Про розв'язність та регуляризацію задач нескалярної оптимізації в банахових просторах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет

імені Олеся Гончара

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.05.01 -- теоретичні основи інформатики та кібернетики

ПРО РОЗВ'ЯЗНІСТЬ ТА РЕГУЛЯРИЗАЦІЮ ЗАДАЧ НЕСКАЛЯРНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ В БАНАХОВИХ ПРОСТОРАХ

Нечай Ігор Вікторович

Дніпропетровськ -- 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна Міністерства транспорту та зв'язку України.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор

Когут Петро Ілліч,

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара,

професор кафедри диференціальних рівнянь;

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук

Кирилюк Володимир Семенович,

Інститут кібернетики НАН України імені В.М. Глушкова,

провідний науковий співробітник відділу математичних методів дослідження операцій;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бурдюк Володимир Якович,

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара,

доцент кафедри обчислювальної математики та математичної кібернетики.

Захист відбудеться «18» травня 2009 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.09 при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за адресою: 49044, м. Дніпропетровськ, пр. Карла Маркса, 35, корп. 3, ауд. 25.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці імені Олеся Гончара Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий «16» квітня 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.А. Турчина

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія векторної оптимізації розвивається, починаючи з 80-х років століття і особливо інтенсивно з 50-х років століття, про що свідчить значна кількість і різноманітність публікацій як вітчизняних, так і зарубіжних, в яких досліджуються питання, пов'язані з задачами нескалярної оптимізації. Центральне місце серед них займають роботи таких авторів, як А.О. Чикрій, В.І. Жуковський, В.С. Кирилюк, В.Д. Ногін і В.В. Подіновський, J.M. Borwein, G. Chen, J. Jahn, D.T. Luc, M. Ehrgott. Аналіз публікацій показує, що більшість з них присвячені таким задачам, в яких як простір, де задана множина допустимих елементів, так і простір, в якому приймає значення критерій оптимальності, є скінченновимірними. Лише в незначній кількості робіт задачі векторної оптимізації розглядаються у нескінченновимірних просторах. Таким чином, цей напрямок ще залишається недостатньо вивченим.

Першим питанням, що природно досліджувати, розглядаючи певний клас задач, є питання їх розв'язності. В класі задач векторної оптимізації умови, що гарантують існування розв'язків можна поділити на три групи. До першої групи можна віднести теореми, в яких основні припущення торкаються образу множини допустимих елементів в критеріальному просторі, до другої групи - ті, в яких вводиться допоміжна скалярна задача, а до третьої - ті, в яких обмеження накладаються на саму множину допустимих елементів і цільове відображення. Теореми третьої групи можна розділити ще на дві підгрупи, до першої з яких віднести теореми, в яких відображення вважається диференційованим в тому чи іншому сенсі, а до другої - ті, в яких немає подібних припущень. Серед відомих на сьогодні результатів, які вписуються в останню підгрупу, можна навести аналог теореми Вейєрштраса. Ця теорема гарантує існування розв'язків задачі векторної оптимізації за умов компактності множини допустимих елементів і так званої квазінапівнеперервності відображення. Проте існує безліч прикладів задач векторної оптимізації з компактною множиною допустимих елементів і критерієм оптимальності, який заданий векторнозначним відображенням, що не є квазінапівнеперервним знизу, таких, що множина їх ефективних розв'язків є непустою. Більше того, властивість квазінапівнеперервності відображення може порушуватися саме в тих точках, які є ефективними розв'язками відповідної задачі векторної оптимізації. Останній факт не має аналога в скалярному випадку. Дійсно, добре відомо, що в точках, де заданий функціонал приймає своє найменше значення, він є обов'язково напівнеперервним знизу. Таким чином, актуальними є дослідження, які, по-перше, ставлять за мету одержання достатніх умов розв'язності задач векторної оптимізації в банахових просторах для класувідображень більш широкого, ніж квазінапівнеперервні знизу; по-друге, спрямовані на аналіз можливості одержання розв'язків задачі векторної оптимізації як розв'язків певних скалярних задач; і, по-третє, результатом яких були б умови, що гарантують можливість регуляризації тих задач векторної оптимізації, для яких одержані достатні умови не виконуються.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності до наукового напряму «Розвиток фундаментальних досліджень з найважливіших проблем природничих, суспільних і гуманітарних наук» відповідно до Закону України «Про пріоритетні напрями розвитку науки і техніки» № -III від 11.07.2001 р. Роботу виконано згідно з індивідуальним планом підготовки аспіранта та загальним планом наукових досліджень кафедри прикладної математики Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна.

