектронных компонентов, описанных системами дифференциальных уравнений в частных производных, в которых присутствует эффект демпфирования.

В работе показана и экспериментально подтверждена возможность формирования библиотеки базовых узлов из области проектирования на примере механических компонентов и моделирования работы составного устройства на их основе. Разработанные методы реализованы в виде программного обеспечения, которое совместимо с пакетом схемотехнического проектирования NetALLTED, и проверены на кластере НТУУ «КПИ».

Ключевые слова: синтез схемных макромоделей, методы сокращения математических моделей, оптимизация, САПР, моделирование.



Beznosyk O.Y. Automatization of synthesis of circuit macromodels of components described by systems of differential equations. - Manuscript.

Ph.D. thesis on the specialty 05.13.12 - Computer Aided Design Systems. - National Technical University of Ukraine “Kyiv Polytechnic Institute”. - Kyiv, 2010.

The dissertation is devoted to the investigation and development of the methods of automatization of synthesis of circuit macromodels of components described by the systems of differential equations. The features of construction of the circuit equivalents for systems of Cauchy's ordinary differential equations are investigated, and the possibility to create an automatized system to construct respective macromodels is shown. The method to construct the circuit macromodels of the components described by the systems of differential equations in partial derivatives based on the usage of the electromechanical analogies principle is improved. The methods of the reduction of macromodels presented as circuit equivalents, which take into account the features of a field of their usage, are developed. The possibility to use the optimization methods specific for circuit level CAD systems to adjust parameters of the macromodels obtained is approved. The technique of the automatized synthesis of the circuit macromodels of the components described by the systems of differential equations in partial derivatives that includes the stages of construction, reduction and parameters' optimization of a macromodel is developed. The methods developed are implemented as a software compatible with NetALLTED application package and tested at the NTUU “KPI” cluster.

Keywords: synthesis of circuit macromodels, mathematical models reduction methods, optimization, CAD, simulation.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації. Існуючі методики моделювання об'єктів, що містять у своєму складі компоненти, які діють за різними фізичними принципами, ускладнені внаслідок відмінності форм опису їх складових та засобів проектування окремих підсистем. Найбільш поширеними підходами до проектування складених об'єктів є використання імітаційного проектування або послідовного проектування окремих підсистем із врахуванням взаємних впливів. Брак точності, який притаманний імітаційним моделям, та складнощі з використанням окремих систем проектування при послідовному проектуванні значно збільшують як час розробок, так і їх ціну. Математичні моделі окремих компонентів найчастіше описуються системами диференціальних рівнянь, але вигляд цих систем значною мірою залежить від галузі розробки, засобів та методів моделювання. Поєднання окремих підсистем у єдиному циклі моделювання вимагає зведення описів компонентів до єдиного базису та використання співвідносного порядку точності моделей. Таким чином, актуальною є проблема дослідження можливості одночасного моделювання об'єктів з компонентами різної фізичної природи, математичні моделі яких надані у вигляді систем диференціальних рівнянь.

Вагомий внесок в розробку теоретико-математичних основ САПР, внесли, зокрема, вітчизняні (Петренко А.І., Сигорський В.П., Рогоза В.С., Лобур М.В., Хаханов В.І.) та закордонні (Норенков І.П., Muller S., Naperalski A.) вчені.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота напряму зв'язана з планами наукових досліджень, які виконувалися на кафедрі системного проектування ННК «ІПСА» НТУУ «КПІ» зі створення систем макромоделювання МЕМС як у галузі електроніки, так і суміжних галузях (механиці, гідравлиці та т.і.) з використанням вітчизняного пакету САПР NetALLTED. Результати роботи використовувалися при виконанні Проектних угод Українського науково-технологічного Центру (УНТЦ) №1636 «Розробка мережевого комплексу автоматизованого проектування складних багатофункціональних систем» та №3278 «Розробка методології та інструментарію моделювання в середовищі Internet з орієнтацією на мікроелектромеханічні системи (МЕМС)», а також у держбюджетних темах №2512 «Розробка методології та інструментарію моделювання мікроелектромеханічних структур (МЕМС) та великих інтегральних схем (ВІС)», інв. №0203U008550, 2002-2003, м. Київ та №2115 «Методи автоматичного формування схемних макромоделей мікроелектромеханічних систем», інв. №0209U010716, 2008-2009, м. Київ, у яких здобувач приймав участь як виконавець.

Мета та завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка і дослідження нових методів синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь різних типів.

Для досягнення поставленої мети було необхідно розв'язати такі задачі:

· проаналізувати існуючі методи та засоби моделювання систем з компонентами різної фізичної природи;

· розробити методи побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь різних типів;

· вдосконалити методи скорочення розмірності математичних моделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь різних типів;

· проаналізувати можливість підвищення точності схемних макромоделей, що отримуються;

· проаналізувати особливості моделювання отриманих схемних макромоделей в різних режимах роботи (частотний аналіз, аналіз у часі);

· розробити методику автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь.

У відповідності з поставленою метою об'єктом теоретичних та експериментальних досліджень є процес автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь різних типів, а предметом досліджень - методи та засоби автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь.

