Чисельний та якісний аналіз систем звичайних диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.07 - Обчислювальна математика

Чисельний та якісний аналіз систем звичайних диференціальних рівнянь

Драгунов Денис Вікторович

Київ 2010

 Дисертацією є рукопис.Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Макаров Володимир Леонідович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу обчислювальної математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Мазко Олексій Григорович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу динаміки і стійкості багатовимірних систем;

доктор фізико-математичних наук, доцент Кутнів Мирослав Володимирович, Національний університет «Львівська політехніка», професор кафедри прикладної математики.

Захист відбудеться 29 червня 2010 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий " 11 травня " 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ПЕЛЮХ Г.П.

1. Загальна характеристика роботи

диференціальний ляпунов алгоритм нульовий

Актуальність теми. Наближені методи розв'язування операторних рівнянь загального вигляду можна умовно поділити на дискретні, в результаті застосування яких шукається наближення до деякої проекції точного розв'язку, функціональні (аналітичні), які наближають точний розв'язок елементами того ж простору, до якого належить розв'язок, та змішані - функціонально-дискретні (чисельно-аналітичні). Як правило, дискретні методи є найбільш ефективними та економними з точки зору обчислювальних ресурсів, чого, в більшості випадків, не можна сказати про функціональні методи. Проте практична цінність останніх значною мірою зросла завдяки стрімкому розвитку комп'ютерної алгебри.

Іноді, поєднання в одному методі функціональної та дискретної складових дає вражаючі результати, як це було з функціонально-дискретним методом (FD-методом) розв'язування задачі Штурма-Ліувілля на власні значення, запропонованим В.Л. Макаровим (1991). Як було пізніше показано, FD-метод може бути застосований до розв'язування операторних рівнянь загального вигляду. Для ряду конкретних випадків було строго доведено, що швидкість його збіжності є суперекспоненціальною. Все це, разом з властивістю збереження аналітичних характеристик точного розв'язку, робить FD-метод актуальним і перспективним об'єктом подальших математичних досліджень.

Що стосується якісного дослідження операторних рівнянь, то потужним методом при дослідженні стійкості за Ляпуновим є другий метод Ляпунова. Особливо привертають до себе увагу теореми Томсона - Тета - Четаєва, що дають достатні умови асимптотичної стійкості чи нестійкості нульового розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку у вигляді умов знаковизначеності матриць потенціальних та дисипативних сил. Такі умови можуть бути досить легко аналітично сформульовані за допомогою критерію Сільвестра, навіть у випадку, коли матричні коефіцієнти залежать від параметрів, і, у вигляді скалярних нерівностей, визначають область асимптотичної стійкості чи нестійкості. D.L. Mingori (1970) запропонував плідний підхід до узагальнення теорем Томсона - Тета - Четаєва за допомогою використання структурних перетворень, що не змінюють властивості стійкості нульового розв'язку. Пізніше ця ідея розвивалася в роботах Von P. C. Mьller (1972), В. М. Кошлякова та В.Л. Макарова, проте одержані в них результати носять характер частинних випадків і не вичерпують весь практичний потенціал підходу, запропонованого D.L. Mingori. Відтак, подальші дослідження, спрямовані на розвиток ідеї D.L. Mingori та розширення області її застосовності, на сьогоднішній день, є актуальними і перспективними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, що проводяться у відділі обчислювальної математики Інституту математики НАН України. Її результати було використано при виконанні науково-дослідної роботи І-16-06: "Високоточні методи розв'язування еволюційних задач та розробка швидкодіючих алгоритмів'', термін виконання з 01.01.2006 по 31.12.2010, номер державної реєстрації - 0106U000579.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є розробка, обгрунтування і алгоритмізація методів чисельного та якісного аналізу систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР) з початковими умовами.

Основними завданнями дослідження є:

1. розробка та обгрунтування аналітичного методу дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку СЗДР, що базується на використанні структурних перетворень (типу Ляпунова) в поєднанні з другим методом Ляпунова, а саме, теоремами Томсона - Тета - Четаєва;

2. розробка та обгрунтування чисельно-аналітичного методу наближеного розв'язування СЗДР на півосі, що базується на ідеї FD-методу розв'язування операторних рівнянь загального вигляду.

Об'єкт дослідження - системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами.

Предмет дослідження - аналітичний метод дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку СЗДР за допомогою структурних перетворень, що не змінюють властивостей стійкості, та чисельно-аналітичний метод розв'язування СЗДР на півосі.

Методи дослідження. В ході дослідження було використано методи функціонального аналізу, другий метод Ляпунова, метод твірних функцій, FD-метод розв'язування операторних рівнянь загального вигляду.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дослідження, що визначають його наукову новизну:

1. В термінах введеного поняття -еквівалентності СЗДР другого порядку сформульовано та доведено ряд теорем, що містять необхідні і достатні умови того, щоб дана СЗДР другого порядку з залежними від часу коефіцієнтами була -еквівалентна () СЗДР другого порядку яка не містить неконсервативних позиційних і/або гіроскопічних структур (теореми 2, 3, 4);

2. Доведено теорему, що містить необхідні і достатні умови -еквівалентності () двох СЗДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами, що є аналогом теореми Єругіна про еквівалентність в сенсі Ляпунова двох СЗДР першого порядку зі сталими коефіцієнтами (теорема 6); як наслідок з даної теореми випливає твердження, що може розглядатися як узагальнення другої та третьої теорем Томсона - Тета - Четаєва, теореми Мюллера (1972) та теореми Мінгорі (1970) (теорема 8);

3. Досліджено властивості нескінченної системи лінійних однорідних матричних рівнянь, яка виникла в процесі доведення теореми 6, також доведено теорему про її еквівалентність скінченній системі, і нарешті, запропоновано аналітичний алгоритм її розв'язування (теорема 5);

4. На основі загальної ідеї FD-методу розв'язування операторних рівнянь розроблено новий чисельно-аналітичний метод (FD-метод) розв'язування СЗДР з початковими умовами (задачі Коші) на півосі, запропоновано алгоритм його програмної реалізації та стратегію розпаралелювання; доведено теорему, що містить достатні умови суперекспоненціальної швидкості збіжності FD-методу розв'язування СЗДР з початковими умовами (задачі Коші) на півосі (теорема 2);

5. Доведено твердження про локальні властивості поліномів Адомяна від нелінійних операторів, що є узагальненнями аналогічних тверджень про поліноми Адомяна від скалярних функцій (лема 1);

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Одержані результати можуть бути використані при створенні систем комп'ютерної алгебри для автоматизації дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку СЗДР, а також, при розробці високоефективних програмних пакетів наближеного чисельно-аналітичного розв'язування задачі Коші для СЗДР на півосі з використанням багатопроцесорних систем.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямків дослідження та постановки задач, розв'язаних в дисертації, належать В.Л. Макарову і В.М. Кошлякову. Основні результати дисертаційної роботи одержані Д.В. Драгуновим самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на таких наукових конференціях та семінарах:

* International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksander Mikhailovich Lyapunov, June 24-30, 2007, Kharkiv, Ukraine.

* Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка Кравчука, 15-17 травня 2008 р. Київ.