Мета і завдання дослідження. Дисертаційна робота ставить за мету дослідити проблему розв'язності задач векторної оптимізації в банахових просторах, для яких цільове відображення не є квазінапівнеперервним знизу, провести їх якісний аналіз, дослідити проблему скаляризації таких задач та навести обґрунтування процедури регуляризації погано-обумовлених задач векторної оптимізації.

Основними завданнями дослідження є:

*встановлення достатніх умов розв'язності задач векторної оптимізації в банахових просторах для класу відображень більш широкого, ніж квазінапівнеперервні знизу відображення;

*дослідження на напівнеперервність знизу лінійних згорток векторнозначних відображень, для яких встановлено достатні умови існування ефективних розв'язків задач векторної оптимізації;

*аналіз взаємозв'язку розв'язків скалярних задач для лінійних згорток і ефективних розв'язків відповідних задач векторної оптимізації;

*запропонувати процедуру регуляризації задач векторної оптимізації, для яких достатні умови існування ефективних розв'язків не виконуються.

Об'єкт дослідження - задачі векторної оптимізації в банаховихпросторах.

Предмет дослідження - достатні умови розв'язності задач векторної оптимізації в банахових просторах, скаляризація таких задач та їх регуляризація.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач дисертації були використані методи функціонального аналізу, основні положення нелінійного та опуклого аналізу, теорії частково впорядкованих лінійних просторів, теорії розподілень та просторів Соболєва.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

*вперше введено поняття -ефективних розв'язків задачі векторної оптимізації й одержані достатні умови їх існування;

*доведено, що відомі на сьогоднішній день поняття напівнеперервності векторнозначних відображень є окремими випадками запропонованого в роботі поняття -напівнеперервності векторнозначних відображень;

*вперше одержано достатні умови існування ефективних розв'язків задач векторної оптимізації в банахових просторах для класу -напівнеперервних знизу відображень;

*для задач нескалярної оптимізації об'єкта керування, який описується нелінійним еліптичним рівнянням з умовами Діріхле на границі та обмеженнями типу нерівностей та включень на параметри керування, вперше одержано достатні умови її розв'язності як в класі -ефективних розв'язків, так і в класі узагальнених -ефективних розв'язків;

*для задач векторної оптимізації запропоновано поняття узагальненого -ефективного розв'язку і показано, що такі розв'язки можна розглядати як альтернативу ефективним та наведено процедуру їх побудови;

*для відображень, які не є -напівнеперервними знизу вперше доведено існування -напівнеперервних знизу регуляризацій і показано, що в контексті задач векторної оптимізації розглядати такі регуляризації є доцільним;

*вперше одержано секвенційні властивості квазінапівнеперервних знизу і порядково напівнеперервних знизу відображень в термінах запропонованого в роботі поняття нижньої границі векторнозначних відображень.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в дисертації, дозволяють для широкого класу задач векторної оптимізації в банахових просторах встановлювати факт існування ефективних і -ефективних розв'язків, знаходити ці розв'язки або узагальнені -ефективні розв'язки за допомогою лінійних згорток векторнозначного відображення. Задачі такого типу можуть виникати при дослідженні різних фізичних процесів як задачі оптимального керування з нескалярним критерієм оптимальності. Для дослідження цих задач можна застосовувати одержані в роботі теоретичні результати.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи отримано автором особисто. В роботах, написаних у співавторстві, дисертантові належить розв'язання основних задач, а їх постановка -- науковому керівнику. В роботах здобувачу належать доведення результатів про існування мінімальних елементів і розв'язність задач векторної оптимізації в банахових просторах. Зокрема здобувачем доведено теорему про існування мінімальних елементів в майже обмежених знизу множинах банахових просторів, здобувачем встановлено співвідношення між квазінапівнеперервними знизу і -напівнеперервними знизу відображеннями, доведено теорему про існування ефективних розв'язків задачі векторної оптимізації. Здобувачу належать результати про властивості -напівнеперервної знизу регуляризації векторнозначного відображення. Здобувачем доведено теорему про існування -ефективних розв'язків задачі векторної оптимізації та теореми про властивості лінійних згорток -напівнеперервних знизу відображень.