Методи досліджень. Для вирішення завдання розробки методів автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь, використовувалися метод електромеханічних аналогій, методи формування еквівалентних схем заміщення, методи скорочення математичних моделей, методи оптимізації параметрів моделей. Перевірка отриманих результатів виконувалася шляхом порівняльного аналізу результатів моделювання поведінки конструктивних елементів механічних об'єктів засобами схемотехнічного проектування з результатами аналітичних розрахунків або результатами моделювання засобами скінченно-елементного аналізу. Обчислювальні експерименти проводились на ЕОМ та суперкомп'ютері НТУУ «КПІ» за допомогою пакету схемотехнічного проектування NetALLTED та пакету ANSYS Multiphysics.

Науковою новизною отриманих результатів є наступне:

· обґрунтовано можливість створення автоматизованого методу побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами звичайних лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку, що дає змогу реалізувати стандартну проектну процедуру моделювання об'єктів з компонентами різної фізичної природи;

· вдосконалено метод побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, який відрізняється від існуючого врахуванням скінченності розрядної сітки комп'ютера та великої різниці в значеннях елементів матриць C, G, L (до 30 порядків) і, таким чином, дає змогу отримати адекватні схемні макромоделі неелектричних об'єктів;

· вперше застосовано метод Y-? перетворення для зменшення розмірності схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь у частинних похідних, та розроблено його модифікацію, яка відрізняється врахуванням елементів з негативними номіналами, умовами скорочення вузлів та можливістю скорочення до заданої кількості вузлів (розмірності), що дає змогу врахувати особливості математичних моделей неелектричних об'єктів;

· розроблено методи вибору вузлів, що скорочуються при зменшенні розмірності схемних макромоделей компонентів, які відрізняються від базового зменшенням неоднозначності послідовності скорочення вузлів, методикою визначення множини вузлів, що можуть підлягати скороченню на кожному кроці Y-? перетворення, та критеріями вибору вузла, що підлягає скороченню, із множини можливих, що дало змогу (в залежності від методу) зменшити час розрахунків до 15 разів та максимальну кількість нових елементів, що утворюються в процесі скорочення, до 6 разів.

Практичне значення отриманих результатів полягає в такому:

· розроблено методику автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних;

· експериментально підтверджено ефективність застосування оптимізаційних процедур пакету схемотехнічного проектування для уточнення параметрів схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь;

· проаналізовано особливості моделювання отриманих схемних макромоделей в різних режимах роботи (частотний аналіз, аналіз у часі);

· розроблені методи реалізовано у вигляді програмного забезпечення, яке є сумісним з пакетом схемотехнічного проектування NetALLTED, і перевірено на кластері НТУУ «КПІ».

Результати роботи впроваджені в учбовий процес на обчислювальному кластері НТУУ «КПІ» і використовуються в курсі «Основи автоматизованого проектування складних об'єктів та систем».

Особистий внесок здобувача. Всі основні положення та результати роботи, що виносяться на захист, отримано автором самостійно та опубліковано у [1-23]. У друкованих працях, опублікованих у співавторстві, автору належить: аналіз методів скорочення розмірності математичних моделей на основі Y-? перетворення [4], побудова схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, та використання Y-? перетворення для скорочення розмірності еквівалентної схеми заміщення [7, 9], перевірка запропонованих методів на базових конструктивних елементах з галузі механіки [10-12, 18, 29], методика побудови скорочених схемних макромоделей [13, 17], дослідження ефективності використання оптимізаційних процедур для уточнення параметрів скорочених схемних макромоделей [14, 22], розробка тестового прикладу для перевірки можливості побудови бібліотеки схемних макромоделей механічних компонентів [15], аналітичний розрахунок деформації об'єкту під дією зовнішніх сил [16], модифікація методу RLC-скорочення для зменшення невизначеності процесу скорочення [20], розробка автоматизованого методу побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами звичайних лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь [21], використання віддаленого доступу до програмного забезпечення, що реалізує розроблену методику [23].

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідалися, обговорювалися та отримали схвальну оцінку на таких конференціях:

· 1-й (2005 р.), 4-й (2008 р.), 5-й (2009 р.), 6-й (2010 р.) Міжнародних конференціях «Перспективні технології та методи конструювання МЕМС», с. Поляна, Закарпатська обл.;

· 9-й (2007 р.), 10-й (2008 р.), 11-й (2009 р.), 12-й (2010 р.) Міжнародних науково-технічних конференціях «Системний аналіз та інформаційні технології», м. Київ;

· 20-й, 21-й Міжнародних конференціях «Математичні методи в техніці та технологіях» (2007 р., м. Ярославль, 2008 р., м. Саратов, Росія);

· 1-й науково-практичній конференції з міжнародною участю «Комп'ютерне моделювання в хімії та технологіях» (2008 р., м. Черкаси);

· 18-й Міжнародній Кримській конференції «НВЧ-техніка та телекомунікаційні технології» (2008 р., м. Севастополь);

· 28-й і 29-й Міжнародних науково-технічних конференціях «Проблеми електроніки» (2008 р., м. Київ), «Електроніка та нанотехнології» (2009, м. Київ);

· 10-й Міжнародній науково-технічній конференції «Досвід розробки та застосування приладо-технологічних САПР в мікроелектроніці» (2009 р., с. Поляна, Закарпатська обл.);

· 1-й науковій конференції магістрантів та аспірантів «Прикладна математика та комп'ютинг» (2009 р., м. Київ).