* III міжнародна конференція ``Обчислювальна та прикладна математика.'' Присвячена пам'яті академіка НАН України Івана Івановича Ляшка. 11-12 вересня 2009 р. Київ.

* Семінар ``Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики'' відділів Динаміки та стійкості багатовимірних систем і Обчислювальної математики Інституту математики НАН України (керівники семінару - академік І.О. Луковський, академік В.Л. Макаров)

Публікації. Основні результати роботи викладено в 4 статтях [1 - 4], опублікованих у виданнях, що внесені до переліку наукових фахових видань України, а також відображено в 3 тезах доповідей на міжнародних конференціях [5 - 7].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів та списку використаних джерел із 84 найменувань. Обсяг дисертації становить 141 сторінок друкованого тексту.

2. Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету дослідження та виділено основні результати.

У першому розділі проведено огляд наукових робіт, тематика яких тісно пов'язана з тематикою дисертаційної роботи.

\setcounter{section}{2}

Другий розділ присвячено знаходженню умов розв'язності задачі виключення неконсервативних позиційних і/або гіроскопічних структур з СЗДР другого порядку за допомогою структурних перетворень, що зберігають властивість стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку.

Випадок неавтономних систем.

Розглядаються дві системи звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_0}

\mathbf{\ddot{x}}+A\left(t\right)\mathbf{\dot{x}}+B\left(t\right)\mathbf{x}=0,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_1}

\mathbf{\ddot{\xi}}+V\left(t\right)\mathbf{\dot{\xi}}+W\left(t\right)\xi=0,

\end{equation}

де $A\left(t\right), B\left(t\right), V\left(t\right), W\left(t\right)\in M_{m}\left(C\left[t_{0}, +\infty\right)\right)$ - квадратні матриці порядку $m,$ елементи яких є неперервними функціями від $t$ на $\left[t_{0}, +\infty\right).$

Надалі, через $M_{m}\left(\mathbb{F}\right)$ ми будемо позначати множину (лінійний простір) квадратних матриць порядку $m\in\N,$ елементи яких належать множині (лінійному простору) $\mathbb{F}\neq \varnothing.$

\begin{defuk}\label{O_pro_Lk_ekvival}

Будемо говорити, що системи диференціальних рівнянь другого порядку \eqref{Chapt_2_eq_0} та \eqref{Chapt_2_eq_1} є $L$-еквівалентними порядку $k,$ або $L_{k}$-еквівалентними, де $k$ може набувати значень $0, 1, 2,$ якщо для деякої матриці $L\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{2}\left[0, +\infty\right)\right),$ що задовольняє умови

\begin{enumerate}

\item[{\normalfont 1)}]\label{Ozn_M_L_2p_nmova_1} $\left|\det\left(L\left(t\right)\right)\right|>\eta>0$ $\forall t\in\left[0, +\infty\right],$

\item[{\normalfont 2)}]\label{Ozn_M_L_2p_nmova_2} $\sup\limits_{t\in\left[t_{0}, +\infty\right)}\left\|\frac{d^{i}}{d t^{i}}L\left(t\right)\right\|<+\infty$ $\forall i\in \overline{0, k},$

\end{enumerate}

мають місце рівності

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_2}

\begin{array}{c}

V\left(t\right)=L^{-1}\left(t\right)\left(2\dot{L}\left(t\right)+A\left(t\right)L\left(t\right)\right),\\

W\left(t\right)=L^{-1}\left(t\right)\left(\ddot{L}\left(t\right)+A\left(t\right)\dot{L}\left(t\right)+B\left(t\right)L\left(t\right)\right).\\

\end{array}

\end{equation}

\end{defuk}

\setcounter{thmuk}{1}

\begin{thmuk}\label{T_Vikl_Giro_Struct}

Для того, щоб система диференціальних рівнянь другого порядку \eqref{Chapt_2_eq_0} з $A\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{1}\left[t_{0}, +\infty\right)\right)$ була $L_{k}$-еквівалентна {\normalfont (}$k=0,1,2${\normalfont )} деякій системі \eqref{Chapt_2_eq_1} з $V\left(t\right)=V^{T}\left(t\right),$ необхідно і достатньо, щоб існували такі симетричні матриці $S\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{1}\left[0, +\infty\right)\right),$ $S_{0}\in M_{m}\left(\R\right),$ $S_{0}>0,$ що визначають кососиметричну матрицю

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_23}

4K\left(t\right)=\Lambda\left(t\right)A^{T}\left(t\right)-A\left(t\right)\Lambda\left(t\right), \quad \Lambda\left(t\right)=2\int\limits_{0}^{t}S\left(\nu\right)d \nu+S_{0},

\end{equation}

і для них виконувались умови

\begin{enumerate}

\item\label{T_Vikl_Giro_Struct_U_1}

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_14}

\bigg|2\int\limits_{0}^{t}Tr\left(S\left(\nu\right)\right)d\nu+Tr\left(S_{0}\right)\bigg|\leq \mu^{2}, \forall t\in\left[0, +\infty\right),\; \mu>0,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_15}

\det\bigg(2\int\limits_{0}^{t}S\left(\nu\right)d\nu+S_{0}\bigg)\geq \eta^{2}, \forall t\in\left[0, +\infty\right),\; \eta>0;

\end{equation}

\item\label{T_Vikl_Giro_Struct_U_2} $\sup\limits_{t\in\left[t_{0}, +\infty\right)}\left(\left\|\frac{d^{i}}{d t^{i}}K\left(t\right)\right\|+\left\|\frac{d^{i}}{d t^{i}}S\left(t\right)\right\|\right)<+\infty$ $\forall i\in\overline{0, k-1},\;\; k\neq 0 \\ (\mbox{при } k=0 \mbox{ дана умова відкидається}).$

\end{enumerate}

\end{thmuk}

\setcounter{consequk}{1}

\begin{consequk}\label{N_z_T_Vikl_Giro_Struct}

Система диференціальних рівнянь другого порядку \eqref{Chapt_2_eq_0} з $A\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{1}\left[t_{0}, +\infty\right)\right)$ завжди $L_{0}$-еквівалентна деякій системі \eqref{Chapt_2_eq_1} з $V\left(t\right)=V^{T}\left(t\right).$

\end{consequk}

\begin{thmuk}\label{T_Vikl_NP_Struct}

Для того, щоб система диференціальних рівнянь другого порядку \eqref{Chapt_2_eq_0} була $L_{k}$-еквівалентна {\normalfont (}$k=0,1,2${\normalfont )} деякій системі \eqref{Chapt_2_eq_1} з $W\left(t\right)=W^{T}\left(t\right),$ необхідно і достатньо, щоб існували такі симетричні матриці : $S\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{1}\left[0, +\infty\right)\right),$ $S_{0}\in M_{m}\left(\R\right),$ $S_{0}>0,$ а також кососиметрична матриця $K\left(t\right),$ що є розв'язком диференціального рівняння

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_24}

\begin{array}{c}

2\dot{K}\left(t\right)+A\left(t\right)K\left(t\right)+K\left(t\right)A^{T}\left(t\right)+\\ [1.2em] +A\left(t\right)S\left(t\right) -S\left(t\right)A^{T}\left(t\right)

+B\left(t\right)\Lambda\left(t\right)

-\Lambda\left(t\right)B^{T}\left(t\right)=0,\\[1.2em]

\Lambda\left(t\right)=2\int\limits_{0}^{t}S\left(\nu\right)d \nu+S_{0},

\end{array}%

\end{equation}

для яких виконуються умови \ref{T_Vikl_Giro_Struct_U_1}, \ref{T_Vikl_Giro_Struct_U_2} теореми {\normalfont \ref{T_Vikl_Giro_Struct}}.