Апробація результатів дисертації. Результати, які наведені в дисертації, доповідались і обговорювались на: міжнародній конференції «Problems of Decision Making Under Uncertainties» (Алушта, 2003 р.); міжнародній конференції «Автоматика-2005» (Харків, 2005 р.); міжнародній конференції «Dinamical System Modelling and Stabitity Investigation» (Київ, 2005 р.); міжнародній науковій конференції «Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем» (Дніпропетровськ, 2004 р.); міжнародній конференції «Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем» (Дніпропетровськ, 2005 р.); міжнародній конференції «Measurement and Control in Complex Systems» (Вінниця, 2005 р.); міжнародній конференції «Problems of Decision Making Under Uncertainties» (Чернівці, 2007 р.); науковому семінарі «Сучасні методи оптимізації та математичного керування» при кафедрі диференціальних рівнянь (Дніпропетровськ, ДНУ, 2008 р.); науковому семінарі кафедри математичного моделювання економічних систем факультету менеджменту та маркетингу (Київ, НТУУ-КПІ, 2008 р.); науковому семінарі у відділі теорії ігор ІК НАН України, керівник член кор. НАН України А. О. Чикрій (Київ, 2008 р.); науковому семінарі кафедри обчислювальної математики і кібернетики (Дніпропетровськ, ДНУ, 2008 р.); міжнародній конференції «Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем» (Дніпропетровськ, 2008 р.).

Публікації. За основними результатами дисертації опубліковано 5 статей, 4 з яких у наукових журналах з переліку фахових видань з фізико-математичних наук, затвердженого ВАК України, 7 тез доповідей.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, загальних висновків, списку використаної літератури з 94 джерел. Загальний обсяг дисертації становить 136 сторінок, основноготексту - 114 сторінок, ілюстрацій - 30.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкриті суть та стан проблеми, обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета і задачі дослідження. Визначено методи дослідження та наукову новизну отриманих результатів. Розглянуто практичне значення результатів дисертації. Наведено відомості про особистий внесок здобувача, апробацію роботи, публікації, зв'язок роботи з науковими програмами.

У першому розділі проведено аналітичний огляд літератури, присвяченої основним питанням, які виникають при дослідженні задач векторної оптимізації. На основі проведеного аналізу існуючих публікацій зроблено висновок про те, що на сьогодні практично не існує робіт, в яких були б одержані достатні умови існування ефективних розв'язків для класу відображень більш широкого ніж -напівнеперервні знизу відображення. Таким чином, обгрунтовано актуальність досліджень, які спрямовані на виділення такого класу відображень. Окреслено суміжні напрями досліджень. У цьому контексті першочерговими задачами названі такі проблеми, як проблема скаляризації задачі векторної оптимізації для нового класу відображень і проблема регуляризації відображень, що не вписуються в рамки цього класу.

У другому розділі наведено ряд означень і тверджень, які використовуються в роботі. По-перше, в цьому розділі проаналізовано одне з центральних понять - поняття конуса, який задає напівпорядок у лінійному просторі, зроблені необхідні припущення стосовно нього. Наведено теорему, умови якої гарантують непустоту множини квазівнутрішніх точок спряженого конуса. Також у цьому розділі детально проаналізовано такі базові поняття, як -мінімальний елемент, -найменший елемент, -міноранта, -інфімум множини в частково впорядкованому лінійному просторі. Встановлено, що використання поняття інфімуму в контексті задач векторної оптимізації є незручним в певному сенсі. Означені базові поняття для досліджень наступних розділів.

Нехай - лінійний простір з нульовим елементом. Позначимо через відношення часткового порядку на множині тобто відношення, яке є рефлексивним, антисиметричним і транзитивним. Далі будемо писати замість. Відношення часткового порядку в лінійному просторі має бути узгодженим з лінійною структурою цього простору.

Означення Непуста множина називається конусом, якщо конус називається опуклим, якщо конус називається загостреним, якщо

При дослідженні задач векторної оптимізації таке поняття, як внутрішність спряженого конуса, є дуже важливим. Проте розраховувати на те, що множина є непустою, можна далеко не завжди. З цього приводу доцільним буде ввести таке узагальнення поняття внутрішності спряженого конуса - так звану квазівнутрішність.

Означення Множина називається квазівнутрішністю конуса, спряженого до.

Зауважимо наступне. Якщо множина є непустою, тоді є нетривіальним опуклим конусом. Відомо, що у випадку тілесного конуса квазівнутрішніми точками будуть внутрішні і тільки внутрішні точки. Проте у разі, коли конус має пусту внутрішність, множина квазівнутрішніх точок може бути непустою.

Теорема Нехай - опуклий замкнений загострений конус в дійсному сепарабельному нормованому просторі. Тоді квазівнутрішність топологічно спряженого конуса непуста:.

