Нестаціонарні процеси керування в умовах невизначеності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова

УДК 518.9

НЕСТАЦІОНАРНІ ПРОЦЕСИ КЕРУВАННЯ

В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЧИКРІЙ Олексій Аркадійович

Київ - 2010



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Онопчук Юрій Миколайович, завідувач відділу Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Личак Михайло Михайлович, Інститут космічних досліджень НАН та НКА України, головний науковий співробітник відділу керування динамічними системами

кандидат фізико-математичних наук, доцент Мащенко Сергій Олегович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри системного аналізу та теорії прийняття ріщень

Захист відбудеться 08.10. 2010 р., об _14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві Інституту кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий 06.09.2010 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Вагіс О.А.



АНОТАЦІЇ

Чикрій О.А. Нестаціонарні процеси керування в умовах невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України, Київ, 2010. гра стробоскопічний квазілінійний відображення

Для квазілінійної нестаціонарної ігрової задачі зближення розроблено різні схеми методу розв'язуючих функцій, на їх основі отримано достатні умови завершення гри за певний гарантований час в класі квазі та стробоскопічних стратегій. Вивчені властивості спеціальних багатозначних відображень, їх опорних функцій та обернених функціоналів Мінковського, які визначають розв'язуючі функції. Встановлено функціональну форму першого прямого методу Понтрягіна і з її допомогою надане порівняння гарантованих часів методів, що розглядаються. Досліджено конфліктно-керовані процеси з термінальним функціоналом та різними формами умови Понтрягіна, зокрема, з умовою Зонневенда.

Розроблена методика застосована до розв'язання задач групового переслідування, для них отримані достатні умови, які для широкого кола задач реалізують умову «оточення» Пшеничного. На прикладі з простою матрицею та кулеподібними параметрами задачі розрахунки доведено до кінця, отримано співвідношення для визначення гарантованого часу, явний вигляд керувань переслідувачів та точки прицілювання на термінальній множині. У випадку афінності частини множин, що утворюють термінальну, охоплюються задачі з фазовими обмеженнями на стан втікача.

Отримані достатні умови дають можливість розв'язати ряд класичних прикладів зближення на опуклих множинах, запропонованих Айзексом.

Техніка розв'язуючих функцій застосована до дослідження диференціальних ігор з відмовою керуючих пристроїв, коли час ліквідації поломки наперед відомий, а момент аварії - ні.

Ключові слова: конфліктно-керований процес, багатозначне відображення, умова Понтрягіна, функціонал Мінковського, інтеграл Аумана, стробоскопічна стратегія, вимірний селектор, опорна функція, метод розв'язуючих функцій.



Чикрий Ал.А. Нестационарные процессы управления в условиях неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Институт кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2010.

Для квазилинейной нестационарной игровой задачи сближения разработаны различные схемы метода разрешающих функций, на их основе получены достаточные условия завершения игры за некоторое гарантированное время в классе квази и стробоскопических стратегий. Изучены свойства специальных многозначных отображений, их селекторов, опорных функций и обратных функционалов Минковского, которые определяют разрешающие функции. Установлено функциональную форму первого прямого метода Понтрягина и с ее помощью дано сравнение гарантированных времен методов, которые рассматриваются. Исследовано конфликтно-управляемые процессы с интегральным блоком управления, терминальным функционалом и разными формами условия Понтрягина. Они ориентированы на объекты с различной инерционностью, осуществлена попытка ввести в условие терминальное множество и растянуть истинное время. Последнее касается условия Зонневенда.

Ключевое условие выпуклозначности основного отображения иллюстрируется на модельном примере с простыми движениями и с простой матрицей, разрешающая функция находится как большой положительный корень квадратного уравнения.

Разработанная методика применена к решению задач группового преследования, для которых получены достаточные условия, реализующие для широкого груга задач условие «окружения» Пшеничного.

На примере с простой матрицей и шарообразными параметрами задачи расчеты проведено до конца, получено соотношения для определения гарантированного времени, явный вид управлений преследователей и точки прицеливания на терминальном множестве. В случае, когда часть подмножеств терминального множества являются афинными многообразиями, охватываются задачи с фазовыми ограничениями на состояние убегающего. При этом разрешающие функции могут принимать отрицательные значения.

Полученные достаточные условия дают возможность решить ряд классических примеров сближения на выпуклых множествах, предложенных Айзексом. Это задачи «лев и человек», «крыса, загнанная в угол», «патрулирование коридора», «игра с линией смерти».

