Індивідуально-оптимальні рівноваги в некооперативних іграх

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519.8

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ІНДИВІДУАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНІ РІВНОВАГИ В НЕКООПЕРАТИВНИХ ІГРАХ

Мащенко Сергій Олегович

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на факультеті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Капустян Володимир Омелянович, Національний технічний університет України “КПІ” Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, завідувач кафедри

доктор фізико-математичних наук, професор Онопчук Юрій Миколайович, Інститут кібернетики ім. В. М. Глушкова Національної академії наук України, завідувач відділу

доктор фізико-математичних наук, професор Остапенко Валентин Володимирович, Інститут прикладного системного аналізу Національної академії наук України та Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, завідувач відділу

Захист відбудеться “28” квітня 2011 р. о 14 год. 15 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, просп. Глушкова, 4-д, факультет кібернетики, ауд. 40.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601 МСП, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “22” березня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 П. М.Зінько



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія ігор - це розділ математики, у якому вивчаються математичні моделі прийняття рішень в умовах конфлікту. За останні двадцять років Нобелевськими лауреатами з економіки за досягнення в галузі теорії ігор стали: Р. Зельтен, Дж. Неш, Дж. Харшаньї, Р. Ауманн, Т. Шеллінг. Значний внесок у розвиток теорії ігор зробили К. Берж, Н. Воробйов, Ю. Гермейєр, М. Красовський, Р. Льюс, О. Моргенштерн, Е. Мулен, Дж. фон Нейман, Г. Оуен, Л. Понтрягін, Б. Пшеничний, Х. Райфа. Серед робіт сучасних вчених слід відзначити праці Т. Басара, А. Васіна, В. Жуковського, Л. Зенкевич, А. Клейменова, В. Капустяна, В. Морозова, Г. Олсдера, Ю. Онопчука, В. Остапенко, Л. Петросяна, Е. Сьоміної, Г. Томського, А. Чикрія, О. Яновської. Широке застосування теорія ігор знаходить в економіці, біології та суспільних науках: соціології, політології.

Основи некооперативної поведінки гравців викладені у працях лауреатів Нобелевської премії з економіки за 1994 рік: Дж. Неша, Д. Харшаньї та Р. Зельтена. Поняття рівноваги за Нешем знайшло широке застосування при розв'язанні багатьох прикладних задач в умовах конфлікту. Проте потреби практичного застосування цього принципу оптимальності викликали необхідність його розвитку. При цьому можна виділити три основні напрями. Перший полягає у розширенні сфери застосування концепції рівноваги за Нешем. Зокрема, це ігри в умовах невизначеності та нечіткої інформації. Другий - пов'язаний з бажанням вибрати з рівноваг за Нешем ті, що додатково мають певні “корисні” властивості. Третій - пов'язаний з розглядом нових концепцій, які хоча б частково знімали “негативні” властивості рівноваг Неша і були адекватнішими реальним умовам конфлікту. багатокритеріальний конфлікт гравець компроміс

Необхідність подальшої розробки нових концепцій оптимальності в некооперативних іграх обґрунтовує актуальність дисертаційної роботи.

Особливістю рівноваги Неша є її “абсолютна безкомпромісність”. Якщо існує єдина ситуація гри, що дозволяє гравцям дотримуватися “оптимальних” стратегій, вона безперечно може бути основою стабільної угоди між гравцями. Але, по-перше, численні приклади показують, що можуть існувати ситуації, які є “кращими” за рівновагу Неша, і для того, щоб ці ситуації стали стабільними, гравці повинні погодитися на компроміс. По-друге, коли рівноваг за Нешем не існує, або, навпаки, їх - багато, то на основі компромісу між гравцями можна побудувати стабільну угоду між ними. По-третє, досить часто у реальних життєвих конфліктах гравці апріорі знаходяться у компромісних стосунках і питання полягає у тому, як їх зробити “більш стабільними”.

Оскільки існуюча (“класична”) теорія компромісів (теорія колективного прийняття рішень) створена лише для колективної поведінки гравців (вони спільно обирають стратегії), то актуальною є проблема її розширення на випадок їхньої некооперативної поведінки. У зв'язку з цим у некооперативних іграх постають задачі: знаходження “меж компромісу”, при яких ситуація гри є стабільною для гравців; моделювання усієї множини “стабільних компромісів”; знаходження “мінімального” та “найбільш стабільного” компромісу у тому чи іншому сенсі.

У дисертаційній роботі розглядаються некооперативні ігри, в яких гравці можуть обирати свої стратегії індивідуально (некооперативно), але, на відміну від класичної теорії, враховувати інтереси своїх партнерів. Розроблений принцип індивідуальної оптимальності реалізує концепцію компромісу кожного гравця з іншими заради розв'язання конфлікту між ними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності до плану наукових досліджень кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах таких науково-дослідних тем: НДР № 97062 “Дослідження проблем прийняття рішень в умовах невизначеності” (державний номер реєстрації 0197U003166, виконувалась з 1997 р. по 2000 р.), НДР № 01БФ015-01 “Розвиток теорії та програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті” (державний номер реєстрації 0101U002173, виконувалась з 2001 р. по 2005 р.), НДР № 06БФ015-02 “Проблеми теорії прийняття рішень та її застосування в системному аналізі соціально-економічних та екологічних процесів” (державний номер реєстрації 0106U005859, виконується починаючи з 2006 р.) в рамках КНП «Інформатизація суспільства».

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка основ прийняття багатокритеріальних рішень в умовах невизначеності, обумовленої конфліктом, при некооперативній поведінці гравців за новим принципом оптимальності - принципом індивідуальної оптимальності, який реалізує концепцію компромісу кожного гравця з іншими заради вирішення конфлікту між ними.

Досягнення мети роботи пов'язане із розв'язанням таких завдань:

розробки принципу оптимальності в загальних багатокритеріальних некооперативних іграх з цілями гравців, що задані множинами відношень переваги, та встановлення необхідних та достатніх умов існування рівноваг;

- створення концепції індивідуальної оптимальності у некооперативних іграх;

- встановлення властивостей індивідуально-оптимальних рівноваг;

- встановлення необхідних і достатніх умов індивідуальної оптимальності та умов існування індивідуально-оптимальних рівноваг;

- розробки моделей оцінки стабільності індивідуально-оптимальних рівноваг для різних класів некооперативних ігор;

- побудови методів знаходження індивідуально-оптимальних рівноваг в умовах часткової інформованості гравців;

- розробки методів вибору індивідуально-оптимальних рівноваг за критерієм стабільності;

- розробки методів вибору стабільних та оптимальних за перевагами рівноваг;

- створення концепції та методів вибору нечітких індивідуально-оптимальних рівноваг.