Всі основні підходи до означення розв'язку задачі векторної оптимізації базуються на понятті мінімального елемента. Тобто ЗВО розуміють як проблему пошуку таких елементів, що. Тому очевидно, що ЗВО має розв'язок тоді і тільки тоді, коли.

Введемо до розгляду поняття ефективного -інфімуму множини як таке, що є аналогом інфімуму множини дійсних чисел і, в контексті задач векторної оптимізації, є більш зручним для використання, ніж класичне поняття -інфімуму.

Означення Ефективним -інфімумом множини будемо називати множину -мінімальних елементів -замикання множини в просторі у разі, коли ця множина не пуста, і множину в протилежному випадку.

У цьому розділі введено поняття -напівобмеженої знизу множини і доведено теорему, умови якої гарантують його непустоту. Як наслідок з цієї теореми, одержані умови існування -мінімальних елементів даної множини.

Означення Множина називається -напівобмеженою знизу, якщо будь-яка незростаюча послідовність є -обмеженою знизу.

Теорема Нехай непуста і -напівобмежена знизу множина в нормованому просторі, частково впорядкованому за допомогою правильного конуса. Тоді існує принаймні одна незростаюча послідовність така, що

Також в цьому розділі наведені означення основних понять напівнеперервності для векторнозначних відображень.

Означення Відображення називають напівнеперервним знизу (н.н.з) в точці, якщо для будь-якого околу точки в існує окіл точки в такий, що.

Означення Відображення називають -напівнеперервним знизу (-н.н.з) в точці, якщо для будь-якого такого, що існує окіл точки в такий, що

У третьому розділі дана постановка задачі векторної оптимізації. Наведені базові означення -ефективного і слабко -ефективного розв'язку. Означені головні поняття роботи, такі як -ефективні розв'язки, узагальнені -ефективні розв'язки, -напівнеперервне знизу відображення. Цей розділ присвячено наступним питанням: достатні умови розв'язності задач векторної оптимізації в класі -напівнеперервних знизу відображень, аналізу властивостей лінійних згорток таких відображень. Також тут одержано нові властивості -напівнеперервних знизу і -напівнеперервних знизу відображень.

Означення Будемо називати -нижньою границею відображення в точці множину:

Нехай - непуста підмножина рефлексивного банахового простору, - задане відображення. Задачу векторної (ЗВО) оптимізації типу можна подати у вигляді трійки Для таких задач основним поняттям є поняття ефективного розв'язку.

Означення Елемент називається -ефективним розв'язком ЗВО, якщо є -мінімальним елементом множини.

Звернемо увагу на той факт, що -ефективні розв'язки ЗВО можна розділити на дві групи: такі, для яких виконується включення і такі, для яких це включення не виконується. Враховуючи цей факт, сформулюємо наступне означення.

Означення Елемент будемо називати -ефективним розв'язком ЗВО, якщо є -мінімальним елементом множини. Множину всіх -ефективних розв'язків позначимо.

Твердження Нехай для відображення виконується принаймні одна з двох умов: (i) є сильно -н.н.з в точці; (ii) є сильно -н.н.з в точці.

Означення Відображення будемо називати -напівнеперервним знизу в точці, якщо

Відображення будемо називати слабко -напівнеперервним знизу в точці, якщо

Теорема Нехай відображення слабко -напівнеперервне в точці. Тоді слабко -напівнеперервне знизу в цій точці.

Теорема Нехай і - банахові простори, простір напіввпорядковано за допомогою конуса, множина є -компактною, а відображення є -напівнеперервним знизу в топології простору. Тоді відображення є -напівобмеженим знизу. Якщо до того ж (i) конус є правильним, то; (ii) конус є правильним

Означення -згорткою () відображення називають скалярну функцію, яка означена за правилом:

Твердження Нехай є слабко -напівнеперервним знизу відображенням, множина обмежена і слабко замкнена.

Теоретично можна побудувати деяку підмножину множини розв'язків задачі, якщо будуть виконані всі умови наслідку з твердження . У зв'язку з цим виникає питання: якщо векторнозначне відображення є слабко -напівнеперервним знизу, чи обов'язково знайдуться слабко напівнеперервні -згортки, відмінні від тривіальної? В роботі наведено приклад, що дає негативну відповідь на це питання.

Означення Будемо називати узагальненим розв'язком ЗВО, якщо існує послідовність така, що Через будемо позначати множину всіх узагальнених розв'язків ЗВО.