\end{thmuk}

\begin{consequk}\label{N_z_T_Vikl_NP_Struct}

Система диференціальних рівнянь другого порядку \eqref{Chapt_2_eq_0} завжди $L_{0}$-еквівалентна деякій системі \eqref{Chapt_2_eq_1} з $W\left(t\right)=W^{T}\left(t\right).$

\end{consequk}

\begin{thmuk}\label{T_Vikl_NPG_Struct}

Для того, щоб система диференціальних рівнянь другого порядку \eqref{Chapt_2_eq_0} з $A\left(t\right)\in M_{m}\left( C^{1}\left[t_{0}, +\infty\right)\right)$ була $L_{k}$-еквівалентна {\normalfont (}$k=0,1,2${\normalfont )} деякій системі \eqref{Chapt_2_eq_1} з $V\left(t\right)=V^{T}\left(t\right),$ $W\left(t\right)=W^{T}\left(t\right),$ необхідно і достатньо, щоб існували такі симетричні матриці $S\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{1}\left[0, +\infty\right)\right),$ $S_{0}\in M_{m}\left(\R\right),$ $S_{0}>0,$ що визначають кососиметричну матрицю $K\left(t\right)$ \eqref{Chapt_2_eq_23}, для яких виконуються умови \ref{T_Vikl_Giro_Struct_U_1}, \ref{T_Vikl_Giro_Struct_U_2} теореми {\normalfont \ref{T_Vikl_Giro_Struct}}, а також має місце рівність

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_25}

\begin{array}{c}

\Lambda\left(t\right)M^{T}\left(t\right)=M\left(t\right)\Lambda\left(t\right)\quad \forall t\in\left[0, +\infty\right), \\[1.2em]

M\left(t\right)=\frac{1}{2}\frac{d}{d t}A\left(t\right)+\frac{1}{4}A^{2}\left(t\right)-B\left(t\right),\quad \Lambda\left(t\right)=2\int\limits_{0}^{t}S\left(\nu\right)d \nu+S_{0}.

\end{array}

\end{equation}

\end{thmuk}

\begin{remuk}\label{Rem_por_Lk_matr}

Якщо умови принаймні однієї з теорем {\normalfont \ref{T_Vikl_Giro_Struct}, \ref{T_Vikl_NP_Struct}, \ref{T_Vikl_NPG_Struct}} виконуються, то кожна відповідна $L_{k}$-матриця $L\left(t\right)$ може бути знайдена як розв'язок диференціального рівняння $\dot{L}\left(t\right)L^{T}\left(t\right)=K\left(t\right)+S\left(t\right)$ з початковою умовою, що задовольняє співвідношення $L\left(0\right)L^{T}\left(0\right)=S_{0}.$ При цьому матричні коефіцієнти відповідного симетризованого рівняння \eqref{Chapt_2_eq_1} задаватимуться формулами \eqref{Chapt_2_eq_2}.

\end{remuk}

{\bf Випадок автономних систем.}

\setcounter{defuk}{2}

\begin{defuk}\label{O_pro_L_ekvival}

Будемо говорити, що автономні системи диференціальних рівнянь

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_0}

\mathbf{\ddot{x}}+A\mathbf{\dot{x}}+B\mathbf{x}=0,\quad A,B\in M_{m}\left(\R\right),

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_-1}

\mathbf{\ddot{\xi}}+V\mathbf{\dot{\xi}}+W\mathbf{\xi}=0,\quad V,W\in M_{m}\left(\R\right). \end{equation}

є $L$-еквівалентними, якщо існує така регулярна матриця $L\left(t\right)\in M_{m}\left(C^{2}\left[0, +\infty\right)\right),$ для якої виконуються рівності

\begin{equation}\label{Chapt_2_eq_2'}

\begin{array}{c}

V=L^{-1}\left(t\right)\left(2\dot{L}\left(t\right)+AL\left(t\right)\right),\\[1.2em]

W=L^{-1}\left(t\right)\left(\ddot{L}\left(t\right)+A\dot{L}\left(t\right)+BL\left(t\right)\right), \quad \forall t\in \left[0, +\infty\right).\\

\end{array}

\end{equation}

\end{defuk}

Введемо наступні позначення. Для довільних матриць $A, B, C \in M_{m}\left(\R\right)$

через $\left[A, B\right]$ позначимо комутатор матриць $A, B,$ тобто,

$\left[A, B\right]=AB-BA,$ а через $\left\{ABC\right\}$ -

вираз $\left[\left[A, B\right], C\right],$ $\left\{AB^{(k)}C\right\}\overset{\textmd{def}}{=}\bigg\{A\underbrace{B\ldots B}_{k}C\bigg\}.$

Позначимо через $\mathcal{X}_{n}$ множину всіх розв'язків системи матричних рівнянь

\begin{equation}\label{Nesinchenna_systema}

\left\{Z A^{(k)}

X\right\}=0,\;\;k=0,1,\ldots,n,

\end{equation}

де $Z,\;A\in M_{m}\left(\R\right)$ - задані матриці, $X$ - шукана $(m\times

m)$-матриця.

\begin{thmuk} \label{T_pro_konechnost'_beskonechnosti}

Існує таке невід'ємне ціле $n< m^{2}$, що мають місце рівності множин

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_37}

\mathcal{X}_{n}=\mathcal{X}_{k},\;\; k=n+1, n+2,\ldots.

\end{equation}

\end{thmuk}

\begin{thmuk}[\normalfont аналог теореми М. П. Єругіна] \label{T_main_theorem}

Рівняння \eqref{Chapt_2_2_eq_0}, \eqref{Chapt_2_2_eq_-1} є $L$-еквівалентними тоді і тільки тоді, коли існує невироджена матриця $C\in M_{m}\left(\R\right),$ що задовольняє умови :

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_50}

V_{R}=C^{-1}A_{R}C,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_51}

4W=V^{2}+C^{-1}\left(4B-A^{2}\right)C,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_52}

\left\{\left(4B-A^{2}\right)A^{(n)}\left(CVC^{-1}-A\right)\right\}=0,\;\; n=0,1,\ldots,m^{2}-1.