Техника разрешающих функций применена к исследованию дифференциальных игр с отказом управляющих устройств, когда время ликвидации поломки наперед известно, а момент аварии - нет.

Получено два типа условий сближения за конечное гарантированное время, связывающие параметры конфликтно-управляемого процесса. Результаты иллюстрируются на примере с простыми движениями.

Ключевые слова: конфликтно-управляемый процесс, многозначное отображение, условие Понтрягина, функционал Минковского, интеграл Аумана, стробоскопическая стратегия, измеримый селектор, опорная функция, метод разрешающих функций.



Chikrii O.A. Non-stationary processes of control under conditions of uncertainly. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree in physics and mathematics by speciality 01.05.01 - theoretical foundations of informatics and cybernetics. - V.M.Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

Various schemes of the method of resolving functions are developed to solve the quasilinear non-stationary game problem of pursuit. On their basis, sufficient conditions for the game termination in a finite time are obtained, in the classes of quasi - and stroboskopic strategies. The properties of special set-valued mappings, their support functions and the inverse Minkowski functionals which specify the resolving functions are studied. The functional form of Pontryagin's first direct method is derived and with its help the guaranteed game termination times of the methods under study are compared. The research was also made into the conflict-controlled processes with terminal functional and various forms of Pontryagin's condition, in particular, Zonnevend's condition.

Application of the developed technique to the group pursuit problems resulted in the sufficient conditions, which realize the Pshenichnyi encirklement condition for a wide range of problems. In the case of simple matrix and spheroidal problem parameters the calculations are brought to completion: the relationships to find the guaranteed time, an explicit form of the pursuer's controls, and the aiming points in the terminal set are obtained. The case of affinity of some sets, forming the terminal set, encompasses the evader-state-constrained problems and in this case resolving functions can take negative values.

The technicye of resolving functions is applied to examine the differential games under possible failure of controlled devices, when the moment of the malfunction elimination is known beforehand and the moment of failure is not.

Key words: conflict-controlled process, set-valued mapping, Pontryagin's condition, Minkowski functional, Aumann's integral, stroboscopic strategy, measurable selection, support function, the method of resolving functions.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Важливим розділом прикладної математики є теорія диференціальних ігор. Предметом її досліджень є керовані процеси, що функціонують в умовах конфлікту та невизначеності. Поєднуючи в собі риси математичної теорії керування, теорії ігор, оптимізації та використовуючи для опису апарат диференціальних, інтегральних та функціонально-диференціальних рівнянь, конфліктно-керовані процеси мають важливе практичне значення для прийняття рішень у складних ситуаціях взаємодії керованих об'єктів. Одночасно ігрові задачі є джерелом нових математичних проблем і звертають на себе увагу, перш за все, великим інтересом для теорії та практики.

У цьому науковому напрямку розроблено ряд фундаментальних методів: прямі методи Л.С. Понтрягіна, правило екстремального прицілювання М.М. Красовського, метод напівгрупових операторів Б.М. Пшеничного, метод Р. Айзекса, що пов'язаний з основним рівнянням теорії диференціальних ігор, метод програмних ітерацій О.Г. Ченцова, метод розв'язуючих функцій. Важливий вклад у розвиток теорії зробили Ю.С. Осіпов, А.В. Кряжімський, Є.Ф. Міщенко, Ф.Л. Черноусько, О.Б. Куржанський, В.М. Кунцевич, А.І. Субботін, В.Е. Третьяков, В.Й. Жуковський, Л.О. Петросян, В.М. Ушаков, А.А. Мелікян, А.О. Чикрій, М.С. Нікольський, П.Б. Гусятніков, Ю.М. Онопчук, М.Л. Григоренко, В.В. Остапенко, М.М. Личак, Є.П. Маслов, В.С. Пацко, Є.С. Половінкін, М.Н. Петров та інші вчені.

Одним із важливих класів динамічних систем є нестаціонарні процеси. Особливість нестаціонарних ігрових задач полягає в тому, що параметри (матриця системи, області керування, термінальна множина) конфліктно-керованого процесу змінюються з часом і, знаючи характер цих залежностей, необхідно встановити співвідношення між ними, які є достатніми для досягнення цілі за скінченний час. Залежність від часу параметрів процесу визначається практичними вимогами і є важливою обставиною.

Засобом для досліджень нестаціонарних конфліктно-керованих процесів в даній роботі вибрано метод розв'язуючих функцій. У розробці цього методу приймали участь Б.М. Пшеничний, А.О. Чикрій, М.Л. Григоренко, М.Н. Петров, С.Д. Ейдельман, О.А. Бєлоусов, І.І. Матичин, Й.С. Раппопорт, О.Г. Руренко, М.В. Пітцик, П.В. Прокопович та інші.