Публікації. За матеріалами дисертаційної роботи опубліковано 23 друковані праці, з них 7 статей опубліковано у виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та об'єм роботи. Дисертаційна робота об'ємом 143 машинописні сторінки складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що складається зі 111 найменувань та міститься на 14 сторінках, 5 додатків, що містяться на 12 сторінках. Дисертація містить 71 рисунок та 29 таблиць (з них 4 рисунки та 6 таблиць на 6 окремих листах).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність, показано зв'язок проблеми з науковими програмами, планами та темами, сформульовано методи та основні завдання досліджень, наукову новизну та практичне значення отриманих результатів. Наведено дані про апробацію результатів роботи, публікації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі розглянуто системи диференціальних рівнянь різного виду, за допомогою яких можуть описуватися компоненти різної фізичної природи, та підходи до синтезу і сумісного моделювання таких компонентів.

Математична модель (ММ) компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь у формі Коші (СДРФК), характеризується невеликою розмірністю, оскільки способом отримання такого опису є аналітичне вирішення деякої фізичної задачі, та великою точністю. Математичні моделі компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь у частинних похідних (СДРЧП), навпаки, навіть при задовільній точності мають дуже великі розміри, оскільки формуються в результаті дискретизації вихідного об'єкту за допомогою методу скінченних елементів, при цьому формування такої ММ проводиться автоматично. Математичні моделі компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь, заданих неявно (СДРЗН), найбільш характерні для галузі електроніки для моделювання динамічного режиму. Така ММ характеризується середньою розмірністю, що не залежить від точності. Виходячи з можливості автоматичного формування опису ММ, її розмірності та можливості керування точністю обрахунків, найбільш придатним базисом для сумісного моделювання компонентів, що описуються різними видами систем диференціальних рівнянь, є СДРЗН, що вимагає приведення до нього інших базисів, наприклад, у вигляді деяких схемних макромоделей (еквівалентних електричних кіл).

Проведено аналіз відомих засобів проектування на схемотехнічному рівні: HSpice, Saber, NetALLTED, Spectre. У якості базового пакету моделювання було обрано NetALLTED з огляду на більш розвинений набір оптимізаційних процедур та можливість поповнення бібліотек моделей, нелінійних функцій та елементів.

Серед пакетів скінченно-елементного моделювання для побудови моделей об'єктів, що описуються СДРЧП, було обрано пакет ANSYS Multiphysics, враховуючи наявність в ньому великої кількості моделей елементів різної фізичної природи та засобів отримання матриць, що описують ММ об'єкту.

Другий розділ присвячений розробці методів побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР) та системами диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Показано, що система звичайних диференціальних рівнянь у формі Коші

(n - кількість рівнянь системи) може бути представлена у вигляді еквівалентної електричної схеми. Розглянуто три найбільш вживані випадки представлення такої системи:

У другому випадку, на відміну від першого, присутня явна залежність від функції незалежної змінної x. Для електричної схеми це буде еквівалентно наявності джерела струму, яке чисельно дорівнює функції, що залежить від часу t. Якщо ж систему рівнянь не можна представити у жодному з двох перших виглядів, показано можливості побудови схемного еквіваленту для СЗДР у загальному випадку.

В якості прикладів використовувався набір тестових задач, що супроводжуються аналітичним вирішенням, який був розроблений для сертифікації програм бібліотеки чисельного аналізу НДОЦ МГУ. Результати моделювання отриманих еквівалентних схем заміщення в пакеті NetALLTED порівнювалися за контрольними точками з графіками відповідних функцій рішення, побудованими за допомогою пакету Matlab. Оскільки рішенням диференціального рівняння в загальному випадку є набір кривих, а будь-яке конкретне рішення визначається заданими початковими умовами, то початкові напруги у відповідних вузлах електричної схеми будуть відповідати початковим умовам задачі Коші. Показано, що результати вирішення системи диференціальних рівнянь за допомогою пакета схемотехнічного проектування повністю співпадають з аналітичними.

Наприклад, для системи рівнянь

,

аналітичним рішенням якої при початкових умовах ,

є ,

еквіваленту схему заміщення та відповідний опис на мові ППП NetALLTED. Графіки функцій рішення, побудовані за допомогою пакету Matlab, та результати моделювання в пакеті NetALLTED

У випадку, якщо фізичний об'єкт може бути описаний системою звичайних диференціальних рівнянь, що в матричному вигляді записується як

,



де y - вектор потоково-різницевих змінних, x - незалежна змінна, C та G - матриці коефіцієнтів, B - вектор функцій, залежних від x, є можливість створення системи автоматизованої побудови схемного еквіваленту математичної моделі, що розглядається, враховуючи відповідність між елементами матриць та значеннями номіналів елементів схеми.