\end{equation}

\end{thmuk}

Розглянемо рівняння \eqref{Chapt_2_eq_0}, записане у вигляді

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_77}

J\mathbf{\ddot{x}}+\left(D+G\right)\mathbf{\dot{x}}+\left(P+\Pi\right)\mathbf{x}=0,

\end{equation}

де $J, D, G, P, \Pi\in M_{m}\left(\R\right),$ $J=J^{T}>0,$ $D=D^{T},$ $\Pi=\Pi^{T},$ $G=-G^{T},$ $P=-P^{T}.$

Введемо позначення :

$$A=J^{-\frac{1}{2}}\left(D+G\right)J^{-\frac{1}{2}},\quad B=J^{-\frac{1}{2}}\left(P+\Pi\right)J^{-\frac{1}{2}}.$$

З теореми \ref{T_main_theorem} випливають такі наслідки.

\begin{consequk}\label{N_1}

Для того, щоб автономне рівняння \eqref{Chapt_2_2_eq_77} було $L$-еквівалентним деякому автономному рівнянню

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_78}

\mathbf{\ddot{\xi}}+V\mathbf{\dot{\xi}}+W\mathbf{\xi}=0,\quad V, W\in M_{m}\left(\R\right)

\end{equation}

з $V=V^{T},$ достатньо, щоб для деякої симетричної матриці $V\in M_{m}\left(\R\right)$ та невиродженої матриці $C\in M_{m}\left(\R\right)$ виконувалися умови

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_79}

\left[A,\;CVC^{-1}\right]=ACVC^{-1}-CVC^{-1}A=0,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_80}

\left[B,\;A-CVC^{-1}\right]=B\left(A-CVC^{-1}\right)-\left(A-CVC^{-1}\right)B=0,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_81}

CV_{R}=A_{R}C.

\end{equation}

При цьому матриця $W$ буде задаватися формулою

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_82}

W=\frac{1}{4}V^{2}+C^{-1}\left(B-\frac{1}{4}A^{2}\right)C.

\end{equation}

\end{consequk}

\begin{consequk}\label{N_2}

Для того, щоб автономне рівняння \eqref{Chapt_2_2_eq_77} було $L$-еквівалентним деякому автономному рівнянню \eqref{Chapt_2_2_eq_78} з $W=W^{T},$ достатньо, щоб для деяких матриць $V, C \in M_{m}\left(\R\right),$ $\det\left(C\right)\neq 0$ виконувалися умови \eqref{Chapt_2_2_eq_79}-\eqref{Chapt_2_2_eq_81} і

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_83}

V^{2}-\left(V^{2}\right)^{T}+C^{-1}ZC-C^{T}Z^{T}\left(C^{-1}\right)^{T}=0,

\end{equation}

де

$$Z=\left(B-\frac{1}{4}A^{2}\right).$$

При цьому матриця $W$ буде задаватися формулою \eqref{Chapt_2_2_eq_82}.

\end{consequk}

\begin{consequk}\label{N_3}

Для того, щоб автономне рівняння \eqref{Chapt_2_2_eq_77} було $L$-еквівалентним деякому автономному рівнянню \eqref{Chapt_2_2_eq_78} з $W=W^{T},\; V=V^{T}$ достатньо, щоб для деякої симетричної матриці $V\in M_{m}\left(\R\right)$ та невиродженої матриці $C\in M_{m}\left(\R\right)$ виконувалися умови \eqref{Chapt_2_2_eq_79}-\eqref{Chapt_2_2_eq_81} і

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_84}

C^{-1}ZC-C^{T}Z^{T}\left(C^{-1}\right)^{T}=0.

\end{equation}

При цьому матриця $W$ буде задаватися формулою \eqref{Chapt_2_2_eq_82}.

\end{consequk}

\begin{consequk}\label{N_4}

Якщо для деякого невід'ємного цілого $n$ матриця

$$Z_{n}=\left\{\left(4B-A^{2}\right)A^{(n)}\right\}$$

має простий спектр, то умови наслідків {\normalfont \ref{N_1}-\ref{N_3}} є також і необхідними.

\end{consequk}

За допомогою теореми \ref{T_main_theorem}, а також теорем Томсона - Тета - Четаєва неважко довести наступне узагальнення теорем Мінгорі (1970) та Мюллера\footnote{йдеться про помилкову теорему з роботи, M\"{u}ller P. C. Verallgemeinerung des

Stabilit\"{a}tssatzes von Thomson-Tait-Chetaev auf

mechanische Systeme mit scheinbar nichtkonservativen

Lagekr\"{a}ften / Von P. C. M\"{u}ller // ZAMM 52, T 65-T67 (1972), яка, проте, стає вірною, якщо її умови вважати лише достатніми (а не необхідними і достатніми).} (1972).

\setcounter{thmuk}{7}

\begin{thmuk}\label{T_Uzag_Mingori}

Нехай існують матриці $V, C\in M_{m}\left(\R\right),$ $\det\left(C\right)\neq 0,$ $V+V^{T}>0$ такі, що виконуються умови \begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_85}

C V_{R}=A_{R}C,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_86}

\left\{\left(4B-A^{2}\right)A^{(n)}\left(CVC^{-1}-A\right)\right\}=0,\; n=0,1,\ldots,m^{2}-1.

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_87}

V^{2}-\left(V^{2}\right)^{T}+C^{-1}\left(4B-A^{2}\right)C-C^{T}\left(4B-A^{2}\right)^{T}\left(C^{-1}\right)^{T}=0,

\end{equation}

тоді, якщо симетрична матриця

\begin{equation}\label{Chapt_2_2_eq_88}

W=\frac{1}{4}V^{2}+C^{-1}\left(B-\frac{1}{4}A^{2}\right)C

\end{equation}

додатно визначена, то нульовий розв'язок системи \eqref{Chapt_2_2_eq_77} асимптотично стійкий {\normalfont (}за Ляпуновим{\normalfont )}, а якщо матриця \eqref{Chapt_2_2_eq_88} є невиродженою і має принаймні одне від'ємне власне значення, то нульовий розв'язок системи \eqref{Chapt_2_2_eq_77} є нестійкий. \end{thmuk}

Оскільки при $P=0$ умови \eqref{Chapt_2_2_eq_85} - \eqref{Chapt_2_2_eq_87} виконуються для $V=A,$ $C=E,$ при цьому $W=\Pi,$ то теорему \ref{T_Uzag_Mingori} можна розглядати як узагальнення третьої та четвертої теорем Томсона - Тета - Четаєва.

\setcounter{section}{3}

{\bf Третій розділ} присвячено розробці та обгрунтуванню нового чисельно-аналітичного методу (FD-методу) розв'язування нелінійних СЗДР з початковими умовами.

{\bf Схема FD-методу розв'язування СЗДР з початковими умовами на півосі.}

Розглядається задача Коші для нелінійної СЗДР першого порядку

\begin{equation}\label{Chapt_3_1_eq_1}

\frac{d}{d t}\overrightarrow{u}\left(t\right) - \mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\left(t\right)\right)\overrightarrow{u}\left(t\right)=\overrightarrow{\phi}\left(t\right),\; \overrightarrow{u}\left(t_{0}\right)=\overrightarrow{u}_{0}\in V_{m}\left(\R\right),\; t\in\left[t_{0}, +\infty\right),

\end{equation}

де $\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)\in M_{m}\left(C_{x,\overrightarrow{u}}^{0,\infty}\left(\left[t_{0}, +\infty\right)\times \R^{m}\right)\right),$ $\overrightarrow{u}\left(t\right)=\left[u_{1}\left(t\right),\ldots, u_{m}\left(t\right)\right]^{T},$ $\overrightarrow{\phi}\left(t\right)\in V_{m}\left(C\left[t_{0}, +\infty\right)\right)$ - задана вектор-функція вимірності $m,$ елементи якої є неперервними на $\left[t_{0}, +\infty\right)$ функціями від $t.$ Застосування FD-методу до розв'язування задачі Коші (\ref{Chapt_3_1_eq_1}) полягає у знаходженні наближення точного розв'язку $\overrightarrow{u}\left(t\right)$ у вигляді частинної суми

\begin{equation}\label{Chapt_3_1_eq_2}

\overset{p}{\overrightarrow{u}}\left(t\right)=\sum\limits_{i=0}^{p}\overrightarrow{u}^{(i)}\left(t\right), \;\; p\in \N,

\end{equation}

при цьому будемо говорити про FD-метод $p$-го рангу.