Формалізуючи області керування та термінальну множину як деякі багатозначні відображення, доцільно використати ефективний апарат прикладного нелінійного аналізу. Це дає можливість перенести ідеологію розв'язуючих функцій на нестаціонарні процеси і розробити ряд схем зближення з різними формами нестаціонарного аналога умови Понтрягіна. В єдиній схемі методу розглянуто один з класів нестаціонарних задач з не опуклозначною термінальною множиною, а саме - задачу групового переслідування, яка довгий час не знаходила свого розв'язку через вже згадану особливість.

Проблема істотно ускладнюється, якщо на фазовий стан рухомих об'єктів накладаються обмеження у вигляді, скажімо, лінійних нерівностей. Такі задачі є традиційно важкими.

Однією з проблем, що має яскраво виражену практичну направленість, є ігрова задача зближення при відмові керуючих пристроїв на певному інтервалі.

Незважаючи на велику кількість публікацій, вище згадані нестаціонарні ігрові задачі потребують окремого розгляду і є предметом дослідження даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта та у відповідності до плану наукових досліджень відділу моделювання інформаційно-функціональних систем Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України :

“Оптимізація траєкторних задач керування рухомими об'єктами для прийняття рішень в екстремальних ситуаціях” (номер держреєстрації 0102U003216, 2002 - 2006 рр.);

“Розробка методів та алгоритмів розв'язку ігрових задач керування для еволюційних систем” (номер держреєстрації 0107U003613, 2007 - 2011 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка методів розв'язання нестаціонарних ігрових задач зближення в різних ситуаціях конфліктної взаємодії. Це передбачає всесторонній аналіз умови переваги першого гравця - умови Понтрягіна при різних співвідношеннях параметрів конфліктно-керованого процесу, дослідження задач групового переслідування, ігор з фазовими обмеженнями та задач керування у конфліктній ситуації при відмові керуючих пристроїв.

Для досягнення мети у процесі досліджень потрібно розглянути наступні задачі:

- розробити метод та його модифікації для розв'язання нестаціонарних квазілінійних ігрових задач зближення з різними варіантами умови Понтрягіна;

- вивчити властивості спеціальних багатозначних відображень та дати порівняння методу розв'язуючих функцій з першим прямим методом;

- запропонувати схеми зближення в нестаціонарній задачі групового переслідування;

- дати узагальнення методу розв'язуючих функцій для конфліктно-керованих процесів з фазовими обмеженнями;

- розв'язати нестаціонарну ігрову задачу зближення при відмові керуючих пристроїв на певному часовому проміжку;

- отримані теоретичні результати проілюструвати на переконливих модельних прикладах нестаціонарних ігрових ситуацій.

Об'єкт дослідження - динамічні процеси, що функціонують в умовах конфлікту та невизначеності й описуються нестаціонарними системами звичайних диференціальних рівнянь.

Предмет дослідження - математичні моделі конфліктної взаємодії рухомих керованих об'єктів, у тому числі за участю угрупувань, та пов'язані з ними багатозначні відображення.

Методи дослідження. У процесі дослідження ігрових задач використовуються методи прикладного нелінійного аналізу, теорії багатозначних відображень та математичної теорії оптимального керування. В основу покладено метод розв'язучих функцій, що базується на використанні обернених функціоналів Мінковського і забезпечує гарантований результат в ігрових задачах.

Наукова новизна отриманих результатів. Як наслідок розв'язання поставлених задач отримані наступні нові наукові результати.

Для нестаціонарної квазілінійної ігрової задачі зближення побудована схема методу розв'язучих функцій, вивчені їх властивості та встановлені достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час для різних класів стратегій. Результати істотно підсилюють стаціонарні твердження, а метод розв'язуючих функцій знаходить свій подальший розвиток. Дані модифікації умови Понтрягіна та відповідні способи переслідування з розрахунку на об'єкти з різною інерційністю та термінальним функціоналом. Для задачі групового переслідування у нестаціонарному випадку знайдено достатні умови зближення за скінченний гарантований час, які у спеціальних випадках реалізують умову “оточення”. На прикладі з простою матрицею розрахунки проведено до кінця, що демонструє ефективність методу. Встановлено умови закінчення ігор зближення за наявності фазових обмежень на стан втікача. Результати ілюструються на класичних модельних прикладах, для яких уперше отримано розв'язок. Запропоновано два ефективних способи розв'язання диференціальної гри при відмові керуючих пристроїв у нестаціонарному випадку.