Якщо ж об'єкт описується СДРЧП, його математичну модель зазвичай отримують за допомогою методу скінченних елементів, застосування якого потребує значних обчислювальних витрат. Отримані таким чином моделі мають досить велику розмірність (до сотень тисяч рівнянь) і не можуть безпосередньо використовуватися у пакетах схемотехнічного проектування. Тому практично єдиним рішенням є автоматична генерація відповідних макромоделей у вигляді еквівалентних електричних схем заміщення шляхом вилучення необхідної інформації з детальних скінченно-елементних моделей.

Після дискретизації методом скінченних елементів загальної динамічної моделі об'єкту, що описується СДРЧП, отримуємо систему звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, що у матричній формі виглядає як

де М, D і K - матриці маси, демпфування та жорсткості відповідно; x - вектор невідомих; B - матриця входів; F - вектор зовнішньої сили; t - час; C - матриця виходів та y - вектор вихідних змінних.

Враховуючи електромеханічні аналогії, можна перейти до еквівалентної схеми заміщення. Номінали елементів еквівалентної електричної схеми обчислюються з елементів матриць маси, демпфування та жорсткості за такими формулами:



де C_ij, G_ij, L_ij - відповідно ємність, провідність, індуктивність, розташовані між i-им та j-им вузлами схеми, C_i0, G_i0, L_i0 - ємність, провідність, індуктивність, розташовані між i-им вузлом та землею, M_ij, D_ij, K_ij - елементи матриць маси, демпфування та жорсткості, розташовані на перетині i-го рядка та j-го стовпчика, N - кількість рівнянь системи.

Однак обрахунок номіналу елементу за вищенаведеними формулами за допомогою ЕОМ викликає ряд особливостей, які необхідно враховувати. Розроблено алгоритм, що дозволяє зменшити похибку, пов'язану із зберіганням дійсних чисел, і усунути проблему з великим діапазоном значень номіналів елементів схеми.

Ефективність та особливості застосування методу побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються СДР в частинних похідних, було досліджено на низці характерних для галузі механіки прикладів.

На рис. 4 наведено схемну макромодель закріпленої однорідної балки з одним ступенем свободи. Для даної моделі були отримані наступні номінали елементів: С1..С99 = -0.11667 Ф; C100..С199 = 0.7 Ф; L1..L99 = 5E-12 Гн; L100 = 5E-12 Гн та підключене джерело струму J1 = -200 A, що моделює прикладену до балки силу. Очевидно, що результати, отримані в пакетах ANSYS Multiphysics і NetALLTED, співпадають, що свідчить про те, що перехід від моделі, отриманої за допомогою методу скінченних елементів, до еквівалентної схеми заміщення не вносить додаткової похибки.

У третьому розділі проводиться аналіз існуючих методів скорочення розмірності математичних моделей, на основі якого у якості базового підходу для побудови ефективних процедур скорочення розмірності математичних моделей неелектричних об'єктів пропонується використовувати Y-Д перетворення.

Розроблено модифікацію цього методу, що враховує особливості об'єктів, що моделюються, пов'язані з наявністю елементів з негативними номіналами, високою зв'язаністю схеми, можливістю скорочення до заданої кількості вузлів, що дає змогу використати метод Y-? перетворення для скорочення схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь.

Вузол в схемі підлягає скороченню, якщо визначена для нього часова стала

де - часова стала, що задається користувачем, яка залежить від верхньої границі діапазону частот, що розглядається - . Варіацією досягається компроміс між точністю та розмірністю отриманих моделей. Часова стала вузла i, на відміну від базового методу, визначається як:

, де , ,

- сума всіх ємностей, - сума всіх величин, зворотних індуктивностям, - сума всіх провідностей, підключених до вузла i. При видаленні вузла утворюється k(k-1)/2 нових елементів, де k - кількість сусідніх (з i-м) вузлів, після чого паралельно та послідовно з'єднані елементи в схемі об'єднуються.

Результати скорочення для моделі закріпленої однорідної балки з одним ступенем свободи приведені в табл. 3. Схемотехнічно скорочена модель балки з одним ступенем свободи може бути представлена так само, як і еквівалентна схема заміщення даної балки , але з меншою кількістю секцій та з іншими номіналами компонентів.

Однак під час скорочення еквівалентних схем, отриманих для об'єктів складної геометрії, на деяких кроках спостерігається суттєве зростання загальної кількості елементів в схемі при видаленні поточного вузла, що обумовлено великої кількістю підключених до цього вузла компонентів. Природно, це призводить до суттєвого зростання часу скорочення, особливо схем з великою щільністю елементів. Також, внаслідок більшої кількості обрахунків, може збільшитися значення похибки обчислень. Все це спонукає до пошуку шляхів вирішення проблеми надмірного зростання часу скорочення та зменшення похибки обрахунків.

На основі аналізу базового методу було виявлено ряд особливостей, які істотно впливають на його ефективність та точність скорочення:

· похибка Y-Д перетворення, яка складається з методичної та інструментальної;

· кількість новостворюваних елементів та неоднозначність скорочення.