Об'єкт дослідження - задачі прийняття рішень в умовах конфлікту при некооперативній поведінці гравців.

Предмет дослідження - індивідуально-оптимальні рівноваги в некооперативних іграх, їхня стабільність та методи їхнього вибору.

Методи дослідження. При розв'язанні поставлених завдань у дисертації було використано методи: теорії ігор, багатокритеріальної оптимізації, теорії корисності, системного аналізу, опуклого та функціонального аналізу, загальної топології, теорії бінарних відношень, теорії нечітких множин.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у створенні та обґрунтуванні нового принципу оптимальності у некооперативних іграх - принципу індивідуальної оптимальності, який реалізує концепцію компромісу кожного гравця з іншими заради вирішення конфлікту між ними.

У процесі вирішення поставлених завдань, автором отримані такі нові результати:

- вперше запропоновані відношення NE-переваги, NE-домінування коаліцій гравців і множини найбільших та максимальних елементів за ними, встановлені їхні основні властивості та умови існування;

- одержала подальший розвиток концепція рівноваги за Нешем, вперше запропоновані поняття слабкої та сильної мажорантної рівноваги в некооперативних іграх з цілями гравців, які задаються множинами відношень переваги, обґрунтована їх стабільність у некооперативних іграх;

- вперше розроблені критерії слабкої та сильної мажорантної рівноваги, зокрема, у випадках існування критеріальних функцій виграшу гравців;

- вперше запропоновані поняття слабкої та сильної індивідуально-оптимальної рівноваги в загальних іграх та іграх із функціями виграшу гравців, обґрунтована їхня стабільність у некооперативних іграх;

- одержали подальший розвиток поняття обережних стратегій та індивідуально-раціональних ситуацій для ігор, які задаються відношеннями переваги гравців, встановлені та обґрунтовані достатні умови їхнього існування;

- вперше встановлений зв'язок між індивідуально-оптимальними рівновагами та індивідуально-раціональними ситуаціями гри, оптимальними за Парето ситуаціями, рівновагами за Нешем, коаліційними рівновагами, рівновагами за Бержем;

- вперше встановлені та обґрунтовані необхідні й достатні та достатні умови слабкої та сильної індивідуальної оптимальності;

- вперше розроблені моделі та критерії оцінки стабільності індивідуально-оптимальних рівноваг у загальних некооперативних іграх, іграх із функціями виграшу гравців, опуклих іграх та іграх із диференційованими функціями виграшу, які дозволяють оцінити компроміс, на який повинен погодитися кожний гравець для встановлення стабільної угоди;

- вперше розроблено процедуру пошуку індивідуально-оптимальних рівноваг в умовах часткової інформованості гравців, обґрунтовано збіжність цієї процедури та одержано оцінки швидкості її збіжності;

- вперше розроблені оцінки стабільності індивідуально-оптимальних рівноваг для ігор двох осіб, розроблено наближений метод оцінки максимальної та мінімальної стабільності індивідуально-оптимальних рівноваг в іграх n осіб.

- вперше запропоновані поняття рівноваги у перевагах гравців та оптимальної рівноваги у перевагах гравців для некооперативних ігор із функціями виграшу гравців, встановлені та обґрунтовані необхідні й достатні умови їхнього існування та їхні властивості;

- удосконалена операція об'єднання відношень на випадок нечіткої множини чітких відношень, розроблені та обґрунтовані формули функції належності цього відношення;

- вперше запропоноване поняття нечіткої індивідуально-оптимальної рівноваги, в якій кожен гравець враховує інтереси нечіткої множини інших гравців, виявлений зв'язок множин нечітких та чітких індивідуально-оптимальних рівноваг, обґрунтоване існування максимізуючої нечіткої рівноваги.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати можуть мати подальше застосування в різних розділах теорії ігор та теорії прийняття рішень. Оскільки некооперативні ігри зустрічаються в багатьох прикладних галузях, результати роботи можуть також формувати складову математичного апарату необхідного для розв'язання конфліктів в економіці, біології, соціології, політології, психології, етиці та інших галузях. Матеріал, викладений у дисертації, був використаний при виконанні науково-дослідницьких тем Київського національного університету імені Тараса Шевченка та в навчальному процесі факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, що підтверджено відповідними актами впровадження.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати дисертації отримані автором особисто. З робіт, виконаних із співавторами, на захист виносяться лише результати, одержані особисто здобувачем. У роботах, виконаних у співавторстві, автору дисертації належать: в [16] - узагальнення обережних стратегій на випадок багатокритеріальної гри та теорема про їх існування; в [17] - процедура пошуку оптимальної за Слейтером ситуації в умовах мінімальної інформованості гравців та її обґрунтування; в [18] - концепція векторної рівноваги та теореми 1, 2; в [19] - концепція рівноваги за набором цілей гравців та теореми 1-3; в [20; 21] - декомпозиційний метод рішення систем лінійних нерівностей та задач лінійного програмування; в [22; 23] - обґрунтування збіжності методу; в [24] - обґрунтування методу апроксимації багатогранних множин; в [31; 32] - принцип індивідуальної оптимальності. Решта 28 робіт написана без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, викладені у дисертації, доповідалися на наукових семінарах в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Московському державному університеті імені М. В. Ломоносова, Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Національному технічному університеті України “КПІ”, на наукових конференціях та семінарах. Міжнародних конференціях: “Dynamical systems modelling and stability investigation” (Київ, 1997 р.); “Problems of decision making under uncertainties” (Київ, 2001 р.; Бердянськ, 2005 р.; Алушта, 2006 р.; Чернівці, 2007 р.; Рівне, 2008 р.; Східниця, 2009 р.; Ялта, 2010 р.); І-а міжнародна конференція “Інтернет-освіта-наука” (Вінниця, 1998 р.) ; ХVІ-й міжнародна конференція з автоматичного управління “Автоматика-2009” (Чернівці, 2009 р.); ХІІ-а міжнародна науково-технічна конференція САІТ - 2010 “Системний аналіз та інформаційні технології” (Київ, 2010 р.); International Conference “Knowledge-dialog-solution” (Yalta, 1997 ye.; Sanct-Petersburg, 2001 ye.; Varna, 2005 ye., 2006 ye., 2007 ye.; Kiev, 2009 ye., 2010 ye.); Fifth Internetional Conference “Information Theory & Applications” (ITA-2000) (Varna, 2000); международная конференция “Дифференциальные уравнения и топология” посвященная 100-летию рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 2008); VI Московская международная конференция по исследованию операций (ORM-2010) (Москва, 2010). Міжнародних школах-семінарах: “Теорія прийняття рішень” (Ужгород, 2002 р., 2004 р., 2008 р. і 2010 р.); “Problems of decision making under uncertainties” (Тернопіль, 2004 р.; Канів, 2005 р.; Східниця, 2006 р.; Новий світ, 2007 р.; Кам'янець-Подільський, 2009 р.; Львів, 2010 р. ).