Отже у випадку, коли множина обмежена і слабко замкнена, а відображення слабко -напівнеперервне знизу, взагалі кажучи, не можна стверджувати, що Проте, якщо через позначити напівнеперервну знизу регуляризацію згортки в слабкій топології, множина очевидно не є пустою. До того ж є справедливим наступний результат.

Теорема Нехай і - рефлексивні банахові простори, множина обмежена і слабко замкнена, відображення слабко -напівнеперервне знизу.

У четвертому розділі розглянуто регуляризацію векторнозначних відображень у контексті задач векторної оптимізації. Показано, -напівнеперервна знизу регуляризація відображення може привести до задачі, властивості якої не аналогічні тим, що має регуляризована задача скалярної оптимізації. Наведено означення регуляризованої задачі векторної оптимізації. Запропоновано нове поняття -регуляризації задачі векторної оптимізації, яка є її регуляризацією у сенсі введеного означення. Доведено теорему, умови якої гарантують існування таких регуляризацій. Як окремий випадок, розглянуто двокритеріальну задачу. Одержані умови, за яких напівнеперервна знизу регуляризація кожного критерію окремо в цій задачі приводить до -регуляризації.

Означення Нехай задано задачу:. Будемо називати задачу регуляризацією задачі, якщо будуть виконуватися умови: 1), 2), 3).

Якщо задача буде мати тільки дві перші з означених властивостей, будемо називати її напіврегуляризацією задачі.

Означення Нехай задано відображення. Будемо називати -регуляризацією відображення відображення, а задачу будемо називати -задачею для задачі. регуляризація скалярний банаховий простір

Твердження Для будь-якого відображення виду його -регуляризація є -напівнеперервною знизу:

Факт, сформульований у наслідку з твердження, означає, що розв'язками задачі будуть узагальнені розв'язки задачі.

Теорема Точка належить множині розв'язків задачі тоді і тільки тоді, коли належить множині розв'язків її -регуляризації і до того ж.

Лема Справедливе включення

Отже, згідно з означенням, у випадку, коли - непуста слабкозамкнена підмножина простору, задача є регуляризацією задачі.

У п'ятому розділі розглянуто задачу нескалярної оптимізації нелінійним об'єктом керування з обмеженнями типу включень та нерівностей. Скалярна постановка задачі для такого об'єкта керування вивчалася багатьма авторами. Проте задачі векторної оптимізації, як правило, набагато складніші. Основною метою досліджень цього розділу є одержання достатніх умов розв'язності такої задачі й аналіз можливості одержання її розв'язків за допомогою принципу скаляризації.

Означення Будемо говорити, що задача є регулярною, якщо для заданого знайдеться пара, де відповідний розв'язок такий, що задовольняє умовам і для деякого елементу в. У цьому випадку пару будемо називати допустимою.

Позначимо через множину всіх допустимих пар задачі. В цьому розділі будемо асоціювати задачу векторної оптимізації з трійкою. Через і позначимо внутрішність множини та її замикання по відношенню до топології , відповідно.

Нехай (A1) є обмеженою секвенційно слабко- замкненою підмножиною; (A2) оператор є коерцетивним; (A3) оператор задовольняє властивість, тобто для будь-якої -збіжної послідовності з умов випливає співвідношення; (A4) оператор є секвенційно неперервним у наступному сенсі: в як тільки; (A5) є слабко замкненою підмножиною; (A6) цільове відображення є секвенційно -напівнеперервне знизу (-н.н.з) відносно -збіжності в.

Зауважимо, що конус однозначно визначається своєю спряженою напівгрупою (спряжений конус), Тут через позначений спряжений простір до простору, а через - операцію дуального спарювання. Позначимо через множину всіх класів еквівалентностей, породжених бінарним відношенням Нехай відповідне канонічне фактор-відображення. Будемо вважати, що наділене фактор-топологією. Очевидно, що в цьому разі відображення є неперервно сюр'єктивним, тобто будь-який клас еквівалентності є образом деякого елементу із, який належить одиничній сфері в. Таким чином, якщо для деякої пари, тоді існує елемент такий, що. Взявши цей факт до уваги, розглянемо наступну задачу зі штрафом, де є фіксованим елементом, є напівнеперервною знизу монотонно зростаючою функцією, такою, що і є строго монотонною на. Позначимо через множину всіх функцій з вищевказаними властивостями. Нехай є множиною допустимих розв'язків задачі --, тобто Очевидно, що для кожного.

Означення Будемо говорити, що є мінімізуючою послідовністю відображення якщо існує елемент такий, що в .

Головним результатом цього розділу є наступна теорема.

