Розрахунок поля температур однорідної плоскої необмеженої стінки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Розрахунок температурного поля необмеженої плоскої стінки

Стіна знаходиться під дією одностороннього охолодження (нагрівання) при незмінній температурі на другій поверхні стінки.

Розрахунок поля температур виконується для 6 моментів часу з 6 інтервалами по товщині стінки. Температурне поле задане диференціальним рівнянням теплопровідності:

(1.1)

де a - температуропроводність матеріалу, м2/c, Д2(T) - оператор Лапласа - сума других часткових похідних температури за координатами та початковими Т1k = 60 єК і граничними умовами:

Т0 = Т1k = 60 єК = const

Т1N = Т1k S(I) 1.2

Початкові умови описують поле параметрів процесу в деякий початковий момент часу, вибраний користувачем з тих чи інших міркувань. Це поле характеризує вихідний стан системи. Як правило, початкові умови являють собою функції розподілу в просторі показників, які входять до складу диференційного рівняння, тобто є функціями координат. Наприклад, при рішенні диференційного рівняння теплопровідності початкова умова може являти собою константу, рівняння або систему рівнянь, які дозволяють обчислити значення температури в усіх точках середовища в деякий початковий момент часу. У нашому випадку це константа:

Т0 (х,y,z)= const єК, (1.2)

Граничні умови показують, яким чином зовнішнє середовище впливає на показники процесу з часом. В загальному випадку вони являють собою функції часу і мають вигляд:

Т (х,y,z)= F(, x o, y o, z o), (1.3)

де x o, y o, z o - деякі значення координат на границях системи.

Наприклад, при рішенні диференційного рівняння теплопровідності для одномірного температурного поля (температура змінюється тільки вздовж однієї координати) гранична умова може мати вигляд:

T (z,x) = const єК, (1.4)

це свідчить, що на границі середовища (тіла) де координата Х=0, температура Т не змінюється з часом.

Граничні умови описують зміну температури на границях тіла з плином часу. Такою умовою може бути наведене вище рівняння (3), або деяке інше, яке зв'язує значення температури на поверхні і час:

T (z,x) = F(z,x,T1k) (1.5)

Сформульована таким чином задача являє собою математичну модель процесу.

Серед багатьох чисельних методів рішення диференційних рівнянь найбільше розповсюдження отримали кінцево-різничні. Вони засновані на апроксимації диференційних операторів відповідними різничними співвідношеннями, що призводить до створення системи алгебраїчних співвідношень, визначених в деяких точках розглядуваного тіла. Таким чином задача переростає із аналізу безперервного монотонного процесу в дискретну задачу, або, як кажуть, в задачу аналізу системи з параметрами згуртованими в вузлах. Такий підхід дозволяє ефективно застосовувати ітераційні методи обчислень.

Якщо задачу дещо спростити, вважаючи що температура змінюється тільки вздовж однієї з координат (випадок одномірної задачі), то рівняння (1) спроститься до вигляду:

(1.6)

Замінюючи в ньому диференціали різницями згідно з тлумаченням похідної одержимо:

(1.7)

(1.8)

Прийняті позначки в рівняннях:

і - індекс моментів часу;

k - індекс просторових вузлів;

h - крок часу, h = і+ - і-1

- просторовий крок, = x k - x k-1

Якщо співвідношення (7) та (8) підставити в рівняння (6) то одержимо його запис в кінцевих різницях:

= (1.9)

Вважаючи, що одна з величин h чи може бути задана користувачем в залежності від потрібних значень температури, або заданих моментів часу, та прийнявши, що:

, (1.10)

одержимо рекурентну формулу для організації обчислень:

(1.11)

З рівняння (11) слідує, що температура в точці k тіла в кожний наступний i+1-й момент часу дорівнює її середньо арифметичному значенню в даний, i-й, момент часу в суміжних просторових вузлах -- k-1 та k+1.

Рівняння вигляду (11) можна записати для i-1 моментів часу і для k-2 вузлів просторової сітки. В крайніх вузлах температура визначається за допомогою граничних умов, а первинний розподіл температури в товщі середовища визначаються початковою умовою.

Для рішення системи рівнянь (2), (4), (5) та (11) застосовують методи чисельного рішення систем лінійних рівнянь (Гауса, прогонки і т.д.).

Блок - схема алгоритму рішення систем рівнянь методом прогонки наведена нижче.

Рис 1.1. Блок-схема алгоритму для рішення рівняння теплопровідності методом прогонки

Текст програми для розрахунку температурного поля плоскої ізотропної стінки:

10 CLS

20 PRINT "************ ПРОГРАММА POLE-T ***********”

50 PRINT "Програма призначена для розрахунку температурного поля "

60 PRINT "плоскої стінки методом кінцевих різниць."

70 INPUT "Вкажіть товщину стінки, М";DD

80 INPUT "Вкажіть число кроків просторової координати ";N

90 INPUT "Задайте коефіцієнт температуропровідності матеріалу м2/с";A

100 INPUT "Задайте число часових інтервалів ";M

110 DK=DD/N:DH=DK2/(2*A):DH=DH/3600:P=M+1:L=N+1

120 DIM T(P,L),T1(L),S(P),D(L)

130 REM'ПОЧАТКОВА УМОВА ЗАВДАЄТЬСЯ В РЯДКУ 490

140 REM' ГРАНИЧНІ УМОВИ ЗАВДАЮТЬСЯ В РЯДКУ 520

150 GOSUB 480

170 I=0

180 FOR K=0 TO N:X=K:D(K)=X*DK:T(I,K)=T1(K):NEXT K

190 FOR I=1 TO M:S(I)=I*DH

195 GOSUB 510

200 FOR K=0 TO N:IF K=0 THEN T(I,K)=T0:GOTO 240

210 IF K=N THEN T(I,K)=TN:GOTO 240

220 X=K:D(K)=X*DK

230 T(I,K)=(T(I-1,K-1)+T(I-1,K+1))/2

240 NEXT K

250 NEXT I

260 CLS:PRINT "РОЗРАХУНОК ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЗАКІНЧЕНО."

270 PRINT ""

280 PRINT " РЕЗУЛЬТАТИ РОЗРАХУНКУ"

290 PRINT "------------------------------------------------------------------ "

300 PRINT " Координати сітки ! Значення температур "

310 PRINT "-------------------------------------! в вузлах сітки, "

320 PRINT " Час, годин ! Товщина, м ! T(i,k), K "

330 PRINT "-------------------------------------!----------------------------- "

340 FOR I=0 TO M

350 PRINT TAB(4);:PRINT USING "####.###";S(I);

360 FOR K=0 TO N:PRINT TAB(18);:PRINT USING "##.##";D(K);:PRINT TAB(33);:PRINT USING "####.###";T(I,K) 370 NEXT K

375 STOP

377 NEXT I

380 END

480 FOR K=0 TO N

490 T1(K)=273 + 60 NEXT K

500 RETURN

510 FOR K=0 TO N

520 T0= T1(K):TN= T1(K) S(I)1.2 NEXT K

530 RETURN

За програмою 1_POLE-T. BAS, яка призначена для розрахунку температурного поля одновимірних суцільних масивів методом кінцевих різниць ми отримуємо дані по розподілу температури по товщини стінки на підставі яких можемо побудувати графік. Вихідними даними для розрахунку були: товщина огорожі, число кроків просторових координат, коефіцієнт температуропроводності матеріалу огорожі, а також число інтервалів часу.

Рис. 1.2

2. Апроксимація функцій методом найменших квадратів

Метою виконання апроксимацiї отриманої у вигляді пар точок функції зміни температури по товщині стінки для останнього моменту часу є знаходження математичної залежності:

Т=f(x)= A(2)·X2+A(1)·X+A(0) (2.1)

Математичними моделями стохастичних процесів, тобто таких, які здійснюються під впливом випадкових факторів, в більшості випадків є емпіричні рівняння регресії, одержані в результаті обробки результатів досліджень. Такі рівняння, як правило, не відображають зв'язки і фізичну взаємодію між різними факторами, які обумовлюють процес, але дозволяють встановити залежність між вхідними та вихідними чинниками системи.

Якщо результати дослідів можна вважати в деякій мірі випадковими, то для побудови рівняння регресії застосовують апроксимацію табличних даних методом найменших відхилень. Суть методу полягає в побудові такого рівняння, яке б забезпечувало мінімальні відхилення експериментальних результатів від апроксимуючої кривої в усьому вивченому діапазоні. При цьому не ставиться завдання, щоб одержана крива точно проходила хоча б через одну точну множини [X,Y]. Такий підхід дозволяє в деякій мірі зменшити вплив похибок вимірювань та помилок, допущених в ході експерименту. З математичної точки зору ця умова може бути досягнута якщо для кожного вузла{xi,yi} величина Si (див. малюнок 2) буде мінімально можливою.

Рис. 2.1. Метод найменших відхилень. Геометрична інтерпретація

Відхилення S можуть бути як додатніми так і від'ємними (S10, S20), але оскільки знаки нас не цікавлять, будемо розглядати квадрати цих відхилень. Висунемо вимогу, щоб квадрати відхилень були мінімальними:

Si2 = (Yei - Yai)2 min (2.2)

Вираз називають критерієм найменших квадратів, а метод визначення параметрів апроксимуючої кривої з використанням цього критерію -- методом найменших квадратів.

Укрупнена блок-схема алгоритму має вигляд, показаний на малюнку 2.2.

В блоці вводу вхідних даних задаються: число вузлів N, порядок апроксимуючого поліному M, табличні значення змінних xi, yi, та крок зміни аргументу. Наступним короком є формування масиву [X,Y] та обчилення сум ?хmy. Далі формується матриця Грамма - розширена матриця системи рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів cі. Розмір розширеної матриці системи (22) встановлюється в залежності порядку поліному: число рядків M=M+1, число стовпців M=M+2.

Наступним кроком алгоритм передбачає рішення системи (22) методом Гауса та вивід коефіцієнтів рівняння регресії.

Заключна циклічна процедура дозволяє вирахувати значення функції в вузлових та не вузлових точках відрізку [a,b] і визначити похибку апроксимації.

Рис. 2.2. Укрупнена блок-схема алгоритму методу найменших квадратів

За допомогою програми 2- APROKSIM.EXE ми знаходимо математичний вираз функції, що описує залежність температури від товщини стінки парами точок: X;T(x).

Вихідними даними для програми є: кількість вузлів інтерполяції, значення аргументу (Х) та функції (Т(х)) в цих вузлах, а також ступінь полінома.

За результатами роботи програми були отримані наступні значення коефіцієнтів полінома:

А(0) = 335,1727; А(1) = -12,12595; А(2) = 15,91115;

Тоді функція, що описує залежність температури від товщини стінки буде мати вигляд:

Т(х)= 15,91115 * X2 + (-12.1295) * X + 335.1727

Визначення середньої температури стінки.

Середня температура стінки визначається як середньозважена або середньо-інтегральна величина за формулою:

, °К (2.3)

алгоритм апроксимація різничний

Чисельне інтегрування функцій базується на геометричному тлумаченні визначеного інтегралу як площі фігури, обмеженої прямими х=а, х=b, віссю абсцис ОХ та кривої у=F(x).

Размещено на Allbest.ru