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи є теоретичною основою для моделювання взаємодії керованих рухомих об'єктів в умовах невизначеності. Вони виникли з практичних потреб, є підставою при прийнятті рішень в умовах конфліктної взаємодії.

Результати роботи можуть бути використані при створенні моделюючих комплексів та тренажерів. Зауважимо, що запропонований метод дає, зокрема, повне обгрунтування класичного правила паралельного переслідування в нестаціонарному випадку, добре відоме проектувальникам ракетної та космічної техніки як еврістичний спосіб перехвату рухомих цілей.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. За результатами дисертації опубліковано 10 статей, п'ять [1 - 5] - без співавторів, п'ять [8 - 12] - у співавторстві, а також 6 тез міжнародних конференцій, дві [6, 7] - без співавторів, чотири [13 - 16] - у співавторстві.

У роботі [8] автору належить розробка схеми методу розв'язуючих функцій в задачі з термінальним функціоналом, доведення твердження про достатні умови закінчення гри за відповідний гарантований час, необхідні і достатні умови віддільності неопуклих множин в термінах мінімаксних нерівностей; у статті [9] дисертанту належить обгрунтування схеми зближення з циліндричною термінальною множиною та доведення твердження про скінченність гарантованого часу; в [10] автором розроблено алгоритм переслідування на основі розв'язуючих функцій, що є опорними в напрямку +1 до визначальних багатозначних відображень, надане порівняння методу з першим прямим методом; в [11] автором розроблено дві схеми виводу траєкторій конфліктно-керованого процесу на задану множину при відмові керуючих пристроїв на певному інтервалі часу; в [12] дисертантом встановлено достатні умови завершення нестаціонарної квазілінійної гри за скінченний гарантований час та наведено ілюстративний приклад.

У роботі [13] автором встановлені достатні умови закінчення гри при відмові керуючих пристроїв; в [14] дисертантом вивчені властивості багатозначних відображень, що визначають керування першого гравця на основі теорем вимірного вибору; в [15] автором запропонована схема зближення з безпосередньою ліквідацією наслідків поломки, а в [16] - метод зближення на основі приведення пучка траєкторій на термінальну множину.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова, а також на конференціях: 4, 5, 6 Міжнародні наукові конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 1995, 1996, 1997); 4 Міжнародна конференція з автоматичного управління “Автоматика-97” (Черкаси, 1997); 13 Міжнародна конференція з автоматичного управління “Автоматика-2006” (Вінниця, 2006); International Konference on “Dynamical System Modelling and Stability Investigation” (Kyiv, 2007).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковано в 16 наукових роботах, з яких 10 надруковано в наукових фахових виданнях, 8 з них - у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, а також у 6 тезах міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Перелік використаних джерел містить 126 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі для дослідження, визначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ присвячено короткому огляду досліджень в області теорії динамічних ігор, близьких до теми дисертаційної роботи. Тут також зосереджені математичні результати, які визначають методику дисертаційних досліджень і необхідні в подальшому при вивченні ігрових задач для нестаціонарних квазілінійних процесів. Вони стосуються опуклого аналізу, теорії багатозначних відображень, вимірних структур та лінійних нестаціонарних систем.

У другому розділі до дослідження нестаціонарних квазілінійних конфліктно-керованих процесів застосовується метод розв'язуючих функцій. При цьому розглядаються різні варіанти умови Понтрягіна, різні схеми методу, порівнюються відповідні гарантовані часи і встановлюється зв'язок з першим прямим методом на основі його функціональної форми.

Нехай рух об'єкта у скінченновимірному дійсному евклідовому просторі описується системою квазілінійних диференціальних рівнянь

, , , (1)

де - матрична функція порядку , елементи якої є вимірними функціями і сумовані на будь-якому скінченному інтервалі , . Параметри керування гравців і вибираються з областей керування і , причому , , - сукупність непустих компактів простору , і є вимірними багатозначними відображеннями для . Вектор - функція - блок керування визначена на множині і задовольняє умовам Каратеодорі: для всіх фіксованих пар вона вимірна по , , і для будь-якого фіксованого вона неперервна за сукупністю на . Будемо також вважати, що

, (2)

де - сумована на будь-якому скінченному інтервалі функція.

Крім процесу (1) задана термінальна множина циліндричного вигляду



, (3)

де - лінійний підпростір з , а - вимірне багатозначне відображення, що приймає значення з , де - ортогональне доповнення до у просторі .