Покладемо

\begin{equation}\label{Chapt_3_1_eq_4}

\begin{array}{c}

\widehat{\omega}=\left\{t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}t_{n}=+\infty\right\}, \\[1.2em]

h=\sup\limits_{i\in \N}\left\{h_{i}=t_{i}-t_{i-1}\right\}.

\end{array}

\end{equation}

Невідомі доданки $\overrightarrow{u}^{(j)}\left(t\right)=\left[u_{1}^{(j)}\left(t\right),\ldots, u_{m}^{(j)}\left(t\right)\right]^{T},\; j\in\N\bigcup \left\{0\right\},$ суми (\ref{Chapt_3_1_eq_2}) знайдемо з системи рекурентних лінійних задач Коші:

\begin{equation}\label{Chapt_3_1_eq_5}

\begin{array}{c}

\cfrac{d}{d t}\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t\right)-\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i-1}\right)\right)\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t\right)=\overrightarrow{\phi}\left(t\right),\quad t\in\left[t_{i-1}, t_{i}\right)\; \forall i\in \N, \\ [1.2em]

\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{0}\right)=\overrightarrow{u}_{0},\; \left[\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t\right)\right]_{t=t_{i}}\overset{\textmd{def}}{=}\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i}+0\right)-\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i}-0\right)=\overrightarrow{0},

\end{array}

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_3_1_eq_6}

\begin{array}{c}

\cfrac{d}{dx}\overrightarrow{u}^{(j)}\left(t\right)-\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i-1}\right)\right)\overrightarrow{u}^{(j)}\left(t\right)= \\[1.2em]

=\left[\sum\limits_{p=1}^{m}\left(\cfrac{\partial }{\partial

u_{p}}\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i-1}\right)\right)\right)u_{p}^{(j)}\left(t_{i-1}\right)\right]\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t\right)+F^{(j)}\left(t\right),\\[1.2em]

t\in\left[t_{i-1}, t_{i}\right),\quad\overrightarrow{u}^{(j)}\left(t_{0}\right)=\overrightarrow{0},\quad \left[\overrightarrow{u}^{(j)}\left(t\right)\right]_{t=t_{i}}=\overrightarrow{0}\; \forall i\in \N,

\end{array}

\end{equation}

коли

\begin{equation}\label{Chapt_3_1_eq_7}

\begin{array}{c}

F^{(j)}\left(t\right)=\sum\limits_{p=1}^{j-1}A_{j-p}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i-1}\right), \ldots , \overrightarrow{u}^{(j-p)}\left(t_{i-1}\right)\right)\overrightarrow{u}^{(p)}\left(t\right)+ \\[1.2em]

+\sum\limits_{p=0}^{j-1}\left[A_{j-1-p}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t\right), \ldots, \overrightarrow{u}^{(j-1-p)}\left(t\right) \right)-\right. \\[1.2em]

\left.-A_{j-1-p}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i-1}\right), \ldots, \overrightarrow{u}^{(j-1-p)}\left(t_{i-1}\right) \right)\right]\overrightarrow{u}^{(p)}\left(t\right)+ \\[1.2em]

+A_{j}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \overrightarrow{u}^{(0)}\left(t_{i-1}\right), \ldots, \overrightarrow{u}^{(j-1)}\left(t_{i-1}\right), \overrightarrow{0}\right)\overrightarrow{u}^{(0)}\left(t\right),\\[1.2em]

t\in \left[t_{i-1}, t_{i}\right),\quad \forall i, j\in \N,

\end{array}

\end{equation}

де $A_{k}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \left[\overrightarrow{v}_{i}\right]_{i=0}^{k}\right)\overset{\textmd{def}}{=}A_{k}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \overrightarrow{v}_{0},\overrightarrow{v}_{1},\ldots, \overrightarrow{v}_{k}\right)$ - поліном Адомяна степеня $k\in \N\bigcup\left\{0\right\}$ для оператора $\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right)$ - $k$ разів диференційовного за Фреше в точці $\overrightarrow{v}_{0}.$ А саме : $$A_{k}\left(\mathbf{N}\left(t, \left(\cdot\right)\right); \left[\overrightarrow{v}_{i}\right]_{i=0}^{k}\right)=\cfrac{1}{k!}\left.\cfrac{d^{k}}{d \tau^{k}}\mathbf{N}\left(t, \sum\limits_{i=0}^{\infty}\tau^{i}\overrightarrow{v}_{i}\right)\right|_{\tau=0}.$$

\begin{defuk}\label{O_FD_zbizhn}

Будемо говорити, що FD-метод для задачі \eqref{Chapt_3_1_eq_1} збігається {\normalfont (}до точного розв'язку задачі \eqref{Chapt_3_1_eq_1}{\normalfont )} на $\left[t_{0}, H\right),$ $0<H\leq +\infty,$ якщо існує таке додатне число $\overline{h}\in \R,$ що для будь-якої сітки $\widehat{\omega}$ \eqref{Chapt_3_1_eq_4} з $h\leq \overline{h},$ ряд \eqref{Chapt_3_1_eq_2}, члени якого є розв'язками задач \eqref{Chapt_3_1_eq_5} - \eqref{Chapt_3_1_eq_7}, збігається абсолютно і рівномірно {\normalfont (}до точного розв'язку задачі \eqref{Chapt_3_1_eq_1}{\normalfont )} на $\left[t_{0}, H\right).$

\end{defuk}

{\bf Про локальні властивості поліномів Адомяна.} Нехай $\E_{1}$ та $\E_{2}$ - нормовані лінійні простори над полем $\mathbb{R}$ з нормами $\left\|\cdot\right\|^{(1)}$ та $\left\|\cdot\right\|^{(2)}$ відповідно. Розглянемо (взагалі кажучи, нелінійний) оператор $\mathbf{N}\left(\mathbf{u}\right),$ що діє з деякої відкритої підмножини $\G$ простору $\E_{1}$ в простір $\E_{2},$ тобто $\mathbf{N}\colon \G\rightarrow \E_{2}.$

Розглянемо підпростір $\Eg_{1}$ простору $\E_{1},$ який, в свою чергу, також є нормованим простором з нормою $\left\|\cdot\right\|^{(1)}$.