Теорема Припустимо, що умови (A1)--(A6) справджуються. Тоді множина є непустою тоді і тільки тоді, коли задача векторної оптимізації є регулярною.

Серед різних процедур скаляризації найбільш простим є «метод лінійної згортки». Розглянемо застосування цього методу для задачі векторної оптимізації з -напівнеперервним знизу відображенням. Тоді скалярна задача, яка пов'язана зі штрафною задачею векторної оптимізації, має наступний вигляд, де є елементом спряженого конуса. Сформулюємо головну властивість скалярних задач, пов'язаних з векторною задачею за правилом.

Теорема Припустимо, що задача векторної оптимізації є регулярною. Нехай є довільним елементом, і нехай належить множині

Теорема приводить нас до висновку: належить множині який набуває практичного змісту у разі, коли перша множина не є пустою. Проте загалом це твердження є хибним, оскільки, як показує наступний приклад, для -напівнеперервних знизу відображень можлива ситуація, коли жодна скалярна функція не є напівнеперервною знизу для кожного.

Означення Будемо говорити, що пара є узагальненим -розв'язком задачі векторної оптимізації, якщо існує послідовність і елемент такі, що і в.

Позначимо через множину узагальнених -розв'язків задачі. Очевидно, що. Проте, включення, кажучи взагалі, хибне. Тепер можна довести головний результат.

Теорема Припустимо, що умови (A1)--(A6) справджуються і задача векторної оптимізації регулярною. Нехай є малим скалярним параметром, значення якого утворюють строго спадну послідовність додатних чисел, що збігається до, і нехай є елементом.

Нехай є відкритою множиною з ліпшицевою границею, і нехай є її підмножиною з характеристичною функцією.

Тут функція керування, стан об'єкта керування, і. Нехай конус додатних елементів в, тобто в майже скрізь в . Очевидно, що і в той же час. Для кожної пари означимо цільове відображення за правилом.

Тоді наведена задача векторної оптимізації для об'єкта може бути сформульована при обмеженнях. З фізичної точки зору це означає намагання «мінімізувати загальну осциляцію» функції, яка має бути поточково близькою до даної функції на множині. Згідно з теоремами, можна зробити наступний висновок: множина -ефективних розв'язків задачі векторної оптимізації непуста, і узагальнені -розв'язки можуть бути одержані як граничні точки послідовності розв'язків для відповідної штрафованої задачі оптимального керування.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вперше одержано достатні умови розв'язності задач векторної оптимізації в банахових просторах для класу відображень більш широкого ніж квазінапівнеперервні знизу відображення.

Основні результати роботи полягають у наступному.

*Вперше введено поняття -ефективних розв'язків задачі векторної оптимізації й одержані достатні умови їх існування.

*Означене поняття -напівнеперервного знизу векторнозначного відображення в банахових просторах і показано, що окремими випадкамийого є відомі на сьогоднішній день поняття, які узагальнюють поняття напівнеперервності таких відображень.

*Вперше одержано достатні умови існування ефективних розв'язків задач векторної оптимізації в банахових просторах для класу -напівнеперервних знизу відображень. Показано, що розв'язки скалярних задач оптимізації для -згорток відображення є розв'язками відповідної задачі векторної оптимізації за умови, що. Разом з тим показано, що -згортки таких відображень для можуть не бути напівнеперервними знизу функціями.

*Для задач векторної оптимізації введено поняття узагальненого -ефективного розв'язку. Показано, що такі розв'язки можна розглядати як альтернативу ефективним та наведено процедуру їх побудови.

*Запропоновано поняття нижньої границі векторнозначного відображення, в термінах якої одержані секвенційні властивості -напівнеперервних знизу і -напівнеперервних знизу відображень. Показано, що -напівнеперервна знизу регуляризація відображення може привести до задачі, властивості якої не аналогічні тим, що має регуляризована задача скалярної оптимізації. Наведено означення регуляризованої задачі векторної оптимізації.

*Запропоновано нове поняття -регуляризації задачі векторної оптимізації, яка й є регуляризацією у сенсі введеного означення. Доведено теорему, умови якої гарантують існування таких регуляризацій. Як окремий випадок, розглянуто двокритеріальну задачу. Одержані умови, за яких напівнеперервна знизу регуляризація кожного критерію окремо в цій задачі приводить до -регуляризації.