Мета першого гравця-переслідувача : за допомогою вибору вимірного селектора відображення вивести траєкторію процесу (1) на множину (3) за якомога коротший час за будь-якої протидії другого гравця у вигляді вимірного селектора відображення .

Розглядається два типи інформованості переслідувача. Якщо керування першого гравця вибирається у вигляді

, де , (4)

то будемо говорити, що він використовує квазістратегію. Якщо ж рішення в момент приймається лише на основі знання початкового положення процесу та миттєвого значення керування втікача , тобто

, (5)

то будемо говорити про контркерування по М.М. Красовському, що призначається стробоскопічною стратегією О. Хайека.

За цих умов для кожного з класів стратегій необхідно знайти достатні умови закінчення гри (1) - (3) на користь першого гравця за певний гарантований час та керування переслідувача, яке забезпечує йому цей результат. Позначимо через ортопроектор, що діє з в . Розглянемо багатозначні відображення



,

, .

де - матриця Коші однорідної системи (1).

Умова Понтрягіна. Багатозначне відображення приймає непусті значення для .

Відображення є замкнутозначним та вимірним по . Зафіксуємо вимірний по селектор , , , і позначимо

.

Введемо багатозначне відображення

, ,

і його опорну функцію в напрямку +1

,

а з її допомогою - множину

.



де - сукупність вимірних селекторів відображення .

Зауважимо, що розв'язуюча функція є -вимірною за сукупністю (, ), а, значить, суперпозиційно вимірною.

Теорема 2.1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1)-(3) виконана умова Понтрягіна, відображення є опуклозначним.

Тоді, якщо для заданого початкового стану системи (1) існує такий вимірний по селектор , , багатозначного відображення , що і , то траєкторія процесу може бути приведена на термінальну множину (3) в момент за допомогою керування вигляду (4).

Для побудови керування першого гравця на активному та пасивному проміжках використовується теорема вимірного вибору типу Філіпова-Кастена.

Для того, щоб відмовитись від знання передісторії керування втікача і реалізувати процес зближення за допомогою стробоскопічної стратегії (5), необхідно до умов теореми 2.1 додати ще дві умови.

Умова 2.1. При відображення є опуклозначним для , , тобто

.

Умова 2.2. Якщо , то функція

, ,

є вимірною по і справедлива рівність



.

Цей факт і стверджує теорема 2.2.

Якщо розглянути багатозначне відображення

, ,

його опорну функцію в напрямку +1

, ,

,

то справедлива теорема 2.3, аналогічна теоремі 2.1, яка дає достатні умови закінчення гри (1) - (3) за час в класі контркерувань без будь-яких додаткових умов. При цьому справедливе

Твердження 2.1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1)-(3) виконана умова Понтрягіна. Тоді для будь-якого початкового стану та вибраного згідно зі схемою методу селектора має місце нерівність

, .

Якщо, до того ж, виконана умова 2.1, то значення функцій і збігаються.

Це твердження дає відповідь на питання про роль інформації про керування другого гравця у процесі переслідування

Важливу роль у схемі методу відіграє розв'язуюча функція . У випадку еліпсоїдальних або кульових областей керування і термінальної множини та простій динаміці вона може бути знайдена як більший позитивний корінь відповідного квадратного рівняння, враховуючи вираз (6). Випадок інтегрального блоку керування розглянуто в пункті 2.3.

В основній схемі методу розв'язуючих функцій присутня умова опуклозначності відображення . Щоб позбавитися цієї умови розроблено схему з фіксованим селектором багатозначного відображення . Теорема 2.5 дає достатні умови приведення проекції траєкторії у певні фіксовані точки множини , де - гарантований час закінчення гри.

Для ілюстрації методу у пункті 2.4, розв'язано ігрову задачу зближення з простою нестаціонарною матрицею, де в аналітичному вигляді знайдено розв'язуючу функцію, точки прицілювання на термінальній множині, співвідношення для визначення гарантованого часу та керування першого гравця.

У пункті 2.5 запропонована одна із схем, яка орієнтована на той випадок, коли прямі образи багатозначного відображення є тілесними в і досить «великими». Тоді можна послабити умову Понтрягіна за рахунок введення в цю умову множин , а потім їх використати як додаткові області керування першого гравця. В тому ж пункті 2.5 розроблено інший спосіб послаблення умови Понтрягіна, який орієнтований на об'єкти з різною інерційністю. В цьому випадку згадана умова не виконана на певному інтервалі часу. Суть прийому полягає в тому, щоб «допомогти » ресурсами переслідувачу на тих проміжках, де не виконана умова Понтрягіна, а потім «повернути» борг, керуючись тілесністю термінальної множини. Таким чином, умова Понтрягіна переростає в дві умови, які називають модифікованою умовою Понтрягіна. В обох випадках отримані достатні умови закінчення гри за певний гарантований час згідно з методикою розв'язуючих функцій.