Методична складова похибки зумовлена недосконалістю та неточністю формул, які використовуються в методі для обчислення номіналів нових елементів, що утворюються при скороченні вузла. Інструментальна складова похибки обумовлена властивостями (або обмеженнями) ЕОМ, на яких виконується відповідний алгоритм. Її наявність спричинена тим, що обчислення на ЕОМ виконуються з кінцевою кількістю значущих цифр, обмеженою розрядною сіткою. В даному методі інструментальна похибка виникає при розрахунку номіналів нових елементів, що додаються при скороченні вузла, та при об'єднанні елементів одного типу (у випадку появи паралельних/послідовних опорів, ємностей або індуктивностей). Зменшення впливу інструментальної похибки можливе за умови зменшення обсягу обчислень над вхідними даними, що, в свою чергу, потребує зменшення кількості новостворюваних елементів під час скорочення.

Кількість нових елементів, що створюються в схемі під час скорочення, залежить від кількості елементів, підключених до вузла, що скорочується. Алгоритм скорочення у базовому методі Y-? перетворення не дає відповіді на те, який з вузлів обирати для скорочення в разі рівності значень сталої часу вузла ф, оскільки для скорочення обирається вузол, який стоїть першим у черзі. Це призводить до того, що черга виключення вузлів фактично залежить від послідовності їх опису у сформованій RLC-схемі та не є однозначною. Враховуючи, що порядок скорочення вузлів впливає на кількість елементів, що створюються, цілком можливо отримати різні результати скорочення однієї і тієї ж схеми заміщення. Кількість новостворюваних елементів також істотно впливає на час скорочення. Це зумовлено не тільки часом утворення нових елементів під час скорочення вузла, а й пошуком у структурах даних паралельних або послідовних елементів для об'єднання.

Таким чином, необхідно розробити такі модифікації базового методу в частині вибору вузлів, що виключаються за допомогою Y-? перетворення, які б не призводили до росту кількості елементів в еквівалентній схемі, що скорочується, зменшували час, похибку та неоднозначність скорочення.

Модифікація 1. Зменшення неоднозначності та похибки скорочення розмірності RLC-кіл

Для зменшення неоднозначності та похибки скорочення розроблено таку модифікацію базового методу:

Крок 1. Видаляються вузли із найменшим значенням сталої часу ф;

Крок 2. Якщо декілька вузлів мають однакові сталі часу ф, першим видаляється вузол з найменшою кількістю з'єднаних з ним елементів.

Запропонована модифікація дозволяє практично усунути проблему неоднозначності: послідовність скорочення вузлів з однаковим значенням ф залишається випадковою тільки в разі рівної кількості під'єднаних до них елементів, але для схем заміщення це вказує на рівнозначність вузлів і не призводить до якихось істотних проблем під час скорочення.

За результатами експериментів можна зробити наступні висновки:

1) запропонована модифікація забезпечує зменшення кількості нових елементів, що утворюються в процесі скорочення;

2) час скорочення модифікованим методом менший за час скорочення базовим;

3) зменшення кількості елементів і, як наслідок, зменшення кількості арифметичних операцій зменшує вплив інструментальної похибки обчислень;

4) найбільш ефективним є застосування модифікованого методу для схем заміщення з великим розкидом кількості елементів, що під'єднані до вузлів з однаковим ф. Тому розроблену модифікацію рекомендується використовувати для скорочення схем, які отримані для об'єктів із складною геометрією та великою кількістю вузлів скінченно-елементної моделі.

Модифікація 2. Зменшення часу скорочення та кількості елементів, що утворюються в процесі скорочення розмірності RLC-кіл

Якщо головним критерієм при скороченні вузла вважати не його «максимальну швидкість», тобто значення сталої часу ф, а мінімальний час, необхідний для його скорочення, то можливою є така модифікація базового методу скорочення:

Крок 1. Формується множина вузлів, для яких виконується умова ;

Крок 2. Вузол, який входить до цієї множини та має найменшу кількість під'єднанних до нього елементів, виключається першим;

Крок 3. Якщо таких вузлів декілька, то пріоритет віддається вузлу з меншою сталою часу.

Ця модифікація спрямована на мінімізацію кількості новостворюваних елементів під час скорочення й, відповідно, часу скорочення. Головним недоліком даної модифікації є те, що під час скорочення послідовність видалення вузлів не залежить від значення сталої часу конкретного вузла, що може призвести до збільшення похибки отриманих в результаті скорочених схем.

Модифікація 3. Зменшення похибки скорочення в порівнянні з Модифікацією 2

Цікавим є поєднання обох запропонованих модифікацій з точки зору як зменшення часу скорочення, так і контролю послідовності видалення вузлів. Вочевидь, що сталі часу в черзі вузлів, що видаляються, можуть бути практично однаковими, в той час як кількість під'єднаних до цих вузлів елементів суттєво відрізнятися. Тому доцільно ввести поняття «діапазону швидкості», коли спочатку за певним критерієм визначається підмножина «швидких вузлів» з множини вузлів, що відповідає критерію , а скорочення в межах цього «діапазону» ведеться з огляду на мінімальний час скорочення, тобто з врахуванням кількості підключених до вузлів елементів.

Відповідний діапазон можливо визначити, узявши за початок відліку найбільш повільний вузол із значенням ф = max(ф_i), i=1(1)n. В цьому випадку частина вузлів, що має близькі до «найбільш повільного вузла» значення сталої часу, не підлягає скороченню, а решта скорочується за критерієм мінімальної кількості новостворюваних елементів.