Публікації. За результатами дослідження опубліковано 39 наукових праць загальним обсягом 21,2 д.а. (із них 14,9 д.а. належать особисто автору) - 32 наукові статті (18,3 д. а., з них 12 д.а. - авторські), у тому числі 24 у фахових виданнях (13,8 д. а., з них 9 д.а. - авторські) з переліку ВАК України, та 7 матеріалів і тез доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків, додатку, списку використаних джерел (226 найменувань на 23 сторінках). Загальний обсяг роботи становить 327 сторінок, основний текст викладено на 282 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначені об'єкт і предмет дослідження, сформульовані мета і основні завдання роботи, наукове та практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ дисертації: “Огляд принципів оптимальності в некооперативних іграх” складається із семи підрозділів, в яких подається огляд літератури та основних теоретичних принципів теорії некооперативних ігор. Розглянуто основні принципи оптимальності в некооперативних іграх. Значна увага приділена рівновазі за Нешем та її узагальненням для ігор із векторними функціями виграшу та загальних ігор, які задані відношеннями переваги гравців. Висвітлено розвиток концепції рівноваги за Нешем у некооперативних іграх, зокрема: коаліційні рівноваги, рівноваги за Бержем, рівноваги в умовах невизначеності та нечіткої інформації. У висновках до розділу формулюється проблема вибору рівноваг некооперативних ігор, які є компромісом кожного гравця з іншими.

Другий розділ дисертації: “Математичні основи принципу індивідуальної оптимальності” складається із п'яти підрозділів. У першому підрозділі “Відношення NE-переваги, NE-домінування та їхні властивості” формулюються їхні означення. Встановлений взаємозв'язок цих відношень та зв'язок із відношеннями переваги та домінування гравців, що їх породжують. У другому підрозділі “«Оптимальність» за відношеннями NE-переваги та NE-домінування” для відношень NE-переваги та NE-домінування коаліцій гравців формалізовані поняття найбільшого та максимального елементу множини ситуацій гри та побудовані умови їхнього існування. Встановлено зв'язок із аналогічними поняттями для відношень, що їх породжують. Виявлена монотонна залежність множин найбільших елементів та максимальних елементів множини ситуацій гри за відношеннями NE-переваги та NE-домінування від потужності коаліції гравців. У третьому підрозділі “Мажорантні рівноваги у загальних багатокритеріальних іграх” розглянута загальна багатокритеріальна гра, у якій ціль кожного гравця задається множиною відношень переваги, визначених на множині ситуацій гри. Для агрегації критеріальних відношень переваги гравців їхнім перетином та об'єднанням формалізовані поняття відповідно сильної та слабкої мажорантної рівноваги. У четвертому підрозділі “Критерії мажорантної рівноваги” розроблені умови існування та критерії слабкої та сильної мажорантної рівноваги. Розроблений математичний апарат параметризації множини слабких мажорантних рівноваг. У п'ятому підрозділі “Застосування мажорантних рівноваг в іграх з нечіткими множинами стратегій гравців” як приклад застосування концепції мажорантних рівноваг розглядається гра з нечіткими множинами стратегій гравців, яка задається чіткими відношеннями переваги гравців. Дефазіфікація цієї гри приводить до загальної двохкритеріальної гри. У підрозділі 6 сформульовано висновки до розділу.

Нехай - множина з n гравців, ; - множина стратегій гравця ; - множина ситуацій . Для деякої коаліції (підмножини) гравців , , розглядається - відношення переваги (рефлексивне бінарне відношення), яке визначене на множині ситуацій .

Будемо говорити, що ситуації х, у множини ситуацій Х знаходяться у відношенні NE-переваги коаліції , яке породжене деяким відношенням переваги , і позначати це , якщо .

Нехай - відношення домінування, індуковане відношенням переваги .

Будемо говорити, що ситуації х, у множини ситуацій Х знаходяться у відношенні NE-домінування коаліції , яке породжене відношенням домінування , і позначати це , якщо .

Встановлений взаємозв'язок відношень NE-переваги та NE-домінування.

Теорема 2.1. Нехай - відношення NE-переваги коаліції , яке породжене деяким відношенням переваги , а - відношення NE-домінування коаліції , яке породжене деяким відношенням домінування . Тоді, якщо відношення породжує , то відношення породжує , тобто . Навпаки, якщо відношення породжує , то для , що .

Для визначення поняття рівноваги важливу роль грає вибір ситуацій “оптимальних” за бінарним відношенням.

Елемент множини ситуацій Х називається максимальним елементом (мажорантою) за відношенням NE-домінування коаліції , якщо для . Позначимо їхню множину .

Аналогічно визначаються множини:

- максимальних елементів за ; - найбільших елементів за ; - найбільших елементів за .

Встановлені умови існування найбільших елементів та максимальних елементів для відношень NE-переваги та NE-домінування, які засновані на перевірці властивостей вихідних відношень.

Твердження 2.6. Нехай відношення NE-домінування коаліції , породжене відношенням домінування S. Найбільший елемент (максимальний елемент) відношення NE-домінування існує тоді й лише тоді, коли хоча б при одному наборі стратегій доповнювальної коаліції існує найбільший (максимальний) елемент звуження відношення домінування S.