*Для задач нескалярної оптимізації об'єкта керування, який описується нелінійним еліптичним рівнянням з умовами Діріхле на границі та обмеженнями типу нерівностей та включень на параметри керування, вперше одержано достатні умови їх розв'язності як в класі -ефективних розв'язків, так і в класі узагальнених -ефективних розв'язків. Наведено процедуру скаляризації цієї задачі. Встановлений факт розв'язності відповідних скалярних задач та їх зв'язок з ефективними розв'язками вихідної задачі керування.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

*Когут П.І. Про розв'язність одного класу задач векторної оптимізації / П.І. Когут, І.В. Нечай // Наукові вісті НТУУ «КПІ». - 2006. - № 5. - С. 148--158.

*Нечай І.В. Про напівнеперервність та згортки для векторнозначних відображень / І.В. Нечай // Питання прикладної математики та математичного моделювання. - ДНУ, 2007. - С. 242--254.

*Когут П.І. До питання регуляризації задач векторної оптимізації / П.І. Когут, І.В. Нечай // Вісник ДНУ. - 2008. - № 6. - С. 99--110. - (Серія «Математика»).

*Когут П.И. О скаляризации одного класса задач векторной оптимизации в банаховых пространствах / П.И. Когут, И.В. Нечай // Проблемы управления и информатики. - 2008. - № 6. - С. 42--54.

*Kogut P.I. On the existence of efficient solutions of vector optimization problems in Banach spaces / P.I. Kogut, R. Manzo, I.V. Nechay // Диференціальні рівняння та їх застосування. - 2008. - № 5. - С. 105--121.

*Kogut P. Problems of decision making in homogenization / P. Kogut,I. Nechay // Problems of decision making under uncertainties: міжнародна конференція, 8--12 вересня 2003 р.: тези доповіді. - Алушта, 2003. - С. 31.

*Нечай И.В. О разрешимости задач векторной оптимизации для объектов управления типа Гаммерштейна / И.В. Нечай // Dynamical system modelling and stability investigation: міжнародна конференція, 23--25 травня 2005 р.: тези доповіді. - К., 2005. - С. 88.

*Когут П.И. О разрешимости задач векторной оптимизации в банаховых пространствах / П.И. Когут, И.В. Нечай // Автоматика--2005: міжнародна конференція, 30 травня -- 3 червня 2007 р.: тези доповіді. - Харків, 2005. - С. 75.

*Когут П. Новые аспекты в проблеме разрешимости задач векторной оптимизации / П. Когут, И. Нечай // Контроль і управління в складних системах: VIII міжнародна конференція, 24--27 жовтня 2005 р.: тези доповіді. - Вінниця, 2005. - С. 261.

*Нечай И.В. Достаточные условия разрешимости одного класса задач векторной оптимизации / И.В. Нечай // Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем: III міжнародна науково-практична конференція, 16--18 листопада 2005 р.: тези доповіді. - Дніпропетровськ, 2005. - С. 123--124.

*Когут П.І. Про нові класи розв'язних задач нескалярної оптимізації в банахових просторах / П.І. Когут, І.В. Нечай // Problems of decision making under uncertainties: міжнародна конференція, 21--25 травня2007 р.: тези доповіді. - Чернівці, 2007. - С. 149--151.

*Нечай І.В. Узагальнені розв'язки задач векторної оптимізації в банахових просторах / І.В. Нечай // Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем: IV міжнародна науково-практична конференція, 12--14 листопада 2008 р.: тези доповіді. - Дніпропетровськ, 2008. - С. 235--236.

АНОТАЦІЯ

Нечай І.В. Про розв'язність та регуляризацію задач нескалярної оптимізації в банахових просторах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 - теоретичні основи інформатики та кібернетики. - Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена достатнім умовам розв'язності задач векторної оптимізації в банахових просторах і розробці теоретичних основ для їх якісного аналізу.

Введено поняття -напівнеперервних знизу відображень. Показано, що клас -напівнеперервних знизу відображень містить у собі клас квазінапівнеперервних знизу відображень. Для цього класу одержані достатні умови існування ефективних розв'язків задач векторної оптимізації в банахових просторах. Базовими поняттями, введеними в роботі, є поняття ефективного інфімуму і поняття -нижньої границі відображення. За допомогою першого з них виділено підмножину ефективних розв'язків, так звані -ефективні розв'язки. За допомогою другого, означено поняття -напівнеперервності знизу. Встановлено достатні умови існування -ефективних розв'язків.

Показано, що квазінапівнеперервна знизу регуляризація векторнозначного відображення може привести до задачі, властивості якої не є аналогічними тим, що має регуляризована задача скалярної оптимізації. Введено означення регуляризованої задачі векторної оптимізації і запропоновано поняття-регуляризації, яке вписується в рамки цього означення.