Таким чином алгоритм прийме вигляд:

Крок 1. Для усіх вузлів розраховуються сталі часу, серед яких визначається ф_max як максимальне значення ф серед усіх вузлів;

Крок 2. Формується множина вузлів, для яких виконуються умови та , де Д - деяка стала менше одиниці;

Крок 3. Вузол, який входить до цієї множини та має найменшу кількість під'єднаних до нього елементів, виключається першим;

Крок 4. Якщо таких вузлів декілька, то пріоритет віддається вузлу з меншою сталою часу.

Ефективність запропонованих модифікацій базового методу була перевірена на низці прикладів. Так, результати скорочення моделі закріпленої неоднорідної балки з трьома ступенями свободи за допомогою модифікацій 1, 2 та 3 наведено в табл. 4 (напівжирним шрифтом виділено найкращий варіант скорочення).

Приведені дані свідчать про те, що, з точки зору як кількості нових елементів, що утворюються в процесі скорочення вихідного схемного еквіваленту математичної моделі неоднорідної балки з трьома ступенями свободи, так і часу скорочення, беззаперечну перевагу мають модифікації під номерами 2 і 3.

В четвертому розділі розглядаються можливості застосування стандартних методів оптимізації, характерних для пакетів схемотехнічного проектування, для уточнення параметрів отриманих схемних макромоделей, практичні аспекти реалізації розроблених методів, а також наведена методика автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Враховуючи велику кількість локальних екстремумів цільових функцій, що застосовуються для оптимізації макромоделей неелектричних об'єктів, найбільш прийнятним методом оптимізації слід вважати метод випадкового пошуку зі зменшенням інтервалу пошуку Успіх та витрати на вирішення задач параметричної оптимізації, незалежно від обраного методу оптимізації, в значні мірі залежать від якості та кількості обраних параметрів, що варіюються. Крім цього, для методу випадкового пошуку зі зменшенням інтервалу пошуку важливим є також визначення інтервалу зміни кожного з таких параметрів.

Для вибору множини параметрів, що варіюються, пропонується використати метод оцінки чутливості цільових функцій до зміни окремих компонентів схеми. Ті компоненти схеми, чутливість цільової функції до зміни значень яких є максимальною серед усіх розрахованих, доцільно включати в множину параметрів, що варіюються.

На рис. 5 представлено схемну макромодель однорідної балки з одним ступенем свободи, отриману при =3*10^-5. Вона налічує лише 5 вузлів та 14 елементів, у той час як вихідна схема мала 101 вузол та 314 елементів.

Для цієї схемної макромоделі необхідно, змінюючи параметри будь-яких елементів схеми, досягти того, щоб перша та друга резонансні частоти мали значення 1336.3 Гц та 4009.3 Гц відповідно, тобто співпадали з розрахованими за допомогою пакету ANSYS з сумарною похибкою не більше 0,1%.

Використовуючи аналіз чутливості, що входить до складу набору аналізів ППП NetALLTED, були виділено чотири елементи, при зміні параметрів яких найбільш істотно змінюються частоти в обраному діапазоні (100 - 4100 МГц).

Таким чином, в залежності від потрібних розмірів та точності, можна виділити три етапи синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних. Передумовою для цього є можливість отримання матриць маси, демпфування та жорсткості, що описують стан системи, з відповідного програмного забезпечення, в якому будується скінченно-елементна модель неелектричного об'єкту.

Етап 1. З матриць маси, демпфування та жорсткості за допомогою розробленого програмного забезпечення можна отримати схемний еквівалент, що не поступається за точністю скінченно-елементній моделі вихідного об'єкту. Однак, в більшості випадків, використання такої моделі утруднене в зв'язку з її дуже високою розмірністю. Таким чином, в більшості випадків треба перейти до Етапу 2.

Етап 2. Скориставшись розробленими методами скорочення RLC-схем, можна отримати скорочену схему прийнятних розмірів та точності. Якщо ж за потрібної розмірності точність отриманої моделі не є прийнятною, треба перейти до Етапу 3.

Етап 3. Скориставшись оптимізаційними процедурами пакету схемо-технічного проектування, можна «підігнати» точність моделі до бажаних значень.

На прикладі знаходження власних частот та зсуву конструкції, що складається з двох прямолінійних консольних балок, доведена можливість використання базових компонентів з урахуванням взаємодії між ними при моделюванні роботи складних систем. Це дозволяє створити бібліотеку моделей базових компонентів у вигляді лінійних RLC-схем для використання в рамках систем схемотехнічного проектування. Розробка такої бібліотеки дозволить використовувати моделі відповідних компонентів для створення складних конструкцій у вигляді еквівалентних схем без необхідності побудови такого об'єкту в цілому за допомогою будь-якого програмного забезпечення, що базується на використанні методу скінченних елементів.

На прикладі моделювання розповсюдження хвилі у прямолінійному трубопроводі досліджено особливості скорочення макромоделей неелектронних компонентів, що описані системами диференціальних рівнянь у частинних похідних, де присутній ефект демпфування.