Твердження 2.7. Нехай відношення NE-переваги коаліції , породжене відношенням переваги R, а відношення NE-домінування коаліції , породжене відношенням домінування S. Для існування () достатньо існування (). Для існування () необхідно існування ().

Наступна теорема встановлює залежність множин найбільших елементів та максимальних елементів множини ситуацій гри за відношеннями NE-переваги та NE-домінування від потужності коаліції .

Теорема 2.3. Нехай відношення переваги, а відношення домінування, які визначені на множині Х ситуацій гри та для будь-яких коаліцій породжують відповідні відношення NE-переваги і та NE-домінування і . Тоді, якщо коаліція , то та . Також , , , .

У третьому підрозділі з метою формалізації принципу індивідуальної оптимальності, що полягає у знаходженні компромісу кожного гравця з іншими при їхній некооперативній поведінці, розглядається гра, у якій ціль кожного гравця задається множиною відношень переваги.

Загальною багатокритеріальною (багатоцільовою) грою у нормальній формі будемо називати сукупність , де - множина з n гравців, ; - множина стратегій гравця ; - множина бінарних відношень переваги гравця , - множина їхніх індексів, - їхня кількість. Кожне відношення переваги , , , визначене на множині ситуацій гри і називається критеріальним. Гравці, вибираючи свої стратегії, прагнуть того, щоб склалася найпереважніша для кожного ситуація гри за усіма критеріальними відношеннями переваги. Відношення переваги , розглядаються як нестрогі впорядкування. Вважається, що гра відбувається в умовах повної інформованості гравців.

Агрегація перетином критеріальних відношень переваги. Представимо множину критеріальних бінарних відношень переваги гравця агрегованим відношенням . Нехай - відношення домінування гравця , індуковане агрегованим відношенням переваги . Тоді де - j-те критеріальне відношення домінування гравця , індуковане відношенням переваги ,. Позначимо - агреговане відношення NE-домінування гравця , яке породжене агрегованим відношенням домінування .

Ідея стабільної угоди (аналогічної рівновазі Неша у іграх з функціями виграшу гравців) між гравцями приводить до наступного означення рівноваги.

Ситуацію будемо називати сильною мажорантною рівновагою гри MG, якщо . Позначимо РМE множину цих рівноваг.

Агрегація об'єднанням критеріальних відношень переваги. Представимо множину критеріальних бінарних відношень переваги гравця агрегованим відношенням . Нехай - відношення домінування гравця , індуковане агрегованим відношенням переваги , тоді . Позначимо - агреговане відношення NE-домінування гравця , яке породжене агрегованим відношенням домінування .

Ситуацію будемо називати слабкою мажорантною рівновагою гри MG, якщо . Позначимо WME множину цих рівноваг.

Твердження 2.8. Має місце наступне включення .

У четвертому підрозділі умови існування мажорантних рівноваг встановлюють наступні теореми.

Теорема 2.5. Нехай - відношення домінування, що для (для ), де . Якщо відношення домінування у компактному топологічному просторі E ситуацій гри є напів-відкритим зверху, а для будь-якої скінченної множини ситуацій його транзитивне замикання є строгим частковим впорядкуванням, то ().

Теорема 2.6. Нехай - відношення домінування, що для , (що для ), де . Якщо функція інтенсивності переваг відношення () має сідлову точку , то ().

Бульову функцію назвемо характеристичною функцією бінарного відношення S, визначеного на множині Х, якщо . Далі позначатимемо відношення великою літерою, а відповідну характеристичну функцію - малою.

Критерій слабкої мажорантної рівноваги встановлює наступна лема.

Лема 2.9. Ситуація тоді й лише тоді, коли задовольняє такій системі рівнянь: .

Умови слабкої мажорантної рівноваги можуть бути значно спрощені, якщо критеріальні відношення домінування задовольняють додатковим умовам.

Теорема 2.8. Нехай множина ситуацій гри MG є або зліченною, або, якщо незліченною, то містить для кожного критеріального відношення домінування , гравця зліченну підмножину, яка буде щільною у ньому за відповідним відношенням домінування. Нехай також кожне критеріальне відношення домінування , є слабким порядком. Ситуація тоді й лише тоді, коли існують такі функції: , , які для задовольняють умовам: ,; .

Встановлений критерій сильної мажорантної рівноваги.

Теорема 2.10. Ситуація буде сильною мажорантною рівновагою тоді й лише тоді, коли вона для є розв'язком оптимізаційної задачі:

,



де - характеристична функція відношення переваги , .

У п'ятому підрозділі для ілюстрації концепції мажорантних рівноваг розглядається гра у нормальній формі , де - множина з n гравців; - нечітка множина стратегій гравця , яка задана на універсальній множини його стратегій чітким відношенням переваги ; - чітке відношення переваги, задане на множині ситуацій гри, яке задає цільову орієнтацію гравця .

Відношення переваги є більш досконалим інструментом задання нечіткої множини, ніж функція належності, оскільки можуть існувати такі ситуації прийняття рішення, у яких гравець може порівнювати лише пари ситуацій і будувати бінарне відношення переваги (далі будемо називати його - відношенням належності), причому функція корисності для такого бінарного відношення може не існувати.

Розглядається загальна двохкритеріальна гра у нормальній формі , - множина її мажорантних рівноваг. У цій грі множини стратегій гравців є чіткими - це універсальні множини стратегій . Ціллю кожного гравця є вибір переважнішої для себе ситуації гри за парою відношень , де - чітке відношення належності, яке задає нечітку множину ситуацій гри .

Нехай - відношення строгої належності множини ситуацій гри.

Нечіткою множиною мажорантних рівноваг гри називається нечітка множина , яка задається чітким відношенням належності : та . Чітка множина називається носієм множини нечітких мажорантних рівноваг і позначається .

Встановлені умови існування нечітких мажорантних рівноваг .

Твердження 2.9. Якщо для кожного гравця множина максимальних елементів множини ситуацій Х за відношенням строгої належності до нечіткої множини його стратегій є непорожньою, то множина нечітких мажорантних рівноваг гри є також непорожньою.

Критерій нечіткої мажорантної рівноваги встановлює така теорема.

Теорема 2.12. Якщо ситуація , то існує такий вектор параметрів , зокрема, з компонентами , що мають місце нерівності:

,.