У пункті 2.6 дається порівняння різних схем методу розв'язуючих функцій з першим прямим методом. Оскільки за умови опуклозначності відображення метод розв'язуючих функцій може бути реалізований в класі стробоскопічних стратегій, як і перший прямий метод Понтрягіна, то доцільно порівняти їх гарантовані часи.

Для цього розглянемо множину

.

Тут інтеграл від багатозначного відображення - інтеграл Аумана. Позначимо

,

гарантовані часи першого прямого та методу розв'язуючих функцій.

Має місце нерівність

. (7)

Встановлено функціональну форму першого прямого методу, і наступний результат.

Теорема 2.13. Нехай для конфліктно-керованого процесу (1)-(3), що знаходиться в початковому стані , виконана умова Понтрягіна, а також для селекторів таких, що



, і ,

виконані наступні умови:

1) , , (опуклозначність);

2) ,

(узагальнене повне вимітання),

, ;

3)l (опуклість).

Тоді

.

Наведено приклади, коли в (7) має місце строга нерівність.

У пункті 2.7 дається схема розв'язку нестаціонарних ігрових задач з термінальною функцією плати, яка полягає у систематичному використанні ідей двоїстості Фенхеля - Моро і Мінковського стосовно загальної схеми методу розв'язуючих функцій. Суть схеми полягає в тому, що розв'язуючу функцію вдається виразити через спряжену до функції плати і на цій основі згідно з методом встановити достатні умови закінчення гри, а також отримати гарантовану оцінку значення функції плати у фіксований момент.

Окремо розглянуто випадок, коли термінальним функціоналом є узагальнена відстань до множини .

Пункт 2.8 присвячений дослідженню методу розв'язуючих функцій з умовою Зонневенда у випадку, коли умова Понтрягіна не виконана. Суть цього прийому полягає в тому, що реальний час ніби розтягується і переслідувач використовує керування втікача в минулому, що дає можливість сформулювати аналог умови Понтрягіна і на основі теореми вимірного вибору побудувати керування, яке гарантує закінчення гри за скінченний час.

У розділі 3 розглядається нестаціонарна ігрова задача групового переслідування і задача з фазовими обмеженнями. На основі ідеології розв'язуючих функцій отримано загальні достатні умови закінчення гри, які ілюструються на багаточислених класичних прикладах. Зауважимо, зокрема, що розв'язуючі функції у випадку фазових обмежень можуть приймати від'ємні значення.

Задано конфліктно-керований процес

, , , ,

, , , (8)

з термінальною множиною, яка складається з циліндричних підмножин

, , (9)

де - лінійні підпростори в , а - вимірні компактозначні відображення такі, що , де - ортогональні доповнення до в . Параметри процесу (8) задовольняють умовам, які накладені на процес (1). Задача переслідувачів за допомогою вибору керувань у вигляді



, , , , (10)

вивести хоча б одну з траєкторій на відповідну множину за скінченний час.

Нехай - ортопроектор, що діє з в . Введемо багатозначні відображення

, , , ,

- матриці Коші однорідних систем.

Будемо говорити, що виконана умова Понтрягіна, якщо для , . Зафіксуємо вимірні по селектори , , і позначимо

.

Введемо розв'язуючі функції

і множину



, (11)

.

Теорема 3.1. Нехай для ігрової задачі групового переслідування (8), (9) виконана умова Понтрягіна, а для умова типу (2), і , , .

Тоді, якщо для початкового стану процесу (8) існує набір таких вимірних по селекторів , , багатозначних відображень , що і , то хоча б одна з траєкторій процесу (8) може бути приведена на відповідну множину (9) в момент .за допомогою керувань типу (10).

Аналогічні теореми доведені у випадках модифікацій схеми та умови Понтрягіна у пункті 3.2. Результати ілюструються в пункті 3.3 на прикладі з простою матрицею, кулеподібними областями керування та термінальною множиною.

Розглянемо процес (8), (9) з додатковими обмеженнями.

Умова 3.2. Існує такий номер , що для всіх , де - неперервні функції, причому

Умова 3.3. Багатозначні відображення , , , приймають непусті значення.