У висновку сформульовано основні результати дисертаційної роботи, що виносяться на захист.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язана наукова задача автоматизації синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь різних типів, на основі розроблених методів та засобів, що дає змогу проводити аналіз роботи складних об'єктів та систем на схемотехнічному рівні. Основні результати, отримані в роботі, такі:

1. Обґрунтовано можливість створення автоматизованого методу побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами звичайних лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку, що дає змогу реалізувати стандартну проектну процедуру моделювання об'єктів з компонентами різної фізичної природи.

2. Вдосконалено метод побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, який відрізняється від існуючого врахуванням:

- скінченності розрядної сітки комп'ютера;

- великої різниці в значеннях елементів матриць C, G, L (до 30 порядків),

що дає змогу отримати адекватні схемні макромоделі неелектричних об'єктів.

3. Вперше застосовано метод Y-? перетворення для зменшення розмірності схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь у частинних похідних, та розроблено його модифікацію, яка відрізняється:

- врахуванням елементів з негативними номіналами;

- умовами скорочення вузлів;

- можливістю скорочення до заданої кількості вузлів (розмірності),

що дає змогу врахувати особливості математичних моделей неелектричних об'єктів.

4. Розроблено методи вибору вузлів, що скорочуються при зменшенні розмірності схемних макромоделей компонентів, які відрізняються від базового:

- зменшенням неоднозначності послідовності скорочення вузлів;

- методикою визначення множини вузлів, що можуть підлягати скороченню на кожному кроці Y-? перетворення;

- критеріями вибору вузла, що підлягає скороченню, із множини можливих,

що дало змогу (в залежності від методу) зменшити час розрахунків до 15 разів та максимальну кількість нових елементів, що утворюються в процесі скорочення, до 6 разів.

5. Розроблено методику автоматизованого синтезу схемних макромоделей компонентів, що описуються системами диференціальних рівнянь в частинних похідних, яка включає етапи побудови, скорочення та оптимізації параметрів макромоделі. Розроблені методи реалізовано у вигляді програмного забезпечення, яке є сумісним з пакетом схемотехнічного проектування NetALLTED, і перевірено на кластері НТУУ «КПІ».



ОСНОВНІ ПРАЦІ, ОПУБЛІКОВАНІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Безносик А.Ю. Построение эквивалентных моделей балочных структур / Безносик А.Ю. // Вісник НТУУ «КПІ». Інформатика, управління та обчислювальна техніка: Зб. наук. пр. - 2008. - № 48. - С. 94-98.

2. Ладогубец В.В. Метод формирования схемных реализаций математических моделей неэлектрических объектов / Ладогубец В.В., Чкалов А.В., Безносик А.Ю., Финогенов А.Д. // Моделювання та інформаційні технології : зб. наук. пр. - 2008. - Вип. 46. - С. 114-120. (Запропоновані методи перевірені на базових конструктивних елементах з галузі механіки.)

3. Петренко А.І. Використання пакетів схемотехнічного проектування для побудови моделей механічних компонентів / Петренко А.І., Ладогубець В.В., Безносик О.Ю. [та ін.] // Вісник НУ «Львівська політехніка»: Комп'ютерні науки та інформаційні технології. - 2009. - № 638. - С. 18-22. (Запропоновані методи перевірені на базових конструктивних елементах з галузі механіки.)

4. Петренко А.И. Расчет собственных частот мембранных структур с использованием пакетов схемотехнического проектирования / Петренко А.И., Ладогубец В.В., Безносик А.Ю. [и др.] // Радиоэлектроника. - 2009. - № 7. - С. 19-25. - (Известия вузов). (Запропоновані методи перевірені на базових конструктивних елементах з галузі механіки.)

5. Безносик О.Ю. Зменшення неоднозначності алгоритму скорочення розмірності RLC-схем / Безносик О.Ю., Кот Д.М. // Вісник НТУУ «КПІ». Інформатика, управління та обчислювальна техніка: Зб. наук. пр. - К. : ВЕК+, 2009. - № 50. - С. 19-22. (Запропоновано модифікацію методу RLC-скорочення для зменшення невизначеності процесу скорочення.)

6. Ладогубец В.В. Методы макромоделирования МЭМС / Ладогубец В.В., Безносик А.Ю., Крамар А.В., Финогенов А.Д. // Электроника и связь : тематический выпуск «Проблемы электроники». - 2008. - Ч. 1. - С. 244-248. (Аналіз методів скорочення розмірності математичних моделей на основі Y-? перетворення.)

7. Ладогубец В.В. Методика построения моделей механических компонентов МЭМС для пакетов схемотехнического проектирования / Ладогубец В.В., Чкалов А.В., Безносик А.Ю., Финогенов А.Д. // Электроника и связь : тематический выпуск «Электроника и нанотехнологии». - 2009. - Ч. 1, № 2/3. - С. 298-305. (Представлено методику побудови скорочених схемних макромоделей.)

8. Beznosyk O.Y. The comparative investigation of the ALLTED and HSPICE circuit design software / Beznosyk O.Y. // Perspective Technologies and Methods in MEMS Design : I-th International Conference of Young Scientists MEMSTECH'2005, 25-28 May 2005, Lviv-Polyana, Ukraine: proc. - Lviv : Publishing House of Lviv Polytechnic National University, 2005. - P. 87-98.