Нехай $\left\|\cdot\right\|^{(1)}_{1}$ - скалярна функція, визначена на $\Eg_{1},$ що задовольняє умови півнорми, тоді скалярна функція $\ltri|\cdot\rtri|,$ визначена рівністю

\begin{equation}\label{operat_lema_25}

\ltri|\mathbf{u}\rtri|=\max\left\{\left\|\mathbf{u}\right\|^{(1)}, \left\|\mathbf{u}\right\|^{(1)}_{1}\right\}\quad \forall \mathbf{u}\in \Eg_{1},

\end{equation}

як легко бачити, задовольняє умови норми в просторі $\Eg_{1}.$

Наступна лема є узагальненням леми про локальні властивості поліномів Адомяна для скалярних функцій (В.Л. Макаров, І.П. Гаврилюк, І.І. Лазурчак, Д. Ситник, Computational Methods in Applied Mathematics. - 2009. - Т.9, № 1. - C. 63 - 78).

\begin{lemuk}\label{L_pro_Adom_1_Operat}

Нехай виконуються умови

\begin{enumerate}

\item Оператор $\mathbf{N}\left(u\right)$ $n$ разів {\normalfont (}$n\in\N${\normalfont )} диференційовний в сенсі Фреше на відкритій опуклій підмножині $\G_{n}$ простору $\E_{1},$ $\G_{n}\bigcap \Eg_{1}\neq \varnothing$ і існує така скалярна функція $\widetilde{N}\left(u\right)\in C^{n}\left(\R\right),$ що виконуються нерівності

$$ \left\|\mathbf{N}^{(k)}\left(\mathbf{u}\right)\right\|\leq \left.\cfrac{d^{k}}{d u^{k}}\widetilde{N}\left(u\right)\right|_{u=\left\|\mathbf{u}\right\|^{(1)}}\quad \forall k\in\overline{0, n}\quad \forall \mathbf{u}\in\G_{n}.

$$\item Для деякої сталої $0<h\in \R$ і оператора $\mathbf{P}_{h}\colon \Eg_{1}\rightarrow \E_{1}$ виконуються умови

$$ \left\|\mathbf{u}-\mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}\right)\right\|^{(1)}\leq h\left\|\mathbf{u}\right\|^{(1)}_{1} \quad \forall \mathbf{u}\in\Eg_{1},

$$

$$ \mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}\right)\in \G_{n}\quad \forall \mathbf{u}\in \G_{n}\bigcap \Eg_{1},

$$

$$\begin{array}{c}

\left\|\mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}\right)-\theta_{1}\left(\mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}\right)-\mathbf{u}\right)\right\|^{(1)}\geq \left\|\mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}\right)-\theta_{2}\left(\mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}\right)-\mathbf{u}\right)\right\|^{(1)} \\[1.2em]

\quad \forall \theta_{1}, \theta_{2}\in \R \colon \theta_{1}\geq \theta_{2}\geq 0\quad\forall \mathbf{u}\in \Eg_{1}.

\end{array}

$$\end{enumerate}

Тоді мають місце нерівності

$$\begin{array}{c}

\left\|A_{k}\left(\mathbf{N}\left(\cdot\right); \left[\mathbf{u}_{i}\right]_{i=0}^{k}\right)\right\|^{(2)}\leq A_{k}\left(\widetilde{N}\left(\cdot\right); \left[\left\|\mathbf{u}_{i}\right\|^{(1)}\right]_{i=0}^{k}\right) \\[1.2em]

\forall \mathbf{u}_{0}\in\G_{n}\quad \forall \mathbf{u}_{i}\in \E_{1},\quad i\in \overline{1,k}\quad \forall k\in\overline{0,n-1};

\end{array}

$$

$$\begin{array}{c}

\left\|A_{k}\left(\mathbf{N}\left(\cdot\right); \left[\mathbf{u}_{i}\right]_{i=0}^{k}\right)-A_{k}\left(\mathbf{N}\left(\cdot\right); \left[\mathbf{P}_{h}\left(\mathbf{u}_{i}\right)\right]_{i=0}^{k}\right)\right\|^{(2)}\leq \\ [1.2em]

\leq h A_{k}\left(\widetilde{N}^{(1)}\left(\cdot\right)\times\left(\cdot\right); \left[\ltri|\mathbf{u}_{i}\rtri|\right]_{i=0}^{k}\right)\\[1.2em]

\forall \mathbf{u}_{0}\in \G_{n}\bigcup \Eg_{1}\quad \forall \mathbf{u}_{i}\in \Eg_{1},\quad i\in \overline{1,k},\quad k\in\overline{0,n-2}.

\end{array}

$$\end{lemuk}

{\bf Обгрунтування збіжності FD-методу на нескінченному інтервалі.}

Нехай

$$ \begin{array}{c}

\ltri|\overrightarrow{u}\left(t\right)\rtri|_{0, \left[a, b\right)}=\sup\limits_{t\in\left[a, b\right)}\left\|\overrightarrow{u}\left(t\right)\right\|=\sup\limits_{t\in\left[a, b\right)}\sqrt{\left<\overrightarrow{u}\left(t\right), \overrightarrow{u}\left(t\right)\right>} \\[1.2em]

\forall \overrightarrow{u}\left(t\right)\in V_{m}\left(\mathbb{Q}\left[t_{0}, +\infty\right)\right);

\end{array}

$$

$$ \begin{array}{c}

\ltri|A\left(t\right)\rtri|_{0, \left[a, b\right)}=\sup\limits_{t\in\left[a, b\right)}\left(\sup\limits_{\overrightarrow{u}\in V_{m}\left(\R\right)}\cfrac{\left\|A\left(t\right)\overrightarrow{u}\right\|}{\left\|\overrightarrow{u}\right\|}\right) \\[1.2em]

\forall A\left(t\right)\in M_{m}\left(\mathbb{Q}\left(\left[t_{0}, +\infty\right)\right)\right),\quad \varnothing\neq \left[a, b\right)\subseteq \left[t_{0}, +\infty\right);

\end{array}

$$

$$ \ltri|\cdot \rtri|_{0}\overset{\textmd{def}}{=}\ltri|\cdot\rtri|_{0, \left[a, b\right)}\quad \mbox{при} \quad \left[a, b\right)=\left[t_{0}, +\infty\right),

$$ де $Q\left[t_{0}, +\infty\right)$ - лінійний простір кусково-неперервних на $\left[t_{0}+\infty\right)$ дійсних функцій; $V_{m}\left(\mathbb{Q}\left[t_{0}, +\infty\right)\right)$ - лінійний простір $m$-вимірних вектор-функцій, елементи яких належать $Q\left[t_{0}, +\infty\right).$

Позначимо через $\mathbf{J}\left(t, \overrightarrow{u}\right)$ матрицю Якобі вектор-функції $\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)\overrightarrow{u},$ $\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)\in M_{m}\left(C^{0,1}_{t,\overrightarrow{u}}\left(\left[t_{0}, +\infty\right)\times \R^{m}\right)\right)$ як функції векторного аргументу $\overrightarrow{u}$ ($t$ вважатимемо параметром), тобто

$$

\begin{array}{c}

\mathbf{J}\left(t, \overrightarrow{u}\right)=\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)+\left[\left(\cfrac{\partial}{\partial u_{1}}\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)\right)\overrightarrow{u},\ldots, \left(\cfrac{\partial}{\partial u_{m}}\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)\right)\overrightarrow{u}\right], \\[1.2em]

\overrightarrow{u}=\left[u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{m}\right]^{T}.