Умова 3.4. Багатозначні відображення , , є однозначними функціями , які є вимірними по та неперервними по і , , . За цих умов в рамках схеми групового переслідування покладемо для



,

.

У виразі (11) з вказаними , , позначимо множину через , де .

Тоді справедливе твердження, яке дозволяє врахувати багатогранні фазові обмеження на стан втікача.

Теорема 3.4. Нехай для процесу (8), (9) виконані умови 3.2 - 3.4, для систем (8) - умови типу (2) і , , , є опуклозначними відображеннями.

Тоді, якщо для початкового стану процесу (8) існує набір таких вимірних по селекторів , , , , що і , то або знайдеться такий момент , , що для деякого , або для певного справедливе включення . При цьому гравці-переслідувачі використовують керування типу (10).

У пункті 3.5 для простого групового переслідування з багатогранними фазовими обмеженнями на основі загальних тверджень встановлено необхідні і достатні умови типу «оточення» Пшеничного, які дозволяють розв'язати класичні задачі «лев та людина», «миша, загнана в кут», «патрулювання коридору» та «гру з лінією смерті» в єдиній схемі.

У розділі 4 розглядається лінійна нестаціонарна гра зближення з заданою циліндричною термінальною множиною при відмові керуючих пристроїв. Процес розвивається таким чином, що в деякий апріорі невідомий момент часу виходять з ладу пристрої керування першого гравця на час , необхідний для ремонту і відомий наперед. Далі процес продовжується до виходу траєкторії на термінальну множину. Необхідно визначити гарантований час закінчення гри та керування першого гравця, що забезпечує цей результат. На основі розробленої методики, що опирається на побудову розв'язуючих функцій, даються достатні умови закінчення гри двох типів. Перший із них полягає в тому, що на часовому проміжку, що йде безпосередньо за проміжком відмови керуючих пристроїв, зразу ліквідується зсув траєкторії, викликаний поломкою, у припущенні, що це можливо, з наступним продовженням процесу і накопиченням розв'язуючої функції. В другому випадку весь пучок траєкторій, що породжений керуваннями другого гравця на аварійному проміжку, приводиться на термінальну множину. Звичайно, при цьому вимагається виконання певної умови, що зв'язує час ліквідації поломки, від якого залежать параметри пучка, та розміри цільової множини.

Нехай задано конфліктно-керований процес типу (1)

, , , , ,

, , ,

а термінальна множина має вигляд (3).

Будемо вважати, що для процесу (12), (3) з виконана умова Понтрягіна і збережемо всі позначення розділу 2.

.



Вважаючи розв'язуючу функцію рівною для і нулю при , покладемо

.

Теорема 4.1. Нехай для конфліктно-керованого процесу (12), (3) виконана умова Понтрягіна, , , для початкового стану процесу і вимірного по селектора , , відображення число .

Тоді траєкторія процесу (12) може бути приведена на множину в момент за допомогою певної квазістратегії, незважаючи на відмову керуючих пристроїв на протязі часу .



ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано нові науково обгрунтовані результати в галузі нестаціонарних ігрових процесів керування, в тому числі з групою переслідувачів та фазовими обмеженнями, а також у випадку відмови керуючих пристроїв. Дисертація є комплексним дослідженням. В ній розв'язані важливі наукові проблеми, розроблено ефективні способи керування на основі методу розв'язуючих функцій в умовах конфлікту та невизначеності. Їх дієздатність підкріплена багатьма прикладами.

Основні результати дисертації:

1. Для квазілінійної нестаціонарної ігрової задачі зближення побудована схема методу розв'язуючих функцій, вивчені їх властивості та встановлені достатні умови закінчення гри за деякий гарантований час в класі квазі та стробоскопічних стратегій. Результати істотно підсилюють стаціонарні твердження, а метод розв'язуючих функцій знаходить свій подальший розвиток.

2. Розроблено модифікації умови Понтрягіна та відповідні схеми переслідування з розрахунку на об'єкти з різною інерційністю та термінальним функціоналом. Це дозволяє розширити коло задач, які можна розв'язати в аналітичному вигляді.

3. Вивчені властивості спеціальних багатозначних відображень, що пов'язані з конфліктно-керованим процесом, і є визначальними при його дослідженні, та їх опорних функцій - розв'язуючих функцій, які одночасно є оберненими функціоналами Мінковського відповідних відображень.

4. Надане детальне порівняння методу розв'язуючих функцій з першим прямим методом Понтрягіна, що дає можливість з'ясувати роль інформації у процесі переслідування.