9. Beznosyk O. Using circuit design software to simulate microelectromechanical components / Beznosyk O., Finogenov O., Ladogubets V., Tchkalov O. // Perspective Technologies and Methods in MEMS Design : IV-th International Conference of Young Scientists MEMSTECH'2008, 21-24 May 2008, Lviv-Polyana, Ukraine: proc. - Lviv : Publishing House Vezha&Co, 2008. - P. 130-133. (Запропоновані методи перевірені на базових конструктивних елементах з галузі механіки.)

10. Anatolii Petrenko. Using Optimization Procedures to Calculate Parameters of MEMS Macromodels / Anatolii Petrenko, Volodymyr Ladogubets, Oleksandr Beznosyk, Oleksii Finogenov // The Experience of Designing and Application of CAD Systems in Microelectronics : 10-th Anniversary Intern. Conf. «CADSM'2009», 24-28 February 2009, Polyana-Svalyava (Zakarpattya), Ukraine : proc. - Lviv, 2009. - P. 511-514. (Проведено дослідження ефективності використання оптимізаційних процедур для уточнення параметрів скорочених схемних макромоделей.)

11. Oleksandr Beznosyk. Making a Mechanical Components Library for Circuit Design Software / Oleksandr Beznosyk, Oleksii Finogenov, Volodymyr Ladogubets, Oleksii Tchkalov // Perspective Technologies and Methods in MEMS Design : V-th International Conference MEMSTECH'2009, 22-24 April 2009, Lviv-Polyana, Ukraine: proc. - Lviv : Publishing House Vezha&Co, 2009. - P. 120-122. (Розроблено тестовий приклад для перевірки можливості побудови бібліотеки схемних макромоделей механічних компонентів.)

12. Oleksandr Beznosyk. Presentation of a System of Ordinary Differential Equations as an Equivalent Electrical Circuit / Oleksandr Beznosyk, Oleksii Finogenov, Volodymyr Ladogubets // Perspective Technologies and Methods in MEMS Design : VI-th International Conference MEMSTECH'2010, 20-23 April 2010, Lviv-Polyana, Ukraine: proc. - Lviv : Publishing House Vezha&Co, 2010. - P. 116-120. (Розроблено автоматизований метод побудови схемних макромоделей компонентів, що описуються системами звичайних лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь.)

13. Безносик А.Ю. Моделирование тестовых электронных схем с помощью пакетов схемотехнического проектирования ALLTED и HSPICE / Безносик А.Ю. // Системний аналіз та інформаційні технології: 9-а міжнародна науково-технічна конф. "САІТ-2007", 15-19 травня 2007 р., Київ : матеріали конф. - К. : НТУУ "КПІ", 2007. - С. 142.

14. Beznosyk O.Y. Simulation of BJT and MOSFET based circuits by ALLTED and HSPICE software / Beznosyk O.Y. // Математические методы в технике и технологиях : 20-я международная конференция «ММТТ-20», 2007, Ярославль, Россия : сб. трудов в 10-ти томах. - Ярославль : Изд-во Яросл. гос. техн. ун-та, 2007. - Т. 4. - С. 224-227.

15. Безносик А.Ю. Сравнительное исследование пакетов схемотехнического проектирования ALLTED и HSPICE / Безносик А.Ю. // Математические методы в технике и технологиях : 21-я международная конференция «ММТТ-21», 2008, Саратов, Россия : сб. трудов в 10-ти томах. - Саратов : Изд-во Саратов. гос. техн. ун-та, 2008. - Т. 6. - С. 119-120.

16. Безносик А.Ю. Сравнительное исследование пакетов схемотехнического проектирования ALLTED и HSPICE / Безносик А.Ю. // Комп'ютерне моделювання в хімії та технологіях : 1-а науково-практична конференція з міжнародною участю, Черкаси, 12-16 травня 2008 р. : тези доповідей. - Черкаси : Вид-во «Черкаський ЦНТЕІ», 2008. - С. 155.

17. Безносик А.Ю. Построение пассивных моделей МЭМС / Безносик А.Ю., Ладогубец В.В., Финогенов А.Д., Чкалов А.В. // Системный анализ и информационные технологии: 10-я международная научно-техническая конференция «САИТ-2008», Киев : материалы. - К.: НТУУ «КПИ», 2008. - С. 285. (Побудова схемних макромоделей СДРЧП та використання Y-? перетворення для скорочення розмірності еквівалентної схеми заміщення.)

18. Безносик О.Ю. Використання пакетів схемотехнічного проектування для моделювання механічних компонентів / Безносик О.Ю., Ладогубець В.В., Фіногенов О.Д., Чкалов О.В. // Системний аналіз та інформаційні технології: 10-а міжнародна науково-технічна конференція «САІТ-2008», 20-24 травня 2008, Київ, Україна : матеріали. - К. : НТУУ «КПІ», 2008. - С. 286. (Побудова схемних макромоделей СДРЧП та використання Y-? перетворення для скорочення розмірності еквівалентної схеми заміщення.)

...