Будь-який розв'язок цієї системи нерівностей при заданому є нечіткою мажорантною рівновагою.

Вибираючи різні параметри , , можна знаходити ті або інші нечіткі мажорантні рівноваги.

Третій розділ дисертації: “Індивідуально-оптимальні рівноваги в некооперативних іграх” складається із п'яти підрозділів. У першому підрозділі “Індивідуально-оптимальні рівноваги” формулюються означення сильної та слабкої індивідуально-оптимальної рівноваги для ігор заданих як відношеннями переваги гравців, так і функціями виграшу гравців. У другому підрозділі “Властивості індивідуально-оптимальних рівноваг” встановлені властивості: індивідуальної та колективної раціональності, рівноважність за Нешем, коаліційна рівноважність та рівноважність за Бержем. У підрозділі 3 “Умови індивідуальної оптимальності рівноваг” побудовані необхідні й достатні умови сильної та слабкої індивідуальної оптимальності рівноваг. У четвертому підрозділі “Достатні умови індивідуальної оптимальності рівноваг” розроблені достатні умови індивідуальної оптимальності та умови існування індивідуально-оптимальних рівноваг. У підрозділі 5 “Висновки до розділу 3” сформульовано висновки до розділу.

Загальною некооперативною грою G у нормальній формі назвемо сукупність:

, (1)

де: - множина із n гравців, N={1,2,…,n}, ; - множина стратегій гравця ; - бінарне відношення переваги гравця , яке визначене на множині ситуацій гри . Відношення переваги розглядається як нестроге впорядкування та породжує відношення домінування , .

Некооперативною грою G у нормальній формі з функціями виграшу будемо називати сукупність:

, (2)

де - функція виграшу гравця , яка визначена на множині ситуацій гри та максимізується.

Представимо відношення переваги , гравців агрегованим відношенням . Нехай - відношення домінування, індуковане агрегованим відношенням переваги , тоді =. Породжене їм відношення NE-домінування гравця позначимо .

Ситуацію будемо називати сильною індивідуально-оптимальною рівновагою загальної гри G (їхню множину будемо позначати ), якщо .

Стабільність сильної індивідуально-оптимальної рівноваги обґрунтовується тим, що зміна будь-яким гравцем , погодженої з іншими гравцями, стратегії на іншу приведе до ситуації, яка є або толерантною до , або домінованою хоча б для одного гравця.

У випадку, коли гра G задана у нормальній формі (2) з функціями виграшу гравців, з'являється можливість уточнити визначення агрегованого відношення NE-домінування гравця .

Будемо говорити, що ситуація у гри G у нормальній формі (2) з функціями виграшу знаходиться у відношенні NE-домінування гравця до ситуації х і позначати це , якщо , та .

Ситуацію будемо називати сильною індивідуально-оптимальною рівновагою гри G у нормальній формі (2) з функціями виграшу, якщо .

Представимо бінарні відношення переваги гравців , агрегованим відношенням . Нехай - відношення домінування, індуковане агрегованим відношенням переваги . Позначимо - відношення NE-домінування гравця , яке породжене агрегованим відношенням домінування .

Ситуацію будемо називати слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою гри G (їхню множину будемо позначати ), якщо .

Стабільність слабкої індивідуально-оптимальної рівноваги обґрунтовується тим, що зміна будь-яким гравцем , погодженої з іншими гравцями, стратегії на іншу приведе до ситуації, яка не буде домінувати хоча б для одного гравця.

Будемо говорити, що ситуація у гри G у нормальній формі (2) з функціями виграшу знаходиться у відношенні сильного NE-домінування гравця до ситуації х і позначати це , якщо , .

Ситуацію будемо називати слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою гри G у нормальній формі (3.2) з функціями виграшу, якщо .

Встановлений зв'язок між слабкими та сильними індивідуально-оптимальними рівновагами гри G .

Твердження 3.1. У грі G множина слабких індивідуально-оптимальних рівноваг включає в себе множину сильних індивідуально-оптимальних рівноваг, тобто .

Для встановлення основних властивостей індивідуально-оптимальних рівноваг узагальнюються поняття обережних стратегій та індивідуально-раціональних ситуацій гри у відношеннях переваги.

Будемо називати - множиною гарантованих відповідей доповнювальної коаліції гравця на фіксовану стратегію .

Будемо говорити, що стратегія гравця гри G домінує за гарантованими відповідями його доповнювальної коаліції стратегію і позначати це , якщо мають місце відношення для , .

Стратегію гравця гри G будемо називати обережною у відношеннях переваги, якщо вона не домінується за гарантованими відповідями його доповнювальної коаліції жодною іншою, тобто , що . Позначимо - множину обережних стратегій гравця .

Це узагальнення обережних стратегій дозволяє узагальнити поняття множини індивідуально-раціональних ситуацій гри G у відношеннях переваги.

Нехай множини обережних стратегій гравців у грі G є непорожніми. Ситуацію будемо називати індивідуально-раціональною у відношеннях переваги у грі G, якщо для кожного гравця ситуація не домінується будь-якою гарантованою відповіддю його доповнювальної коаліції на будь-яку обережну стратегію. Позначимо - множину індивідуально-раціональних ситуацій у відношеннях переваги. Тоді , , .

Встановлені умови існування індивідуально-раціональних ситуацій.

Теорема 3.2. Нехай відношення домінування гравців у компактному топологічному просторі E ситуацій гри G є неперервними. Для того, щоб множина індивідуально-раціональних ситуацій гри G була непорожньою достатньо, щоб для будь-якої скінченної множини ситуацій і для кожного гравця транзитивне замикання відношення домінування було строгим частковим впорядкуванням.

Встановлений зв'язок між індивідуально-раціональними ситуаціями та індивідуально-оптимальними рівновагами.

Теорема 3.3. Якщо відношення переваги гравців у компактному топологічному просторі E ситуацій гри G є неперервними та транзитивними, то існує непорожній перетин множин слабких индивідуально-оптимальних рівноваг та індивідуально-раціональних ситуацій гри G, тобто .

Встановлений зв'язок між оптимальними за Парето ситуаціями та індивідуально-оптимальними рівновагами.

Теорема 3.5. Множина оптимальних за Парето ( слабко-оптимальних за Парето) ситуацій гри є підмножиною множини сильних (слабких) індивідуально-оптимальних рівноваг, тобто , . Окрім цього, .