5. Для задачі групового переслідування в нестаціонарному випадку знайдено достатні умови зближення за скінченний гарантований час, які у спеціальних випадках реалізують умову «оточення» Пшеничного.

6. Встановлено універсальні умови закінчення гри за скінченний час за наявності фазових обмежень на стан втікача. Результати ілюструються на класичних модельних прикладах.

7. Запропоновано нові ефективні способи дослідження диференціальних ігор при відмові керуючих пристроїв першого гравця з відомим часом ліквідації поломки.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Чикрий Ал.А. О нестационарной задаче преследования / Ал.А. Чикрий // Теория оптимальных решений. - Киев: Ин-т кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, 1995. - С. 34 - 39.

2. Чикрий Ал.А. Об одном классе нестационарных задач преследования / Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 4. - С. 64

3. Чикрий Ал.А. Задача группового преследования для нестационарных процессов / Ал.А. Чикрий // Математические методы в компъютерных системах. - Киев: Ин-т кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, 1996. - С. 87 - 92.

4. Чикрий Ал.А. О проблеме группового преследования / Ал.А. Чикрий // Докл. НАН Украины. - 1997. - № 6. - С. 28 - 32.

5. Чикрий Ал.А. Об аварийной ситуации в линейных дифференциальных играх сближения / Ал.А. Чикрий. // Теория и приложения методов оптимизации. - Киев: Ин-т кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, 1998. - С. 35 - 38.

6. Chikrii Al.A. Approach Problem for Non-Stationary Dynamic Systems / Al.A. Chikrii // Матеріали четвертої міжнародної наукової конференції імені Академіка М. Кравчука (15-17 травня 1995 р.). - Київ: КПІ, 1995. - С. 53.

7. Чикрий Ал.А. Нестационарные процессы управления в условиях неопределенности / Ал.А. Чикрий // International Conference Dynamical System Modelling and Stability Investigation (May 22-25, 2007). - Kyiv: KNU, 2007. - P. 112.

8. Раппопорт И.С. О гарантированном результате в игровых задачах управления с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт, Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. - 1995. - № 1. - С. 34 - 44.

9. Барановская Л.В. О нестационарных дифференциально-разностных играх сближения / Л.В. Барановская, Ал.А. Чикрий // Методы решения экстремальных задач. - Киев: Ин-т кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, 1996. - С. 43 - 46.

10. Чикрий А.А. Обратные функционалы Минковского в нестационарной задаче группового преследования / А.А. Чикрий, Л.В. Барановская, Ал.А. Чикрий // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 1. - С. 109 - 114.

11. Чикрий А.А. Игровая задача сближения при отказе управляющих устройств / А.А. Чикрий, Л.В. Барановская, Ал.А. Чикрий // Проблемы управления и информатики. - 1997. - № 5. - С. 5 - 13.

12. Онопчук Ю.Н. Нестационарные процессы управления движением в условиях неопределенности / Ю.Н. Онопчук, Ал.А. Чикрий // Теория оптимальных решений. - Киев: Ин-т кибернетики имени В. М. Глушкова НАН Украины, 2008. - № 7. - С. 17 - 24.

13. Барановська Л.В. Ігрові проблеми зближення при відмові керуючих пристроїв / Л.В. Барановська, О.А. Чикрій // Матеріали п'ятої міжнародної наукової конференції імені Академіка М. Кравчука (16-18 травня 1996 р.) .- Київ: КПІ, 1996. - С. 27.

14. Барановська Л.В. Про задачу зближення рухомих об'єктів при відмові керуючих пристроїв / Л.В. Барановська, О.А. Чикрій // Матеріали шостої міжнародної наукової конференції імені Академіка М. Кравчука (15-17 травня 1997 р.) .- Київ: КПІ, 1997. - С. 26.

15. Чикрій А.О. Проблема зближення рухомих об'єктів при відмові керуючих пристроїв / А.О. Чикрій, Л.В. Барановська, О.А. Чикрій // Матеріали четвертої міжнародної наукової конференції з автоматичного управління «Автоматика - 97» (23-28 червня 1997 р.) .- Черкаси. - 1997. - Т.1. - С. 78.

16. Онопчук Ю.Н. Об одной игровой задаче сближения при отказе управляющих устройств / Ю.Н. Онопчук, Ал.А. Чикрий // Матеріали наукової конференції з автоматичного управління «Автоматика - 2006» (25-28 вересня 2006 р.) .- Вінниця, 2006. - С. 34.

Размещено на Allbest.ru

...