Для задач нескалярної оптимізації об'єктом керування, який описується нелінійним еліптичним рівнянням з умовами Діріхле на границі і обмеженнями типу нерівностей та включень на параметри керування, одержано достатні умови її розв'язності. Наведено процедуру її скаляризації.

Ключові слова: векторна оптимізація, ефективні розв'язки, конус,скаляризація, регуляризація.

ABSTRACT

Nechay I.V. On solvability and regularization of nonscalar optimization problems in Banach spaces. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree on physics and mathematics by speciality01.05.01 - theoretical foundation for the informatics and cybernetics. - Dnipropetrovsk Nationаl University, Dnipropetrovsk, 2009.

Thesis is devoted to the sufficient conditions of solvability for vector optimization problems in Banach spaces and to its qualitative analysis.

The notion of -lower semi-continuity of vector-valued mappings is introduced. It is shown that the class of -lower semi-continuous vector-valued mappings contains the class of quasi-lower semi-continuous mappings. The sufficient conditions of the existence of efficient solutions to the corresponding vector optimization problems have been obtained. The basic notion for vector-valued mappings that were introduced in this work are the efficient infimum and its -lower limit. As a result the so-called -efficient solutions to vector optimization problems have been introduced. The conditions which guarantee the existence of the above mentioned solution have been elaborated.

It was shown that using the approach of quasi-lower semi-continuous regularization can produce the situation when the properties of regularized problem are different from the properties of the corresponding regularized scalar problem. The concept of regularization of vector optimization problems have been proposed.

For non-sacalar optimization problem for a control object which is described by nonlinear elliptic equation with Dirichlet boundary conditions and with control and state constraints in the form of some inequalities, the existence of efficient solutions have been proved. The procedure of the scalarization to the above problem has been considered.

Key words: vector optimization, efficient solutions, cone, scalarization,regularization.

АННОТАЦИЯ

Нечай И.В. О разрешимости и регуляризации задач нескалярной оптимизации в банаховых пространствах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 - теоретические основы информатики и кибернетики. - Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, Днепропетровск, 2009.

Диссертационная работа посвящена достаточным условиям разрешимости задач векторной оптимизации в банаховых пространствах и разработке теоретических основ для их качественного анализа.

Введено понятие -полунепрерывного снизу отображения. Показано, что класс -полунепрерывных снизу отображений в качестве собственного подмножества содержит класс квазиполунепрерывных снизу отображений. Для этого класса получены достаточные условия существования эффективных решений задач векторной оптимизации в банаховых пространствах. Базовыми понятиями, введенными в работе, являются понятие эффективного инфимума и понятие -нижнего предела векторнозначного отображения. При помощи первого из них выделено подмножество эффективных решений, множество -эффективных решений, а при помощи второго определено понятие -полунепрерывности снизу. Установлены также достаточные условия существования -эффективных решений. Кроме этого, в терминах -нижнего предела отображения получены секвенциальные характеристики для квазиполунепрерывных снизу и порядково полунепрерывных снизу отображений.

Показано, что решения скалярных задач оптимизации для -сверток являются решениями соответствующей задачи векторной оптимизации, при условии, что вектор принадлежит внутренности конуса, сопряженного к конусу, задающему полуупорядоченность в критериальном пространстве. При помощи процедуры скаляризации установлено, что множества -эффективных решений для случая сильной и для случая слабой топологии имеют непустое пересечение.

Для задач векторной оптимизации введено понятие обобщенного -эффективного решения. Показано, что такие решения можно рассматривать как альтернативу эффективным решениям. Приведена процедура их построения, в основе которой лежит полунепрерывная снизу регуляризация линейных сверток векторнозначного отображения.

Показано, что квазиполунепрерывная снизу регуляризация отображения может привести к задаче, свойства которой не являются аналогичными тем, которые присущи регуляризованой задаче скалярной оптимизации. Приведено определение регуляризованной задачи векторной оптимизации. Предложено понятие -регуляризации задачи векторной оптимизации, которая является ее регуляризацией в смысле введенного определения.

Для задач нескалярной оптимизации объектом управления, который описывается нелинейным эллиптическим уравнением с условиями Дирихле на границе и ограничениями типа неравенств и включений на параметры управления, получены достаточные условия ее разрешимости как в классе -эффективных решений, так и в классе обобщенных -эффективных решений. Приведена процедура скаляризации этой задачи.

Ключевые слова: векторная оптимизация, эффективные решения,конус, скаляризация, регуляризация.

Размещено на Allbest.ru

...