Встановлений зв'язок між рівновагами за Нешем та індивідуально-оптимальними рівновагами.

Теорема 3.6. Множина рівноваг Неша гри є підмножиною множини слабких індивідуально-оптимальних рівноваг, тобто .

Для загальної гри G у нормальній формі (1) узагальнюється поняття коаліційної рівноваги. Нехай - деяке розбиття множини гравців на коаліції: : ; . Нехай, відповідно до цього розбиття: є множиною коаліційних стратегій; - коаліційне відношення переваги, ; - відношення домінування коаліції , індуковане відношенням , тоді .

Ситуація називається сильною коаліційною рівновагою загальної гри у нормальній формі (1) при заданому розбитті множини гравців на коаліції, якщо , . Позначимо множину сильних коаліційних рівноваг .

Для коаліційного відношення переваги позначимо - відношення домінування коаліції , індуковане відношенням переваги . Тоді .

Ситуація називається слабкою коаліційною рівновагою загальної гри у нормальній формі (1) при заданому розбитті множини гравців на коаліції, якщо , . Позначимо множину слабких коаліційних рівноваг .

Встановлений зв'язок коаліційних та индивідуально-оптимальних рівноваг.

Теорема 3.7. Нехай деяке розбиття множини гравців на коаліції: ; . Множина сильних коаліційних рівноваг є підмножиною множини слабких коаліційних рівноваг, яка, у свою чергу, є підмножиною множини слабких індивідуально-оптимальних рівноваг гри G. Тобто, .

Для загальної гри G узагальнюється поняття рівноваги за Бержем.

Ситуацію будемо називати рівновагою за Бержем гри G у нормальній формі (1), якщо , . Позначимо цю множину .

Встановлений зв'язок між рівновагами за Бержем та індивідуально-оптимальними рівновагами.

Теорема 3.8. Множина рівноваг за Бержем гри є підмножиною множини слабких індивідуально-оптимальних рівноваг, тобто .

У третьому підрозділі розглядаються умови індивідуальної оптимальності рівноваг. Позначимо - характеристичну функцію відношення домінування, а - характеристичну функцію відношення переваги гравця .

Теорема 3.9. Ситуація у загальній грі G у нормальній формі (1) тоді й лише тоді, коли задовольняє умовам: .

Теорема 3.10. Ситуація є тоді й лише тоді, коли вона для є розв'язком такої оптимізаційної задачі:

, ,.

Для гри G з функціями виграшу гравців у нормальній формі (2) справедливі такі умови індивідуальної оптимальності.

Теорема 3.11. Ситуація у грі G із функціями виграшу гравців тоді й лише тоді, коли: .

Теорема 3.12. Ситуація у грі G із функціями виграшу гравців тоді й лише тоді, коли:

Твердження 3.4. Нехай у грі G із функціями виграшу гравців множини стратегій гравців , є опуклими, а функції їхнього виграшу , є строго опуклими вгору за стратегіями кожного гравця окремо. Тоді множини слабких та сильних індивідуально-оптимальних рівноваг співпадають, тобто .

Встановлені достатні умови індивідуальної оптимальності.

Нехай .

Теорема 3.14. Якщо для деякого фіксованого вектору параметрів (), ситуація задовольняє такій системі рівнянь: , то ().

Встановлені умови існування індивідуально-оптимальних рівноваг.

Теорема 3.15. Нехай множини стратегій гравців гри G належать компактним топологічним просторам . Якщо існує хоча б один гравець , відношення домінування якого у топологічному просторі є напів-відкритим знизу, а для будь-яких скінченних множин стратегій , , транзитивне замикання відношення домінування на є строгим частковим впорядкуванням, то множина .

Четвертий розділ дисертації: “Стабільність індивідуально-оптимальних рівноваг” складається з п'яти підрозділів. У першому підрозділі “Характеризація індивідуально-оптимальних рівноваг у загальних іграх” проведена параметризація індивідуально-оптимальних рівноваг у загальних некооперативних іграх, побудована модель рівноваг та формалізований критерій стабільності рівноваг. У другому підрозділі “Модель оцінки стабільності рівноваг в іграх із функціями виграшу гравців” розглядаються необхідні й достатні умови індивідуальної оптимальності, які дозволяють параметризувати множину слабких індивідуально-оптимальних рівноваг в іграх із функціями виграшу гравців та поставити у відповідність різним типам рівноваг різні значення параметрів. Побудована задача оцінки стабільності рівноваг в іграх із функціями виграшу гравців. У третьому підрозділі “Оцінка стабільності рівноваг в опуклих іграх” модель індивідуально-оптимальних рівноваг та задача оцінки стабільності рівноваг уточнюються для класу опуклих ігор (множини стратегій гравців є опуклими, а функції виграшу - опуклими вниз за стратегіями кожного гравця окремо). У четвертому підрозділі “Оцінка стабільності рівноваг в іграх із диференційованими функціями виграшу гравців” модель індивідуально-оптимальних рівноваг та задача оцінки стабільності рівноваг уточнюються для класу ігор з диференційованими функціями виграшу. У підрозділі 5 “Висновки до розділу 4” сформульовані висновки до розділу.

Позначимо: - характеристичну функцію відношення домінування гравця ; - характеристичну функцію агрегованого відношення домінування, для .

Встановлені умови індивідуально-оптимальної рівноваги.

Теорема 4.1. Якщо ситуація , то існують такі вектори параметрів:

, (3)

зокрема, з компонентами , що справедливі нерівності:

. (4)

Будь-який розв'язок цієї системи нерівностей при заданих , є слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою.

Ця теорема дає можливість представити множину слабких індивідуально-оптимальних рівноваг як розв'язки системи нерівностей (4) при різних значеннях параметрів. Тому (3), (4) можна вважати моделлю індивідуально-оптимальних рівноваг загальної гри G у нормальній формі (1).

Встановлені взаємозв'язки параметрів моделі (3), (4) у коаліційній рівновазі.

Теорема 4.2. Нехай є деяке розбиття множини гравців N на коаліції, що не перетинаються, тобто ; . Для слабкої коаліційної рівноважності ситуації необхідно й достатньо, щоб вона задовольняла нерівностям (4) із значеннями параметрів , , які задовольняють умовам: ,; .