\end{array}

$$% Chapt_3_2_eq_15 - Chapt_3_2_eq_17

Має місце теорема.

\setcounter{thmuk}{1}

\begin{thmuk}\label{T_first_FD}

Нехай для задачі Коші \eqref{Chapt_3_1_eq_1} виконуються умови :

\begin{enumerate}

\item\label{U_1_FD_teor} $\mathbf{N}\left(t, \overrightarrow{u}\right)=\sum\limits_{p=0}^{\infty}\sum\limits_{i_{1}+\ldots+i_{m}=p}u_{1}^{i_{1}}\ldots u_{m}^{i_{m}}\mathbf{N}_{i_{1}\ldots i_{m}}\left(t\right)\; \forall \left(t, \overrightarrow{u}\right)\in \left[t_{0}, +\infty\right)\times \R^{m},$

де $\mathbf{N}_{i_{1}\ldots i_{m}}\left(t\right)\in M_{m}\left(C\left[t_{0}, +\infty\right)\right),$ $i_{k}\in \N\bigcup \left\{0\right\}$ $\forall k\in \overline{1,m},$ причому існує послідовність невід'ємних дійсних чисел $\left\{B_{i}\right\}_{i=0}^{\infty}$ така, що $\sum\limits_{i_{1}+\ldots+i_{m}=p}\ltri|\mathbf{N}_{i_{1}\ldots i_{m}}\left(t\right)\rtri|_{0}\leq B_{p},$ $\forall p\in \N\bigcup \left\{0\right\},$ і ряд $\sum\limits_{p=0}^{\infty}u^{p}B_{p}$ збігається для всіх $u\in \R;$

\item\label{U_2_FD_teor} $\overrightarrow{\phi}\left(t\right)\in V_{m}\left(C\left[t_{0}, +\infty\right)\right),$ $\ltri|\overrightarrow{\phi}\left(t\right)\rtri|_{0}\leq \kappa< +\infty;$

\item\label{U_3_FD_teor} існує стала $\alpha\colon 0<\alpha\in\R$ така, що $\forall \overrightarrow{v}, \overrightarrow{u}\in V_{m}\left(\R\right),$ $\forall t \in \left[t_{0}, +\infty\right)$ виконується нерівність $$\left<\overrightarrow{v}, \mathbf{J}\left(t, \overrightarrow{u}\right)\overrightarrow{v}\right>\leq -\alpha \left<\overrightarrow{v}, \overrightarrow{v}\right>.$$

\end{enumerate}

Тоді для довільної початкової умови $\overrightarrow{u}_{0}\in V_{m}\left(\R\right)$ розв'язок задачі Коші \eqref{Chapt_3_1_eq_1} існує і єдиний на $\left[t_{0}, +\infty\right).$ FD-метод для задачі Коші \eqref{Chapt_3_1_eq_1} збігається до точного розв'язку задачі. Мають місце такі оцінки абсолютної похибки методу

\begin{equation}\label{Chapt_3_2_eq_18}

\ltri|\overrightarrow{u}\left(t\right)-\overset{p}{\overrightarrow{u}}\left(t\right)\rtri|_{0}\leq \frac{C}{\left(p+1\right)^{1+\varepsilon}}\frac{\left(h/R\right)^{p+1}}{1-h/R},\quad h<R,

\end{equation}

\begin{equation}\label{Chapt_3_2_eq_19}

\ltri|\overrightarrow{u}\left(t\right)-\overset{p}{\overrightarrow{u}}\left(t\right)\rtri|_{0}\leq C\sum\limits_{j=p+1}^{\infty}\frac{1}{\left(j+1\right)^{1+\varepsilon}},\quad h=R,

\end{equation}

де додатні дійсні сталі $C, R, \varepsilon$ залежать лише від вхідних даних задачі \eqref{Chapt_3_1_eq_1}.

\end{thmuk}

Висновки

Дисертаційна робота присвячена розробці та обгрунтуванню аналітичних та чисельно-аналітичних методів дослідження розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь, що можуть бути ефективно застосовані з використанням засобів сучасних систем комп'ютерної алгебри (Maple, Mathematica, Maxima, тощо). Зокрема, розвинуто запропонований D.L. Mingori (1970) підхід до дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР) другого порядку, що полягає в застосуванні структурних перетворень, які зберігають властивість стійкості за Ляпуновим, з подальшим використанням теорем Томсона - Тета - Четаєва. Завдяки простоті та аналітичності умов даних теорем, такий підхід може бути ефективно застосований при знаходженні області асимптотичної стійкості (нестійкості) за Ляпуновим руху динамічних систем, що знаходяться під дією неконсервативних позиційних сил.

Крім того, побудовано, обгрунтовано та алгоритмізовано суперекспоненціально збіжний метод (FD-метод) чисельно-аналітичного розв'язування задачі Коші для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь на півосі що базується на ідеї FD-метода розв'язування операторних рівнянь загального вигляду. Показано, що метод може бути природним чином розпаралелений і використаний для чисельно-аналітичного наближеного знаходження розв'язку СЗДР з початковими умовами з використанням сучасних засобів комп'ютерної алгебри та багатопроцесорних систем.

Основні результати.

1. Доведено ряд тверджень, що містять необхідні і достатні умови розв'язності для даної неавтономної системи (1), саме:

a) задачі виключення гіроскопічних структур (теорема 2, наслідок 2);

b) задачі виключення неконсервативних позиційних структур (теорема 3, наслідок 3);

c) обох задач a) та b) одночасно (теорема 4);

причому у випадку розв'язності принаймні однієї із задач a) або b), вказано спосіб відшукання принаймні однієї відповідної -еквівалентної симетризованої системи (2) (зауваження 1);

2. Доведено теорему, яка містить необхідні і достатні умови -еквівалентності двох автономних СЗДР другого порядку (теорема 6) і яку можна розглядати як аналог теореми Єругіна про еквівалентність в сенсі Ляпунова автономних СЗДР першого порядку; як наслідок з теореми 6 сформульовано теорему 8, що узагальнює теореми Мінгорі (1970) та Мюллера (1972) і може розглядатися як узагальнення третьої та четвертої теорем Томсона - Тета - Четаєва;

3. Досліджено розв'язність та запропоновано аналітичний алгоритм відшукання розв'язку нескінченної системи лінійних однорідних матричних рівнянь, яка виникає в процесі доведення теореми 6 (теорема 5).

4. Розроблено загальну схему FD-методу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь; запропоновано алгоритм FD-методу розв'язування задачі Коші, стратегію його розпаралелювання, а також схему реалізації з використанням багатопроцесорних систем; доведено теорему, що містить достатні умови збіжності (в сенсі означення 4) FD-методу розв'язування задачі Коші (29) до точного розв'язку на інтервалі з суперекспоненціальною швидкістю (теорема 2);

5. Доведено твердження про локальні властивості поліномів Адомяна для нелінійного оператора нормованого простору та матричнозначної функції векторного аргументу (лема 1), що узагальнюють аналогічне твердження про властивості поліномів Адомяна для скалярних функцій скалярного аргументу і істотно використовуються в процесі доведення теореми 2.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Кошляков В.Н. Механiчнi системи, еквiвалентнi в сенсi Ляпунова системам, що не мiстять гiроскопiчних сил / В.Н. Кошляков, В. Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Проблеми аналітичної механіки: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 2006. - T.3, №1. - C. 111-122.