Встановлені взаємозв'язки параметрів моделі (3), (4) у рівновазі за Бержем.

Теорема 4.3. Для рівноважності за Бержем ситуації необхідно, щоб вона задовольняла нерівностям (4) із значеннями параметрів: ; .

Позначимо - множину розв'язків системи нерівностей (4) за умовами (3) відносно вектору при фіксованому значенні .

Визначимо відображення .

Наступний наслідок підсумовує результати теорем 4.1 - 4.3 і дозволяє провести характеризацію основних типів рівноваг загальної гри .

Наслідок 4.1. Нехай - загальна гра у нормальній формі (3.1). Тоді будуть справедливими наступні твердження:

1) ; 2);

3) для розбиття множини гравців N на коаліції, що не перетинаються;

4) ; 5) .

На підставі цього наслідку можна висунути припущення, що перевага кожного гравця до власних інтересів характеризує стабільність ситуації , яка оцінюється значенням відображення .

Оскільки індивідуально-оптимальна рівновага може бути одночасно рівновагою Неша, коаліційною рівновагою, оптимальною за Парето, рівновагою Бержа і т.д., то важливі як максимальна, так і мінімальна оцінки її стабільності.

Функцію () назвемо критерієм максимальної (мінімальної) стабільності індивідуально-оптимальної рівноваги гри G , якщо ().

Максимальний рівень стабільності індивідуально-оптимальної рівноваги є агрегованою характеристикою того, наскільки безкомпромісними можуть бути гравці в ситуації рівноваги. Іншими словами, на який мінімальний компроміс слід погодитися гравцям для стабільності рівноваги. Мінімальний рівень стабільності - це агрегована характеристика того, наскільки гравці можуть бути альтруїстами для утримання рівноваги.

Для знаходження максимального (мінімального) рівня стабільності рівноваги не обов'язково повністю будувати відображення . Для цього достатньо розв'язати оптимізаційну задачу відносно , в якій є параметром:

(), (5)

, , (6) , . (7)

Розглядається гра з функціями виграшу гравців у нормальній формі (2).

Будемо вважати, що функції виграшу гравців є обмеженими на множині Х ситуацій гри G.

Встановлені умови індивідуально-оптимальної рівноваги.

Теорема 4.4. Якщо у грі G у нормальній формі (2), із функціями виграшу гравців, ситуація , функції виграшу гравців , , то завжди існують такі вектори параметрів , , зокрема з компонентами:

, (8)

що , . (9)

Будь-який розв'язок системи нерівностей (9) при заданих , , є слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою.

Для гри із функціями виграшу гравців задача (5)-(7) знаходження максимального (мінімального) рівня () стабільності рівноваги прийме такий вигляд:

(), (10)

, , (11)

, . (12)

Розглядається клас опуклих ігор G (множини стратегій гравців є опуклими, а функції виграшу - опуклими вниз за стратегіями кожного гравця окремо) у нормальній формі (2) з функціями виграшу гравців.

Встановлені умови індивідуально-оптимальної рівноваги.

Теорема 4.7. Нехай у грі G у нормальній формі (2) множина стратегій гравця є опуклою множиною евклідового простору , а його функція виграшу є опуклою вниз за його власними стратегіями. Ситуація буде слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою гри G тоді й лише тоді, коли існують такі вектори параметрів , , для яких будуть мати місце нерівності: ,.

Задача (10)-(12) знаходження максимального - (мінімального - ) рівня стабільності індивідуально-оптимальної рівноваги на підставі цієї теореми стає лінійною і значно простішою:

(), (13)

,, (14)

. (15)

Розглядається клас ігор G у нормальній формі (2) з диференційованими функціями виграшу гравців.

Будемо вважати множини стратегій гравців заданими у вигляді , де , , - функції обмежень, - множина індексів обмежень гравця . Позначимо - множину активних обмежень гравця для стратегії .

Встановлені умови індивідуально-оптимальної рівноваги.

Теорема 4.9. Нехай функції виграшу та функції обмежень на стратегії гравців гри G у нормальній формі (2) є неперервно-диференційованими в околі ситуації , а множини стратегій гравців лінеарізованої гри задовольняють умові регулярності Слейтера (для кожного гравця існує така стратегія : ). Тоді для того, щоб ситуація гри G була слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою, необхідно існування для кожного гравця таких векторів параметрів та , що

. (16)

Теорема 4.10. Нехай у грі G у нормальній формі (2) функції виграшу , є неперервно-диференційованими та псевдо-опуклими вниз за стратегіями кожного гравця окремо, функції обмежень на стратегії гравців , є неперервно-диференційованими та опуклими вниз, а множини стратегій гравців , задовольняють умові регулярності Слейтера. Тоді умови (16) є необхідними й достатніми для того, щоб була слабкою індивідуально-оптимальною рівновагою.

Для ігор з диференційованими функціями виграшу гравців задача (13)-(15) знаходження максимального (мінімального - ) рівня стабільності індивідуально-оптимальної рівноваги стає меншої розмірності і може бути простішою:

(),

,

; .

П'ятий розділ дисертації: “Знаходження та вибір індивідуально-оптимальних рівноваг” складається з п'яти підрозділів. У першому підрозділі “Знаходження індивідуально-оптимальних рівноваг в умовах часткової інформованості гравців” розглянуто метод знаходження індивідуально-оптимальних рівноваг в умовах, коли кожен гравець знає цілі усіх інших гравців, але йому невідомі їх переваги на множині цілей. У другому підрозділі “Вибір індивідуально-оптимальних рівноваг за критерієм стабільності” розглянута задача вибору індивідуально-оптимальних рівноваг за критерієм стабільності. Пропонується ефективний розв'язок цієї задачі для ігор двох осіб. Розглядається наближений метод вибору індивідуально-оптимальних рівноваг за критерієм стабільності для ігор n - осіб. У третьому підрозділі “Стабільні та оптимальні за перевагами рівноваги” уведене поняття рівноваги у перевагах гравців для ігор з функціями виграшу гравців. Розроблені необхідні й достатні умови цієї рівноваги, умови її існування, встановлені її властивості. У четвертому підрозділі “Нечіткі індивідуально-оптимальні рівноваги” запропоноване поняття нечіткої індивідуально-оптимальної рівноваги, в якій кожний гравець враховує інтереси нечіткої множини інших гравців. Для цього уведене поняття об'єднання нечіткої множини чітких відношень. Розроблені конструктивні формули для побудови функції належності цього відношення. Виявлений зв'язок множини нечітких індивідуально-оптимальних рівноваг з множиною індивідуально-оптимальних рівноваг та встановлено існування максимізуючої нечіткої рівноваги. У підрозділі 5 “Висновки до розділу 5” сформульовано висновки до розділу.