2. Кошляков В.Н. Аналог теореми Єругіна для систем диференціальних рівнянь другого порядку / В.Н. Кошляков, В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов //Доп. НАН України. - 2008. - № 2. - С. 21-25.

3. Кошляков В.Н. Структурные преобразования систем дифференциальных уравнений второго порядка / В.Н. Кошляков, В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Аналітична механіка та її застосування: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2008. - Т.5, №2. - С. 175-203.

4. Макаров В.Л. Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші на нескінченному інтервалі /В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Доп. НАН України. - 2010. - № 2. - С. 17-23.

5. Koshlyakov V.N. The mechanical systems that are equivalent in the sense of Lyapunov to the systems which do not contain the unconservative positional forces and/or the gyroscopic forces / V. N. Koshlyakov, V.L. Makarov, D.V. Dragunov // Lyapunov Memorial Conference. International Conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov : book of abstracts. - Kharkiv: Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NAS of Ukraine, 2007. - P. 83-84.

6. Кошляков В.М. Про структурні перетворення систем диференціальних рівнянь другого порядку та їх застосування при дослідженні стійкості нульового розв'язку / В.М. Кошляков, В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука, 15-17 трав., 2008 р., Київ: Матеріали конф. - Київ: ТОВ ``Задруга'', 2008. - Укр., рос., англ. - С. 216.

7. Макаров В.Л. Функціонально-дискретний метод наближеного розв'язування задачі Коші для систем диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров, Д.В. Драгунов // ІІІ міжнародна конференція ``Обчислювальна та прикладна математика'' присвячена пам'яті академіка НАН України І.І. Ляшка. 11-12 вересня 2009 р., Київ: Матеріали конференції. - C. 51.

Анотація

Драгунов Д.В. Чисельний та якісний аналіз систем звичайних диференціальних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена розробці та обгрунтуванню чисельно-аналітичних методів дослідження систем звичайних диференціальних рівнянь.

Розвинуто та узагальнено аналітичний метод дослідження стійкості за Ляпуновим нульового розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, запропонований D.L. Mingori (1970), який базується на використанні структурних перетворень, що зберігають властивість стійкості за Ляпуновим, з наступним застосуванням теорем Томсона - Тета - Четаєва.

Розроблено та обгрунтовано чисельно-аналітичний метод (FD-метод) наближеного розв'язування систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами, що базується на ідеї FD-методу розв'язування операторних рівнянь загального вигляду. Доведено теорему, що містить достатні умови збіжності методу з суперекспоненціальною швидкістю. Запропоновано алгоритм програмної реалізації методу з використанням багатопроцесорних систем.

Ключові слова: чисельно-аналітичний метод, стійкість за Ляпуновим, звичайні диференціальні рівняння, теореми Томсона - Тета - Четаєва, FD-метод, суперекспоненціальна швидкість збіжності, багатопроцесорна система.

Аннотация

Драгунов Д.В. Численный и качественный анализ систем обыкновенных дифференциальных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию численно-аналитических методов исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Развит и обобщен аналитический метод исследования устойчивости по Ляпунову нулевого решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, предложенный D.L. Mingori (1970), который основан на использовании структурных преобразований, сохраняющих свойство устойчивости по Ляпунову, с последующим применением теорем Томсона - Тета - Четаева.

Разработан и обоснован численно-аналитический метод (FD-метод) приближенного решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, который основан на идее FD-метода решения операторных уравнений общего вида. Доказана теорема, содержащая достаточные условия сходимости метода с суперэкспоненциальной скоростью. Предложен алгоритм программной реализации метода с использованием многопроцессорных систем.

Ключевые слова: численно-аналитический метод, устойчивость по Ляпунову, обыкновенные дифференциальные уравнения, теоремы Томсона - Тета - Четаева, FD-метод, суперэкспоненциальная скорость сходимости, многопроцессорная система.

Summary

Dragunov D.V. A Numerical and qualitative analysis of the systems of ordinary differential equations. - Manuscript.

A thesis presented for the Degree of Candidate of Physics and Mathematics in speciality 01.01.07 - computational mathematics. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

The dissertation is devoted to the development and generalization of the numerical-analytical methods for the investigation of the systems of ordinary differential equations (SODE).

For the SODE of the second order an effective analytical method for the qualitative analysis of the trivial solution is improved and generalized. The base idea of this method, which was for the first time introduced by D.L. Mingori (1970), combines the usage of transformations which preserve the property of the Lyapunov's stability, and Tomson - Tait - Chetayev theorems. Later this idea was developed by Von P. C. Mьller (1972), V.M. Koshlyakov, V.L. Makarov and V.A. Storozhenko but all results obtained till recent times can be considered as partial cases of the Mingori's approach and they do not fully exhaust its great practical potential.

A new concept of -equivalence of two SODE's of the second order was introduced. It is similar, in some sense, to the concept of equivalence in the Lyapunov's sense of two SODE's of the first order. We obtained the necessary and sufficient conditions for the given SODE of the second order (non-autonomous in general) to be -equivalent to the some SODE of the second order which do not contain gyroscopic and/or nonconservative positional structures. Furthermore the theorem about -equivalence of two autonomous SODE's of the second order was proved. This theorem can be considered as an analogue of the well known Erugin's theorem about the equivalence in the Lyapunov's sense of the first order systems. Using this theoretical result we proved the theorem, generalizing the theorems of D.L. Mingori (1970), Von P. C. Mьller (1972), and, in some sense, the 3rd and the 4th Tomson - Tait - Chetayev theorems. Using tools of the contemporary computer algebra systems, the obtained results can be effectively used in the stability investigations of the motion of dynamical systems of various type.

A new numerical-analytical method (FD-method) for solving systems of nonlinear ordinary differential equations was constructed and theoretically justified. The method is based on the idea of the FD-method for solving an operator equations of the general type, which was introduced by V.L. Makarov. It allows to compute the solution in the form of rapidly convergent functional series and preserves the analytical properties of the exact solution. In this part it is similar to the well known Adomian Decomposition Method (ADM). But the essential difference between ADM and FD-method is expressed by the fact that the last one has a built-in adjustable parameter, by varying which we can provide the convergence of FD-method even, for ADM is found to be divergent.

The sufficient conditions that guarantee the superexponential convergence rate of the new method are found and formulated as the theorem.

The scheme of the algorithmic realization of the proposed method with using of the multiprocessor computer systems is offered.

The properties of the Adomian's polynomials, which are closely related to the FD-method, were studied in the dissertation too. Namely, a several statements about local behavior of the Adomian's polynomials for the nonlinear operator in the normed linear space were proved. They are the generalization of the known statements about Adomian's polynomials for the scalar function of the scalar argument.

...