Розглядається модель індивідуально-оптимальних рівноваг гри G у вигляді:

, ,

. 

Ця модель узагальнює моделі (6)-(7), (11)-(12), (14)-(15), які побудовані для різних класів ігор.

Нехай гравці частково інформовані, тобто кожен гравець знає цілі усіх інших гравців, але їхні переваги, які характеризуються векторами параметрів , , йому невідомі. Така інформованість є природною, оскільки перевага кожного гравця на множині функцій виграшу інших гравців, як правило, представляє собою конфіденційну інформацію. Окрім цього, вона може не завжди повністю усвідомлюватися гравцем та уточнюватись у процесі прийняття рішення.

Для фіксованого вектору параметрів позначимо

- множину ситуацій гри G, які складаються з найкращих за функцією відповідей гравця на фіксовані набори стратегій інших гравців.

Нехай початкове наближення , де . Позначимо , - вектори розв'язків n незалежних підзадач:

, . (17)

Наступне (k+1)-ше наближення визначається із умов зменшення функції уздовж допустимого напрямку таким чином:

, (18)

де - знаходиться з умов найбільшого зменшення значення функції :

(19)

Обґрунтована збіжність цієї процедури.

Теорема 5.1. Нехай для фіксованого вектору параметрів множини найкращих відповідей гравців на фіксовані набори стратегій інших гравців є опуклими та замкненими, а їхній перетин є не порожнім. Тоді процедура (17)-(19) генерує послідовності наближень ; , які збігається до деякої індивідуально-оптимальної рівноваги із швидкістю геометричної прогресії з оцінкою .

У другому підрозділі розглядається проблема вибору індивідуально-оптимальних рівноваг за критерієм стабільності.

Важливим застосуванням розробленої у розділі 4 моделі оцінки стабільності рівноваг може бути задача знаходження найбільш (найменш) стабільної індивідуально-оптимальної рівноваги гри G , яку можна записати у такому вигляді: (), де

(), (20)

,, (21)

, . (22)

У випадку гри у нормальній формі (2) із функціями виграшу гравців, без обмеження загальності, вважається, що

. (23)

Для будь-якої фіксованої ситуації ця задача природно декомпозується на n незалежних підзадач диз'юнктивного програмування, кожну з яких можна співставити з відповідним гравцем і тоді (), де для :

, () (24)

, (25)

. (26)

Розглядається вибір за критерієм стабільності в іграх двох осіб.

Теорема 5.2. Нехай, без обмеження загальності, виконуються умови (23). Тоді у грі G двох осіб для та гравця максимальне та мінімальне значення цільової функції задачі (24)-(26) (якщо вона має розв'язки) приймають для відповідно значення:



Задача (24)-(26) не має допустимих розв'язків тоді й лише тоді, коли для якої мають місце нерівності: ,,.

У випадку гри двох осіб у нормальній формі (2) з неперервно-диференційованими функціями виграшу гравців можна одержати оцінки стабільності рівноваг в аналітичному вигляді.

Теорема 5.3. Нехай множини стратегій гравців , а їхні функції виграшу є неперервно-диференційованими в околі ситуації . Тоді для того, щоб внутрішня точка множини ситуацій гри двох осіб задовольняла умовам (21), (22) необхідно, а якщо функції виграшу є псевдо-опуклими вгору за стратегіями кожного гравця окремо, а множини стратегій гравців є опуклими, то й достатньо, щоб: .

Для гри G двох осіб для максимальне та мінімальне значення цільової функції задачі (20)-(22) (якщо вона має розв'язки) приймають відповідно такі значення: , де

, ;.

Розглядається наближений вибір за критерієм стабільності в іграх n осіб. Побудуємо для кожного гравця функцію (), яка буде співставляти кожній ситуації наближене значення () за умовами (24)-(26). Тоді наближеним розв'язком задачі (20)-(22) будемо вважати ().

Встановлені формули для розрахунку наближених значень , .

Теорема 5.4. Нехай, без обмеження загальності, виконуються умови (23). Тоді для та максимальне значення цільової функції задачі (24)-(26) (якщо вона має розв'язки) , де

,

Аналогічні результати одержані також для мінімального значення цільової функції задачі (24)-(26).

Розроблений метод “відрізняє” слабкі індивідуально-оптимальні рівноваги від інших і дає точне значення критерію стабільності для “характерних” ситуацій, а саме рівноваг за Нешем та рівноваг за Бержем.

Теорема 5.7. Нехай, без обмеження загальності, виконуються умови (23). Тоді, якщо ситуація , то наближення до максимального (мінімального) значення цільової функції задачі (20)-(22) (). Якщо ситуація , то . Ситуація тоді й лише тоді, коли .

Окрім цього розроблений метод дає точне значення критерію стабільності для ігор двох осіб.

У третьому підрозділі розглядається гра G у нормальній формі (2) з функціями виграшу гравців. Множина слабких індивідуально-оптимальних рівноваг цієї гри за теоремою 4.4 може бути конструктивно описана системою нерівностей (9) за умовами (3). З теореми 4.4 також випливає, що індивідуально-оптимальна рівновага є стабільною для будь-якого гравця за функцією корисності , де , .

Ситуацію будемо називати рівновагою у перевагах гравців гри G, якщо існує вектор параметрів , що виконуються нерівності:

,. (27)

Позначимо - множину рівноваг у перевагах гравців гри G.

Якщо , то для кожного гравця , що йому не вигідно з точки зору функцій сукупної корисності змінювати одночасно свою стратегію і вектор параметрів .

Встановлені умови рівноваги у перевагах гравців.

Теорема 5.9. Для того, щоб ситуація була рівновагою у перевагах гравців гри G необхідно й достатньо, щоб задовольняла нерівностям: ,. Якщо є рівновагою у перевагах гравців гри G, то вона задовольняє умовам (27) у парі з вектором , який обчислений за формулою

...